中考数学备考专题复习动点综合问题含解析

中考数学备考专题复习动点综合问题含解析

动点综合问题 一、单选题（共12题；共24分）‎ ‎1、（2016•安徽）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为（　　） ‎ A、 B、‎2 ‎C、 D、‎ ‎2、（2016•台州）如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是（　　） ‎ A、6 B、2 +‎1 ‎C、9 D、‎ ‎3、（2016•十堰）如图，将边长为10的正三角形OAB放置于平面直角坐标系xOy中，C是AB边上的动点（不与端点A，B重合），作CD⊥OB于点D，若点C，D都在双曲线y= 上（k＞0，x＞0），则k的值为（　　） ‎ A、25 B、‎18 ‎ C、9 D、9‎ ‎4、（2016•娄底）如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D沿BC自B向C运动（点D与点B、C不重合），作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，则BE+CF的值（　　） ‎ A、不变 B、增大 C、减小 D、先变大再变小 ‎5、（2016•宜宾）如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（　　） ‎ A、4.8 B、‎5 ‎C、6 D、7.2‎ ‎6、（2016•龙岩）如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（　　） ‎ A、1 B、‎2 ‎C、3 D、4‎ ‎7、（2016•漳州）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（　　） ‎ A、5个 B、4个 C、3个 D、2个 ‎8、（2016•荆门）如图，正方形ABCD的边长为‎2cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C的方向运动到点C停止，设点P的运动路程为x（cm），在下列图象中，能表示△ADP的面积y（cm2）关于x（cm）的函数关系的图象是（　　） ‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎9、（2016•鄂州）如图，O是边长为‎4cm的正方形ABCD的中心，M是BC的中点，动点P由A开始沿折线A﹣B﹣M方向匀速运动，到M时停止运动，速度为‎1cm/s．设P点的运动时间为t（s），点P的运动路径与OA、OP所围成的图形面积为S（cm2），则描述面积S（cm2）与时间t（s）的关系的图象可以是（  ） ‎ A、 B、 ‎ C、 D、‎ ‎10、（2016•西宁）如图，在△ABC中，∠B=90°，tan∠C= ，AB=‎6cm．动点P从点A开始沿边AB向点B以‎1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以‎2cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是（  ） ‎ A、‎18cm2 B、‎12cm2 ‎C、‎9cm2 D、‎3cm2‎ ‎11、（2016•西宁）如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰直角△ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（  ） ‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎12、（2016•济南）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=AD=5，BC=4，M、N、E分别是AB、AD、CB上的点，AM=CE=1，AN=3，点P从点M出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线MB﹣BE向点E运动，同时点Q从点N出发，以相同的速度沿折线ND﹣DC﹣CE向点E运动，当其中一个点到达后，另一个点也停止运动．设△APQ的面积为S，运动时间为t秒，则S与t函数关系的大致图象为（  ） ‎ A、 B、 C、 D、‎ 二、填空题（共5题；共5分）‎ ‎13、（2016•内江）如图所示，已知点C（1，0），直线y=﹣x+7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是AB，OA上的动点，则△CDE周长的最小值是________． ‎ ‎14、（2016•舟山）如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为（﹣1，0），∠ABO=30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ= ，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为________． ‎ ‎15、（2016•沈阳）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=20，DE是△ABC的中位线，点M是边BC上一点，BM=3，点N是线段MC上的一个动点，连接DN，ME，DN与ME相交于点O．