【数学】2018届一轮复习人教A版椭圆学案

【数学】2018届一轮复习人教A版椭圆学案

‎1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质．‎ ‎2．了解圆锥曲线的简单应用．‎ ‎3．理解数形结合的思想．‎ 知识点一　椭圆的定义 ‎ 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于______________的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．‎ 答案 常数(大于|F‎1F2|)‎ ‎1．判断正误 ‎(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(　　)‎ ‎(2)动点P到两定点A(0，－2)，B(0,2)的距离之和为4，则点P的轨迹是椭圆．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)×‎ ‎2．已知椭圆＋＝1上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为________．‎ 解析：⇒|PF2|＝7.‎ 答案：7‎ 知识点二　椭圆的标准方程和几何性质 ‎ 标准方程 ＋＝1‎ ‎(a>b>0)‎ ＋＝1‎ ‎(a>b>0)‎ 图形 性质 范围 ‎－a≤x≤a ‎－b≤y≤b ‎－b≤x≤b ‎－a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)‎ B1(0，－b)，B2(0，b)‎ A1(0，－a)，A2(0，a)‎ B1(－b,0)，B2(b,0)‎ 轴 长轴A‎1A2的长为____；短轴B1B2的长为____‎ 焦距 ‎|F‎1F2|＝____‎ 离心率 e＝∈______‎ a，b，c 的关系 c2＝______‎ 答案 ‎2a‎　2b　‎2c　(0,1)　a2－b2‎ ‎3．(选修1－1P42第2(1)题改编)已知椭圆＋＝1的焦点在x轴上，焦距为4，则m等于(　　)‎ A．8 B．7‎ C．6 D．5‎ 解析：因为椭圆＋＝1的焦点在x轴上．所以解得6b>0)．因为椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率e＝‎ eq f(1,2)，所以解得故椭圆的标准方程为＋＝1.‎ 答案：＋＝1‎ ‎5．(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．‎ 解析：由题意可得B(－a，)，C(a，)，F(c,0)，则由∠BFC＝90°得·＝(c＋a，－)·(c－a，－)＝c2－a2＋b2＝0，化简得c＝a，则离心率e＝＝＝.‎ 答案： 热点一　椭圆的定义及标准方程 ‎ ‎【例1】　(1)过椭圆4x2＋y2＝1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，则A与B和椭圆的另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为(　　)‎ A．2 B．4‎ C．8 D．2 ‎(2)一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F‎1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为(　　)‎ A.＋＝1 B．＋＝1‎ C.＋＝1 D．＋＝1‎ ‎【解析】　(1)因为椭圆方程为4x2＋y2＝1，所以a＝1.根据椭圆的定义，知△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝‎ ‎4a‎＝4.‎ ‎(2)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由点P(2，)在椭圆上知＋＝1.又|PF1|，|F‎1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F‎1F2|，即‎2a＝2×‎2c，＝，又c2＝a2－b2，联立得a2＝8，b2＝6，故椭圆方程为＋＝1.‎ ‎【答案】　(1)B　(2)A ‎【总结反思】‎ ‎(1)椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|；通过整体代入可求其面积等．‎ ‎(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式.‎ ‎ ‎ ‎(1)已知动圆M过定点A(－3,0)并且与定圆B：(x－3)2＋y2＝64相切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)‎ A.＋＝1 B.＋＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ ‎(2)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥.若△PF‎1F2的面积为9，则b＝________.‎ 解析：(1)因为点A在圆B内，所以过点A的圆与圆B只能内切，因为B(3,0)，所以|AB|＝6.所以|BM|＝8－|MA|，即|MB|＋|MA|＝8>|AB|，所以动点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，设其方程为＋＝1，又a＝4，c＝3，b2＝7，所以方程为＋＝1.故选A.‎ ‎(2)由题意知|PF1|＋|PF2|＝‎2a，⊥，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F‎1F2|2＝‎4c2，所以(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝‎4c2，所以2|PF1||PF2|＝‎4a2－‎4c2＝4b2.所以|PF1||PF2|＝2b2，所以S△PF‎1F2＝|PF1||PF2|＝×2b2＝b2＝9.