中考数学复习提纲
初中数学总复习提纲
第一章 实数
★重点★ 实数的有关概念及性质，实数的运算
☆内容提要☆
一、 重要概念
实数
无理数(无限不循环小数)
有理数
正分数
负分数
正整数如:
0
负整数
(有限或无限循环小数)
整数
分数
正无理数
负无理数
1．数的分类及概念
正数
0
实数
负数
说明：“分类”的原则：1）相称（不重、不漏）2）有标准
2．非负数：正实数与零的统称。（表为：x≥0）
常见的非负数有：
│a│
(a≥0)
(a为一切实数)
性质：若干个非负数的和为0，则每个非负担数均为0。
3．倒数： ①定义:如果两个数的乘积为1.那么这两个数互为倒数.
②性质：A.a≠1/a（a≠±1）;B.1/a中，a≠0;C.0＜a＜1时1/a＞1;a＞1时，1/a＜1;D.积为1。
4．相反数： ①定义:如果两个数的和为0.那么这两个数互为相反数.
②求相反数的公式: a的相反数为-a.
③性质：A.a≠0时，a≠-a;B.a与-a在数轴上的位置关于原点对称;C.两个相反数的和为0,商为-1。
5．数轴：
①定义（“三要素”）:具有原点、正方向、单位长度的直线叫数轴.
②作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.所有的有理数可以在数轴上表示出来，所有的无理数如都可以在数轴上表示出来，故数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，数轴上的点与实数是一一对应关系。
6．奇数、偶数、质数、合数（正整数—自然数）
定义及表示：
奇数：2n-1
偶数：2n（n为自然数）
7．绝对值：
①代数定义：正数的绝对值是它的本身，0的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数。
a(a≥0)
-a(a<0)
│a│=
几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。
②│a│≥0,符号“││”是“非负数”的标志;
③数a的绝对值只有一个;
④处理任何类型的题目，只要其中有“││”出现，其关键一步是去掉“││”符号。
11．科学记数法：N=（1≤a＜10，n是整数）。（1）当N是大于1的数时，n＝N的整数位数减去1。如：.(2) 当N是小于1的数时，n＝N的第一个有效数字前0的个数.如:
12 有效数字：从左边第一个不是0的数字起到右边的所有数字止，所有的数字叫这个数的有效数字。如：0.004015,有效数字是4,0,1,5.一共四个.又如:0.00401500,有效数字是4,0,1,5,0,0,一共六个.
一、 实数的运算
1 运算法则（加、减、乘、除、乘方、开方）
2 运算定律（五个:加法交换律,加法结合律; 乘法交换律,乘法结合律,乘法对加法的分配律）
3 运算顺序：高级运算到低级运算，同级运算从左到右（如5÷×5），有括号时由小中大。
4 逆运算：加法与减法互为逆运算，乘法与除法互为逆运算，乘方与开方互为逆运算。
二、 应用举例（略）
附：典型例题
1． 已知：a、b、x在数轴上的位置如下图，求证：│x-a│+│x-b│=b-a.