若△OMN是直角三角形，则DO的长是________‎ ‎16、（2016•龙东）如图，MN是⊙O的直径，MN=4，∠AMN=40°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为________． ‎ ‎17、（2016•日照）如图，直线y=﹣ 与x轴、y轴分别交于点A、B；点Q是以C（0，﹣1）为圆心、1为半径的圆上一动点，过Q点的切线交线段AB于点P，则线段PQ的最小是________． ‎ 三、综合题（共7题；共95分）‎ ‎18、（2016•江西）如图，AB是⊙O的直径，点P是弦AC上一动点（不与A，C重合），过点P作PE⊥AB，垂足为E，射线EP交 于点F，交过点C的切线于点D． ‎ ‎(1)求证：DC=DP； ‎ ‎(2)若∠CAB=30°，当F是 的中点时，判断以A，O，C，F为顶点的四边形是什么特殊四边形？说明理由． ‎ ‎19、（2016•南充）已知正方形ABCD的边长为1，点P为正方形内一动点，若点M在AB上，且满足△PBC∽△PAM，延长BP交AD于点N，连结CM． ‎ ‎(1)如图一，若点M在线段AB上，求证：AP⊥BN；AM=AN； ‎ ‎(2)①如图二，在点P运动过程中，满足△PBC∽△PAM的点M在AB的延长线上时，AP⊥BN和AM=AN是否成立？（不需说明理由） ②是否存在满足条件的点P，使得PC= ？请说明理由． ‎ ‎20、（2016•海南）如图1，抛物线y=ax2﹣6x+c与x轴交于点A（﹣5，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C（0，﹣5），点P是抛物线上的动点，连接PA、PC，PC与x轴交于点D． ‎ ‎(1)求该抛物线所对应的函数解析式； ‎ ‎(2)若点P的坐标为（﹣2，3），请求出此时△APC的面积； ‎ ‎(3)过点P作y轴的平行线交x轴于点H，交直线AC于点E，如图2． ①若∠APE=∠CPE，求证： ； ②△APE能否为等腰三角形？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由． ‎ ‎21、（2016•梅州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=‎5cm，∠BAC=60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒‎2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒 cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒（0≤t≤5），连接MN． ‎ ‎(1)若BM=BN，求t的值； ‎ ‎(2)若△MBN与△ABC相似，求t的值； ‎ ‎(3)当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值． ‎ ‎22、（2016•兰州）如图1，二次函数y=﹣x2‎ ‎+bx+c的图象过点A（3，0），B（0，4）两点，动点P从A出发，在线段AB上沿A→B的方向以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD⊥y于点D，交抛物线于点C．设运动时间为t（秒）． ‎ ‎(1)求二次函数y=﹣x2+bx+c的表达式； ‎ ‎(2)连接BC，当t= 时，求△BCP的面积； ‎ ‎(3)如图2，动点P从A出发时，动点Q同时从O出发，在线段OA上沿O→A的方向以1个单位长度的速度运动．当点P与B重合时，P、Q两点同时停止运动，连接DQ，PQ，将△DPQ沿直线PC折叠得到△DPE．在运动过程中，设△DPE和△OAB重合部分的面积为S，直接写出S与t的函数关系及t的取值范围． ‎ ‎23、（2016•呼和浩特）已知二次函数y=ax2﹣2ax+c（a＜0）的最大值为4，且抛物线过点（ ，﹣ ），点P（t，0）是x轴上的动点，抛物线与y轴交点为C，顶点为D． ‎ ‎(1)求该二次函数的解析式，及顶点D的坐标； ‎ ‎(2)求|PC﹣PD|的最大值及对应的点P的坐标； ‎ ‎(3)设Q（0，2t）是y轴上的动点，若线段PQ与函数y=a|x|2﹣‎2a|x|+c的图象只有一个公共点，求t的取值． ‎ ‎24、（2016•遵义）如图，△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=6．P是底边BC上的一个动点（P与B、C不重合），以P为圆心，PB为半径的⊙P与射线BA交于点D，射线PD交射线CA于点E． ‎ ‎(1)若点E在线段CA的延长线上，设BP=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围． ‎ ‎(2)当BP=2 时，试说明射线CA与⊙P是否相切． ‎ ‎(3)连接PA，若S△APE= S△ABC ， 求BP的长． ‎ 答案解析部分 一、单选题 ‎【答案】B 【考点】圆周角定理，点与圆的位置关系 【解析】【解答】解: ∵∠ABC=90°， ∴∠ABP+∠PBC=90°， ∵∠PAB=∠PBC， ∴∠BAP+∠ABP=90°， ∴∠APB=90°， ∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小， 在RT△BCO中，∵∠OBC=90°，BC=4，OB=3， ∴OC= =5， ∴PC=OC=OP=5﹣3=2． ∴PC最小值为2． 故选B． 【分析】首先证明点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC与⊙O交于点P，此时PC最小，利用勾股定理求出OC即可解决问题．