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文档介绍
【数学】2020届一轮复习人教B版选修4-4 坐标系与参数方程学案
选修4-4 坐标系与参数方程 1.坐标系与极坐标 (1)理解坐标系的作用. (2)能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标与直角坐标的互化. (3)能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示图形时选择坐标系的意义. 2.参数方程 (1)了解参数方程,了解参数的意义. (2)能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. (3)掌握直线的参数方程及参数的几何意义,能用直线的参数方程解决简单的相关问题. 知识点一 极坐标系 1.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示,在平面内取一个定点O,点O叫作极点,自极点O引一条射线Ox,Ox叫作极轴;再选定一个长度单位、一个角度单位及其正方向,这样就建立了一个极坐标系. (2)极坐标 ①极径:设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫作点M的极径,记为ρ. ②极角:以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫作点M的极角,记为θ. ③极坐标:有序数对(ρ,θ)叫作点M的极坐标,记作M(ρ,θ). 2.极坐标与直角坐标的互化 设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ),则它们之间的关系为: 易误提醒 1.极坐标方程与直角坐标方程的互化易错用互化公式.在解决此类问题时考生要注意两个方面:一是准确应用公式,二是注意方程中的限制条件. 2.在极坐标系下,点的极坐标不唯一性易忽视. 注意极坐标(ρ,θ)(ρ,θ+2kπ),(-ρ,π+θ+2kπ)(k∈Z)表示同一点的坐标. [自测练习] 1.设平面上的伸缩变换的坐标表达式为则在这一坐标变换下正弦曲线y=sin x的方程变为________. 解析:由知 代入y=sin x中得y′=3sin 2x′. 答案:y′=3sin 2x′ 2.点P的直角坐标为(1,-),则点P的极坐标为________. 解析:因为点P(1,-)在第四象限,与原点的距离为2,且OP与x轴所成的角为-,所以点P的极坐标为. 答案: 3.(2018·高考北京卷)在极坐标系中,点到直线ρ(cos θ+sin θ)=6的距离为________. 解析:点的直角坐标为(1,),直线ρ(cos θ+sin θ)=6的直角坐标方程为x+y-6=0,所以点(1,)到直线的距离d==1. 答案:1 知识点二 参数方程 参数方程的概念 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线C上任意一点P的坐标x,y是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值,由函数式所确定的点P(x,y)都在曲线C上,那么方程叫作这条曲线的参数方程,变数t叫作参变数,简称参数.相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫作普通方程. 易误提醒 1.在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的取值范围保持一致,否则不等价. 2.直线的参数方程中,参数t的系数的平方和为1时,t才有几何意义,且其几何意义为:|t|是直线上任一点M(x,y)到M0(x0,y0)的距离,即|M0M|=|t|. [自测练习] 4.在平面直角坐标系中,曲线C:(t为参数)的普通方程为________. 解析:依题意,消去参数可得x-2=y-1,即x-y-1=0. 答案:x-y-1=0 5.在平面直角坐标系xOy中,过椭圆(θ为参数)的右焦点,且与直线(t为参数) 平行的直线截椭圆所得的弦长为________. 解析:椭圆的普通方程为+=1,则右焦点的坐标为(1,0).直线的普通方程为x-2y+2=0,过点(1,0)与直线x-2y+2=0平行的直线方程为x-2y-1=0,由得4x2-2x-11=0,所以所求的弦长为× =. 答案: 考点一 曲线的极坐标方程| 1.在极坐标系下,已知圆O:ρ=cos θ+sin θ和直线l:ρsin =. (1)求圆O和直线l的直角坐标方程; (2)当θ∈(0,π)时,求直线l与圆O公共点的一个极坐标. 解:(1)圆O:ρ=cos θ+sin θ,即ρ2=ρcos θ+ρsin θ, 圆O的直角坐标方程为:x2+y2=x+y, 即x2+y2-x-y=0, 直线l:ρsin=,即ρsin θ-ρcos θ=1,则直线l的直角坐标方程为:y-x=1,即x-y+1=0. (2)由得故直线l与圆O公共点的一个极坐标为. 2.(2018·长春模拟)已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2,ρ2-2ρcos=2. (1)将圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程. 