a
x
b
2.已知：a-b=-2且ab<0，（a≠0，b≠0），判断a、b的符号。
第二章 代数式
★重点★代数式的有关概念及性质，代数式的运算
☆内容提要☆
一 重要概念
单项式
多项式
整式
分式式式样
有理式
无理式
代数式
分类：
1.代数式、有理式、无理式
用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独的一个数或字母也是代数式。
有根号的代数式叫无理式，如：、。没有根号的代数式叫有理式。如：a、。整式和分式统称为有理式。
2.整式和分式
分母中含有字母的代数式叫做分式。如：、。
分母中不含有字母的代数式叫做整式。
整式和分式统称有理式，或含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。
3.单项式与多项式
数字和字母之间，字母和字母之间只有乘除运算的代数式叫单项式。如：，。单独的一个数或字母也是单项式。如：、0、-3。
几个单项式的和或差，叫做多项式。
说明：①根据除式中有否字母，将整式和分式区别开;根据整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。②进行代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。划分代数式类别时，是从外形来看。如，
=x,=│x│等。
4.系数与指数
区别与联系：①从位置上看;②从表示的意义上看
5.同类项及其合并
条件：①字母相同;②相同字母的指数相同
合并依据：乘法分配律
6.根式
表示方根的代数式叫做根式。
含有关于字母开方运算的代数式叫做无理式。
注意：①从外形上判断;②区别：、是根式，但不是无理式，是无理数。
7.各种方根的概念
1 平方根:如果一个数的平方等于另一个数,那么这个数叫另一个数的平方根.即:
2 算术平方根：一个正数的平方等于另一个数，这个正数叫另个一数的算术平方根。a的算术根记作：
⑴正数a的正的平方根（[a≥0—与“平方根”的区别]）;
⑵算术平方根与绝对值
① 联系：都是非负数，=│a│
②区别：│a│中，a为一切实数;中，a为非负数。
3 立方根：一个数的立方等于另一个数，这个数叫另个一数的立方根。如：
8.同类二次根式、最简二次根式、分母有理化
化为最简二次根式以后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
满足条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式;②被开方数中不含有开得尽方的因数或因式。
把分母中的根号划去叫做分母有理化。
a·a…a=
n个
9.指数
⑴ (—幂，乘方运算)
① a＞0时，＞0;②a＜0时，＞0（n是偶数），＜0（n是奇数）
⑵ 零指数公式：=1（a≠0）
负整指数公式：
一、 运算定律、性质、法则
1．分式的加、减、乘、除、乘方、开方法则
2．分式的性质
⑴基本性质：=（m≠0）
⑵符号法则：
⑶繁分式：①定义;②化简方法（两种）
3．整式运算法则（去括号、添括号法则）
4．幂的运算性质：
①同底数幂相乘：·=;②同底数幂相除：÷=;③幂的乘方：=;④积的乘方：=;⑤分式乘方：（注意：凡是公式都可以倒用）
技巧：
5．乘法法则：⑴单×单;⑵单×多;⑶多×多。
6．乘法公式：
（a+b）（a-b）=
(a±b)= （注意：凡是公式都可以倒用）
7．除法法则：⑴单÷单;⑵多÷单。
8．因式分解：⑴定义;⑵方法：A.提公因式法;B.公式法;C.十字相乘法;D.分组分解法;E.求根公式法。
9．算术根的性质：
＝;;(a≥0,b≥0);(a≥0,b＞0)（注意：凡是公式都可以倒用）
10．根式运算法则：⑴加法法则（合并同类二次根式）;⑵乘、除法法则;⑶分母有理化：A.;B.
;C..
第三章 方程（组）
★重点★一元一次、一元二次方程，二元一次方程组的解法;方程的有关应用题（特别是行程、工程问题）
☆ 内容提要☆
一、 基本概念
1．方程、方程的解（根）、方程组的解、解方程（组）
1． 分类：
二次方程
一次方程
高次方程
整式方程
分式方程
有理方程
无理方程
方程
二、 解方程的依据—等式性质
1．a=b←→a+c=b+c
2．a=b←→ac=bc (c≠0)
三、 解法
1．一元一次方程的解法：去分母→去括号→移项→合并同类项→
系数化成1→解。
2． 二元一次方程组的解法：⑴基本思想：“消元”⑵方法：①代入法
②加减法
四、 一元二次方程
1．定义及一般形式：
如何将一个方程化为一元二次方程的一般形式?
答:去分母→去括号→移项→合并同类项→降幂排列.
2．解法：⑴配方法（注意步骤和推导求根公式）
(2)公式法：
(3)因式分解法（特征：左边=0）
说明：用配方法和公式法，都要先将方程化为标准形式才行。对于不规则的方程首先要化成一元二次方程的标准形式。
3．根的判别式：
当＞0时,一元二次方程有两个不相等的实数根.反之亦然.
当=0时,一元二次方程有两个相等的实数根. 反之亦然.
当＜0时,一元二次方程没有的实数根. 反之亦然.
4．根与系数顶的关系：
逆定理：若，则以为根的一元二次方程是：。
5．常用等式：
一、 分式方程
1．分式方程
⑴定义：分母中含未知数的方程，叫分式方程。如：
去分母
分式方程
整式方程
⑵基本思想：
如何将分式方程化为整式方程？答：去分母→去括号→移项→合并同类项→降幂排列.
