2020_2021学年新教材高中数学第六章平面向量初步6

2020_2021学年新教材高中数学第六章平面向量初步6

‎6.2.3　平面向量的坐标及其运算 素养目标·定方向 课程标准 学法解读 ‎1.理解平面向量的坐标的定义．‎ ‎2．掌握平面向量的运算与坐标的关系．‎ ‎3．掌握平面直角坐标系内两点之间的距离公式，中点坐标公式．‎ ‎4．掌握向量平行的坐标表示．‎ ‎1.通过对平面向量的坐标定义的理解，提升学生的数学抽象、直观想象素养．‎ ‎2．通过平面向量的坐标运算，提升学生的数学运算素养．‎ ‎3．通过学习平面直角坐标系内两点之间的距离公式、中点坐标公式，培养学生的数学运算素养．‎ ‎4．通过学习向量平行的坐标表示，培养学生的逻辑推理、数学运算素养．‎ 必备知识·探新知 知识点 平面向量的坐标 ‎ (1)向量的垂直：平面上的两个非零向量a，b，如果它们所在的直线互相垂直，则称向量a，b垂直，记作__a⊥b__.规定零向量与任意向量都__垂直__．‎ ‎(2)向量的正交分解：如果平面向量的基底{e1，e2}中，__e1⊥e2__，则称这组基底为正交基底，在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解．‎ ‎(3)向量的坐标：给定平面内两个相互垂直的__单位__向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝xe1＋ye2，则称__(x，y)__为向量a的坐标，记作a＝(x，y)．‎ 思考：(1)正交分解与平面向量基本定理有何联系？‎ ‎(2)平面中，若以e1的方向为x轴的正方向，以e2的方向为y轴的正方向，则e1，e2的坐标分别是什么？‎ ‎(3)向量的坐标就是其终点的坐标吗？‎ 提示：(1)正交分解是平面向量基本定理的特殊形式(基底垂直时)．‎ ‎(2)e1＝(1,0)，e2＝(0,1)．‎ ‎(3)不一定，以坐标原点O为始点的向量坐标就是该向量的终点坐标，如果向量不是以坐标原点为始点，则向量坐标就跟终点坐标不同，而对同一向量或相等向量(向量坐标相同)，若选择不同的始点坐标，则终点坐标也不同．‎ 知识点 平面上向量的运算与坐标的关系 - 8 -‎ 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则：‎ ‎(1)a＋b＝__(x1＋x2，y1＋y2)__，‎ ‎(2)a－b＝__(x1－x2，y1－y2)__，‎ ‎(3)λa＝__(λx1，λy1)__．‎ ‎(4)向量相等的充要条件：a＝b⇔__x1＝x2__且__y1＝y2__．‎ ‎(5)模长公式：|a|＝____．‎ 思考：(1)平面向量的加法坐标运算法则若写成“若a＝ (x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(y1＋y2，x1＋x2)”可以吗？‎ ‎(2)如果μ，v是两个实数，那么μa＋vb，μa－vb的坐标如何表示？‎ 提示：(1)不可以，两向量的横坐标之和作为和向量的横坐标，纵坐标之和作为和向量的纵坐标．‎ ‎(2)μa＋vb＝(μx1＋vx2，μy1＋vy2)，μa－vb＝(μx1－vx2，μy1－vy2)．‎ 知识点 平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式 如图所示，在平面直角坐标系中，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：‎ ‎(1)向量 ＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，向量＝(x2－x1，y2－y1)．‎ ‎(2)它们之间的距离：AB＝||＝‎ ‎____．‎ ‎(3)设AB的中点M(x，y)，则x＝____，y＝____．‎ 思考：“若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x1－x2，y1－y2)”对吗？‎ 提示：不对，应该用终点坐标减去始点坐标．‎ 知识点 向量平行的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔__x2y1＝x1y2__．‎ 思考：把x1y2－x2y1＝0写成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0可以吗？怎样记忆此公式的表达式？‎ 提示：写成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不对的，这一公式可简记为：纵横交错积相减．‎ - 8 -‎ 关键能力·攻重难 题型探究 题型 向量的坐标表示 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例1　(1)已知e1，e2是平面内两个相互垂直的单位向量，且a＝4e1－3e2，则向量a的坐标为(　D　)‎ A．(4e1,3e2) B．(4e1，－3e2)‎ C．(4,3) D．(4，－3)‎ ‎(2)已知O是坐标原点，点A在第二象限，||＝6，∠xOA＝150°，向量的坐标为__(－3，3)__．‎ ‎[分析]　(1)利用向量坐标的定义解决．‎ ‎(2)画出图形，用解三角形的方法求点的坐标，进而求向量的坐标．‎ ‎[解析]　(1)由向量坐标的定义可知，向量a的坐标为(4，－3)．‎ ‎(2)设点A(x，y)，则x＝||cos150°＝6cos150°＝－3，y＝||sin150°＝6sin150°＝3，即A(－3， 3)，所以＝(－3，3)．‎ 规律方法：求向量坐标的方法 ‎(1)定义法：将向量用两个相互垂直的单位向量e1，e2表示出来．‎ ‎(2)平移法：把向量的始点移至坐标原点，终点坐标即为向量的坐标．‎ ‎(3)求差法：先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎1．已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量，，，的坐标．‎ ‎[解析]　如图，正三角形ABC的边长为2，‎ - 8 -‎ 则顶点A(0,0)，B(2,0)，C(2cos60°，2sin60°)，‎ 所以C(1，)，D(，)，‎ 所以＝(2,0)，＝(1，)，‎ ＝(1－2，－0)＝(－1，)，‎ ＝(－2，－0)＝(－，)．‎ 题型 向量的坐标运算 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例2　(1)已知点A(0,1), B(3,2)，向量＝(－3，－3)，则向量＝(　B　)‎ A．