2019年湖南省邵阳市新邵县中考数学一模试卷（含答案解析）

2019年湖南省邵阳市新邵县中考数学一模试卷（含答案解析）

2019 年湖南省邵阳市新邵县中考数学一模试卷 一．选择题（共 12 小题，满分 36 分，每小题 3 分） 1．下列说法错误的有（ ） ① 无限小数是无理数； ② 无理数都是带根号的数； ③ 只有正数才有平方根； ④ 3 的平方根是 ；[来源:学科网 ZXXK] ⑤ ﹣2 是（﹣2）2 的平方根． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 2．下列调查方式，你认为最合适的是（ ） A．了解北京市每天的流动人口数，采用抽样调查方式 B．旅客上飞机前的安检，采用抽样调查方式 C．了解北京市居民”一带一路”期间的出行方式，采用全面调查方式 D．日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，采用全面调查方式 3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，若直线 y＝2x+k 经过第一、二、三象限，则 k 的取值范围是（ ） A．k＞0 B．k＜0 C．k≤0 D．k≥0 5．将△ABC 纸片的一角沿 DE 向下翻折，使点 A 落在 BC 边上，且 DE∥BC，如图所示，则下列结 论不成立的是（ ） A．∠AED＝∠B B．AD：A B＝DE：BC C． D．△ADB 是等腰三角形 6．如图，已知 AB∥DE，∠ABC＝75°，∠CDE＝145°，则∠BCD 的值为（ ） A．20° B．30° C．40° D．70° 7．对角线长分别为 6 和 8 的菱形 ABCD 如图所示，点 O 为对角线的交点，过点 O 折叠菱形，使 B， B′两点重合，MN 是折痕．若 B'M＝1，则 CN 的长为（ ） A．7 B．6 C．5 D．4 8．二次函数 y＝ax2+bx+c（a、b、c 为常数，且 a≠0）的 x 与 y 的部分对应值如下表： 有下列结论： ① a＞0； ② 4a﹣2b+1＞0； ③ x＝﹣3 是关于 x 的一元二次方程 ax2+（b﹣1）x+c＝0 的一个根； ④ 当﹣3≤x≤n 时，ax2+（b﹣1）x+c≥0．其中正确结论的个数为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 9．甲、乙两人进行射击比赛，在相同条件下各射击 10 次，他们的平均成绩一样，而他们的方差分 别是 S 甲 2＝1.8，S 乙 2＝0.7，则成绩比较稳定的是（ ） A．甲稳定 B．乙稳定 C．一样稳定 D．无法比较 10．如图，将△ABC 沿角平分线 BD 所在直线翻折，顶点 A 恰好落在边 BC 的中点 E 处，AE＝BD， 那么 tan∠ABD＝（ ） A． B． C． D． 11．如图，△ABC 是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知 AB＝13，AC＝5，BC＝12，阴影部 分是△ABC 的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率 为（ ） A． B． C． D． 12．如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD、CE 分别是△ABC 的中线和角平分线．若∠CAD＝20°，则 ∠ACE 的度数是（ ） A．20° B．35° C．40° D．70° 二．填空题（共 8 小题，满分 24 分，每小题 3 分） 13．﹣2.5 的倒数是 ． 14．已知一个一元二次方程的一个根为 3，二次项系数是 1，则这个一元二次方程可以是 （只 需写出一个方程即可） 15．不等式﹣5x+15≥0 的解集为 ． 16．半径为 2 的圆被四等分切割成四条相等的弧，将四个弧首尾顺次相连拼成如图所示的恒星图型， 那么这个恒星的面积等于 ． 17．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，∠3＝55°，则∠1+∠2＝ ． 18．图 ① 是一个三角形，分别连接这个三角形的中点得到图 ② ；再分别连接图 ② 中间小三角形三边 的中点，得到图 ③ ．按上面的方法继续下去，第 n 个图形中有 个三角形（用含字母 n 的 代数式表示）． 19．如图，△ABO 中，AB⊥OB，OB＝ ，AB＝1，把△ABO 绕点 O 逆时针旋转 120°后得到△A1B1O， 则点 B1 的坐标为 ． 