华东师大版八年级上册专题练习题含答案勾股定理

华东师大版八年级上册专题练习题含答案勾股定理

1. 在△ABC 中，∠B=90°，∠A、∠B、∠C 对边分别为 a、b、c，则 a、b、c 的关系是（ ） A．c2=a2+b2 B．a2=（b+c）（b-c ） C．a2=c2-b2 D．b=a+c 知识点：勾股定理 知识点的描述：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，要正确的理解勾股定理 的条件和结论，要明确斜边和直角边在定理中的区别。 答案：B 详细解答：在△ABC 中，∠B=90°，∠B 的对边 b 是斜边，所以 b2=a2+c2。a2=（b +c）（b-c ） 可变形为 b2=a2+c2，所以选 B 1. 下列说法正确的是（ ） A.若 a、b、c 是△ABC 的三边，则 a2＋b2＝c2； B.若 a、b、c 是 Rt△ABC 的三边，则 a2＋b2＝c2； C.若 a、b、c 是 Rt△ABC 的三边， 90A ，则 a2＋b2＝c2； D.若 a、b、c 是 Rt△ABC 的三边， 90C ，则 c2-b2＝a2。 答案：D 详细解答：A 是错的，缺少直角条件； B 也是错的，不明确哪一边是斜边，无法判断哪两边的平方和等于哪一边的平方； C 也是错的，既然 90A ，那么 a 边才是斜边，应该是 a2＝c2＋b2 D 才是正确的， 90C ，那么 c2＝a2+b2，即 c2-b2＝a2. 2.小明量得家里新购置的彩电屏幕的长为 58cm,宽为 46cm,则这台电视机的尺寸（即电视机 屏幕的对角线长）是 ( ) A. 9 英寸(23cm) B. 21 英寸(54cm) C. 29 英寸(74cm) D.34 英寸(87cm) 知识点：勾股定理的应用 知识点的描述：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。求某一条线段的长度的 一般方法是：把这条线段放在一个直角三角形中，作为三角形的边来求。 答案：C 详细解答： 如答图，四边形 ABCD 表示彩电屏幕，其长为 58cm，即 BC=58cm；宽为 46cm，即 AB=46cm。 在直角三角形 ABC 中，BC=58cm,AB=46cm,那么 AC2=BC2+AB2=572+462=5365，所以 AC=74cm，选 C。 2.两只小鼹鼠在地下挖洞，一只朝前方挖，每分钟挖 8cm，另一只朝左挖，每分钟挖 6cm， 10 分钟之后两只小鼹鼠相距( ) A. 50cm B. 80cm C. 100cm D. 140cm 答案：C 详细解答： 如答图，一只小鼹鼠从 B 挖到 C，BC=8cm×10=80cm， 另一只小鼹鼠从 B 挖到 A，BA=6cm×10=60cm， 由题意可知两个方向互相垂直， 所以 AC2=AB2+BC2=602+802=10000，所以 AC=100 cm 3.已知一个三角形三个内角的比是 1:2:1,则它的三条边的比是( ) A.1:1: 2 B.1:1:2 C.1: 2 : 3 D.1:4:1 知识点：等腰直角三角形、含 30°角的直角三角形 知识点的描述：要求知道等腰直角三角形、含 30°角的直角三角形的三边的比的来历，最 好能记住三边之比。 答案：A 详细解答： 三角形三个内角的比是 1:2:1，可以知道三个角分别为 45°、90°、 45°， 如答图，假设 AB=1，那么 BC=1，AC2=AB2+BC2=1+1=2，所以 AC= 2 ，三条边 的比是 1:1: 2 。 3．已知△ABC 中，∠A= 1 2 ∠C= 1 3 ∠B，则它的三条边之比为（ ）． A．1：1： 2 B．1： 3 ：2 C．1： 2 ： 3 D．1：4：1 答案：B 详细解答：△ABC 中，∠A= 1 2 ∠C= 1 3 ∠B，可求出∠A=30°，∠ C=60°，∠B=90°，画出答图。 假设 BC=1，那么 AC=2，根据勾股定理得 AB2=AC2-BC2=4-1=3，所 以 AB= 3 ，因此三边的比为 1： 3 ：2。 4．直角三角形中，斜边的平方等于两直角边乘积的 2 倍，这个三角形的最小锐角为（ ） （A）15° （B）30° （C）45° （D）不能确定 知识点：勾股定理在数学中的应用 知识点的描述：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。 答案：C 详细解答：由勾股定理得AC2=BC2+AB2，又已知斜边的平方等于两直角边乘积的2倍，即AC2=2AB ×BC，所以 BC2+AB2=2AB×BC，得（BC-AB）2=0，所以 BC=AB，所以三角形 ABC 是等腰直角 三角形，最小锐角为 45°。 4.如图所示,Rt△ABC 中,BC 是斜边,将△ABP 绕点 A 逆时针旋转后,能与△ACP′重合,如果 AP=3,那么 PP′长为（ ） （A）4 （B）5 （C）6 （D） 18 答案：D 详细解答：由题意“将△ABP 绕点 A 逆时针旋转后,能与△ACP′重合”知，△ABP≌△ACP′， 所以∠CAP′=∠BAP，AP′=AP，又因为∠BAC=90°，所以∠PAP′=90°，AP′=AP=3， A B C 在直角三角形 APP′中，PP′2= AP′2+AP2=32+32=18，所以 PP′= 18 5．