(3,2) B．(－3，－2)‎ C．(－1，－2) D．(1,2)‎ ‎(2)已知M(3，－2)，N(－5，－1)，＝，则||＝____，点P的坐标为__(－1，－)__．‎ ‎[分析]　(1)由＝(－)计算．‎ ‎(2)先用模长公式求模，再设出点P的坐标，利用坐标及向量相等的条件构造方程组求解．‎ ‎[解析]　(1)因为A(0,1)，B(3,2)，所以＝(3,1)，‎ 所以＝(－)＝[(－3，－3)－(3,1)]＝(－6，－4)＝(－3，－2)．‎ ‎(2)设P(x，y)，＝(x－3，y＋2)，＝(－8,1)，‎ 所以||＝＝；‎ 所以＝＝(－8,1)＝(－4，)，‎ 所以所以 规律方法：平面向量坐标运算的技巧 ‎(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．‎ ‎(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．‎ - 8 -‎ ‎(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎2．若A，B，C三点的坐标分别为(2，－4)，(0,6)，(－8,10)，求＋2，－的坐标．‎ ‎[解析]　因为＝(－2,10)，＝(－8,4)，＝(－10,14)，‎ 所以＋2＝(－2,10)＋2(－8,4)‎ ‎＝(－2,10)＋(－16,8)＝(－18,18)，‎ －＝(－8,4)－(－10,14)‎ ‎＝(－8,4)－(－5,7)＝(－3，－3)．‎ 题型 向量共线的坐标表示 ‎┃┃典例剖析__■‎ 角度1　共线向量的判断 ‎　典例3　已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？‎ ‎[解析]　＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)．‎ ＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)．‎ 方法一：∵(－2)×(－6)＝3×4，且(－2)×4＜0，‎ ‎∴与共线且方向相反．‎ 方法二：∵＝－2，∴与共线且方向相反．‎ 规律方法：此类题目应充分利用“若b＝λa(λ∈R)，则b∥a”或向量共线坐标的条件进行判断，特别是利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎3．已知A，B，C三点坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且＝，＝，求证：∥．‎ ‎[解析]　设点E，F的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．依题意有，＝(2,2)，＝(－2,3)，＝(4，－1)．‎ - 8 -‎ ‎∵＝，∴(x1＋1，y1)＝(2,2)，‎ ‎∴∴ ‎∴点E的坐标为(－，)．‎ 同理点F的坐标为(，0)，∴＝(，－)．‎ 又×(－1)＝4×(－)．∴∥．‎ 角度2　利用向量共线求参数 ‎　典例4　已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？‎ ‎[解析]　方法一：ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．‎ 当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一的实数λ，‎ 使ka＋b＝λ(a－3b)，即(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)，‎ ‎∴解得k＝λ＝－．‎ ‎∴当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，‎ 这时ka＋b＝－(a－3b)．‎ ‎∵λ＝－＜0，∴ka＋b与a－3b反向．‎ 方法二：由方法一知ka＋b＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(10，－4)．‎ ‎∵ka＋b与a－3b平行，‎ ‎∴(k－3)×(－4)＝10(2k＋2)，解得k＝－．‎ 此时ka＋b＝(－－3，－＋2)＝(－，)＝－(a－3b)．‎ ‎∴当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且反向．‎ 规律方法：由向量共线求参数的值的方法 ‎┃┃对点训练__■‎ ‎4．设向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线？‎ ‎[解析]　方法一：若A，B，C三点共线，则，共线，则存在实数λ，使得＝λ - 8 -‎ ‎．‎ ‎∵＝－＝(4－k，－7)，‎ ＝－＝(10－k，k－12)，‎ ‎∴(4－k，－7)＝λ(10－k，k－12)，‎ ‎∴解得k＝－2，或k＝11．‎ ‎∴k＝－2或11时，A，B，C三点共线．‎ 方法二：若A，B，C三点共线，则，共线．‎ ‎∵＝－＝(4－k，－7)，‎ ＝－＝(10－k，k－12)，‎ ‎∴(4－k)(k－12)＝－7(10－k)，‎ ‎∴k2－9k－22＝0，解得k＝－2或k＝11．‎ ‎∴k＝－2或11时，A，B，C三点共线．‎ 易错警示 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例5　已知A(2,3)、B(5,4)、C(7,10)，＝＋λ(λ∈R)，点P在第三象限，求λ的取值范围．‎ ‎[错解]　因为＝＋λ＝(5,4)－(2,3)＋λ[(7，10)－(2,3)]＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)，‎ 又因为点P在第三象限，‎ ‎∴，解得λ＜－．‎ ‎[辨析]　混淆了向量的坐标与点P的坐标，导致错误．‎ ‎[正解]　设P(x，y)，则＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)．‎ 又因为＝＋λ＝(5,4)－(2,3)＋λ[(7,10)－(2,3)]＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)，‎ ‎∴(x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)，‎ 即，解得．‎ - 8 -‎ ‎∵点P在第三象限，∴，解得λ＜－1．‎ - 8 -‎