20．如图，在直角坐标系中，点 A 在 y 轴上，△OAB 是等腰直角三角形，斜边 OA＝2，将△OAB 绕 点 O 逆时针旋转 90°得△OA′B′，则点 B′的坐标为 ． 三．解答题（共 8 小题） 21．化简： ． 22．解方程： ． 23．阅读例题，回答问题： 例题：已知二次三项式：x2﹣4x+m 有一个因式是 x+3，求另一个因式以及 m 的值． 解：设另一个因式为 x+n，得 x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），则 x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n． ∴ ∴ ∴另一个因式为 x﹣7，m＝21．仿照以上方法解答下面的问题： 已知二次三项式 2x2+3x+k 有一个因式是 2x﹣5，求另一个因式以及 k 的值． 24．如图 1，在△ABC 中，∠A＝60°，∠CBM，∠BCN 是△ABC 的外角，∠CBM，∠BCN 的平分 线 BD，CD 交于点 D． （1）求∠BDC 的度数； （2）在图 1 中，过点 D 作 DE⊥BD，垂足为点 D，过点 B 作 BF∥DE 交 DC 的延长线于点 F（如 图 2），求证：BF 是∠ABC 的平分线． 25．如图，某测量小组为了测量山 BC 的高度，在地面 A 处测得山顶 B 的仰角 45°，然后沿着坡度 为 i＝1： 的坡面 AD 走了 200 米达到 D 处，此时在 D 处测得山顶 B 的仰角为 60°，求山高 BC（结果保留根号）． 26．商场某种商品平均每天可销售 30 件，每件盈利 50 元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当 的降价措施．经调査发现，每件商品每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件． （1）若某天该商品每件降价 3 元，当天可获利多少元？ （2）设每件商品降价 x 元，则商场日销售量增加 件，每件商品，盈利 元（用含 x 的代数式表示）； （3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到 2000 元？ 27．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件赢利 40 元，为了扩大销售，增加赢利， 尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价 1 元，商场平 均每天可多售出 2 件．求： （1） 若商场平均每天要赢利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？ 28．在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＜AC，M 是 BC 边的中点，MN⊥BC 交 AC 于点 N，动点 P 在 线段 BA 上以每秒 cm 的速度由点 B 向点 A 运动．同时，动点 Q 在线段 AC 上由点 N 向点 C 运 动，且始终保持 MQ⊥MP．一个点到终点时两个点同时停止运动，设运动的时间为 t 秒（t＞0）． （1）求证：△PBM∽△QNM． （2）若∠ABC＝60°，AB＝4 cm， ① 求动点 Q 的运动速度；[来源:学_科_网 Z_X_X_K] ② 设△APQ 的面积为 S（cm2），求 S 与 t 的等量关系式（不必写出 t 的取值范围）． 2019 年湖南省邵阳市新邵县中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共 12 小题，满分 36 分，每小题 3 分） 1．【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得无理数，可判断 ①② ；根据平方根，可判断 ③④⑤ ． 【解答】解： ① 无限循环小数是有理数，故 ① 错误； ② 无限不循环小数是无理数，故 ② 错误； ③ 0 的平方根是 0，故 ③ 错误； ④ 3 的平方根是± ，故 ④ 错误； ⑤ ± ，故 ⑤ 正确， 故选：D． 【点评】本题考查了无理数， 注意无理数是 无限不循环小数． 2．【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调 查结果比较近似． 