如图，数轴上的点 A 所表示的数为 x，则 x 的值为（ ） A． 2 B．- 2 C．2 D．-2 知识点：认识长度为无理数的线段 知识点的描述：在直角三角形中利用勾股定理，可以作出长度为无理数的线段 答案：B 详细解答：在 Rt△BCD 中，CB=BD=1，那么 CD2=CB2+BD2=2，所以 CD= 2 ，CA=CD= 2 ，因此 点 A 所表示的数为- 2 5. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为 1，则网格上的三角形 ABC 中，边长为无 理数的边数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 答案：C 详细解答：在 Rt△ABD 中，AD=5，BD=1，那么 AB2=AD2+BD2=26，AB= 26 在 Rt△BCE 中，BE=3，CE=2，那么 BC2=BE2+CE2=13，BC= 13 在 Rt△ACF 中，AF=4，CF=3，那么 AC2=AF2+CF2=25，AC=5 所以边长为无理数的边是：AB 和 BC 6．已知一个直角三角形的两边长分别为 3 和 4，则第三边长是（ ） A．5 B．25 C． 7 D．5 或 7 知识点：两解问题 知识点的描述：在直角三角形中应用勾股定理要注意哪一边是斜边。 答案：D 详细解答：如果两直角边长分别为 3 和 4，那么第三边就是斜边，其长度为 5；如果 4 是斜 边，3 是直角边，那么另一条直角边为 7 。 6.△ABC 中,若 AB=15,AC=13,高 AD=12,则△ABC 的周长是( ) A.42 B.32 C.42 或 32 D.37 或 33 答案：C 详细解答：若高 AD 在△ABC 内部，如图， 在 Rt△ABD 中，AB=15，AD=12，那么 BD2=AB2-AD2=81，BD=9 在 Rt△ACD 中，AC=13，AD=12，那么 CD2=AC2-AD2=25，CD=5 所以 BC=BD+CD=9+5=14，这时周长为 15+13+14=42 若高 AD 在△ABC 外部，如图， 在 Rt△ABD 中，AB=15，AD=12，那么 BD2=AB2-AD2=81，BD=9 在 Rt△ACD 中，AC=13，AD=12，那么 CD2=AC2-AD2=25，CD=5 所以 BC=BD-CD=9-5=4，这时周长为 15+13+4=32 所以选 C. 7．如图，有两棵树，一棵高 8m，另一棵高 2 m，两树相距 8 m，一只小鸟从一棵树的树梢 飞到另一棵树的树梢，至少飞行（ ） （A）6 m （B）8 m （C）10 m （D）18 m 知识点：构建直角三角形、勾股定理、实际问题 知识点的描述：在解决实际问题时，常常要构建直角三角形，构成勾股定理的模型，应用勾 股定理解决实际问题 答案：C 详细解答：把实际问题转化为数学问题，如图,AB 表示高 8m 的树，CD 表示高 2 m 的树，小 鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢的最短路径为 AD，过 D 点作 AB 的垂线，构成直角三 角形 AED。 在直角三角形 AED 中，DE=BC=8 m，AE=AB-EB=AB-CD=6m，从而 AD2=AE2+DE2=62+82=100，所以 AB=10 m。 7.一根高 9 米的旗杆在离地 4 米高处折断，折断处仍相连，此时在 3.9 米远处玩耍的身高为 1 米的小明是否有危险 ( ) A．没有危险 B．有危险 C．可能有危险 D．无法判断 答案：B 详细解答：把实际问题转化为数学问题，如答图， AB 代表原旗杆的位置，AF 表示折段的旗杆，CD 表示小明，如果 AD 小于等于 AF，就有危险， 反之就没有危险。过 D 点作 AB 的垂线，构成直角三角形 AED。 在直角三角形 AED 中，DE=BC=3.9，AE=AB-EB=AB-CD=3，从而 AD2=AE2+DE2=32+3.92=24.21。 由题意知 AF=5，所以 AF2=25，显然 AD 小于 AF，有危险。 8．如图，AB 为一棵大树，在树上距地面 10m 的 D 处有两只猴子，它们同时发现地面上的 C 处有一筐水果，一只猴子从 D 处上爬到树顶 A 处，利用拉在 A 处的滑绳 AC，滑到 C 处， A D. 另一只猴子从 D 处滑到地面 B，再由 B 跑到 C，已知两猴子所经路程都是 15m，求树高 AB （ ）. A．10 m B．11 m C．12 m D．15 m 知识点：方程的思想、勾股定理的实际应用问题 知识点的描述：在解决几何中的有关计算问题时，经常要用到代数中的方程，要形成用方程 解决几何问题的思想意识。 答案：C 详细解答：设 AD=x 米，则 AB 为（10+x）米，AC 为（15-x）米，BC 为 5 米， ∴(x+10)2+52=(15-x)2，解得 x=2，∴10+x=12（米） 所以树高 12 m 。 8.小刚准备测量河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边 1.5m 远的水底,竹竿高出水面 0.5m, 把竹竿的顶端拉向岸边,如果竿顶和岸边的水平面刚好相齐,那么河水的深度为( ). A. 2m B. 2.5m C. 2.25m D. 3m 答案：A 详细解答：画出如图所示的示意图，AB 是竖直的竹竿，CB 是拉向岸边的 竹竿，CD 是水面， 由题意知：CD=1.5 m，AD=0.5 m,假设河水的深度 BD 为 x m，那么竹竿的 高就是（x+0.5）m，所以 CB=（x+0.5）m，直角三角形 BDC 中应用勾股定 理得（x+0.5）2=x2+1.52，解得 x=2，所以河水的深度为 2m 9.