【数学】2019届一轮复习人教A版（文）4-4函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及应用学案
4.4 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
最新考纲
考情考向分析
1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象．
2.了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．
3.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．
以考查函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的五点法画图、图象之间的平移伸缩变换、由图象求函数解析式以及利用正弦型函数解决实际问题为主，常与三角函数的性质、三角恒等变换结合起来进行综合考查，加强数形结合思想的应用意识．题型为选择题和填空题，中档难度.
1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈R
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f＝＝
ωx＋φ
φ
2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点
如下表所示：
x
ωx＋φ
0
π
2π
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
3．函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径
知识拓展
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．
2．由y＝sinωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度．
3．函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋，k∈ 确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈ 确定其横坐标．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)y＝sin的图象是由y＝sin的图象向右平移个单位长度得到的．( √ )
(2)将函数y＝sinωx的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y＝sin(ωx－φ)的图象．( × )
(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.( √ )
(4)由图象求函数解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的．( √ )
题组二 教材改编
2．[P55T2]为了得到函数y＝2sin的图象，可以将函数y＝2sin2x的图象( )
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
答案 A
3．[P58A组T3]函数y＝2sin的振幅、频率和初相分别为( )
A．2,4π， B．2，，
C．2，，－ D．2,4π，－
答案 C
解析 由题意知A＝2，f＝＝＝，初相为－.
4．[P62例4]如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b，则这段曲线的函数解析式为__________________________．
答案 y＝10sin＋20，x∈[6,14]
解析 从图中可以看出，从6～14时的是函数
y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期，
所以A＝×(30－10)＝10，
b＝×(30＋10)＝20，
又×＝14－6，
所以ω＝.
又×10＋φ＝2π＋2kπ，k∈ ，取φ＝，
所以y＝10sin＋20，x∈[6,14]．
题组三 易错自纠
5．要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin4x的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
答案 B
解析 ∵y＝sin＝sin，
∴要得到y＝sin的图象，只需将函数y＝sin4x的图象向右平移个单位长度．
6．将函数y＝cos2x＋1的图象向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到的函数图象对应的表达式为( )
A．y＝sin2x B．y＝sin2x＋2
C．y＝cos2x D．y＝cos
答案 A
解析 将函数y＝cos2x＋1的图象向右平移个单位长度得到y＝cos2＋1＝sin2x＋1，再向下平移1个单位长度得到y＝sin2x，故选A.
7．设函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，它的周期是π，则下列说法正确的是________．(填序号)
①f(x)的图象过点；
②f(x)在上是减函数；
③f(x)的一个对称中心是；
④将f(x)的图象向右平移|φ|个单位长度得到函数y＝3sinωx的图象．
答案 ①③
解析 ∵周期为π，∴＝π，∴ω＝2，
∴f(x)＝3sin(2x＋φ)，f＝3sin，
则sin＝1或－1.
又φ∈，＋φ∈，
∴＋φ＝，∴φ＝，
∴f(x)＝3sin.
①令x＝0，则f(x)＝，正确．
②令2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈ ，
则kπ＋
0)个单位长度，所得函数图象关于y轴对称，则m的最小值为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 平移后的函数解析式为y＝sin，
又图象关于y轴对称，则sin＝±1，
∴－2m＝kπ＋，k∈ ，∴m＝－－，k∈ ，
又m>0，∴m的最小值为.
(2)把函数y＝sinx的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图象向左平移个单位长度，得到的函数图象的解析式是________．
答案 y＝cos2x
解析 由y＝sinx图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，所得图象的解析式为y＝sin2x，再向左平移个单位长度得y＝sin2，即y＝cos2x.
题型二 由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
典例(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则y＝________________.
答案 2sin
解析 由题图可知，A＝2，T＝2＝π，所以ω＝2，由五点作图法可知2×＋φ＝，所以φ＝－，所以函数的解析式为y＝2sin.