⑶基本解法：①去分母法②换元法（如，）
⑷验根：将求出的未知数的值代入公分母，若分母不为0则是原方程的根，否则，是原方程的增根。
（5）解分式方程的步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→降幂排列→求出未知数的值→检验
六、无理方程
乘方
无理方程
有理方程
⑴定义
⑵基本思想：
⑶基本解法：①乘方法（注意技巧！！）②换元法（例，）⑷验根及方法
七、一元一次不等式（组）
★重点★一元一次不等式的性质、解法
1． 定义：a＞b、a＜b、a≥b、a≤b、a≠b。
2． 一元一次不等式：ax＞b、ax＜b、ax≥b、ax≤b、ax≠b(a≠0)。
3． 一元一次不等式组：
4． 不等式的性质：⑴a>b←→a+c>b+c
⑵a>b←→ac>bc(c>0)
⑶a>b←→ac
b,b>c→a>c
⑸a>b,c>d→a+c>b+d.
5．一元一次不等式的解、解一元一次不等式
6．一元一次不等式组的解、解一元一次不等式组（在数轴上表示解集）
7．应用举例（略）
八 列方程（组）解应用题
㈠概述
列方程（组）解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。其具体步骤是：
⑴审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。
⑵设元（未知数）。①直接未知数②
间接未知数（往往二者兼用）。一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。
⑶用含未知数的代数式表示相关的量。
⑷寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。一般地，未知数个数与方程个数是相同的。
⑸解方程及检验。
⑹答案。
综上所述，列方程（组）解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程），在由数学问题的解决而导致实际问题的解决（列方程、写出答案）。在这个过程中，列方程起着承前启后的作用。因此，列方程是解应用题的关键。
㈡常用的相等关系
1． 行程问题（匀速运动）
A
B
C
甲→
←乙
相遇处
基本关系：s=vt
⑴相遇问题(同时出发)：
+=;
A
B
C
甲→
乙→
（相遇处）
⑵追及问题（同时出发）：
乙→
A
B
(甲)→
（相遇处）
若甲出发t小时后，乙才出发，而后在B处追上甲，则
⑶水中航行：;
2． 配料问题：溶质=溶液×浓度
溶液=溶质+溶剂
3．增长率问题：分析方法:逐年逐月的分析方法.
4．工程问题：基本关系：工作量=工作效率×工作时间（常把工作量看着单位“1”）。
5．几何问题：常用勾股定理，几何体的面积、体积公式，相似形及有关比例性质等。
㈢注意语言与解析式的互化
如，“多”、“少”、“增加了”、“增加为（到）”、“同时”、“扩大为（到）”、“扩大了”、……
又如，一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数为：100a+10b+c，而不是abc。
㈣注意从语言叙述中写出相等关系。
如，x比y大3，则x-y=3或x=y+3或x-3=y。又如，x与y的差为3，则x-y=3。㈤注意单位换算
如，“小时”“分钟”的换算;s、v、t单位的一致等。
第四章 函数及其图象
★重点★正、反比例函数，一次、二次函数的图象和性质。
☆ 内容提要☆
一、平面直角坐标系
1．各象限内点的坐标的特点
2．坐标轴上点的坐标的特点
3．关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特点
4．坐标平面内点与有序实数对的对应关系
二、函数
1 函数中的三个概念：常量，自变量，因变量。
2．表示方法：⑴解析法;⑵列表法;⑶图象法。
3．确定自变量取值范围的原则：⑴使代数式有意义;⑵使实际问题有意义。
4．画函数图象：⑴列表;⑵描点;⑶连线。
三、几种特殊函数
（定义→图象→性质）
1． 正比例函数
⑴定义：y=kx(k≠0) 或y/x=k。
⑵图象：直线（过原点）
⑶性质：①k>0，…②k<0，…
2． 一次函数
⑴定义：y=kx+b(k≠0)
⑵图象：直线过点（0,b）—与y轴的交点和（-b/k,0）—与x轴的交点。
x
o
y
(k>0,b>0)
x
o
y
(k<0,b>0)
x
o
y
(k>0,b<0)
x
o
y
(k<0,b<0)
⑶性质：①k>0,…②k<0,…
⑷图象的四种情况：
3． 二次函数
⑴定义：
特殊地，都是二次函数。
⑵图象：抛物线（用描点法画出：先确定顶点、对称轴、开口方向，再对称地描点）。用配方法变为，则顶点为（h,k）;对称轴为直线x=h;a>0时，开口向上;a<0时，开口向下。
⑶性质：a>0时，在对称轴左侧…，右侧…;a<0时，在对称轴左侧…，右侧…。
4.反比例函数
⑴定义：三种形式：或xy=k(k≠0)。
⑵图象：双曲线（两支）—用描点法画出。
⑶性质：①k>0时，图象位于…，y随x…;②k<0时，图象位于…，y随x…;③两支曲线无限接近于坐标轴但永远不能到达坐标轴。
四、重要解题方法
x
y
o
(-1,5)
X=2
求解析式?