【解答】解：A、了解北京市每天的流动人口数，采用抽样调查方式，正确； B、旅客上飞机前的安检，采用全面调查方式，故错误；[来源:学,科,网 Z,X,X,K] C、了解北京市居民”一带一路”期间的出行方式，抽样调查方式，故错误； D、日光灯管厂要检测一批灯管的使用 寿命，采用抽样调查方式，故错误； 故选：A． 【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象 的特征灵活选用，一般来说，对 于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时， 应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 3．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合各图形的特点求解． 【解答】解：A、只是中心对称图形，故本选项错误； B、只是中心对称，故本选项错误； C、只是轴对称图形不是中心对称图形，故本选项错误； D、即是轴对称图形也是中心对称图形，故本选项正确； 故选：D． 【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．判断轴对称图形的关键是寻找对称轴， 图形两部分沿对称轴折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转 180 度后与 原图形重合． 4．【分析】根据一次函数的性质求解． 【解答】解：一次函数 y＝2x+k 的图象经过第一、二、三象限， 那么 k＞0． 故选：A． 【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与 k、b 的关系．解答本题注意理解： 直线 y＝kx+b 所在的位置与 k、b 的符号有直接的关系．k＞0 时，直线必经过一、三象限；k＜0 时，直线必经过二、四象限；b＞0 时，直线与 y 轴正半轴相交；b＝0 时，直线过原点；b＜0 时， 直线与 y 轴负半轴相交． 5．【分析】根据题意可得 DE 是原三角形的中位线，利用折叠的性质解决，折叠前后图形的形状和 大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 【解答】解：A．∵DE∥BC，将△ABC 纸片的一角沿 DE 向下翻折，使点 A 落在 BC 边上， ∴∠A′DE＝∠EDA，∠EDA＝∠DAB，∠B＝∠A′DE， ∴∠EDA＝∠DAB＝∠B， ∴AD＝BD， 同理可得：AE＝EC， ∴A′B＝A′C， ∴∠AED＝∠B；故此选项正确； B．∵AD：AB＝1，DE：BC＝1：2，故此选项错误， C．∵ ＝ ；∴DE＝ BC，故此选项正确， D．△A′BC 中，A′B＝A′C，为等腰三角形；故此选项正确． 故选：B． 【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及等腰三角形的性质等知识，通过折叠变换考查学生 的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关 系． 6．【分析】延长 ED 交 BC 于 F，根据平行线的性质求出∠MFC＝∠B＝75°，求出∠FDC＝35°， 根据三角形外角性质得出∠C＝∠MFC﹣∠MDC，代入求出即可． 【解答】解：延长 ED 交 BC 于 F，如图所示： ∵AB∥DE，∠ABC＝75°， ∴∠MFC＝∠B＝75°， ∵∠CDE＝145°， ∴∠FDC＝180°﹣145°＝35°， ∴∠C＝∠MFC﹣∠MDC＝75°﹣35°＝40°， 故选：C． 【点评】本题考查了三角形外角性质，平行线的性质的应用，解此题的关键是求出∠MFC 的度数， 注意：两直线平行，同位角相等． 7．【分析】连接 AC、BD，如图，利用菱形的性质得 OC＝ AC＝3，OD＝ BD＝4，∠COD＝90 °，再利用勾股定理计算出 CD＝5，接着证明△OBM≌△ODN 得到 DN＝BM，然后根据折叠的 性质得 BM＝B'M＝1，从而有 DN＝1，于是计算 CD﹣DN 即可． 【解答】解：连接 AC、BD，如图， ∵点 O 为菱形 ABCD 的对角线的交点， ∴OC＝ AC＝3，OD＝ BD＝4，∠COD＝90°， 在 Rt△COD 中，CD＝ ＝5， ∵AB∥CD， ∴∠MBO＝∠NDO， 在△OBM 和△ODN 中 ， ∴△OBM≌△ODN， ∴DN＝BM， ∵过点 O 折叠菱形，使 B，B′两点重合，MN 是折痕， ∴BM＝B'M＝1， ∴DN＝1， ∴CN＝CD﹣DN＝5﹣1＝4． 故选：D． 