高二数学上学期第一次联考试题（含解析）

高二数学上学期第一次联考试题（含解析）

‎【2019最新】精选高二数学上学期第一次联考试题（含解析）‎ 数学试卷 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 在数列中，，则（ ）‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 6‎ ‎【答案】C ‎【解析】由递推公式可得：‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 本题选择C选项.‎ ‎2. 已知向量，且，则（ ）‎ A. 0 B. 4 C. 2 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由向量平行的充要条件可得：，则：‎ ‎.....................‎ 本题选择B选项.‎ ‎3. 在中，角的对边分别为，且，则（ ）‎ - 14 - / 14‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】结合正弦定理：可得：.‎ 本题选择D选项.‎ ‎4. 将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由函数平移的性质可得：将函数的图象向左平移个单位后得到函数的解析式为：,‎ 即：.‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：对于三角函数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换其中的自变量x，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位和方向．另外，当两个函数的名称不同时，首先要将函数名称统一，其次要把ωx＋φ变换成，最后确定平移的单位并根据的符号确定平移的方向．‎ ‎5. 已知等差数列的公差为2，且，则（ ）‎ A. 12 B. 13 C. 14 D. 15‎ ‎【答案】C ‎【解析】由等差数列的通项公式可知：，‎ - 14 - / 14‎ 结合题意可得：，‎ 求解关于实数n的方程可得：.‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．‎ ‎(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．‎ ‎6. 向量满足，则与的夹角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意结合向量的运算法则可得：‎ 据此有：，‎ 设两向量的夹角为，则：，‎ 即与的夹角为.‎ 本题选择A选项.‎ ‎7. 在斜中，角的对边分别为，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可得：，‎ - 14 - / 14‎ 为斜三角形，则，据此有：，‎ 结合诱导公式有：.‎ 本题选择B选项.‎ ‎8. 已知，则的终边经过点（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由二倍角公式有：，‎ 结合角的范围可得：，‎ 设终边上的点的坐标为，‎ 结合三角函数的定义可得：，‎ 观察所给的选项，只有D选项满足题意.‎ 即的终边经过点.‎ 本题选择D选项.‎ ‎9. 在中，角的对边分别为，若，则 ‎（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】正弦定理角化边可得：，且，‎ 结合余弦定理有：，‎ 则：，‎ - 14 - / 14‎ 利用两角和差正余弦公式可得：‎ ‎.‎ 本题选择D选项. ‎ ‎10. 在等差数列中，，则的前13项和为（ ）‎ A. 91 B. 156 C. 182 D. 246‎ ‎【答案】C ‎【解析】由等差数列的通项公式有：，‎ 据此可得：，‎ 本题选择C选项.‎ ‎11. 已知函数的部分图象如图所示，则函数的一个零点可以是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】函数的周期为：，则：，‎ 当时，，‎ 则：，令可得：，‎ 函数的解析式为：，则函数：‎ 则函数的零点满足：，‎ 取可得函数的一个零点为：.‎ - 14 - / 14‎ 点睛：已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：‎ ‎(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.‎ ‎(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.‎ ‎12. 如图，为了测量河对岸两点间的距离，在河的这边测定，,‎ ‎，则两点间的距离是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意,，‎ 在△BCD中,∠DBC=45°,∴，‎ ‎∴，‎ 在△ABC中,由余弦定理AB2=AC2+BC2−2AC⋅BCcos45°,∴.‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：解三角形应用题的一般步骤 ‎(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．‎ ‎(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．‎ ‎(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．‎ - 14 - / 14‎ ‎(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 函数在上的最小值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】正切函数在给定的定义域内单调递增，‎ 则函数的最小值为.