本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点P位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离，属于中考常考题型． ‎ ‎【答案】C 【考点】切线的性质 【解析】【解答】解：如图， 设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1 ， 此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1﹣OQ1 ， ∵AB=10，AC=8，BC=6， ∴AB2=AC2+BC2 ， ∴∠C=90°， ∵∠OP1B=90°， ∴OP1∥AC ∵AO=OB， ∴P‎1C=P1B， ∴OP1= AC=4， ∴P1Q1最小值为OP1﹣OQ1=1， 如图，当Q2在AB边上时，P2与B重合时， P2Q2最大值=5+3=8， ∴PQ长的最大值与最小值的和是9． 故选C． 【分析】如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1 ， 此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1﹣OQ1 ， 求出OP1 ， 如图当Q2在AB边上时，P2与B重合时， P2Q2最大值=5+3=8，由此不难解决问题．本题考查切线的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是正确找到点PQ取得最大值、最小值时的位置，属于中考常考题型． ‎ ‎【答案】C 【考点】等边三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征 【解析】【解答】解：过点A作AE⊥OB于点E，如图所示． ‎ ‎ ∵△OAB为边长为10的正三角形， ∴点A的坐标为（10，0）、点B的坐标为（5，5 ），点E的坐标为（ ， ）． ∵CD⊥OB，AE⊥OB， ∴CD∥AE， ∴ ．设 =n（0＜n＜1），∴点D的坐标为（ ， ），点C的坐标为（5+5n，5 ﹣5 n）．∵点C、D均在反比例函数y= 图象上，∴ ，解得： ． 故选C． 【分析】过点A作AE⊥OB于点E，根据正三角形的性质以及三角形的边长可找出点A、B、E的坐标，再由CD⊥OB，AE⊥OB可找出CD∥AE，即得出 ，令该比例 =n，根据比例关系找出点D、C的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k、n的二元一次方程组，解方程组即可得出结论．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、平行线的性质以及等边三角形的性质，解题的关键是找出点D、C的坐标．本题属于中档题，稍显繁琐，解决该题型题目时，巧妙的借助了比例来表示点的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征找出方程组是关键． ‎ ‎【答案】C 【考点】锐角三角函数的定义，锐角三角函数的增减性 【解析】【解答】解：∵BE⊥AD于E，CF⊥AD于F， ∴CF∥BE， ∴∠DCF=∠DBF，设CD=a，DB=b，∠DCF=∠DEB=α， ∴CF=DC•cosα，BE=DB•cosα， ∴BE+CF=（DB+DC）cosα=BC•cosα， ∵∠ABC=90°， ∴O＜α＜90°， 当点D从B→D运动时，α是逐渐增大的， ∴cosα的值是逐渐减小的， ∴BE+CF=BC•cosα的值是逐渐减小的． 故选C． 【分析】设CD=a，DB=b，∠DCF=∠DEB=α，易知BE+CF=BC•cosα，根据0＜α＜90°，由此即可作出判断．本题考查三角函数的定义、三角函数的增减性等知识，利用三角函数的定义，得到BE+CF=BC•cosα，记住三角函数的增减性是解题的关键，属于中考常考题型． ‎ ‎【答案】A 【考点】三角形的面积，矩形的性质 【解析】【解答】解：连接OP， ∵矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8， ∴S矩形ABCD=AB•BC=48，OA=OC，OB=OD，AC=BD=10， ∴OA=OD=5， ∴S△ACD= S矩形ABCD=24，∴S△AOD= S△ACD=12，∵S△AOD=S△AOP+S△DOP= OA•PE+ OD•PF= ×5×PE+‎ ×5×PF= （PE+PF）=12， 解得：PE+PF=4.8． 故选：A． 【分析】首先连接OP，由矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，可求得OA=OD=5，△AOD的面积，然后由 S△AOD=S△AOP+S△DOP= OA•PE+OD•PF求得答案．此题考查了矩形的性质以及三角形面积问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法以及掌握整体数学思想的运用是解题的关键． ‎ ‎【答案】C 【考点】菱形的性质，轴对称-最短路线问题 【解析】【解答】解：作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P． ∴EP+FP=EP+F′P． 