(2)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ) 的部分图象如图所示，则y＝f取得最小值时x的集合为________．
答案
解析 根据所给图象，周期T＝4×＝π，故π＝，∴ω＝2，因此f(x)＝sin(2x＋φ)，另外图象经过点，代入有2×＋φ＝π＋2kπ(k∈ )，再由|φ|<，得φ＝－，∴f(x)＝sin，∴f＝sin，当2x＋＝－＋2kπ(k∈ )，即x＝－＋kπ(k∈ )时，y＝f取得最小值．
思维升华y＝Asin(ωx＋φ)中φ的确定方法
(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．
(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．
跟踪训练 (2018·山东重点中学模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分如图所示，则f(x)图象的对称轴方程是________．
答案 x＝＋(k∈ )
解析 由图象知A＝2，
又1＝2sin(ω×0＋φ)，即sinφ＝，
又|φ|<，∴φ＝.又×ω＋＝2π，∴ω＝2，
∴f(x)＝2sin，
令2x＋＝＋kπ(k∈ )，
解得x＝＋(k∈ )，
∴f(x)＝2sin的对称轴方程为
x＝＋(k∈ )．
题型三 三角函数图象性质的应用
命题点1 三角函数模型
典例如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )
A．5B．6 C．8D．10
答案 C
解析 由题干图得ymin＝k－3＝2，则k＝5.
∴ymax＝k＋3＝8.
命题点2 函数零点(方程根)问题
典例已知关于x的方程2sin2x－sin2x＋m－1＝0在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是____________．
答案 (－2，－1)
解析 方程2sin2x－sin2x＋m－1＝0可转化为
m＝1－2sin2x＋sin2x＝cos2x＋sin2x
＝2sin，x∈.
设2x＋＝t，则t∈，
∴题目条件可转化为＝sint，t∈有两个不同的实数根．
∴y1＝和y2＝sint，t∈的图象有两个不同交点，如图：
由图象观察知，的取值范围是，
故m的取值范围是(－2，－1)．
引申探究
本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m的取值范围是__________．
答案 [－2,1)
解析 由上例题知，的取值范围是，
∴－2≤m<1，
∴m的取值范围是[－2,1)．
命题点3 三角函数图象性质的综合
典例(2017·潍坊模拟)已知函数f(x)＝sin (ω>0)的图象与x轴相邻两个交点的距离为.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度得到函数g(x)的图象恰好经过点，求当m取得最小值时，g(x)在上的单调递增区间．
解 (1)函数f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，得函数f(x)的最小正周期为T＝2×＝，得ω＝1，
故函数f(x)的解析式为f(x)＝sin.
(2)将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度得到函数g(x)＝sin＝sin的图象，根据g(x)的图象恰好经过点，
可得sin＝0，
即sin＝0，
所以2m－＝kπ(k∈ )，m＝＋(k∈ )，
因为m>0，
所以当k＝0时，m取得最小值，且最小值为.
此时，g(x)＝sin.
因为x∈，所以2x＋∈.
当2x＋∈，即x∈时，g(x)单调递增，
当2x＋∈，即x∈时，g(x)单调递增．
综上，g(x)在区间上的单调递增区间是和.
思维升华 (1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．
(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．
(3)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．
跟踪训练(1)已知角φ的终边经过点P(－4,3)，函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则f的值为________．
答案 －
解析 由角φ的终边经过点P(－4,3)，
可得cosφ＝－，sinφ＝.
根据函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，可得周期为＝2×，
解得ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋φ)，
∴f＝sin＝cosφ＝－.
(2)若函数f(x)＝sin(ω>0)满足f(0)＝f，且函数在上有且只有一个零点，则f(x)的最小正周期为________．
答案 π
解析 ∵f(0)＝f，∴x＝是f(x)图象的一条对称轴，∴f＝±1，∴×ω＋＝＋kπ，k∈
，
∴ω＝6k＋2，k∈ ，∴T＝(k∈ )．
又f(x)在上有且只有一个零点，
∴≤≤－，∴≤T≤，
∴≤≤(k∈ )，∴－≤k≤，
又∵k∈ ，∴k＝0，∴T＝π.