‎ ‎14. 的内角的对边分别为，若，则__________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】由三角形面积公式可得：，‎ 三角形中，据此可得：.‎ ‎15. 若，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图所示，由可知点P是线段AB上靠近点A的三等分点，则 结合题意可得：.‎ ‎16. 已知数列中，，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由递推公式可得：，即：，‎ 则数列是公差为的等差数列，且：，‎ - 14 - / 14‎ 据此可得：，‎ 据此可得数列的通项公式为：.‎ 点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 设的内角的所对的边长分别为，且.‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）当的面积为时，求的值.‎ ‎【答案】(1)；(2)17.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意结合正弦定理可得：；‎ ‎(2)由面积公式可得：，结合余弦定理：整理可得：.‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵，∴，‎ 由得 ‎（2）∵的面积，‎ ‎∴，‎ - 14 - / 14‎ 由余弦定理得，‎ ‎∴，‎ 解得.‎ 点睛：1．在解三角形的问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题时要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号，防止出现增解或漏解．‎ ‎2．正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，尤其是其变形应用时可相互转化．如a2＝b2＋c2－2bccos A可以转化为sin2 A＝sin2 B＋sin2 C－2sin Bsin Ccos A，利用这些变形可进行等式的化简与证明．‎ ‎18. 已知等差数列中，.‎ ‎（1）证明:数列是公差为的等差数列；‎ ‎（2）若在数列每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，求新数列的第41项.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2)31.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)结合题意可得数列的通项公式为：，则，据此计算可得：数列是公差为的等差数列. ‎ ‎(2)结合(1)中的结论计算可得新数列的公差为，利用等差数列通项公式可得：新数列的第41项是31.‎ 试题解析：‎ ‎（1）证明：设数列的公差为，‎ ‎∵，∴，得，‎ - 14 - / 14‎ ‎∴，‎ 设，则，‎ ‎∴，‎ 即数列是公差为的等差数列. ‎ ‎（2）解:由（1）得，‎ 设新数列为，其公差为，则，‎ ‎∴，得，‎ ‎∴.‎ ‎19. 已知向量，且与不共线.‎ ‎（1）设，证明：四边形为菱形；‎ ‎（2）当两个向量与的模相等时，求角.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2)或.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)结合可知四边形为平行四边形，由可知边长相等，则四边形为菱形. ‎ ‎(2)利用平面向量模的计算公式得到关于的三角方程，解方程可得：或.‎ 试题解析：‎ ‎（1）证明：∵，∴四边形为平行四边形，‎ 又，∴四边形为菱形. ‎ ‎（2）解：由题意，得.又由（1）知 ，，‎ - 14 - / 14‎ ‎∴，∴，得.又，∴或.‎ ‎20. 已知函数.‎ ‎（1）当时，若，求的值；‎ ‎（2）若，求函数在区间上的值域.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)化简函数的解析式，首先求得，然后结合齐次式的特征结合同角三角函数基本关系可得=.‎ ‎(2)整理函数的解析式为：，结合三角函数的性质可得函数在区间上的值域是.‎ 试题解析：‎ ‎，‎ ‎（1）∵，∴，‎ ‎∵，∴，‎ 即，‎ ‎∴ ‎ ‎.‎ ‎（2）当时，可知，‎ 当时，，‎ 当时，取最小值；当时，取最大值，‎ - 14 - / 14‎ ‎∴函数在区间上的值域为.‎ ‎21. 在中，内角的对边分别为，向量，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)向量垂直的充要条件为数量积等于0，结合平面向量数量积的坐标运算得到三角方程，求解三角方程可得；‎ ‎(2)利用正弦定理边化角，然后结合(1)中的结论得到三角恒等式，整理计算可得.‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵，∴，则.‎ ‎∵，∴，∴，‎ 则，又，∴，则.‎ ‎（2）∵，∴.‎ ‎∵，∴，‎ 即.‎ ‎∵上式不成立，即，‎ ‎∴.‎ ‎22. 如图，在中，角所对的边分别为，且，为边上一点.‎ - 14 - / 14‎ ‎（1）若，求的长.‎ ‎（2）若是的中点，且，求的最短边的边长.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】试题分析：由正弦定理可得 .（1）由 ；（2）由 ，又 ‎ ‎ ，易得 最短边的边长.‎ 试题解析：，‎ ‎∴，‎ 即.‎ ‎（1），∴，则，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎∴.‎ ‎（2）由得，‎ ‎，∴，‎ 则，得 ‎∴，则，‎ 且，‎ ‎∴，∴.‎ - 14 - / 14‎ 解得，∴.‎ ‎∴的最短边的边长.‎ 考点：1、解三角形；2、三角恒等变换.‎ - 14 - / 14‎