所以b＝3.‎ 答案：(1)A　(2)3‎ 热点二　椭圆的几何性质 ‎ 考向1　求椭圆的离心率(或取值范围)‎ ‎【例2】　(2016·新课标全国卷Ⅲ)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】　设E(0，m)，则直线AE的方程为－＋＝1，由题意可知M(－c，m－)，(0，)和B(a,0)三点共线，则＝，化简得a＝‎3c，则C的离心率e＝＝.‎ ‎【答案】　A 考向2　根据椭圆的性质求值或范围 ‎【例3】　(1)(2017·安庆模拟)P为椭圆＋＝1上任意一点，EF为圆N：(x－1)2＋y2＝4的任意一条直径，则·的取值范围是(　　)‎ A．[0,15] B．[5,15]‎ C．[5,21] D．(5,21)‎ ‎(2)已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上的点A满足AF2⊥F‎1F2，若点P是椭圆C上的动点，则·的最大值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】　(1)·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝2－2＝||2－4，因为a－c≤||≤a＋c，即3≤||≤5，所以·的范围是[5,21]．‎ ‎(2)由椭圆方程知c＝＝1，‎ 所以F1(－1,0)，F2(1,0)．‎ 因为椭圆C上点A满足AF2⊥F‎1F2，则可设A(1，y0)，代入椭圆方程可得y＝，所以y0＝±‎ eq f(3,2).‎ 设P(x1，y1)，则＝(x1＋1，y1)，＝(0，y0)，‎ 所以·＝y1y0.‎ 因为点P是椭圆C上的动点，‎ 所以－≤y1≤，·的最大值为.‎ ‎【答案】　(1)C　(2)B ‎【总结反思】‎ ‎(1)椭圆的几何性质常涉及一些不等关系，例如对椭圆＋＝1(a>b>0)，有－a≤x≤a，－b≤y≤b,0b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. ‎(2)(2017·安徽淮南一模)椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P在椭圆C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：(1)不妨设左焦点为F2，连接AF2，BF2，由椭圆的对称性可知四边形AFBF2‎ 的对角线互相平分，所以四边形AFBF2为平行四边形，所以|AF|＋|BF|＝|BF2|＋|BF|＝‎2a＝4，所以a＝2，设M(0，b)，所以d＝b≥⇒b≥1，所以e＝＝≤＝，又e∈(0,1)，所以e∈.‎ ‎(2)由题意，得A1(－2,0)，A2(2,0)，设P(x0，y0)(x0≠±2)，则有＋＝1，整理，得＝－.因为k＝，k＝，所以k·k＝＝－，又k∈[－2，－1]，所以k∈，故选C. ‎ 答案：(1)A　(2)C 热点三　直线与椭圆的位置关系 ‎ ‎【例4】　(2016·四川卷)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P(，)在椭圆E上．‎ ‎(Ⅰ)求椭圆E的方程；‎ ‎(Ⅱ)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|.‎ ‎【解】　(Ⅰ)由已知，a＝2b.‎ 又椭圆＋＝1(a>b>0)过点P(，)，故＋＝1，解得b2＝1，所以椭圆E的方程是＋y2＝1.‎ ‎(Ⅱ)证明：设直线l的方程为y＝x＋m(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由方程组得x2＋2mx＋‎2m2‎－2＝0，①‎ 方程①的判别式为Δ＝4(2－m2)，由Δ>0，即2－m2>0，解得－b>0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直．直线MF1与C的另一个交点为N.‎ ‎(1)若直线MN的斜率为，求椭圆C的离心率；‎ ‎(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.‎ 解：(1)根据a2－b2＝c2及题设知M，＝，得2b2＝‎3ac.‎ 将b2＝a2－c2代入2b2＝‎3ac，解得＝，＝－2(舍去)．‎ 故椭圆C的离心率为.‎ ‎(2)设直线MN与y轴的交点为D，‎ 由题意，原点O为F‎1F2的中点，MF2∥y轴，‎ 所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，故＝4，即b2＝‎4a.①‎ 由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.‎ 设N(x1，y1)，由题意知y1<0，则 即 代入C的方程，得＋＝1.②‎ 将①及a2－b2＝c2代入②得＋＝1.‎ 解得a＝7，b2＝‎4a＝28，‎ 故a＝7，b＝2.‎ ‎1．涉及椭圆定义的题目，要抓住“椭圆上任一点到两焦点距离之和等于‎2a”这个特征．充分利用定义．“回到定义中去”是一个很重要的思想方法．‎ ‎2．求椭圆方程的方法 ‎(1)直接法：根据所给条件判断焦点位置，并确定a，b的值，按标准方程写出方程，其中难点为确定a，b的值．‎ ‎(2)待定系数法：先设出字母系数的方程，根据条件建立字母系数的方程并求解，然后代入所设方程而得方程，其中难点是建立字母系数的方程．‎ ‎3．离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点．这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围．无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表达，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法．‎ ‎4．直线与圆锥曲线的关系问题，一般可以直接联立方程，把方程组转化成关于x或y的一元二次方程，利用根与系数的关系及弦长公式求解．‎