2020九年级数学下册 第二十七章27

2020九年级数学下册 第二十七章27

课时作业(十一)‎ ‎[27.2.2　相似三角形的性质]　　　　　　　　　 　　　　　　　 　‎ ‎ 一、选择题 ‎1．2017·重庆若△ABC∽△DEF，且相似比为3∶2，则△ABC与△DEF的对应高的比为(　　)‎ A．3∶2 B．3∶5‎ C．9∶4 D．4∶9‎ ‎2．若两个相似三角形的对应中线的比为3∶4，则它们对应角平分线的比为(　　)‎ A．1∶16 B．16∶9 ‎ C．4∶3 D．3∶4‎ ‎3．已知△ABC∽△DEF，且它们的周长之比为1∶9，则△ABC与△DEF对应高的比为(　　)‎ A．1∶3 B．1∶9‎ C．1∶18 D．1∶81‎ ‎4．2017·连云港如图K－11－1，已知△ABC∽△DEF，AB∶DE＝1∶2，则下列等式中一定成立的是(　　)‎ 图K－11－1‎ A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ ‎5．2017·永州如图K－11－2，在△ABC中，D是AB边上的一点，若∠ACD＝∠B，AD＝1，AC＝2，△ADC的面积为1，则△BCD的面积为(　　)‎ 图K－11－2‎ 7‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ ‎6．如图K－11－3，在Rt△ABC中，AD为斜边BC上的高，若S△CAD＝3S△ABD，则AB∶AC等于(　　)‎ 图K－11－3‎ A．1∶3 B．1∶4 ‎ C．1∶ D．1∶2‎ ‎7．如图K－11－4，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，DE∥AC.若S△BDE∶S△CDE＝1∶3，则S△DOE∶S△AOC的值为(　　)‎ 图K－11－4‎ A. B. C. D. ‎8．如图K－11－5，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，点G在线段CD上，连接BG，DE，DE和FG相交于点O.设AB＝a，CG＝b(a>b)．下列结论：①△BCG≌△DCE；②BG⊥DE；③＝；④(a－b)2·S△EFO＝b2·S△DGO.其中正确的有(　　)‎ 图K－11－5‎ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 ‎9．2018·连云港如图K－11－6，△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，AD∶DB＝1∶2，则△ADE与△ABC的面积的比为________．‎ 图K－11－6‎ ‎10．若△ABC∽△A′B′C′，BC＝‎18 cm，CA＝‎15 cm，AB＝‎21 cm，△A′B′C′的最短边长为‎5 cm，则△A′B′C′的周长为________．‎ ‎11．如图K－11－7，在▱ABCD中，E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，若S△DEC＝3，则S△BCF＝________．‎ 7‎ 图K－11－7‎ ‎12．如图K－11－8，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，双曲线y＝(x>0)经过斜边OA的中点C，与另一条直角边交于点D.若S△OCD＝9，则S△OBD的值为________．‎ ‎　　　‎ 图K－11－8‎ 三、解答题 ‎13．如图K－11－9，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE和△EFC的面积分别为‎4 cm2和‎9 cm2，求△ABC的面积．‎ 图K－11－9‎ ‎14．如图K－11－10，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，△ADE∽△ACB，相似比为AD∶AC＝2∶3，△ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F.求AG与GF的比．‎ 图K－11－10‎ ‎15．如图K－11－11所示，在▱ABCD中，E是CD延长线上的一点，BE与AD交于点F，DE＝CD.‎ ‎(1)求证：△ABF∽△CEB；‎ ‎(2)若△DEF的面积为2，求▱ABCD的面积．‎ 7‎ 图K－11－11‎ ‎ 数形结合如图K－11－12，有一块三角形余料ABC，它的边BC＝‎120 mm，高AD＝‎80 mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长为多少毫米？‎ 小颖解得此题的答案为48 mm.小颖善于反思，她又提出了如下的问题：‎ ‎(1)如果原题中所要加工的零件是一个矩形，且此矩形由两个并排放置的正方形组成，如图K－11－13，此时，这个矩形零件的相邻两边长又分别是多少毫米？请你计算．‎ ‎(2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图K－11－14，这样，此矩形零件的相邻两边长就不能确定，但这个矩形的面积有最大值，求矩形面积达到这个最大值时矩形零件的相邻两边长．‎ 图K－11－12‎ 图K－11－13‎ 图K－11－14‎ 7‎ 详解详析 ‎[课堂达标]‎ ‎1．A　2.D ‎3．