三角函数图象与性质的综合问题
典例(12分)已知函数f(x)＝2sin·cos－sin(x＋π)．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若将f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，π]上的最大值和最小值．
思维点拨 (1)先将f(x)化成y＝Asin(ωx＋φ)的形式再求周期；
(2)将f(x)解析式中的x换成x－，得g(x)，然后利用整体思想求最值．
规范解答
解 (1)f(x)＝2sincos－sin(x＋π)＝cosx＋sinx[3分]
＝2sin，[5分]
于是T＝＝2π.[6分]
(2)由已知得g(x)＝f＝2sin，[8分]
∵x∈[0，π]，∴x＋∈，
∴sin∈，[10分]
∴g(x)＝2sin∈[－1,2]．[11分]
故函数g(x)在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.[12分]
解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤
第一步：(化简)将f(x)化为asinx＋bcosx的形式；
第二步：(用辅助角公式)构造f(x)＝·；
第三步：(求性质)利用f(x)＝sin(x＋φ)研究三角函数的性质；
第四步：(反思)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．
1．(2017·全国Ⅰ)已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sin，则下面结论正确的是( )
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
答案 D
解析 因为y＝sin＝cos＝cos，所以曲线C1：y＝cosx上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线y＝cos2x，再把得到的曲线y＝cos2x向左平移个单位长度，得到曲线y＝cos2＝cos.故选D.
2．(2018·洛阳统考)若将函数f(x)＝sin2x＋cos2x的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是( )
A.B. C.D.
答案 C
解析 f(x)＝sin2x＋cos2x＝cos，将函数f(x)的图象向右平移φ个单位长度后所得图象对应的函数为y＝cos，且该函数为偶函数，
故2φ＋＝kπ(k∈ )，所以φ的最小正值为.
3．(2017·衡水中学模拟)若函数y＝sin(ωx－φ)在区间上的图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )
A．ω＝2，φ＝ B．ω＝2，φ＝－
C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝－
答案 A
解析 由题图可知，T＝2＝π，
所以ω＝＝2，
又sin＝0，
所以－φ＝kπ(k∈ )，
即φ＝－kπ(k∈ )，
而|φ|<，所以φ＝，故选A.
4．函数f(x)＝tanωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则f的值是( )
A．－B. C．1D.
答案 D
解析 由已知得T＝，∴ω＝2.∴f＝tan＝.
5．(2017·昆明市两区七校模拟)将函数f(x)＝sinx－cosx的图象沿着x轴向右平移a(a>0)
个单位长度，所得函数图象关于y轴对称，则a的最小值是( )
A.B. C.D.
答案 B
解析 依题意得f(x)＝2sin，
因为函数f(x－a)＝2sin的图象关于y轴对称，
所以sin＝±1，a＋＝kπ＋，k∈ ，
即a＝kπ＋，k∈ ，因此正数a的最小值是，故选B.
6．函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后所得函数图象的解析式是奇函数，则函数f(x)在上的最小值为( )
A．－B．－ C.D.
答案 A
解析 由函数f(x)的图象向左平移个单位长度，
得g(x)＝sin的图象，
因为是奇函数，所以φ＋＝kπ，k∈ ，
又因为|φ|＜，所以φ＝－，
所以f(x)＝sin.
又x∈，所以2x－∈，
所以当x＝0时，f(x)取得最小值－.
7．已知简谐运动f(x)＝2sin的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为________．
答案 6，
解析 由题意知1＝2sinφ，得sinφ＝，又|φ|<，
得φ＝.而此函数的最小正周期T＝＝6.
8．(2017·河南洛阳统考)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，已知图象经过点A(0，1)，B，则f(x)＝_______.
答案 2sin
解析 由已知得＝，∴T＝，
又T＝，∴ω＝3.
∵f(0)＝1，∴sinφ＝，
又∵0<φ<，∴φ＝，
∴f(x)＝2sin(经检验满足题意)．
9．已知函数f(x)＝3sin(ω>0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的图象完全相同，若x∈，则f(x)的值域是____________．
答案
解析 f(x)＝3sin
＝3cos
＝3cos，
所以ω＝2，则f(x)＝3sin，
∵x∈，∴－≤2x－≤，
∴－≤f(x)≤3.
