2020_2021学年新教材高中数学第五章统计与概率5

2020_2021学年新教材高中数学第五章统计与概率5

‎5.4　统计与概率的应用 素养目标·定方向 课程标准 学法解读 利用统计和概率的知识解决日常生活和其他学科中的一些难题．‎ 通过统计与概率的应用，培养学生的数学建模、数据分析素养．‎ 必备知识·探新知 概率的应用 知识点 概率是描述随机事件发生可能性大小的度量，它已经渗透到人们的日常生活中，成为一个常用的词汇，任何事件的概率是0～1之间的一个数，它度量该事件发生的可能性．小概率事件(概率接近0)很少发生，而大概率事件(概率接近1)则经常发生．‎ 思考：用概率描述事物发生的可能性准确吗？‎ 提示：概率是对未发生事件的估计，单独对一个事件来说不一定准确；但对大量事件来说，概率是有很强的说服力的．‎ 关键能力·攻重难 题型探究 题型 游戏的公平性 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例　1某校高一年级(1)(2)班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目．(1)班的文娱委员利用分别标有数字1,2,3,4,5,6,7的两个转盘(如图所示)，设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜．该方案对双方是否公平？为什么？‎ - 5 -‎ ‎[分析]　分别计算游戏参与各方获胜的概率，若相等，则公平，否则就不公平．‎ ‎[解析]　该方案是公平的，理由如下：‎ 各种情况如表所示：‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎2‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎3‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 由表可知该游戏可能出现的情况共有12种，其中两数字之和为偶数的有6种，为奇数的也有6种，所以(1)班代表获胜的概率P1＝＝，(2)班代表获胜的概率P2＝＝，即P1＝P2，机会是均等的，所以该方案对双方是公平的．‎ 规律方法：游戏公平性的标准及判断方法 ‎(1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说获胜的可能性或概率是否相同．若相同，则规则公平，否则就是不公平的．‎ ‎(2)具体判断时，可以先求出按所给规则双方的获胜概率，再进行比较．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎1．玲玲和倩倩是一对好朋友，她俩都想去观看某明星的演唱会，可手里只有一张票，怎么办呢？玲玲对倩倩说：“我向空中抛2枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，就我去；如果落地后两面一样，就你去！”你认为这个游戏公平吗？‎ 答：__公平__．‎ ‎[解析]　两枚硬币落地共有四种结果：‎ 正，正；正，反；反，正；反，反．‎ 由此可见，她们两人得到门票的概率是相等的，所以公平．‎ 题型 概率在决策中的应用 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例2　设有外形完全相同的两个箱子，甲箱有99个白球和1个黑球，乙箱有1个白球和99个黑球，今随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球．问这球是从哪一个箱子中取出的．‎ ‎[解析]　甲箱中有99个白球和1个黑球，故随机地取出一球，得白球的可能性是；乙箱中有1个白球和99个黑球，从中任取一球，得到白球的可能性是 - 5 -‎ ‎，由此看出，这一白球从甲箱中抽取的概率比从乙箱中抽取的概率大得多．由极大似然法知，既然在一次抽样中抽到白球，可以认为是从概率大的箱子中抽取的．所以我们作出统计推断该白球是从甲箱中抽取的．‎ 规律方法：在一次试验中，概率大的事件比概率小的事件出现的可能性更大，这正是能够利用极大似然法来进行科学决策的理论依据．因此，在分析、解决有关实际问题时，要善于灵活地运用极大似然法这一思想方法来进行科学的决策．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎2．同时向上抛100个铜板，结果落地时100个铜板朝上的面都相同，你认为这100个铜板更可能是下面哪种情况(　A　)‎ A．这100个铜板两面是一样的 B．这100个铜板两面是不同的 C．这100个铜板中有50个两面是一样的，另外50个两面是不相同的 D．这100个铜板中有20个两面是一样的，另外80个两面是不相同的 ‎[解析]　落地时100个铜板朝上的面都相同，根据极大似然法可知，这100个铜板两面是一样的可能性较大．