【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和 大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了菱形的性质． 8．【分析】根据表中 x 与 y 的部分对应值画出抛物线的草图，由开口方向即可判断 ① ，由对称轴 x ＝﹣1 可得 b＝2a，代入 4a﹣2b+1 可判断 ② ，根据直线 y＝x 过点（﹣3，﹣3）、（n，n）可知 直线 y＝x 与抛物线 y＝ax2+bx+c 交于点（﹣3，﹣3）、（n，n），即可判断 ③ ，根据直线 y＝x 与抛物线在坐标系中位置可判断 ④ ． 【解答】解：根据表中 x 与 y 的部分对应值，画图如下： 由抛物线开口向上，得 a＞0，故 ① 正确； ∵抛物线对称轴为 x＝ ＝﹣1，即﹣ ＝﹣1， ∴b＝2a， 则 4a﹣2b+1＝4a﹣4a+1＝1＞0，故 ② 正确； ∵直线 y＝x 过点（﹣3，﹣3）、（n，n）， ∴直线 y＝x 与抛物线 y＝ax2+bx+c 交于点（﹣3，﹣3）、（n，n）， 即 x＝﹣3 和 x＝n 是方程 ax2+bx+c＝x，即 ax2+（b﹣1）x+c＝0 的两个实数根，故 ③ 正确； 由图象可知当﹣3≤x≤n 时，直线 y＝x 位于抛物线 y＝ax2+bx+c 上方， ∴x≥ax2+bx+c， ∴ax2+（b﹣1）x+c≤0，故 ④ 错误； 故选：B． 【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与直线交点、一元二次方程的解，根 据表中数据画出二次函数图象的草图是解题的前提，熟练掌握抛物线与直线、抛物线与一元二次 方程间的关系是解题的关键． 9．【分析】根据方差 的定义，方差越小数据越稳定． 【解答】解：∵S 甲 2＝1.8，S 乙 2＝0.7， ∴S 甲 2＞S 乙 2， ∴成绩比较稳定的是乙； 故选：B． 【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组 数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集 中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 10．【分析】作 CM⊥AE 交 AE 的延长线于 M，作 DN⊥AB 于 N，DF⊥BC 于 F，AE 与 BD 交于点 K，设 DK＝a，先证明 AD：CD＝1：2，再证明△BKE≌△CME，得 BK＝CM＝3a，根据 tan∠ABD ＝ 即可解决问题． 【解答】解：如图，作 CM⊥AE 交 AE 的延长线于 M，作 DN⊥AB 于 N，DF⊥BC 于 F，AE 与 BD 交于点 K，设 DK＝a． ∵AB＝BE＝EC， ∴BC＝2AB， ∵DB 平分∠ABC， ∴DN＝DF， ∵ ， ∴ ， ， ∵DB⊥AM，CM⊥AM， ∴DK∥CM， ∴ ，∠KBE＝∠MCE， ∴CM＝3a， 在△BKE 和△CME 中， ， ∴△BKE≌△CME， ∴BK＝CM＝3a， ∴BD＝AE＝4a， ∴AK＝KE＝2a， ∴tan∠ABD＝ ． 故选：B． 【点评】本题考查翻折变换、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题 的关键是发现 AD：DC＝1：2 这个条件，学会常用辅助线的添加方法，属于中考常考题型． 11．【分析】根据 AB＝13，AC ＝5，BC＝12，得出 AB2＝BC2+AC2，根据勾股定理的逆定理得到△ ABC 为直角三角形，于是得到△ABC 的内切圆半径，求得直角三角形的面积和圆的面积，即可得 到结论． 【解答】解：∵AB＝13，AC＝5，BC＝12，[来源:Z|xx|k.Com] ∴AB2＝BC2+AC2， ∴△ABC 为直角三角形， ∴△ABC 的内切圆半径＝ ＝2， ∴S△ABC＝ AC•BC＝ ×12×5＝30， S 圆＝4 π ， ∴小鸟落在花圃上的概率＝ ＝ ； 故选：B． 【点评】本题考查了几何概率，直角三角形内切圆的半径等于两直角边的和与斜边差的一半．同 时也考查了勾股定理的逆定理． 12．【分析】根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝∠CAD＝20°，∠ABC＝∠ACB，根据三角形内 角和定理求出∠ACB，根据角平分线的定义计算即可． 