10．(2018·长春调研)已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω＞0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)
内单调递增，且函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为________．
答案
解析 f(x)＝sinωx＋cosωx＝sin，
因为f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x＝ω对称，所以f(ω)必为一个周期上的最大值，
所以有ω·ω＋＝2kπ＋，k∈ ，所以ω2＝＋2kπ，k∈ .又ω－(－ω)≤，即ω2≤，即ω2＝，
所以ω＝.
11．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象过点P，图象上与点P最近的一个最高点是Q.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数f(x)的单调递增区间．
解 (1)依题意得A＝5，周期T＝4＝π，
∴ω＝＝2.
故y＝5sin(2x＋φ)，又图象过点P，
∴5sin＝0，
由已知可得＋φ＝kπ，k∈ ，
∵|φ|<，∴φ＝－，∴y＝5sin.
(2)由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈ ，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈ ，
故函数f(x)的单调递增区间为(k∈ )．
12．(2017·合肥质检)已知函数f(x)＝4cosωx·sin＋a(ω>0)图象上最高点的纵坐标为2，
且图象上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求a和ω的值；
(2)求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间．
解 (1)f(x)＝4cosωx·sin＋a
＝4cosωx·＋a
＝2sinωxcosωx＋2cos2ωx－1＋1＋a
＝sin2ωx＋cos2ωx＋1＋a
＝2sin＋1＋a.
当sin＝1时，
f(x)取得最大值2＋1＋a＝3＋a.
又f(x)最高点的纵坐标为2，∴3＋a＝2，即a＝－1.
又f(x)图象上相邻两个最高点的距离为π，
∴f(x)的最小正周期为T＝π，
∴2ω＝＝2，ω＝1.
(2)∵x∈[0，π]，∴2x＋∈.
当2x＋∈，
即x∈时，f(x)单调递减，
∴f(x)在[0，π]上的单调递减区间为.
13．将函数f(x)＝sin(2x＋θ)的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位长度后，得到函数g(x)的图象，若f(x)，g(x)的图象都经过点P，则φ的值为________．
答案
解析 g(x)＝sin[2(x－φ)＋θ]＝sin(2x－2φ＋θ)，
若f(x)，g(x)的图象都经过点P，
所以sinθ＝，sin(－2φ＋θ)＝，
又－<θ<，
所以θ＝，sin＝.
又0<φ<π，所以－<－2φ<，
所以－2φ＝－.
即φ＝.
14．(2018·太原模拟)已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)，x∈R.在曲线y＝f(x)与直线y＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f(x)的最小正周期为________．
答案 π
解析 f(x)＝sinωx＋cosωx＝2sin(ω>0)．
由2sin＝1，得sin＝，
∴ωx＋＝2kπ＋或ωx＋＝2kπ＋(k∈ )．
令k＝0，得ωx1＋＝，ωx2＋＝，
∴x1＝0，x2＝.
由|x1－x2|＝，得＝，∴ω＝2.
故f(x)的最小正周期T＝＝π.
15．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到的图象解析式为___________________．
答案 y＝sin
解析 由T＝－，得T＝π，于是ω＝2.由图象知A＝1.根据五点作图法有ω·＋φ＝，解得φ＝，所以f(x)＝sin.将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到图象的解析式为
y＝sin＝sin.
16．(2017·山东)设函数f(x)＝sin＋sin，其中0＜ω＜3.已知f＝0.
(1)求ω；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值．
解 (1)因为f(x)＝sin＋sin，
所以f(x)＝sinωx－cosωx－cosωx
＝sinωx－cosωx＝
＝sin.
由题设知f＝0，
所以－＝kπ，k∈ ，
故ω＝6k＋2，k∈ .又0＜ω＜3，
所以ω＝2.
(2)由(1)得f(x)＝sin，
所以g(x)＝sin＝sin.
因为x∈，
所以x－∈，
当x－＝－，即x＝－时，g(x)取得最小值－.
