数学中考专题存在性问题

数学中考专题存在性问题

‎2017年数学中考专题《存在性问题》‎ 题型概述 ‎ 【题型特征】存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高.存在性问题按定性可分为:肯定型和否定型.存在性问题在假设存在以后进行的推理或计算，对基础知识，基本技能要求较高，并具备较强的探索性.正确、完整地解答这类问题，是对我们知识、能力的一次全面的考验.‎ ‎ 【解题策略】不同的存在性问题解法不同.下面按照解法及设问方式的不同将存在性问题分为代数方面的存在性问题(如方程根是否存在、最值是否存在等)、点的存在性问题(如构成特殊图形的点是否存在)并举例分析.‎ ‎ (1)代数方面的存在性问题的解法思路是:将问题看成求解题，进行求解，进而从有解或无解的条件，来判明数学对象是否存在，这是解决此类问题的主要方法.‎ ‎ (2)点的存在性问题的解法思路是:假设存在→推理论证→得出结论.若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断;若导出矛盾，就做出不存在的判断.‎ 真题精讲 类型一 代数方面的存在性问题 ‎ 典例1 (2016·广东梅州)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过三点，点的坐标是(3,0)，点的坐标是(0，－3)，动点在抛物线上.‎ ‎ (1)= ，= ，点的坐标为 ;(直接填写结果)‎ ‎ (2)是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点的坐标;若不存在，说明理由;‎ ‎ (3)过动点作垂直轴于点，交直线于点,过点作轴的垂线.垂足为，连接，当线段的长度最短时，求出点的坐标.‎ ‎【解析】二次函数的图象及其性质，三角形中位线定理，应用数学知识综合解决问题的能力.‎ ‎ 【全解】(1)－2 －3 (－1,0)‎ ‎ (2)存在.‎ 第一种情况，当以为直角顶点时，过点作,交抛物线于点.过点作轴的垂线，垂足是.如图(1)，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎ 由(1)可得抛物线为.‎ ‎ 设，则，‎ ‎ 解得(舍去)，.‎ ‎ .‎ ‎ 则的坐标是(1，－4).‎ ‎ 第二种情况，当以为直角顶点时，过点作,交抛物线于点，过点作轴的垂线，垂足是交轴于点.如图(2)‎ 轴.‎ 由,‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎.‎ 设，则.‎ 解得(舍去),.‎ ‎,‎ 则的坐标是(－2,5).‎ 综上所述，的坐标是(1,－4)或(－2,5).‎ ‎(3)连接，由题意可知，四边形是矩形，则.‎ ‎ 根据垂线段最短，可得当时，最短，即最短.由(1)可知，在中，‎ ‎ ， ‎ ‎ 是的中点.‎ ‎ 又,‎ ‎.‎ 点的纵坐标是.‎ 则，‎ 解得.‎ 当最短时，点的坐标是或.‎ ‎1. (2015·山东烟台)如图，点在反比例函数图象上，轴于点轴于点.‎ ‎ (1)求的值并写出反比例函数的解析式;‎ ‎ (2)连接，在线段上是否存在一点，‎ 使的面积等于5?若存在，求出点 ‎ 的坐标;若不存在，请说明理由.‎ ‎2. (2016·湖南张家界)已知抛物线的图象与轴交于点，顶点为.‎ ‎ (1)试确定的值，并写出点的坐标;‎ ‎ (2)若一次函数的图象经过两点，试写出一次函数的解析式;‎ ‎ (3)试在轴上求一点，使得的周长取最小值;‎ ‎ (4)若将抛物线平移个单位，所得新抛物线的顶点记作，与原抛物线的交点记作，问:点能否在同一条直线上?若能，请求出的值;若不能，请说明理由.‎ ‎ 【考情小结】考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数、几何变换(平移，对称)、等腰直角三角形、平行四边形、轴对称—最短路线问题等知识点，还考查了存在型问题和分类讨论的数学思想，难度较大.‎ 类型二 点的存在性问题 ‎ 典例2 (2016·黑龙江大庆)若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线与为“友好抛物线”‎ ‎ (1)求抛物线的解析式.