【解答】解：∵AB＝AC，AD 是△ABC 的中线， ∴∠BAD＝∠CAD＝20°，∠ABC＝∠ACB， ∴∠ACB＝ ＝70°， ∵CE 是△ABC 的角平分线， ∴∠ACE＝ ∠ACB＝35°， 故选：B． 【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的中线和角平分线以及三角形内角和定理，掌 握等腰三角形的三线合一是解题的关键． 二．填空题（共 8 小题，满分 24 分，每小题 3 分） 13．【分析】根据倒数的定义作答． 【解答】解：∵﹣2.5 是﹣ ，所以它的倒数是 ． 故答案为： ． 【点评】此题主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是 1，我们就称这两个数互为倒数． 14．【分析】以 3 和 0 为根写一个二次项系数是 1 的一元二次方程即可． 【解答】解：一元二次方程的一个根为 3，二次项系数是 1，这个一元二次方程可以为 x2﹣3x＝0． 故答案为 x2﹣3x＝0． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二 次方程的解．灵活应用整体代入的方法计算． 15．【分析】把 15 移到不等式右边，两边同时除以﹣5 即可． 【解答】解：﹣5x+15≥0， 移项，得：﹣5x≥﹣15， 系数化为 1 得：x≤3． 【点评】注意不等式两边同乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变． 16．【分析】恒星的面积＝边长为 4 的正方形面积﹣半径为 2 的圆的面积，依此列式计算即可． 【解答】解：如图． 2+2＝4， 恒星的面积＝4×4﹣4 π ＝16﹣4 π ． 故答案为 16﹣4 π ． 【点评】本题考查了扇形面积的计算，关键是理解恒星的面积＝边长为 4 的正方形面积﹣半径为 2 的圆的面积． 17．【分析】设围成的小三角形为△ABC，分别用∠1、∠2、∠3 表示 出△ABC 的三个内角，再利 用三角形的内角和等于 180°列式整理即可得解． 【解答】解：如图，∠BAC＝180°﹣90°﹣∠1＝90°﹣∠1， ∠ABC＝180°﹣60°﹣∠3＝120°﹣∠3， ∠ACB＝180°﹣60°﹣∠2＝120°﹣∠2，[来源:学*科*网] 在△ABC 中，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴90°﹣∠1+120°﹣∠3+120°﹣∠2＝180°， ∴∠1+∠2＝150°﹣∠3， ∵∠3＝55°， ∴∠1+∠2＝150°﹣55°＝95°． 故答案为：95°． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，用∠1、∠2、∠3 表示出△ABC 的三个内角是解题的 关键，也是本题的难点． 18．【分析】分别数出图 ① 、图 ② 、图 ③ 中的三角形的个数，可以发现：第几个图形中三角形的个 数就是 4 与几的乘积减去 3．如图 ③ 中三角形的个数为 9＝4×3﹣3．按照这个规律即可求出第 n 各图形中有多少三角形． 【解答】解：分别数出图 ① 、图 ② 、图 ③ 中的三角形的个数， 图 ① 中三角形的个数为 1＝4×1﹣3； 图 ② 中三角形的个数为 5＝4×2﹣3； 图 ③ 中三角形的个数为 9＝4×3﹣3； … 可以发现，第几个图形中三角形的个数就是 4 与几 的乘积减去 3． 按照这个规律，如果设图形的个数为 n，那么其中三角形的个数为 4n﹣3． 故答案为 4n﹣3． 【点评】此题主要考查学生对图形变化类这个知识点的理解和掌握，解答此类题目的关键是根据 题目中给出的图形，数据等条件，通过认真思考，归纳总结出规律，此类题目难度一般偏大，属 于难题． 19．【分析】过 B1 作 B1C⊥y 轴于 C，由把△ABO 绕点 O 逆时针旋转 120°后得到△A1B1O，根据 旋转的性质得到∠BOB1＝120°，OB1＝OB＝ ，解直角三角形即可得到结果． 【解答】解：过 B1 作 B1C⊥y 轴于 C， ∵把△ABO 绕点 O 逆时针旋转 120°后得到△A1B1O， ∴∠BOB1＝120°，OB1＝OB＝ ， ∵∠BOC＝90°， ∴∠COB1＝30°， ∴B1C＝ OB1＝ ，OC＝ ， ∴B1（﹣ ， ）． 故答案为：（﹣ ， ）． [来源:学科网 ZXXK] 【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊 性质来求出旋转后的点的坐标是解题的关键． 20．【分析】解题的关键是抓住旋转的三要素：旋转中心 O，旋转方逆时针，旋转角度 90°，求 B′ 坐标． 