【数学】2020届一轮复习（理）人教通用版2-2函数的单调性与最值学案
§2.2 函数的单调性与最值
最新考纲
考情考向分析
1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义．
2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.
以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、单调区间及函数最值的确定与应用；强化对函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的考查，题型既有选择、填空题，又有解答题.
1．函数单调性的定义
增函数
减函数
定义
设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M⊆A，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当
Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数
Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数
图象
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
2.单调性与单调区间
如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间．
3．函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
(3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；
(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
概念方法微思考
1．在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？
提示 对∀x1，x2∈D，>0⇔f(x)在D上是增函数，减函数类似．
2．写出对勾函数y＝x＋(a>0)的增区间．
提示 (－∞，－]和[，＋∞)．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)
0，
得函数的定义域为∪(1，＋∞)．
令t＝2x2－3x＋1，x∈∪(1，＋∞)．
则y＝，
∵t＝2x2－3x＋1＝22－，
∴t＝2x2－3x＋1的单调递增区间为(1，＋∞)．
又y＝在(1，＋∞)上是减函数，
∴函数y＝的单调递减区间为(1，＋∞)．
(2)(2018·沈阳检测)设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是__________．
答案 [0,1)
解析 由题意知g(x)＝该函数图象如图所示，其单调递减区间是[0,1)．
命题点2 讨论函数的单调性
例2 判断并证明函数f(x)＝ax2＋(其中10,20，
从而f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，
故当a∈(1,3)时，f(x)在[1,2]上单调递增．
引申探究
如何用导数法求解本例？
解 f′(x)＝2ax－＝，
因为1≤x≤2，所以1≤x3≤8，又10，所以f′(x)>0，
所以函数f(x)＝ax2＋(其中10，即a>1，因此g(x)的单调递减区间就是y＝|x－2|的单调递减区间(－∞，2]．
(3)函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是________．
答案 [1,2]
解析 f(x)＝
画出f(x)图象，
由图知f(x)的单调递减区间是[1,2]．
题型二 函数的最值
1．函数y＝的值域为____________．
答案 [－1,1)
解析 由y＝，可得x2＝.
由x2≥0，知≥0，解得－1≤y<1，
故所求函数的值域为[－1,1)．
2．函数y＝x＋的最大值为________．
答案
解析 由1－x2≥0，可得－1≤x≤1.
可令x＝cos θ，θ∈[0，π]，
则y＝cos θ＋sin θ＝sin，θ∈[0，π]，
所以－1≤y≤，故原函数的最大值为.
3．函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为________．
答案 [3，＋∞)
解析 函数y＝
作出函数的图象如图所示．
根据图象可知，函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为[3，＋∞)．
4．当－3≤x≤－1时，函数y＝的最小值为________．
答案
解析 由y＝，可得y＝－.
∵－3≤x≤－1，∴≤－≤，
∴≤y≤3.∴所求函数的最小值为.
5．函数f(x)＝x－log2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．
答案 3
解析 由于y＝x在[－1,1]上单调递减，y＝log2(x＋2)在[－1，1]上单调递增，所以f(x)在
[－1,1]上单调递减，故f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)＝3.
6．若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0,1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m( )
A．与a有关，且与b有关
B．与a有关，但与b无关
C．与a无关，且与b无关
D．与a无关，但与b有关
答案 B
解析 方法一 设x1，x2分别是函数f(x)在[0,1]上的最小值点与最大值点，
则m＝x＋ax1＋b，M＝x＋ax2＋b.
∴M－m＝x－x＋a(x2－x1)，
显然此值与a有关，与b无关．
故选B.
方法二 由题意可知，函数f(x)的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定．随着b的变动，相当于图象上下移动，若b增大k个单位，则最大值与最小值分别变为M＋k，m＋k，而(M＋k)－(m＋k)＝M－m，故与b无关．随着a的变动，相当于图象左右移动，则M－m的值在变化，故与a有关，故选B.
思维升华 求函数最值的五种常用方法及其思路
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．
(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．
(4)分离常数法：形如求y＝(ac≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解．
(5)均值不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用均值不等式求出最值．
题型三 函数单调性的应用
命题点1 比较函数值的大小
例3 已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为( )
A．c>a>b B．c>b>a C．a>c>b D．b>a>c
答案 D
解析 根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数，因为a＝f＝f，且2<<3，所以b>a>c.
命题点2 解函数不等式
例4 已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2－4)<2，则实数x的取值范围是______________．
答案 (－，－2)∪(2，)
解析 因为函数f(x)＝ln x＋2x在定义域上单调递增，且f(1)＝ln 1＋2＝2，所以由f(x2－4)<2得f(x2－4)1)是增函数，故a>1，所以a的取值范围为10恒成立．当a＝0时，g(x)＝x在(0,1)上单调递增且g(x)>0，符合题意；当a>0时，g(x)图象的对称轴为x＝－<0，且有g(x)>0，所以g(x)在(0,1)上单调递增，符合题意；当a<0
时，需满足g(x)图象的对称轴x＝－≥1，且有g(x)>0，解得a≥－，则－≤a<0.