由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=EP+F′P=EF′． ‎ ‎∵四边形ABCD为菱形，周长为12， ∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD， ∵AF=2，AE=1， ∴DF=AE=1， ∴四边形AEF′D是平行四边形， ∴EF′=AD=3． ∴EP+FP的最小值为3． 故选：C． 【分析】作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，由两点之间线段最短可知当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP有最小值，然后求得EF′的长度即可．本题主要考查的是菱形的性质、轴对称﹣﹣路径最短问题，明确当E、P、F′在一条直线上时EP+FP有最小值是解题的关键． ‎ ‎【答案】C 【考点】等腰三角形的性质，勾股定理 【解析】【解答】解：过A作AE⊥BC， ∵AB=AC， ∴EC=BE= BC=4， ∴AE= =3， ∵D是线段BC上的动点（不含端点B、C）． ∴3≤AD＜5， ∴AD=3或4， ∵线段AD长为正整数， ∴点D的个数共有3个， 故选：C． 【分析】首先过A作AE⊥BC，当D与E重合时，AD最短，首先利用等腰三角形的性质可得BE=EC，进而可得BE的长，利用勾股定理计算出AE长，然后可得AD的取值范围，进而可得答案．此题主要考查了等腰三角形的性质和勾股定理，关键是正确利用勾股定理计算出AD的最小值，然后求出AD的取值范围． ‎ ‎【答案】A 【考点】一次函数的图象，三角形的面积，与一次函数有关的动态几何问题 【解析】【解答】解：当P点由A运动到B点时，即0≤x≤2时，y= ×2x=x， 当P点由B运动到C点时，即2＜x＜4时，y= ×2×2=2， 符合题意的函数关系的图象是A； 故选：A． 【分析】△ADP的面积可分为两部分讨论，由A运动到B时，面积逐渐增大，由B运动到C时，面积不变，从而得出函数关系的图象．本题考查了动点函数图象问题，用到的知识点是三角形的面积、一次函数，在图象中应注意自变量的取值范围． ‎ ‎【答案】A 【考点】函数的图象，正方形的性质 【解析】【解答】解：分两种情况： ①当0≤t＜4时， 作OM⊥AB于M，如图1所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B=90°，AD=AB=BC=‎4cm， ∵O是正方形ABCD的中心， ∴AM=BM=OM= AB=‎2cm， ∴S= AP•OM= ×t×2=t（cm2）； ②当t≥4时，作OM⊥AB于M， 如图2所示： S=△OAM的面积+梯形OMBP的面积= ×2×2+ （2+t﹣4）×2=t（cm2）； 综上所述：面积S（cm2）与时间t（s）的关系的图象是过原点的线段， 故选A． ‎ ‎ 【分析】本题考查了动点问题的函数图象、正方形的性质；熟练掌握正方形的性质，求出S与t的函数关系式是解决问题的关键．分两种情况：①当0≤t＜4时，作OM⊥AB于M，由正方形的性质得出∠B=90°，AD=AB=BC=‎4cm，AM=BM=OM= AB=‎2cm，由三角形的面积得出S= AP•OM=t（cm2）； ②当t≥4时，S=△OAM的面积+梯形OMBP的面积=t（cm2）；得出面积S（cm2）与时间t（s）的关系的图象是过原点的线段，即可得出结论． ‎ ‎【答案】C 【考点】二次函数的最值，解直角三角形 【解析】【解答】解：∵tan∠C= ，AB=‎6cm， ∴ = = ， ∴BC=8， 由题意得：AP=t，BP=6﹣t，BQ=2t， 设△PBQ的面积为S， 则S= ×BP×BQ= ×2t×（6﹣t）， S=﹣t2+6t=﹣（t2﹣6t+9﹣9）=﹣（t﹣3）2+9， P：0≤t≤6，Q：0≤t≤4， ∴当t=3时，S有最大值为9， 即当t=3时，△PBQ的最大面积为‎9cm2； 故选C． 【分析】先根据已知求边长BC，再根据点P和Q的速度表示BP和BQ的长，设△PBQ的面积为S，利用直角三角形的面积公式列关于S与t的函数关系式，并求最值即可本题考查了有关于直角三角形的动点型问题，考查了解直角三角形的有关知识和二次函数的最值问题，解决此类问题的关键是正确表示两动点的路程（路程=时间×速度）；这类动点型问题一般情况都是求三角形面积或四边形面积的最值问题，转化为函数求最值问题，直接利用面积公式或求和、求差表示面积的方法求出函数的解析式，再根据函数图象确定最值，要注意时间的取值范围． ‎ ‎【答案】A 【考点】函数的图象 【解析】【解答】解：作AD∥x轴，作CD⊥AD于点D，若右图所示， 由已知可得，OB=x，OA=1，∠AOB=90°，∠BAC=90°，AB=AC，点C的纵坐标是y， ∵AD∥x轴， ∴∠DAO+∠AOD=180°， ∴∠DAO=90°， ∴∠OAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC=90°， ∴∠OAB=∠DAC， 在△OAB和△DAC中， ， ∴△OAB≌△DAC（AAS）， ∴OB=CD， ∴CD=x， ∵点C到x轴的距离为y，点D到x轴的距离等于点A到x的距离1， ∴y=x+1（x＞0）． 故选：A． 【分析】根据题意作出合适的辅助线，可以先证明△ADC和△AOB的关系，即可建立y与x的函数关系，从而可以得到哪个选项是正确的．