【解答】解：由已知 OA＝2，△OAB 是等腰直角三角形，得点 B 的坐标为（1，1），根据旋转中 心 O，旋转方向逆时针，旋转角度 90°，从而得 B′点坐标为（﹣1，1）． 【点评】本题涉及图形变换﹣﹣旋转，体现了新课标的精神，抓住旋转的三要素：旋转中心 O， 旋转方逆时针，旋转角度 90°，求得 B′坐标． 三．解答题（共 8 小题） 21．【分析】利用二次根式的乘法法则运算． 【解答】解：原式＝ ﹣ ﹣ ＝6﹣6 ﹣ ＝6﹣7 ． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式 的乘除运算，然后合并同类二次根式． 22．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分 式方程的解． 【解答】解：去分母得：2﹣2x﹣3x﹣3＝5， 移项合并得：﹣5x＝6， 解得：x＝﹣ ， 经检验 x＝﹣ 是分式方程的解． 【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整 式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 23．【分析】设另一个因式为（x+n），得 2x2+5x﹣k＝（2x﹣3）（x+n）＝2x2+（2n﹣3）x﹣3n， 可知 2n﹣3＝5，k＝3n，继而求出 n 和 k 的值及另一个因式． 【解答】解：设另一个因式为（x+n），得 2x2+3x﹣k＝（2x﹣5）（x+n）＝2x2+（2n﹣5）x﹣5n， 则 解得：n＝4，k＝20， 故另一个因式为（x+4），k 的值为 20．[来源:Z&xx&k.Com] 【点评】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分 解． 24．【分析】（1）依据三角形内角和定理可得，∠ABC+∠ACB＝120°，进而得出∠CBM+∠BCN ＝360°﹣120°＝240°，再根据∠CBM，∠BCN 的平分线 BD，CD 交于点 D，即可得到，∠DBC+ ∠BCD＝120°，即可得出∠D＝180°﹣120°＝60°； （2）依据 DE⊥BD，BF∥DE，即可得出∠2+∠3＝90°，∠1+∠4＝90°，再根据∠3＝∠4，可 得∠1＝∠2，进而得到 BF 是∠ABC 的平分线． 【解答】解：（1）∵△ABC 中，∠A＝60°， ∴∠ABC+∠ACB＝120°， 又∵∠ABM＝∠ACN＝180°， ∴∠CBM+∠BCN＝360°﹣120°＝240°， 又∵∠CBM，∠BCN 的平分线 BD，CD 交于点 D， ∴∠CBD＝ ∠CBM，∠BCD＝ ∠BCN， ∴△BCD 中，∠DBC+∠BCD＝ （∠CBM+∠BCN）＝ ×240°＝120°， ∴∠D＝180°﹣120°＝60°； （2）如图 2，∵DE⊥BD，BF∥DE， ∴∠DBF＝180°﹣90°＝90°， 即∠2+∠3＝90°， ∴∠1+∠4＝90°， 又∵∠3＝∠4， ∴∠1＝∠2， ∴BF 是∠ABC 的平分线． 【点评】本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等 于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 25．【分析】作 DF⊥AC 于 F．解直角三角形分别求出 BE、EC 即可解决问题； 【解答】解：作 DF⊥AC 于 F． [来源:学科网] ∵DF：AF＝1： ，AD＝200 米， ∴tan∠DAF＝ ， ∴∠DAF＝30°， ∴DF＝ AD＝ ×200＝100（米）， ∵∠DEC＝∠BCA＝∠DFC＝90°， ∴四边形 DECF 是矩形， ∴EC＝DF＝100（米）， ∵∠BAC＝45°，BC⊥AC， ∴∠ABC＝45°， ∵∠BDE＝60°，DE⊥BC， ∴∠DBE＝90°﹣∠BDE＝90°﹣60°＝30°， ∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBE＝45°﹣30°＝15°，∠BAD＝∠BAC﹣∠1＝45°﹣30°＝15°， ∴∠ABD＝∠BAD， ∴AD＝BD＝200（米）， 在 Rt△BDE 中，sin∠BDE＝ ， ∴BE＝BD•sin∠BDE＝200× ＝100 （米），[来源:学#科#网] ∴BC＝BE+EC＝100+100 （米）． 