已知：如图，△ABC 中，BC=4，∠A=45°，∠B=60°，那么 AC=（ ） （A） 24 （B）4 （C）6 （D） 12 知识点：转化的数学思想、勾股定理 知识点的描述：在解决有关求线段长度问题时，常通过添加辅助线，把一般三角形的问题转 化为直角三角形的问题，利用勾股定理解决问题。 答案：A （2 6 也行） 分析：由于本题中的△ABC 不是直角三角形，所以根据题设只能直接求得∠ACB=75°，添置 AB 边上的高这条辅助线，就可以得到直角三角形，在直角三角形中就可以求得一些线段的 长度 详细解答：作 AB 边的高 CD,如图， 在 Rt△BDC 中，∠B=60°，那么∠BCD=90°-60°=30°， BC=4， 那么 BD=2,利用勾股定理可求出 CD= 12 ； 在 Rt△ADC 中，∠A=45°，那么∠ACD=90°-45°=45°，所以 AD=CD= 12 ， 那么利用勾股定理得 AC2=AD2+CD2=24,所以 AC= 24 ； 小结：可见解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。请你思考本题还可 以作其它辅助线吗？为什么？(注意利用特殊角) 9.已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。四边形 ABCD 的面积为（ ）。 （A）20 （B） 310 （C） 36 （D）16 答案：C(目前初二的学生还没学到二次根式的化简，做到 2 48 - 12 就可以了) 分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结 AC，或延长 AB、DC 交于 F，或延长 AD、BC 交于 E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。 不妨几种方法都尝试一下，你会有很多收获的。 详细解答：延长 AD、BC 交于 E。 ∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。 ∴AE=2AB=8，CE=2CD=4， C A BD A B C D E ∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE= 48 = 34 。 ∵DE2= CE2-CD2=42-22=12，∴DE= 12 = 32 。 ∴S 四边形 ABCD=S△ABE-S△CDE= 2 1 AB·BE- 2 1 CD·DE= 2 1 ×4× 48 - 2 1 ×2· 12 =2 48 - 12 = 36 小结：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形 的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。另外作辅助线要充分考虑利用条件，一般情 况下是不能把特殊角分割的。 10. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边 AC=6cm,BC=8cm,现将直角边 AC 沿直线 AD 折 叠，使它落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，则 CD 等于（ ） A. cm2 B. cm3 C. cm4 D. cm5 知识点：“折叠”问题、勾股定理的应用 知识点的描述：“折叠”问题是数学中常见问题之一．解决问题的关键就是一定要搞清是怎 样折叠的，尤其是原来的线段和角折叠到哪去了，理清已知和未知，找到能联系二者的直角 三角形，利用勾股定理问题就迎刃而解。 答案：B 详细解答：假设 CD=xcm，那么 DE=CD=xcm，BD=（8-x）cm。 因为直角三角形纸片的两直角边 AC=6cm,BC=8cm,所以利用勾股定理可得斜边 AB=10cm， 又 AE=AC=6cm,所以 EB=AB-AE=4(cm), 在 Rt△EBD 中，EB=4cm，DE=xcm，BD=（8-x）cm ，那么（8-x）2=x2+42， 解得 x=3 所以 CD= cm3 10.如下图，折叠长方形(四个角都是直角，对边相等)的一边 AD，点 D 落在 BC 边的点 F 处， 已知 AB＝8cm，AD＝10cm，求 EC 的长( )． （A）3cm （B）4cm （C）5cm （D）6cm 答案：A 详细解答： 由折叠的过程可知．△AFE≌△ADE、AD＝AF，DE＝EF，在 Rt△ABF 中，AB＝8cm，AF＝10cm， A B E DC BF2＝AF2－AB2＝102－82＝62，BF＝6，FC＝BC－BF＝10－6＝4cm，如果设 CE＝xcm，DE＝(8－ x)cm，所以 EF＝(8－x)cm． 在 Rt△CEF 中，EF2＝CF2＋CE2，用这个关系建立方程:(8－x)2＝42＋x2 解得 x＝3，即 CE 的长为 3cm．