2018届二轮复习推理与数列的结合:类比与归纳学案(全国通用)

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文档介绍

2018届二轮复习推理与数列的结合:类比与归纳学案(全国通用)

专题32 推理与数列的结合:类比与归纳 ‎ 考纲要求:‎ ‎1.了解数列的概念(定义、数列的项、通项公式、前n项和)‎ ‎ 2.了解数列中与推理相关的思想与方法;‎ ‎ 3.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.‎ 基础知识回顾:‎ ‎1.函数的迭代:设是的函数,对任意,记,则称函数为的次迭代;对于一些特殊的函数解析式,其通常具备某些特征(特征与)有关。在处理此类问题时,要注意观察解析式中项的次数,式子结构以及系数的特点,以便于从具体例子中寻找到规律,得到的通式 ‎2.周期性:若寻找的规律呈现周期性,则可利用函数周期性(或数列周期性)的特点求出某项或分组(按周期分组)进行求和。‎ ‎3.数列的通项公式(求和公式):从数列所给的条件中,很难利用所学知识进行变形推导,从而可以考虑利用条件先求出几项,然后找到规律,猜出数列的通项公式(求和公式)‎ ‎4.数阵:由实数排成一定形状的阵型(如三角形,矩形等),来确定数阵的规律及求某项。对于数阵首先要明确“行”与“列”的概念。横向为“行”,纵向为“列”,在项的表示上通常用二维角标进行表示,其中代表行,代表列。例如:表示第行第列。在题目中经常会出现关于某个数的位置问题,解决的方法通常为先抓住选取数的特点,确定所求数的序号,再根据每行元素个数的特点(数列的通项),求出前行共含有的项的个数,从而确定该数位于第几行,然后再根据数之间的规律确定是该行的第几个,即列。‎ 应用举例:‎ 类型一:与通项公式有关的推理 例1:蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂巢可以近似的看作是一个正六边形,如图为一组蜂巢的截面图,其中第一个图有1个蜂巢,第二个图有7个蜂巢,第三个图有19个蜂巢,按此规律,第六幅图的蜂巢总数为( )‎ A. B. C. D. ‎ 答案:C 类型二、与数列的性质有关的推理 例2:若数列是等比数列,且,则数列也是等比数列.若数列是等差数列,可类比得到关于等差数列的一个性质为( )‎ A. 是等差数列 B. 是等差数列 C. 是等差数列 D. 是等差数列 思路:考虑在等比数列中,很多性质为应用二三级运算(乘除法,乘方开方),到了等差数列中,很多性质可类比为一二级运算(加减,数乘)。在本题中所给等比数列用到了乘法与开方,所以可联想到类比等差数列,乘法运算对应类比为加法,开方运算对应类比为除法。所以该性质为:若数列是等差数列,则是等差数列。这个命题是正确的,证明如下:‎ 证明:设等差数列的公差为,则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 为等差数列 ‎ ‎ ‎ 为公差是的等差数列 答案:B 例3:对于大于1的自然数的三次幂可用奇数进行一下方式的“分裂”:,,,…,仿此,若的“分裂数”中有一个是,则的值是( )‎ A. B. C. D. ‎ 答案:C 类型三、与前n项和数阵有关的推理 例4:将正整数排成数阵(如图所示),则数表中的数字出现在( )‎ A. 第44行第78列 B. 第45行第78列 C. 第44行第77列 D. 第45行第77列 思路:从数阵中可发现每一行的末尾均为一个完全平方数,即第行最后一个数为,所以考虑离较近的完全平方数:,所以位于第行,因为是第44行的最后一个数,所以为第45行中第个数,即位于第45行第78列 ‎ 答案:B 例5:从1开始的自然数按如图所示的规则排列,现有一个三角形框架在图中上下或左右移动,使每次恰有九个数在此三角形内,则这九个数的和可以为( )‎ A. B. C. D. ‎ 答案:C 例6:把正整数按一定的规律排成了如图所示的三角形数阵,设是位于这个三角形数中从上往下数第行,从左往右数第列的数,如 若,则 ( )‎ A. 111 B. ‎110 C. 108 D. 105‎ 思路:观察三角形数阵可知奇数行中的数均为奇数,偶数行均为偶数。所以可知一定在奇数行中,先确定的值,因为奇数构成首项为1,公差为2的等差数列,所以第个奇数,因为,所以可得为第个奇数,考虑前面的奇数共占了多少行。由第行由个奇数可得:前个奇数行内奇数共有,前个奇数行内奇数共有,而,所以在第个奇数行中,即,再考虑的值,第31个奇数行最后一个奇数为,因为,所以为第32个奇数行的第47个数,即,从而 ‎ 答案:C 方法、规律归纳:‎ ‎(一)归纳推理:‎ ‎1、归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳),简言之,归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理 ‎2、处理归纳推理的常见思路:‎ ‎(1)利用已知条件,多列出(或计算出)几个例子,以便于寻找规律 ‎(2)在寻找规律的过程中,要注意观察哪些地方是不变的(形成通式的结构),哪些地方是变化的(找到变量),如何变化(变量变化的规律)‎ ‎(3)由具体例子可将猜想的规律推广到一般情形,看是否符合题意 实战演练:‎ ‎1.【安徽省六安市第一中学2018届高三上学期第三次月考】观察下列各式: ,…,则 ( )‎ A. 199 B. ‎123 C. 76 D. 28‎ ‎【答案】B ‎ 即a10+b10=123,. 故选B ‎2.在数列中, ,若,则的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 ‎ 可以看出四个循环一次故 故选B ‎3.已知数列满足, ,则数列的前40项的和为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 减求和,用于一个等差一个等比乘在一起求和的数列。‎ ‎4.【福建省三明市第一中学2018届高三上学期期中考试】已知为数列的前项和,且,则数列的通项公式为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎ ‎ ‎5.【天津市静海县六校2018届高三上学期期中联考】若数列中, ,则的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】, 即奇数项偶数项构成的数列均为常数列,又 ‎ 故选C ‎6.数列中,已知对任意正整数,有,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】当时, ,当时, ,所以,则 , ,选B.‎ ‎7.各项均为正数的等比数列的前项和为,若,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由等比数列的性质可得成等比 ,故选D.‎ ‎8.【陕西省西安市长安区第一中学2017届高三4月模拟考试】等差数列中, 是一个与无关的常数,则该常数的可能值的集合为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 考点:等差数列的通项公式.‎ ‎9.【浙江省嘉兴市第一中学2017届高三适应性考试】已知数列中的任意一项都为正实数,且对任意,有,如果,则的值为( )‎ A. B. ‎2 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】令,则,所以数列是以为首项,公比为的等比数列,从而,因为,所以.‎ ‎10.【湖南省株洲市2017届高三一模】已知数列的前项和为,,,则 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D
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