【数学】2019届一轮复习人教A版（理科）第15讲定积分与微积分基本定理学案

【数学】2019届一轮复习人教A版（理科）第15讲定积分与微积分基本定理学案

第15讲　定积分与微积分基本定理 考试说明 1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念.‎ ‎2.了解微积分基本定理的含义.‎ 考情分析 考点 考查方向 考例 考查热度 定积分的计算 几何意义法、微积分基本定理法计算定积分 ‎★☆☆‎ 定积分的几何意义 曲边形面积 ‎★★☆‎ 定积分的物理意义 利用定积分求变速运动路程、变力做功 ‎★☆☆‎ 真题再现 ‎■ [2017-2013 课标全国真题再现 ‎■ [2017-2016 其他省份类似高考真题 ‎【课前双基巩固】‎ 知识聚焦 ‎1.常数　f(ξi)　被积　下　上 ‎2.a　b　0‎ ‎3. f(x)dx　f(x)dx±g(x)dx f(x)dx+f(x)dx ‎4.F(b)-F(a)‎ 对点演练 ‎1.e2-2ln 2-e　[解析 dx=(ex-2ln x)=e2-2ln 2-e.‎ ‎2.2　[解析 sin xdx = -cos x = 2.‎ ‎3.8　[解析 f(x)dx+f(x)dx=f(x)dx=8.‎ ‎4.　[解析 画出图形(图略)可知所求的面积S=dx+ =+- (x-4)2=.‎ ‎5.1+t　[解析 (2x+t)dx=(x2+tx)=1+t.‎ ‎6.　[解析 所求面积S=-(-x2)dx=2x2dx=.‎ ‎7.π　[解析 根据几何意义可得.‎ ‎8.S=dx ‎【课堂考点探究】‎ 例1　[思路点拨 (1)根据定积分的几何意义、微积分基本定理求解;(2)根据奇函数的性质和定积分的计算法则计算即可.‎ ‎(1)A　(2)D　[解析 (1)根据定积分性质可得f(x)dx=dx+(x2-1)dx,根据定积分的几何意义可知,dx是以原点为圆心,以1为半径的圆面积的,∴dx=,∴f(x)dx=+x3-x=+,故选A.‎ ‎(2)∵y=xcos x为奇函数,∴xcos xdx=0,∵dx==×(1+1)=,∴(xcos x+)dx=,故选D.‎ 变式题　 (1)2　(2)ln 2+　[解析 (1) a=2sin cos dx=sin xdx=-cos x=-(cos π-cos 0)=2.‎ ‎(2) +2xdx=ln x+=ln 2+-=ln 2+.‎ 例2　[思路点拨 (1)先联立方程,组成方程组,求得交点坐标,可得被积区间,再用定积分表示出曲线围成的封闭图形的面积,即可求得结论;(2)根据导数的几何意义确定切线方程,再由定积分的几何意义求解相应区域的面积.‎ ‎(1)B　(2)　[解析 (1)解方程组得则曲线y=与直线y=x-1,x=1所围成的封闭图形如图所示,所求的面积S=-x+1dx=2ln x-x2+x=(2ln 2-2+2)-0-+1=2ln 2-.‎ ‎(2)设曲线y=x2在点(2,1)处的切线为l,∵y'=x,∴直线l的斜率 =y'|x=2=1,∴直线l的方程为y-1=x-2,即y=x-1.当y=0时,x-1=0,即x=1,所围成的封闭图形如图所示,∴所求面积S=x2dx-×1×1=x3-=. ‎ ‎ 变式题　　[解析 先根据题意画出图形,得到积分上限为1,积分下限为0,直线y=x与曲线y=x2所围成的封闭图形的面积S=(x-x2)dx=x2-x3=-=.‎ 例3　[思路点拨 第(1)(2)问只要根据定积分的物理意义求解即可,第(3)问求在[0,x 上函数v=t+1的定积分,再求使得这个定积分等于112时的x值,x的值即为质点的运动时间.‎ 解:(1)质点前10 s所走的路程S= (t+1)dt=t2+t= 60(m).‎ ‎(2)质点在第5 s到第10 s所经过的路程S'=‎ ‎(t+1)dt =t2+t=42.5(m).‎ ‎(3)设质点到达另一点所用的时间为x,则根据题意有(t+1)dt=112,即=112,即x2+x=112,即x2+2x=224,又x>0,得x=14,即该质点到达另一点所需要的时间是14 s,整个运动过程中的平均速度是=8(m/s).‎ 变式题　解:由题意得力F(x)在这一过程中所做的功为F(x)在[8,18 上的定积分,‎ 即F(x)dx=-36x-1=(-36×18-1)-(-36×8-1)=(-2)-=.‎ 从而可得力F(x)在这一过程中所做的功为J. ‎ ‎【备选理由】定积分的难点是利用它求曲边图形的面积,下面两例题可用于强化训练,以提高 生解题的熟练程度.‎ ‎1　[配合例2使用 抛物线y2=4x与直线y=2x-4围成的封闭图形的面积是　　　　. ‎ ‎[答案 9‎ ‎[解析 方法一:画出图形,如图所示,直线和曲线的交点坐标为和,则所求面积S=[2-(-2) dx+dx = 4×+2×-x2 + 4x = +- +=9.‎ 方法二:选用y为积分变量.抛物线方程为x=y2,直线方程为x=y+2,它们的交点坐标为(1,-2)和(4,4),画出图形如图所示,则所求面积S = y + 2-y2dy ==9.‎ ‎2　[配合例2使用 计算由曲线y=x3和y=所围成的封闭图形的面积.‎ 解:如图所示,根据计算两曲线所围成的封闭图形面积的一般方法,所求面积S=x3-dx,由于函数f(x)=x3-满足f(-x)=f(x),即函数f(x)=x3-是偶函数,故x3-dx=2x3-dx=2-x3dx=2-=1.‎