解:(1)由ρ=2知ρ2=4,所以x2+y2=4. 因为ρ2-2ρcos=2, 所以ρ2-2ρ=2. 所以x2+y2-2x-2y-2=0. (2)将两圆的直角坐标方程相减,得经过两圆交点的直线方程为x+y=1. 化为极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ=1, 即ρsin=. 直角坐标化为极坐标的关注点 (1)根据终边相同的角的意义,角θ的表示方法具有周期性,故点M的极坐标(ρ,θ)的形式不唯一,即一个点的极坐标有无穷多个. 当限定ρ≥0,θ∈[0,2π)时,除极点外,点M的极坐标是唯一的. (2)当把点的直角坐标化为极坐标时,求极角θ应注意判断点M所在的象限(即角θ的终边的位置),以便正确地求出角θ∈[0,2π)的值. 考点二 曲线的参数方程| 1.已知曲线C1:(t为参数)曲线C2:(θ为参数) (1)化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2)若C1上的点P对应的参数为t=,Q为C2上的动点,求PQ中点M到直线C3:(t为参数)的距离的最小值. 解:(1)曲线C1:(x+4)2+(y-3)2=1,曲线C2:+=1, 曲线C1是以(-4,3)为圆心,1为半径的圆; 曲线C2是以坐标原点为中心,焦点在x轴上,长半轴长是8,短半轴长是3的椭圆. (2)当t=时,P(-4,4),Q(8cos θ,3sin θ),故M.曲线C3为直线x-2y-7=0,M到C3的距离d=|4cos θ-3sin θ-13|,从而当cos θ=,sin θ=-时,d取最小值. 2.已知曲线C:+=1,直线l:(t为参数). (1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程; (2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值. 解:(1)曲线C的参数方程为(θ为参数) 直线l的普通方程为2x+y-6=0. (2)曲线C上任意一点P(2cos θ,3sin θ)到l的距离为 d=|4cos θ+3sin θ-6|. 则|PA|==|5sin(θ+α)-6|, 其中α为锐角,且tan α=.当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为. 当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为. 参数方程化为普通方程,主要用“消元法”消参,常用代入法、加减消元法、利用三角恒等式消元等.在参数方程化为普通方程时,要注意保持同解变形. 考点三 极坐标方程、参数方程的综合应用| (2018·高考全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中,曲线C1:(t为参数,t≠0),其中0≤α<π.在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2sin θ,C3:ρ=2cos θ. (1)求C2与C3交点的直角坐标; (2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值. [解] (1)曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,曲线C3的直角坐标方程为x2+y2-2x=0. 联立解得或 所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和. (2)曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α<π. 因此A的极坐标为(2sin α,α),B的极坐标为(2cos α,α). 所以|AB|=|2sin α-2cos α|=4. 当α=时,|AB|取得最大值,最大值为4. 涉及参数方程和极坐标方程的综合题,求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然,还要结合题目本身特点,确定选择何种方程. (2018·昆明模拟)在直角坐标系xOy中,l是过定点P(4,2)且倾斜角为α的直线,在极坐标系(以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,取相同单位长度)中,曲线C 的极坐标方程为ρ=4cos θ. (1)写出直线l的参数方程,并将曲线C的方程化为直角坐标方程; (2)若曲线C与直线l相交于不同的两点M、N,求|PM|+|PN|的取值范围. 解:(1)直线l的参数方程:(t为参数). ∵ρ=4cos θ,∴ρ2=4ρcos θ,∴C:x2+y2=4x. (2)直线l的参数方程:(t为参数), 代入x2+y2=4x,得t2+4(sin α+cos α)t+4=0, ∴sin α·cos α>0,又0≤α<π, ∴α∈,且t1<0,t2<0. ∴|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2| =4(sin α+cos α)=4sin, 由α∈,得α+∈, ∴查看更多