综上，a≥－.
思维升华 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略
(1)比较大小．
(2)解不等式．利用函数的单调性将“f”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．
(3)利用单调性求参数．
①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较；
②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；
③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．
跟踪训练2 (1)如果函数f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有>0成立，那么a的取值范围是________．
答案
解析 对任意x1≠x2，都有>0，
所以y＝f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．
所以解得≤a<2.
故实数a的取值范围是.
(2)定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f＝0，则不等式>0的解集为________________．
答案
解析 由题意知，f＝－f＝0，
f(x)在(－∞，0)上也单调递增．
∴>f或>f，
∴>或－< <0，
解得00，得－2f(－3)>f(－2) B．f(π)>f(－2)>f(－3)
C．f(π)f(3)>f(2)，
即f(π)>f(－3)>f(－2)．
4．已知函数f(x)＝当x1≠x2时，<0，则a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 当x1≠x2时，<0，
∴f(x)是R上的减函数．
∵f(x)＝ ∴
∴00时，f(x)＝x＋＋a≥2＋a，当且仅当x＝1时取“＝”．要满足f(0)是f(x)的最小值，需2＋a≥f(0)＝a2，即a2－a－2≤0，解得－1≤a≤2.
∴a的取值范围是0≤a≤2.故选D.
6．已知定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，若f(x2－2x＋a)x＋1对任意的x∈[－1,2]恒成立，等价于a>－x2＋3x＋1对任意的x∈
[－1,2]恒成立．设g(x)＝－x2＋3x＋1(－1≤x≤2)，则g(x)＝－2＋(－1≤x≤2)，当x＝时，g(x)取得最大值，且g(x)max＝g＝，因此a>，故选D.
7．已知奇函数f(x)在R上是增函数．若a＝－f，b＝f，c＝f(20.8)，则a，b，c的大小关系为________________．
答案 a>b>c
解析 ∵f(x)在R上是奇函数，
∴a＝－f＝f＝f(log25)．
又f(x)在R上是增函数，
且log25>log24.1>log24＝2>20.8，
∴f(log25)>f(log24.1)>f(20.8)，∴a>b>c.
8．如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a的取值范围是__________．
答案
解析 当a＝0时，f(x)＝2x－3在定义域R上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x＝－，因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，所以a<0，且－≥4，解得－≤a<0.
综上，实数a的取值范围是.
9．记min{a，b}＝若f(x)＝min{x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为________．
答案 6
解析 由题意知，f(x)＝
易知f(x)max＝f(4)＝6.
10．设函数f(x)＝若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是__________________．
答案 (－∞，1]∪[4，＋∞)
解析 作函数f(x)的图象如图所示，
由图象可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，
即a≤1或a≥4.
11．已知f(x)＝(x≠a)．
(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)上单调递增；
(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．
(1)证明 当a＝－2时，f(x)＝.
设x10，x1－x2<0，
所以f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)0，x2－x1>0，
所以要使f(x1)－f(x2)>0，
只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，
所以a≤1.
综上所述，00且方程ax2＋bx＋1＝0中Δ＝b2－4a＝(a＋1)2－4a＝(a－1)2≤0，∴a＝1.
从而f(x)＝x2＋2x＋1.
∴F(x)＝
(2)由(1)可知f(x)＝x2＋2x＋1，
∴g(x)＝f(x)－kx＝x2＋(2－k)x＋1，
由g(x)在[－2,2]上是单调函数，知－≤－2或－≥2，得k≤－2或k≥6.
即实数k的取值范围为(－∞，－2]∪[6，＋∞)．
13．已知函数f(x)＝若f(2－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C．(－1,2) D．(－2,1)
答案 D
解析 ∵当x＝0时，两个表达式对应的函数值都为0，
∴函数的图象是一条连续的曲线．又∵当x≤0时，函数f(x)＝x3为增函数，当x>0时，f(x)＝ln(x＋1)也是增函数，∴函数f(x)是定义在R上的增函数．因此，不等式f(2－x2)>f(x)等价于2－x2>x，即x2＋x－2<0，解得－2f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案 (－∞，－2)
解析 二次函数y1＝x2－4x＋3的对称轴是x＝2，
∴该函数在(－∞，0]上单调递减，
∴x2－4x＋3≥3，同样可知函数y2＝－x2－2x＋3在(0，＋∞)上单调递减，
∴－x2－2x＋3<3，
∴f(x)在R上单调递减，
∴由f(x＋a)>f(2a－x)得到x＋a<2a－x，
即2x2的解集为____________．
答案
解析 由题意知，f(－x)＋f(x)＝2，
∴f(2x－1)＋f(2x)>2可化为f(2x－1)>f(－2x)，
又由题意知函数f(x)在R上单调递增，
∴2x－1>－2x，∴x>，
∴原不等式的解集为.
16．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)是增函数，f(1)＝0，f(3)＝1.
(1)解不等式0
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