本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，建立相应的函数关系式，根据函数关系式判断出正确的函数图象． ‎ ‎【答案】D 【考点】分段函数，三角形的面积，矩形的性质，与一次函数有关的动态几何问题，与二次函数有关的动态几何问题 【解析】【解答】解：∵AD=5，AN=3， ∴DN=2， 如图1，过点D作DF⊥AB， ∴DF=BC=4， 在RT△ADF中，AD=5，DF=4，根据勾股定理得，AF= =3， ∴BF=CD=2，当点Q到点D时用了2s， ∴点P也运动2s， ∴AP=3，即QP⊥AB， ∴只分三种情况： ①当0＜t≤2时，如图1， ‎ ‎ 过Q作QG⊥AB，过点D作DF⊥AB，QG∥DF， ∴ ， 由题意得，NQ=t，MP=t， ∵AM=1，AN=3， ∴AQ=t+3， ∴ ， ∴QG= （t+3）， ∵AP=t+1， ∴S=S△APQ= AP×QG= ×（t+1）× （t+3）= （t+2）2﹣ ， 当t=2时，S=6， ②当2＜t≤4时，如图2， ∵AP=AM+t=1+t， ∴S=S△APQ= AP×BC= （1+t）×4=2（t+1）=2t+2， 当t=4时，S=8， ③当4＜t≤5时，如图3， 由题意得CQ=t﹣4，PB=t+AM﹣AB=t+1﹣5=t﹣4， ∴PQ=BC﹣CQ﹣PB=4﹣（t﹣4）﹣（t﹣4）=12﹣2t， ∴S=S△APQ= PQ×AB= ×（12﹣2t）×5=﹣5t+50， 当t=5时，S=5， ∴S与t的函数关系式分别是①S=S△APQ= （t+2）2﹣ ，当t=2时，S=6，②S=S△APQ=2t+2，当t=4时，S=8，③∴S=S△APQ=﹣5t+50，当t=5时，S=5， 综合以上三种情况，D正确 故选D． 【分析】先求出DN，判断点Q到D点时，DP⊥AB，然后分三种情况分别用三角形的面积公式计算即可．此题是动点问题的函数图象，考查了三角形的面积公式，矩形的性质，解本题的关键是分段画出图象，判断出点Q在线段CD时，PQ⊥AB是易错的地方． ‎ 二、填空题 ‎【答案】10 【考点】轴对称-最短路线问题 【解析】【解答】解：如图，点C关于OA的对称点C′（﹣1，0），点C关于直线AB的对称点C″（7，6）， 连接C′C″与AO交于点E，与AB交于点D，此时△DEC周长最小， △DEC的周长=DE+EC+CD=EC′+ED+DC″=C′C″= =10． 故答案为10． ‎ ‎【分析】点C关于OA的对称点C′（﹣1，0），点C关于直线AB的对称点C″（7，6），连接C′C″与AO交于点E，与AB交于点D，此时△DEC周长最小，可以证明这个最小值就是线段C′C″．本题考查轴对称﹣最短问题、两点之间距离公式等知识，解题的关键是利用对称性在找到点D、点E位置，属于中考常考题型． ‎ ‎【答案】4 【考点】解直角三角形 【解析】【解答】解：在Rt△AOB中，∵∠ABO=30°，AO=1，∴AB=2，BO= = ，①当点P从O→B时，如图1、图2所示，点Q运动的路程为 ， ②当点P从B→C时，如图3所示，这时QC⊥AB，则∠ACQ=90° ∵∠ABO=30° ∴∠BAO=60° ∴∠OQD=90°﹣60°=30° ∴cos30°= ∴AQ= =2 ∴OQ=2﹣1=1 则点Q运动的路程为QO=1， ③当点P从C→A时，如图3所示，点Q运动的路程为QQ′=2﹣ ， ④当点P从A→O时，点Q运动的路程为AO=1， ∴点Q运动的总路程为： +1+2﹣ +1=4 故答案为：4 【分析】本题主要是应用三角函数定义来解直角三角形，此题的解题关键是理解题意，正确画出图形；线段的两个端点看成是两个动点，将线段移动问题转化为点移动问题． ‎ ‎【答案】或 【考点】三角形中位线定理 【解析】【解答】解：如图作EF⊥BC于F，DN′⊥BC于N′交EM于点O′，此时∠MN′O′=90°， ∵DE是△ABC中位线， ∴DE∥BC，DE= BC=10， ∵DN′∥EF， ∴四边形DEFN′是平行四边形，∵∠EFN′=90°， ∴四边形DEFN′是矩形， ∴EF=DN′，DE=FN′=10， ∵AB=AC，∠A=90°， ∴∠B=∠C=45°， ∴BN′=DN′=EF=FC=5， ∴ = ，∴ = ，∴DO′= ． 当∠MON=90°时， ∵△DOE∽△EFM， ∴ = ，∵EM= =13，∴DO= ， 故答案为 或 ． ‎ ‎【分析】分两种情形讨论即可①∠MN′O′=90°，根据 = 计算即可②∠MON=90°，利用△DOE∽△EFM，得 = 计算即可． 本题考查三角形中位线定理、矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会分类讨论，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． ‎ ‎【答案】2 【考点】圆周角定理，轴对称-最短路线问题 【解析】【解答】解：过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值， 连接OB，OA′，AA′， ∵AA′关于直线MN对称， ∴ = ， ∵∠AMN=40°， ∴∠A′ON=80°，∠BON=40°， ∴∠A′OB=120°， 过O作OQ⊥A′B于Q， 在Rt△A′OQ中，OA′=2， ∴A′B=‎2A′Q=2 ， 即PA+PB的最小值2 ． 故答案为：2 ． 【分析】过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值，由对称的性质可知 = ，再由圆周角定理可求出∠A′ON的度数，再由勾股定理即可求解．本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，圆周角定理及勾股定理，解答此题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解． ‎ ‎【答案】 【考点】切线的性质 【解析】【解答】解：过点C作CP⊥直线AB与点P，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，此时PQ最小，连接CQ，如图所示． 