【点评】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题等知识，解题的关键是学会 添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 26．【分析】（1）根据“盈利＝单件利润×销售数量”即可得出结论； （2）根据“每件商品每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件”结合每件商品降价 x 元，即可 找出日销售量增加的件数，再根据原来没见盈利 50 元，即可得出降价后的每件盈利额； （3）根据“盈利＝单件利润×销售数量”即可列出关于 x 的一元二次方程，解之即可得出 x 的值， 再根据尽快减少库存即可确定 x 的值． 【解答】解：（1）当天盈利：（50﹣3）×（30+2×3）＝1692（元）． 答：若某天该商品每件降价 3 元，当天可获利 1692 元． （2）∵每件商品每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件， ∴设每件商品降价 x 元，则商场日销售量增加 2x 件，每件商品，盈利（50﹣x）元． 故答案为：2x；50﹣x． （3）根据题意，得：（50﹣x）×（30+2x）＝2000， 整理，得：x2﹣35x+250＝0， 解得：x1＝10，x2＝25， ∵商城要尽快减少库存， ∴x＝25． 答：每件商品降价 25 元时，商场日盈利可达到 2000 元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出一元二次方程（或算式）是解题的 关键． 27．【分析】（1）设每件衬衫降价 x 元，商场平均每天盈利 y 元，可得每件盈利 40﹣x 元，每天可 以售出 20+2x 件，进而得到商场平均每天盈利（40﹣x）（20+2x）元，依据方程 1200＝（40﹣x） （20+2x）即可得到 x 的值；[来源:学科网 ZXXK] （2）用“配方法”即可求出 y 的最大值，即可得到每件衬衫降价多少元． 【解答】解：（1）设每件衬衫降价 x 元，商场平均每天盈利 y 元， 则 y＝（40﹣x）（20+2x）＝800+80x﹣20x﹣2x2＝﹣2x2+60x+800， 当 y＝1200 时，1200＝（40﹣x）（20+2x）， 解得 x1＝10，x2＝20， 经检验，x1＝10，x2＝20 都是原方程的解，但要尽快减少库存， 所以 x＝20， 答：每件衬衫应降价 20 元； （2）∵y＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x﹣15）2+1250， ∴当 x＝15 时，y 的最大值为 1250， 答：当每件衬衫降价 15 元时，专卖店每天获得的利润最大，最大利润是 1250 元． 【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及“配方法”在求函数的最大值的问题中的应用，利 用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售的利润是解题关键． 28．【分析】（1）由条件可以得出∠BMP＝∠NMQ，∠B＝∠MNC，就可以得出△PBM∽△QNM； （2） ① 根据直角三角形的性质和中垂线的性质 BM、MN 的值，再由△PBM∽△QNM 就可以求 出 Q 的运动速度； ② 先由条件表示出 AN、A P 和 AQ，再由三角形的面积公式就可以求出其解析式． 【解答】解： （1）∵MQ⊥MP，MN⊥BC， ∴∠PMN+∠PMB＝90°，∠QMN+∠PMN＝90°， ∴∠PMB＝∠QMN． ∵∠B+∠C＝90°，∠C+∠MNQ＝90°， ∴∠B＝∠MNQ， ∴△PBM∽△QNM． （2）∵∠BAC＝90°，∠ABC＝60°， ∴BC＝2AB＝8 cm．AC＝12cm， ∵MN 垂直平分 BC， ∴BM＝CM＝4 cm． ∵∠C＝30°， ∴MN＝ CM＝4cm． ① 设 Q 点的运动速度为 v（cm/s）． ∵△PBM∽△QNM． ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴v＝1， 答：Q 点的运动速度为 1cm/s． ② ∵AN＝AC﹣NC＝12﹣8＝4cm， ∴AP＝4 ﹣ t，AQ＝4+t， ∴S＝ AP•AQ＝ （4 ﹣ t）（4+t）＝﹣ t2+8 ． 【点评】本题主要考查了相似三角形的综合问题，考查了相似三角形的判定与性质的运用，三角 形的面积公式的运用的运用，解答本题时求出△PBM∽△QNM 是关键．