‎ 题型 统计与概率的应用 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例3　为迎接第32届东京奥运会，某班开展了一次“体育知识竞赛”，竞赛分初赛和决赛两个阶段进行，在初赛后，把成绩(满分为100分，分数均为整数)进行统计，制成如下的频率分布表：‎ 序号 分组(分数段)‎ 频数(人数)‎ 频率 ‎1‎ ‎[0,60)‎ a ‎0.1‎ ‎2‎ ‎[60,75)‎ ‎15‎ ‎0.3‎ ‎3‎ ‎[75,90)‎ ‎25‎ b ‎4‎ ‎[90,100]‎ c d 合计 ‎50‎ ‎1‎ ‎(1)求a，b，c，d的值；‎ ‎(2)若得分在[90,100]之间的有机会进入决赛，已知其中男女比例为2∶3，如果一等奖只有两名，求获得一等奖的全部为女生的概率；‎ ‎(3)求本次竞赛学生的平均分．‎ ‎[解析]　(1)a＝50×0.1＝5，b＝＝0.5，c＝50－5－15－25＝5，d＝1－0.1－0.3－0.5＝0.1．‎ ‎(2)由(1)知c＝5，则得分在[90,100]之间的有五名学生，分别记为男1，男2，女1，女2，女3．‎ - 5 -‎ 事件“一等奖只有两名”包含的所有事件为(男1，男2)，(男1，女1)，(男1，女2)，(男1，女3)，(男2，女1)，(男2，女2)，(男2，女3)，(女1，女2)，(女1，女3)，(女2，女3)，共10个基本事件；事件“获得一等奖的全部为女生”包含(女1，女2)，(女1，女3)，(女2，女3)，共3个基本事件．‎ 所以，获得一等奖的全部为女生的概率为P＝．‎ ‎(3)＝0.1×30＋0.3×67.5＋0.5×82.5＋0.1×95＝3＋20.25＋41.25＋9.5＝74．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎3．下表是从某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高资料统计表．(单位：cm)‎ 区间界限 ‎[122,126)‎ ‎[126,130)‎ ‎[130,134)‎ ‎[134,138)‎ ‎[138,142)‎ 人数 ‎5‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎22‎ ‎33‎ 区间界限 ‎[142,146)‎ ‎[146,150)‎ ‎[150,154)‎ ‎[154,158]‎ 人数 ‎20‎ ‎11‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎(1)画出频率分布直方图；‎ ‎(2)估计身高低于134 cm的人数占总人数的百分比．‎ ‎[分析]　(1)先根据表中数据求出各组的频率，再画频率分布直方图．‎ ‎(2)试估计500名12岁男孩中身高低于134 cm的频率．‎ ‎[解析]　(1)根据表中数据列表如下.‎ 分组 频数 频率 ‎[122,126)‎ ‎5‎ ‎0.04‎ ‎[126,130)‎ ‎8‎ ‎0.07‎ ‎[130,134)‎ ‎10‎ ‎0.08‎ ‎[134,138)‎ ‎22‎ ‎0.18‎ ‎[138,142)‎ ‎33‎ ‎0.28‎ ‎[142,146)‎ ‎20‎ ‎0.17‎ ‎[146,150)‎ ‎11‎ ‎0.09‎ ‎[150,154)‎ ‎6‎ ‎0.05‎ ‎[154,158]‎ ‎5‎ ‎0.04‎ 合计 ‎120‎ ‎1.00‎ 画出频率分布直方图，如图所示．‎ - 5 -‎ ‎(2)因为样本中身高低于134 cm的人数的频率为＝≈0.19，所以估计该校500名12岁男孩中身高低于134 cm的人数占总人数的19%．‎ 易错警示 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例4　元旦就要到了，某校欲举行联欢活动，每班派一人主持节目，高二(1)班的小明、小华和小丽实力相当，都争着要去，班主任决定用抽签的方式来决定，小强给小华出主意，要小华先抽，说先抽的机会大，你是怎么认为的？‎ ‎[错解]　这种说法正确．‎ ‎[辨析]　在解题过程中，很容易误认为先抽获奖的概率大，后抽获奖的概率小．实际上该题是一个简单随机抽样问题，号签“1”在每一次被抽到的概率都是相等的，不会因为抽取的顺序而改变．‎ ‎[正解]　取三张卡片，上面分别标有1,2,3，抽到“1”就表示中签．假设抽签的次序为甲、乙、丙，则可以把所有的情况填入下表：‎ ‎　　情况 人名　　‎ 一 二 三 四 五 六 甲 ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ 乙 ‎2‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎2‎ 丙 ‎3‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎1‎ 从上表可以看出：甲、乙、丙依次抽签，一共有六种情况，第一、二种情况，甲中签；第三、五种情况，乙中签；第四、六种情况，丙中签．由此可知，甲、乙、丙中签的可能性相同，即甲、乙、丙中签的机会是一样的，所以对于小华来说，先抽后抽，机会是均等的．‎ - 5 -‎