1． 用待定系数法求解析式（列方程[组]求解）。对求二次函数的解析式，要合理选用一般式或顶点式，并应充分运用抛物线关于对称轴对称的特点，寻找新的点的坐标。如下图：
2．利用图象一次（正比例）函数、反比例函数、二次函数中的k、b;a、b、c的符号。
六、应用举例（略）
第三章 统计初步
★重点★
☆ 内容提要☆
一、 重要概念
1.总体：考察对象的全体。
2.个体：总体中每一个考察对象。
3.样本：从总体中抽出的一部分个体。
4.样本容量：样本中个体的数目。
5.众数：一组数据中，出现次数最多的数据。
6.中位数：将一组数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个数（或最中间位置的两个数据的平均数）
二、 计算方法
1.样本平均数：⑴;⑵若，，…，,则(a—常数，，，…，接近较整的常数a);⑶加权平均数：;⑷平均数是刻划数据的集中趋势（集中位置）的特征数。通常用样本平均数去估计总体平均数，样本容量越大，估计越准确。
2．样本方差：⑴;⑵若,,…,,则（a—接近、、…、的平均数的较“整”的常数）;若、、…、较“小”较“整”，则;⑶样本方差是刻划数据的离散程度（波动大小）的特征数，当样本容量较大时，样本方差非常接近总体方差，通常用样本方差去估计总体方差。
3．样本标准差：
三、 应用举例（略）
第四章 直线形
★重点★相交线与平行线、三角形、四边形的有关概念、判定、性质。
☆ 内容提要☆
一、 直线、相交线、平行线
1．线段、射线、直线三者的区别与联系
从“图形”、“表示法”、“界限”、“端点个数”、“基本性质”等方面加以分析。
2．线段的中点及表示
3．直线、线段的基本性质（用“线段的基本性质”论证“三角形两边之和大于第三边”）
4．两点间的距离（三个距离：点-点;点-线;线-线）
5．角（平角、周角、直角、锐角、钝角）
6．互为余角、互为补角及表示方法
7．角的平分线及其表示
8．垂线及基本性质（利用它证明“直角三角形中斜边大于直角边”）
9．对顶角及性质
10．平行线及判定与性质（互逆）（二者的区别与联系）
11．常用定理：①同平行于一条直线的两条直线平行（传递性）;②同垂直于一条直线的两条直线平行。
12．定义、命题、命题的组成
13．公理、定理
14．逆命题
一、 三角形
分类：⑴按边分;
⑵按角分
1．定义（包括内、外角）
等边
等角
2．三角形的边角关系：⑴角与角：①内角和及推论;②外角和;③n边形内角和;④n边形外角和。⑵边与边：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。⑶角与边：在同一三角形中，
大边
大角
小边
小角
3．三角形的主要线段
讨论：①定义②××线的交点—三角形的×心③性质
① 高线②中线③角平分线④中垂线⑤中位线
⑴一般三角形⑵特殊三角形：直角三角形、等腰三角形、等边三角形
4．特殊三角形（直角三角形、等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形）的判定与性质
5．全等三角形
⑴一般三角形全等的判定（SAS、ASA、AAS、SSS）
⑵特殊三角形全等的判定：①一般方法②专用方法
6．三角形的面积
⑴一般计算公式⑵性质：等底等高的三角形面积相等。
7．重要辅助线
⑴中点配中点构成中位线;⑵加倍中线;⑶添加辅助平行线
8．证明方法
⑴直接证法：综合法、分析法
⑵间接证法—反证法：①反设②归谬③结论
⑶证线段相等、角相等常通过证三角形全等
⑷证线段倍分关系：加倍法、折半法
⑸证线段和差关系：延结法、截余法
⑹证面积关系：将面积表示出来第九章 解直角三角形
★重点★解直角三角形
☆ 内容提要☆
一、三角函数
1．定义：在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，则sinA= ;cosA= ;tgA= ;ctgA= .
