2020_2021学年新教材高中数学第五章统计与概率5

2020_2021学年新教材高中数学第五章统计与概率5

‎5.3.3　古典概型 素养目标·定方向 课程标准 学法解读 ‎1.理解古典概型的两个特征．‎ ‎2．掌握古典概型概率公式．‎ ‎3．能运用古典概型概率公式、互斥(对立)事件概率加法公式解决问题．‎ 通过本节课的学习，提升学生的数学建模、数学运算素养．‎ 必备知识·探新知 知识点 古典概型 一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是__有限的__，而且可以认为每个只包含一个样本点的事件发生的__可能性大小都相等__，则称这样的随机试验为古典概率模型，简称古典概型．‎ 知识点 古典概型的计算公式 试验的样本空间包含n个样本点，事件C包含有m个样本点，则事件C发生的概率为：P(C)＝____‎ 思考：若一次试验的结果所包含的基本事件的个数是有限个，则该试验是古典概型吗？‎ 提示：不是，还必须满足每个基本事件出现的可能性相等．‎ 关键能力·攻重难 题型探究 题型 样本点的计数 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例1　袋中有红、白、黄、黑四种颜色且大小相同的四个小球．‎ ‎(1)从中任取一球；(2)从中任取两球；(3)先后各取一球．‎ 写出上面试验的样本空间，并指出样本点的个数．‎ - 6 -‎ ‎[解析]　(1)这个试验的样本空间为{(红)，(白)，(黄)，(黑)}，样本点的个数是4．‎ ‎(2)一次取两球，如记(红，白)代表一次取出红球、白球两个球，则本试验的样本空间为{(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)}，样本点的个数是6．‎ ‎(3)先后取两球，如记(红，白)代表先取一红球，后取一白球．因此本试验的样本空间为{(红，白)，(白，红)，(红，黄)，(黄，红)，(红，黑)，(黑，红)，(白，黄)，(黄，白)，(白，黑)，(黑，白)，(黄，黑)，(黑，黄)}，样本点的个数是12．‎ 规律方法：列样本点的三种方法及注意点 ‎(1)列举法：一一列出所有样本点的结果，一般适用于较简单的问题．‎ ‎(2)列表法：一般适用于较简单的试验方法．‎ ‎(3)树状图法：一般适用于较复杂问题中样本点的个数的探求．‎ 注意点：取两个球时，有无顺序；依次取两球时，取球是否放回．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎1．(1)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，满足b＞a的样本点有(　A　)‎ A．3个　　　　　　 B．9个 C．10个 D．15个 ‎(2)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则基本事件的个数为__25__．‎ ‎[解析]　(1)把所取的数a，b写成数对(a，b)的形式，则样本点有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1), (4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，其中满足b＞a的有(1,2)，(1,3)，(2,3)共3个．‎ ‎(2)从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：‎ 基本事件总数为25．‎ 题型 古典概型的判断 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例2　袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球．‎ ‎(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作是一个基本事件概率模型，该模型是不是古典概型？‎ ‎(2)若按球的颜色为基本事件，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？‎ - 6 -‎ ‎[分析]　根据判断一个概率模型是否为古典概型的依据“有限性”和“等可能性”进行求解．‎ ‎[解析]　(1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号．故共有11种不同的摸法，又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型．‎ ‎(2)由于11个球共有3种颜色，因此共有3个基本事件，分别记为A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到红球”，‎ 因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为．‎ 因为白球有5个，所以一次摸球摸中白球的可能性为．‎ 同理可知，摸中黑球、红球的可能性均为．‎ 显然这三个基本事件出现的可能性不相等，‎ 所以以颜色为基本事件的概率模型不是古典概型．‎ 规律方法：(1)一个试验是否为古典概型，在于是否具有两个特征：有限性和等可能性．‎ ‎(2)并不是所有的试验都是古典概型，下列三类试验都不是古典概型；‎ ‎①基本事件个数有限，但非等可能．‎ ‎②基本事件个数无限，但等可能．‎ ‎③基本事件个数无限，也不等可能．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎2．下列问题中是古典概型的是(　D　)‎ A．种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率 B．掷一颗质地不均匀的骰子，求出现1点的概率 C．在区间[1,4]上任取一数，求这个数大于1.5的概率 D．同时掷两颗骰子，求向上的点数之和是5的概率 ‎[解析]　A、B两项中的基本事件的发生不是等可能的；C项中基本事件的个数是无数多个；D项中基本事件的发生是等可能的，且是有限个．‎ 题型 古典概型的概率 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例3　某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：‎ - 6 -‎ ‎①若xy≤3，则奖励玩具一个；‎ ‎②若xy≥8，则奖励水杯一个；‎ ‎③其余情况奖励饮料一瓶．‎ 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．‎ ‎(1)求小亮获得玩具的概率；‎ ‎(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．‎ ‎[解析]　用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4，1≤y≤4}一一对应．‎ 因为S中元素的个数是4×4＝16，‎ 所以样本点总数n＝16．‎ ‎(1)记“xy≤3”为事件A，‎ 则事件A包含的样本点共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)．‎ 所以P(A)＝，即小亮获得玩具的概率为．‎ ‎(2)记“xy≥8”为事件B，“3＜xy＜8”为事件C．‎ 则事件B包含的样本点共6个，‎ 即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，‎ 所以P(B)＝＝．‎ 事件C包含的样本点共5个，‎ 即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，‎ 所以P(C)＝，因为＞，‎ 所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．‎ 规律方法：求古典概型概率应按下面四个步骤进行：‎ ‎(1)仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意．‎ ‎(2)判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A．‎ ‎(3)分别求出样本点的总数n与所求事件A中所包含的样本点个数m．‎ ‎(4)利用公式P(A)＝求出事件A的概率．‎ - 6 -‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎3．某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．‎ ‎(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；‎ ‎(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各选1个，求这两个国家包括A1，但不包括B1的概率．‎ ‎[解析]　(1)由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的样本空间Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)}，共15个样本点．‎ 所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的样本点有：(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3个，则所求事件的概率为P＝＝．‎ ‎(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的样本点有：(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，共9个．‎ 包括A1但不包括B1的事件所包含的样本点有：(A1，B2)，(A1，B3)，共2个，则所求事件的概率为P＝．‎ 易错警示 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例4　某校从A、B、C、D四名同学中随机选派两人分别去参观甲、乙两个工厂，求学生A被选中的概率．‎ ‎[错解]　从A、B、C、D四名同学中随机选两人所得的样本点有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6个．‎ 记“学生A被选中”为事件M，事件M包含的样本点有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，共3个，∴P(M)＝＝．‎ ‎[辨析]　错解中忽视了从A、B、C、D四名学生中随机选两人分别去参观甲、乙两个工厂是有顺序的．‎ ‎[正解]　从A、B、C、D四名同学中随机选派两人分别去参加甲、乙两个工厂所得的样本空间Ω＝{(A，B)，(B，A)，(A，C)，(C，A)，(A，D)，(D，A)，(B，C)，(C，B)，(B，D)，(D，B)，(C，D)，(D，C)}，共12个样本点．‎ 记“学生A被选中”为事件M，事件M包含的样本点有：(A，B)，(B，A)，(A，C)，(C，‎ - 6 -‎ A)，(A，D)，(D，A)，共6个．‎ ‎∴P(M)＝＝．‎ - 6 -‎