直线AB的解析式为y=﹣ ，即3x+4y﹣12=0， ∴CP= = ． ∵PQ为⊙C的切线， ∴在Rt△CQP中，CQ=1，∠CQP=90°， ∴PQ= = ． 故答案为： ． 【分析】过点C作CP⊥直线AB与点P，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，此时PQ最小，连接CQ，由点到直线的距离求出CP的长度，再根据勾股定理即可求出PQ的长度．本题考查了切线的性质、点到直线的距离以及勾股定理，解题的关键是确定P、Q点的位置．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，借助于切线的性质寻找到PQ取最小值时点P、Q的位置是关键． ‎ 三、综合题 ‎【答案】 （1）证明： 连接BC、OC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠OCD=90°， ∴∠OCA+∠OCB=90°， ∵∠OCA=∠OAC，∠B=∠OCB， ∴∠OAC+∠B=90°， ‎ ‎∵CD为切线， ∴∠OCD=90°， ∴∠OCA+∠ACD=90°， ∴∠B=∠ACD， ∵PE⊥AB， ∴∠APE=∠DPC=∠B， ∴∠DPC=∠ACD， ∴AP=DC； （2）解：以A，O，C，F为顶点的四边形是菱形； ∵∠CAB=30°，∴∠B=60°， ∴△OBC为等边三角形， ∴∠AOC=120°， 连接OF，AF， ∵F是 的中点， ∴∠AOF=∠COF=60°， ∴△AOF与△COF均为等边三角形， ∴AF=AO=OC=CF， ∴四边形OACF为菱形． 【考点】垂径定理，切线的性质 【解析】【分析】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理和等边三角形的判定等，作出恰当的辅助线利用切线的性质是解答此题的关键．（1）连接BC、OC，利用圆周角定理和切线的性质可得∠B=∠ACD，由PE⊥AB，易得∠APE=∠DPC=∠B，等量代换可得∠DPC=∠ACD，可证得结论；（2）由∠CAB=30°易得△OBC为等边三角形，可得∠AOC=120°，由F是 的中点，易得△AOF与△COF均为等边三角形，可得AF=AO=OC=CF，易得以A，O，C，F为顶点的四边形是菱形． ‎ ‎【答案】 （1）证明：如图一中 ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠D=90°， ∵△PBC∽△PAM， ∴∠PAM=∠PBC， ， ∴∠PBC+∠PBA=90°， ∴∠PAM+∠PBA=90°， ∴∠APB=90°， ∴AP⊥BN， ∵∠ABP=∠ABN，∠APB=∠BAN=90°， ∴△BAP∽△BNA， ∴ ， ∴ ， ∵AB=BC， ∴AN=AM． （2）解：①仍然成立，AP⊥BN和AM=AN．理由如图二中， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠D=90°， ∵△PBC∽△PAM， ∴∠PAM=∠PBC， ， ‎ ‎∴∠PBC+∠PBA=90°， ∴∠PAM+∠PBA=90°， ∴∠APB=90°， ∴AP⊥BN， ∵∠ABP=∠ABN，∠APB=∠BAN=90°， ∴△BAP∽△BNA， ∴ ， ∴ ∵AB=BC， ∴AN=AM． ②这样的点P不存在． 理由：假设PC= ， 如图三中， 以点C为圆心 为半径画圆，以AB为直径画圆， CO= = ＞1+ ， ∴两个圆外离，∴∠APB＜90°，这与AP⊥PB矛盾， ∴假设不可能成立， ∴满足PC= 的点P不存在 【考点】正方形的性质，相似三角形的判定与性质，相似三角形的应用 【解析】【分析】（1）由△PBC∽△PAM，推出∠PAM=∠PBC，由∠PBC+∠PBA=90°，推出∠PAM+∠PBA=90°即可证明AP⊥BN，由△PBC∽△PAM，推出 = = ，由△BAP∽△BNA，推出 = ，得到 = ，由此即可证明．（2）①结论仍然成立，证明方法类似（1）．②这样的点P不存在．利用反证法证明．假设PC= ，推出矛盾即可．本题考查相似三角形综合题、正方形的性质、圆的有关知识，解题的关键是熟练应用相似三角形性质解决问题，最后一个问题利用圆的位置关系解决问题，有一定难度，属于中考压轴题． ‎ ‎【答案】 （1）解：解：设抛物线解析式为y=a（x+5）（x+1）， 把C（0，﹣5）代入得a•5•1=﹣5，解得a=﹣1， 所以抛物线解析式为y=﹣（x+5）（x+1），即y=﹣x2﹣6x﹣5 （2）解：解：设直线AC的解析式为y=mx+n， 把A（﹣5，0），C（0，﹣5）代入得 ，解得 ， ∴直线AC的解析式为y=﹣x﹣5， 作PQ∥y轴交AC于Q，如图1， 则Q（﹣2，﹣3）， ∴PQ=3﹣（﹣3）=6， ∴S△APC=S△APQ+S△CPQ= •PQ•5= ×6×5=15； （3）解：①证明：∵∠APE=∠CPE， 而PH⊥AD， ∴△PAD为等腰三角形， ∴AH=DH， 设P（x，﹣x2﹣6x﹣5），则OH=﹣x，OD=﹣x﹣DH， ∵PH∥OC， ∴△PHD∽△COD， ∴PH：OC=DH：OD，即（﹣x2﹣6x﹣5）：5=DH：（﹣x﹣DH）， ∴DH=﹣x﹣ ， 而AH+OH=5， ‎ ‎∴﹣x﹣x﹣ =5， 整理得2x2+17x+35=0，解得x1=﹣ ，x2=﹣5（舍去）， ∴OH= ， ∴AH=5﹣ = ， ∵HE∥OC， ∴ = = ； ②能．