[解析] B　∵△ABC与△DEF的周长之比为1∶9，∴△ABC与△DEF的相似比为1∶9，‎ ‎∴△ABC与△DEF对应高的比为1∶9.‎ ‎4．[解析] D　已知△ABC∽△DEF，且相似比为1∶2，A选项中BC与DF不是对应边；B选项中的∠A和∠D是一对对应角，根据“相似三角形的对应角相等”可得∠A＝∠D；根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”可得△ABC与△DEF的面积比是1∶4；根据“相似三角形的周长比等于相似比”可得△ABC与△DEF的周长比是1∶2.因此A，B，C选项错误，D选项正确．‎ ‎5．[解析] C　∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，‎ ‎∴△ACD∽△ABC，∴＝，∴＝，‎ ‎∴AB＝4，∴＝()2，∴＝()2，∴S△ABC＝4，∴S△BCD＝S△ABC－S△ACD＝4－1＝3.‎ ‎6．[解析] C　由题意可得△CAD∽△ABD，∴＝＝，‎ ‎∴＝.‎ ‎7．[解析] D　∵S△BDE∶S△CDE＝1∶3，∴BE∶EC＝1∶3，∴BE∶BC＝1∶4.‎ ‎∵DE∥AC，∴＝＝，△DOE∽△COA，∴S△DOE∶S△AOC＝()2＝.‎ ‎8．[解析] B　①由BC＝DC，∠BCG＝∠DCE，CG＝CE，可证△BCG≌△DCE(SAS)，故①正确．‎ ‎②延长BG交DE于点H，由①可得∠CDE＝∠CBG.∵∠DGH＝∠BGC(对顶角相等)，‎ ‎∴∠DHG＝∠BCG＝90°，即BG⊥DE，故②正确．‎ ‎③由△DGO∽△DCE可得＝，故③不正确．‎ ‎④易知△EFO∽△DGO，等于相似比的平方，即＝＝，‎ ‎∴(a－b)2·S△EFO＝b2·S△DGO，故④正确．‎ ‎9．[答案] 1∶9‎ ‎[解析] ∵DE∥BC，AD∶DB＝1∶2，∴＝，△ADE∽△ABC，∴＝.故答案为1∶9.‎ ‎10．[答案] ‎‎18 cm ‎11．[答案] 4‎ ‎[解析] ∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD∥BC，AD＝BC，‎ ‎∴△DEF∽△BCF，‎ ‎∴＝，＝()2.‎ ‎∵E是边AD的中点，‎ ‎∴DE＝AD＝BC，‎ ‎∴＝＝，∴＝，‎ ‎∴S△DEF＝S△DEC＝1，＝，‎ ‎∴S△BCF＝4.‎ ‎12．[答案] 6‎ ‎[解析] 如图，过点C作CE⊥x轴，垂足为E.‎ 7‎ ‎∵在Rt△OAB中，∠OBA＝90°，‎ ‎∴CE∥AB.‎ ‎∵C为Rt△AOB的斜边OA的中点，‎ ‎∴CE为Rt△AOB的中位线，且S△OCD＝S△ACD，‎ ‎∴△OEC∽△OBA，且＝.‎ ‎∵双曲线所对应的函数解析式是y＝，‎ ‎∴S△OBD＝S△COE＝k，∴S△AOB＝4S△COE＝2k.‎ 由S△AOB－S△OBD＝S△OAD＝2S△OCD＝18，得2k－k＝18，解得k＝12，‎ ‎∴S△OBD＝k＝6.‎ 故答案为6.‎ ‎13．解：∵DE∥BC，EF∥AB，‎ ‎∴△ADE∽△ABC∽△EFC，‎ ‎∴＝＝，‎ ‎∴＝，则＝，‎ 故＝＝.‎ ‎∵S△ADE＝4 cm2，‎ ‎∴S△ABC＝25 cm2.‎ ‎14．解：∵△ADE∽△ACB，‎ ‎∴∠ADG＝∠C.‎ ‎∵AF是△ABC的角平分线，‎ ‎∴∠DAG＝∠FAC，‎ ‎∴△ADG∽△ACF，‎ ‎∴＝.‎ ‎∵＝，∴＝，‎ ‎∴AG∶GF＝2∶1.‎ ‎15．[解析] (1)由平行四边形的对角相等，对边平行，证得△ABF∽△CEB；(2)由△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可以求出△ABF和△BCE的面积，从而▱ABCD的面积可求．‎ 解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴∠A＝∠C，AB∥CD，‎ ‎∴∠ABF＝∠CEB，‎ ‎∴△ABF∽△CEB. ‎ ‎(2)∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD∥BC，AB綊CD，‎ ‎∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF.‎ 7‎ ‎∵DE＝CD，∴EC＝3DE，‎ ‎∴＝()2＝，＝()2＝.‎ ‎∵S△DEF＝2，‎ ‎∴S△CEB＝18，S△ABF＝8, ‎ ‎∴S四边形BCDF＝S△CEB－S△DEF＝16，‎ ‎∴S▱ABCD＝S四边形BCDF＋S△ABF＝16＋8＝24. ‎ ‎[素养提升]‎ 解：(1)∵四边形PNMQ是矩形，‎ ‎∴PN∥QM，‎ ‎∴△APN∽△ABC，‎ ‎∴＝.‎ 设PQ＝ED＝x mm，则PN＝2x mm，AE＝(80－x)mm，‎ ‎∴＝，‎ 解得x＝，则2x＝.‎ 这个矩形零件的相邻两边长分别是 mm和 mm.‎ ‎(2)∵四边形PNMQ是矩形，‎ ‎∴PN∥QM，‎ ‎∴△APN∽△ABC，‎ ‎∴＝.‎ 设PQ＝ED＝x mm，则AE＝(80－x)mm，‎ ‎∴＝，‎ 即PN＝·120＝，‎ ‎∴S矩形PNMQ＝PN·PQ＝·x＝－x2＋120x＝－(x－40)2＋2400，‎ ‎∴当x＝40时，S矩形PNMQ有最大值2400，‎ 此时PN＝＝60(mm)．‎ ‎∴矩形面积达到最大值时矩形零件的相邻两边长分别为40 mm，60 mm.‎ 7‎