‎ ‎ (2)点是抛物线上在第一象限的动点，过作轴，为垂足，求的最大值.‎ ‎(3)设抛物线的顶点为，点的坐标为(－1,4)，问在的对称轴上是否存在点，使线段绕点逆时针旋转得到线段，且点恰好落在抛物线上?若存在求出点的坐标，不存在说明理由.‎ ‎【全解】(1)‎ 抛物线的顶点坐标为(1,4)‎ 抛物线与顶点相同，‎ ‎.‎ 解得.‎ ‎ 抛物线的解析式为. ‎ ‎(2)如图(1)所示:‎ ‎ ‎ 设点的坐标为.‎ ‎，‎ ‎.‎ 当时，有最大值，最大值为.‎ ‎ (3)如图(2)所示;连接，过点作，垂足为.‎ ‎，抛物线的对称轴为,‎ ‎.‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎.‎ 在和中，‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎.‎ 设点的坐标为.‎ 则.‎ 点的坐标为.‎ ‎.‎ 整理，得.‎ 解得或.‎ 当时，的坐标为(1,2)，‎ 当时，的坐标为(1,5).‎ ‎ 综上所述当点的坐标为(1,2)或(1,5)时，恰好落在抛物线上.‎ ‎3. (2015·辽宁大连)如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴和轴的正半轴上，顶点的坐标为，翻折矩形，使点与点重合，得到折痕.设点的对应点为，折痕所在直线与轴相交于点，经过点的抛物线为.‎ ‎(1)求点的坐标(用含m的式子表示);‎ ‎(2)若点的坐标为(0,－3)，求该抛物线的解析式;‎ ‎(3)在((2)的条件下，设线段的中点为，在线段上方的抛物线上是否存在点 ‎，使?若存在，直接写出的坐标，若不存在，说明理由.‎ ‎ 【考情小结】根据以上分析，我们可以归纳出存在性问题的解决策略:(1)直接求解法:存在性问题探索的结果有两种:一种是存在;另一种是不存在.直接求解法就是直接从已知条件入手，逐步试探，求出满足条件的对象，使问题得到解决的解法.(2)假设求解法:先假设结论存在，再从已知条件和定义，定理，公理出发，进行演绎推理，若得到和题意相容的结论，则假设成立，结论也存在;否则，假设不成立，结论不存在.(3)反证法是证明否定型存在性问题的主要方法，特别是在无限个候选对象中，证明某种数学对象不存在时，逐一淘汰的方法几乎不能实行，更需要使用反证法.‎ 参考答案 ‎1.(1)由题意，得,解得.‎ ‎ ‎ 设反比例函数解析式为，将代入得，则反比例函数的解析式为.‎ ‎(2)存在，设，则,‎ 轴，轴，‎ ‎.‎ 连接,‎ 则 ‎ ‎ ‎ =5‎ ‎ 解得，则(5,0).‎ ‎2. (1) ‎ ‎(2)设一次函数的解析式为,‎ 将两点的坐标代入解析式求得,所以. ‎ ‎(3)点关于轴的对称点记作，则(0,2),‎ 连接交轴于点，则点即为所求.‎ 理由:在中，为定值，只需取最小值即可，而，从而只需取最小值即可，由于两点之间线段最短，所以，所以三点在同一条直线上时，取得最小值.‎ 由于过点的一次函数解析式为,‎ 故.‎ ‎ (4)设抛物线向右平移(若表示向右平移，若表示向左平移)个单位，则所得新的抛物线的顶点,‎ 新抛物线解析式为.‎ 两抛物线的交点，‎ 经过的一次函数解析式是.‎ 若在同一直线上，‎ 则有,‎ 化简整理，得,‎ 由于,‎ 所以.‎ 解得或.‎ 故三点能够在同一直线上，此时或.即抛物线向右平移2个单位，或者向左平移3个单位，均满足题目要求.‎ ‎3.(1)设的坐标为，根据题意，得 因为,‎ 所以.‎ 又因为.‎ 所以.‎ 所以,‎ 在中, ，‎ ‎，‎ 解得.‎ 所以的坐标为.‎ ‎(2)作垂直于轴，由题意，得.‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎.‎ 所以.‎ 所以此时点坐标为，‎ ‎,‎ 因为.‎ ‎,‎ 所以F的坐标为.‎ 抛物线为经过点，所以代入，得 ‎，解得.‎ 所以抛物线解析式为.‎ ‎ (3)存在，因为，所以.以为圆心，为半径画圆，交抛物线于点和点.如图:‎ 点坐标为(1.6,3.2)和(0. 9,3. 2).‎