设P（x，﹣x2﹣6x﹣5），则E（x，﹣x﹣5）， 当PA=PE，因为∠PEA=45°，所以∠PAE=45°，则点P与B点重合，此时P点坐标为（﹣1，0）； 当AP=AE，如图2， 则PH=HE，即|﹣x2﹣6x﹣5|=|﹣x﹣5|，解﹣x2﹣6x﹣5=﹣x﹣5得x1=﹣5（舍去），x2=0（舍去）；解﹣x2﹣6x﹣5=x+5得x1=﹣5（舍去），x2=﹣2，此时P点坐标为（﹣2，3）； 当E′A=E′P，如图2，AE′= E′H′= （x+5），P′E′=﹣x﹣5﹣（﹣x2﹣6x﹣5）=x2+5x，则x2+5x= （x+5），解得x1=﹣5（舍去），x2= ，此时P点坐标为（ ，﹣7﹣6 ）， 综上所述，满足条件的P点坐标为（﹣1，0），（﹣2，3），（ ，﹣7﹣6 ） 【考点】二次函数的应用，二次函数图象上点的坐标特征 【解析】【分析】（1）设交点式为y=a（x+5）（x+1），然后把C点坐标代入求出a即可；（2）先利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=﹣x﹣5，作PQ∥y轴交AC于Q，如图1，由P点坐标得到Q（﹣2，﹣3），则PQ=6，然后根据三角形面积公式，利用S△APC=S△APQ+S△CPQ进行计算；（3）①由∠APE=∠CPE，PH⊥AD可判断△PAD为等腰三角形，则AH=DH，设P（x，﹣x2﹣6x﹣5），则OH=﹣x，OD=﹣x﹣DH，通过证明△PHD∽△COD，利用相似比可表示出DH=﹣x﹣ ，则﹣x﹣x﹣ =5，则解方程求出x可得到OH和AH的长，然后利用平行线分线段成比例定理计算出 = ； ②设P（x，﹣x2﹣6x﹣5），则E（x，﹣x﹣5），分类讨论：当PA=PE，易得点P与B点重合，此时P点坐标为（﹣1，0）；当AP=AE，如图2，利用PH=HE得到|﹣x2﹣6x﹣5|=|﹣x﹣5|，当E′A=E′P，如图2，AE′= E′H′= （x+5），P′E′=x2+5x，则x2+5x= （x+5），然后分别解方程求出x可得到对应P点坐标．本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和等腰三角形的判定；会运用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，能运用相似比计算线段的长；会运用方程的思想和分类讨论的思想解决问题． ‎ ‎【答案】 （1）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，∠BAC=60°， ∴∠B=30°， ∴AB=‎2AC=10，BC=5 ．     由题意知：BM=2t，CN= t， ∴BN=5 - t， ∵BM=BN， ∴2t=5 - t 解得： ． （2）解：分两种情况：①当△MBN∽△ABC时， 则 ，即 ， 解得：t= ． ②当△NBM∽△ABC时， 则 ，即 ， 解得：t= ． 综上所述：当t= 或t= 时，△MBN与△ABC相似． （3）解：过M作MD⊥BC于点D，则MD∥AC， ∴△BMD∽△BAC， ∴ ， 即 ， ‎ 解得：MD=t． 设四边形ACNM的面积为y， ∴y= = = ． ∴根据二次函数的性质可知，当t= 时，y的值最小． 此时， ． 【考点】二次函数的性质，相似三角形的性质 【解析】【分析】（1）由已知条件得出AB=10，BC=5 ．     由题意知：BM=2t，CN= t，BN=5 - t，由BM=BN得出方程2t=5 - t，解方程即可；（2）分两种情况：①当△MBN∽△ABC时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出t的值；②当△NBM∽△ABC时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出t的值；（3）过M作MD⊥BC于点D，则MD∥AC，证出△BMD∽△BAC，得出比例式求出MD=t．四边形ACNM的面积y=△ABC的面积﹣△BMN的面积，得出y是t的二次函数，由二次函数的性质即可得出结果． ‎ ‎【答案】 （1）解：把A（3，0），B（0，4）代入y=﹣x2+bx+c中得： 解得 ， ∴二次函数y=﹣x2+bx+c的表达式为：y=﹣x2+ x+4 （2）解：如图1， 当t= 时，AP=2t， ∵PC∥x轴， ∴ ， ∴ ， ∴OD= = × = ， 当y= 时， =﹣x2+ x+4， 3x2﹣5x﹣8=0， x1=﹣1，x2= ， ∴C（﹣1， ）， 由 得 ， 则PD=2， ∴S△BCP= ×PC×BD= ×3× =4 （3）解：如图3， 当点E在AB上时， 由（2）得OD=QM=ME= ， ∴EQ= ， 由折叠得：EQ⊥PD，则EQ∥y轴 ∴ ， ∴ ， ∴t= ， 同理得：PD=3﹣ ， ‎ ‎∴当0≤t≤ 时，S=S△PDQ= ×PD×MQ= ×（3﹣ ）× ， S=﹣ t2+ t； 当 ＜t≤2.5时， 如图4， P′D′=3﹣ ， 点Q与点E关于直线P′C′对称，则Q（t，0）、E（t， ）， ∵AB的解析式为：y=﹣ x+4， D′E的解析式为：y= x+ t， 则交点N（ ， ）， ∴S=S△P′D′N= ×P′D′×FN= ×（3﹣ ）（ ﹣ ）， ∴S= t2﹣ t+ ． 