1． 特殊角的三角函数值：
0°
30°
45°
60°
90°
sin
α
cosα
tgα
/
ctgα
/
1． 互余两角的三角函数关系：sin(90°-α)=cosα;…
2． 三角函数值随角度变化的关系
5．查三角函数表
二、解直角三角形
1． 定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。
2． 依据：①边的关系：
②角的关系：A+B=90°
③边角关系：三角函数的定义。
注意：尽量避免使用中间数据和除法。
一、 对实际问题的处理
仰角
俯角
北
东
西
南
α
h
l
i
i=h/l=tgα
1． 俯、仰角： 2．方位角、象限角： 3．坡度：
4．在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列方程的办法解决。
四、应用举例（略）
二、 四边形
分类表：
1．一般性质（角）
⑴内角和：360°
⑵顺次连结各边中点得平行四边形。
推论1：顺次连结对角线相等的四边形各边中点得菱形。
推论2：顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点得矩形。
⑶外角和：360°
2．特殊四边形
⑴研究它们的一般方法:
定义→性质→判定
边
角
对角线
面积
对称性
轴对称
中心对称
⑵平行四边形、矩形、菱形、正方形;梯形、等腰梯形的定义、性质和判定
⑶判定步骤：四边形→平行四边形→矩形→正方形
┗→菱形──↑
四边形
平行四边形
矩形
菱形
正方形
互相平分
相等且互相垂直
垂直
相等
相等
垂直
相等且互相平分
互相垂直平分
互相垂直平分且相等
⑷对角线的纽带作用：
3．对称图形
⑴轴对称（定义及性质）;⑵中心对称（定义及性质）
4．有关定理：①平行线等分线段定理及其推论1、2
②三角形、梯形的中位线定理
③平行线间的距离处处相等。（如，找下图中面积相等的三角形）
5．重要辅助线：①常连结四边形的对角线;②梯形中常“平移一腰”、“平移对角线”、“作高”、“连结顶点和对腰中点并延长与底边相交”转化为三角形。
6．作图：任意等分线段。
一、 应用举例（略）
第七章 相似形
★重点★相似三角形的判定和性质
☆内容提要☆
一、本章的两套定理
第一套（比例的有关性质）：
反比性质：
更比性质：
合比性质：
（比例基本定理）
涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。
第二套：
相似基本定理
推论 (骨干定理)
平行线分线段成比例定理 (基本定理)
（
应用于△中
相似三角形
判定定理
定理1
定理2
定理3
Rt△
推论
推论的逆定理
推论
注意：①定理中“对应”二字的含义;
②平行→相似（比例线段）→平行。
二、相似三角形性质
1．对应线段…;2．对应周长…;3．对应面积…。
三、相关作图
①作第四比例项;②作比例中项。
四、证（解）题规律、辅助线
1．“等积”变“比例”，“比例”找“相似”。
2．找相似找不到，找中间比。方法：将等式左右两边的比表示出来。⑴
⑵
⑶
3．添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。
4．对比例问题，常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k。
5．对于复杂的几何图形，采用将部分需要的图形（或基本图形）“抽”出来的办法处理。
一、 应用举例（略）
第十章 圆
★重点★①圆的重要性质;②直线与圆、圆与圆的位置关系;③与圆有关的角的定理;④与圆有关的比例线段定理。
☆ 内容提要☆
一、圆的基本性质
1．圆的定义（两种）
2．有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。
3．“三点定圆”定理
4．垂径定理及其推论
5．“等对等”定理及其推论
1． 与圆有关的角：⑴圆心角定义（等对等定理）
⑵圆周角定义（圆周角定理，与圆心角的关系）
⑶弦切角定义（弦切角定理）
二、直线和圆的位置关系
1.三种位置及判定与性质：
d>R
d=R
dR+r
d=R+r
R-r
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