【考点】二次函数的应用 【解析】【分析】（1）直接将A、B两点的坐标代入列方程组解出即可；（2）如图1，要想求△BCP的面积，必须求对应的底和高，即PC和BD；先求OD，再求BD，PC是利用点P和点C的横坐标求出，要注意符号；（3）分两种情况讨论：①△DPE完全在△OAB中时，即当0≤t≤ 时，如图2所示，重合部分的面积为S就是△DPE的面积；②△DPE有一部分在△OAB中时，当 ＜t≤2.5时，如图4所示，△PDN就是重合部分的面积S．本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，并能利用方程组求出两图象的交点，把方程和函数有机地结合在一起，使函数问题简单化；同时考查了分类讨论的思想，这一思想在二次函数中经常运用，要熟练掌握；本题还与相似结合，利用相似三角形对应边的比来表示线段的长． ‎ ‎【答案】 （1）解：∵y=ax2﹣2ax+c的对称轴为：x=﹣ =1， ∴抛物线过（1，4）和（ ，﹣ ）两点， 代入解析式得： ， 解得：a=﹣1，c=3， ∴二次函数的解析式为：y=﹣x2+2x+3， ∴顶点D的坐标为（1，4）； （2）解：∵C、D两点的坐标为（0，3）、（1，4）； 由三角形两边之差小于第三边可知： |PC﹣PD|≤|CD|， ∴P、C、D三点共线时|PC﹣PD|取得最大值，此时最大值为， |CD|= ， 由于CD所在的直线解析式为y=x+3， 将P（t，0）代入得t=﹣3， ∴此时对应的点P为（﹣3，0） （3）解：y=a|x|2﹣‎2a|x|+c的解析式可化为： y= 设线段PQ所在的直线解析式为y=kx+b，将P（t，0），Q（0，2t）代入得： 线段PQ所在的直线解析式：y=﹣2x+2t， ∴①当线段PQ过点（0，3），即点Q与点C重合时，线段PQ与函数 y= 有一个公共点，此时t= ， 当线段PQ过点（3，0），即点P与点（3，0）重合时，t=3，此时线段PQ与 y= 有两个公共点，所以当 ≤t＜3时， 线段PQ与y= 有一个公共点， ②将y=﹣2x+2t代入y=﹣x2+2x+3（x≥0）得： ﹣x2+2x+3=﹣2x+2t， ﹣x2+4x+3﹣2t=0， 令△=16﹣4（﹣1）（3﹣2t）=0， t= ＞0， 所以当t= 时，线段PQ与y= 也有一个公共点， ③当线段PQ过点（﹣3，0），即点P与点（﹣3，0）重合时，线段PQ只与 y=﹣x2﹣2x+3（x＜0）有一个公共点，此时t=﹣3， ‎ 所以当t≤﹣3时，线段PQ与y= 也有一个公共点， 综上所述，t的取值是 ≤t＜3或t= 或t≤﹣3． 【考点】与二次函数有关的动态几何问题 【解析】【分析】（1）先利用对称轴公式x=﹣ 计算对称轴，即顶点坐标为（1，4），再将两点代入列二元一次方程组求出解析式； 　　　　（2）根据三角形的三边关系：可知P、C、D三点共线时|PC﹣PD|取得最大值，求出直线CD与x轴的交点坐标，就是此时点P的坐标； 　　　　（3）先把函数中的绝对值化去，可知y= ，此函数是两个二次函数的一部分，分三种情况进行计算：①当线段PQ过点（0，3），即点Q与点C重合时，两图象有一个公共点，当线段PQ过点（3，0），即点P与点（3，0）重合时，两函数有两个公共点，写出t的取值；②线段PQ与当函数y=a|x|2﹣‎2a|x|+c（x≥0）时有一个公共点时，求t的值；③当线段PQ过点（﹣3，0），即点P与点（﹣3，0）重合时，线段PQ与当函数y=a|x|2﹣‎2a|x|+c（x＜0）时也有一个公共点，则当t≤﹣3时，都满足条件；综合以上结论，得出t的取值．本题考查了二次函数的综合应用，先利用待定系数法求解析式，同时把最大值与三角形的三边关系联系在一起；同时对于二次函数利用动点求取值问题，从特殊点入手，把函数分成几部分考虑，按自变量从大到小的顺序或从小到大的顺序求解． ‎ ‎【答案】 （1）解：过A作AF⊥BC于F，过P作PH⊥AB于H， ∵∠BAC=120°，AB=AC=6， ∴∠B=∠C=30°， ∵PB=PD， ∴∠PDB=∠B=30°，CF=AC•cos30°=6× =3 ， ∴∠ADE=30°， ∴∠DAE=∠CPE=60°， ∴∠CEP=90°， ∴CE=AC+AE=6+y， ∴PC= = ， ∵BC=6 ， ∴PB+CP=x+ =6 ， ∴y=﹣ x+3， ∵BD=2BH= x＜6， ∴x＜2 ， ∴x的取值范围是0＜x＜2 （2）解：∵BP=2 ，∴CP=4 ， ∴PE= PC=2 =PB， ∴射线CA与⊙P相切 （3）解：当D点在线段BA上时， 连接AP， ∵S△ABC= BC•AF= ×6 ×3=9 ， ∵S△APE= AE•PE= y• ×（6+y）= S△ABC= ， ‎ 解得：y= ，代入y=﹣ x+3得x=4 ﹣ ． 当D点BA延长线上时， PC= EC= （6﹣y）， ∴PB+CP=x+ （6﹣y）=6 ， ∴y= x﹣3， ∵∠PEC=90°， ∴PE= = = （6﹣y）， ∴S△APE= AE•PE= x•= y• （6﹣y）= S△ABC= ， 解得y= 或 ，代入y= x﹣3得x=3 或5 ． 综上可得，BP的长为4 ﹣ 或3 或5 ． 【考点】圆的综合题 【解析】【分析】（1）过A作AF⊥BC于F，过P作PH⊥AB于H，根据等腰三角形的性质得到CF=AC•cos30°=6× =3 ，推出∠CEP=90°，求得CE=AC+AE=6+y，列方程PB+CP=x+ =6 ，于是得到y=﹣ x+3，根据BD=2BH= x＜6，即可得到结论；（2）根据已知条件得到PE= PC=2 =PB，于是得到射线CA与⊙P相切；（3）D在线段BA上和延长线上两种情况，根据三角形的面积列方程即可得到结果．本题考查了直线与圆的位置关系，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形面积的计算，求一次函数的解析式，证得PE⊥AC是解题的关键． ‎