【数学】2019届一轮复习人教A版函数与方程学案
第八节函数与方程
1．函数的零点
函数零点的概念
对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点
方程的根与函数零点的关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点
函数零点的存在性定理
函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，若f(a)·f(b)＜0，则y＝f(x)在(a，b)内存在零点
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
与x轴的交点
(x1,0)，(x2,0)
(x1,0)
无
零点个数
0
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．( )
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.( )
(3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．( )
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac＜0时没有零点．( )
(5)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
2．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
6
m
－4
－6
－6
－4
n
6
可以判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间是( )
A．(－3，－1)和(2,4) B．(－3，－1)和(－1,1)
C．(－1,1)和(1,2) D．(－1,3)和(4，＋∞)
解析：选A 由表格可得二次函数f(x)的对称轴为x＝，a＞0.由f(－3)·f(－1)＜0，f(2)·f(4)＜0，可得f(x)的零点所在区间为(－3，－1)和(2,4)，即方程ax2＋bx＋c＝0的两个根所在区间是(－3，－1)和(2,4)．
3．函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致区间是( )
A．(1,2) B．(2,3)
C.和(3,4) D．(4，＋∞)
解析：选B 易知f(x)为增函数，由f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3－＞0，得f(2)·f(3)＜0，故函数f(x)的零点所在的大致区间为(2,3)．
4．函数f(x)＝x－x的零点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B 函数f(x)＝x－x的零点个数是方程x－x＝0的解的个数，即方程x＝x的解的个数，也就是函数y＝x与y＝x的图象的交点个数，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图所示，可得交点个数为1.
5．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________．
解析：由题意知2a＋b＝0，即b＝－2a.
令g(x)＝bx2－ax＝0，得x＝0或x＝＝－.
答案：0，－
6．若函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________．
解析：当a＝0时，函数f(x)＝1在(－1,1)上没有零点，所以a≠0.所以函数f(x)是单调函数，要满足题意，只需f(－1)f(1)<0，即(－3a＋1)·(1－a)<0，所以(a－1)·(3a－1)<0，解得
0，
∴f(x)的零点所在区间为(1,2)，故选B.
2．设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
解析：选B 函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出两函数图象如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)．故选B.
3．若x0是方程x＝x的解，则x0属于区间( )
A. B.
C. D.
解析：选C 令g(x)＝x，f(x)＝x，
则g(0)＝1＞f(0)＝0，g＝＜f＝，g＝＞f＝，
结合图象可得＜x0＜.
4．函数f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上______(填“存在”或“不存在”)零点．
解析：法一：∵f(1)＝12－3×1－18＝－20<0，
f(8)＝82－3×8－18＝22>0，
∴f(1)·f(8)<0，
又f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]的图象是连续的，
故f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上存在零点．
法二：令f(x)＝0，得x2－3x－18＝0，
∴(x－6)(x＋3)＝0.
∵x＝6∈[1,8]，x＝－3∉[1,8]，
∴f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上存在零点．
答案：存在
[怎样快解·准解]
1．函数零点所在区间的判断方法及适合题型
方法
解读
适合题型
定理法
利用函数零点的存在性定理进行判断
能够容易判断区间端点值所对应函数值的正负．(如第1,4题)
图象法
画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断
容易画出函数的图象．(如第2,3题)
解方程法
可先解对应方程，然后看所求的根是否落在给定区间上
当对应方程f(x)＝0易解时．(如第4题)
2．利用函数零点存在性定理解题的步骤
高考中对函数零点个数的考查主要以选择题和填空题形式出现，体现了数形结合思想的运用，难度不大.
[典题领悟]
1．已知函数f(x)＝则函数y＝f(f(x))＋1的零点的个数是( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：选A 由f(f(x))＋1＝0，得f(f(x))＝－1，
由f(－2)＝f＝－1，得f(x)＝－2或f(x)＝.
若f(x)＝－2，则x＝－3或x＝；
若f(x)＝，则x＝－或x＝.
综上可得函数y＝f(f(x))＋1的零点的个数是4，故选A.
2．已知函数f(x)＝函数g(x)＝3－f(2－x)，则函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选A 由已知条件可得g(x)＝3－f(2－x)＝函数y＝f(x)－g(x)的零点个数即为函数y＝f(x)与y＝g(x)图象的交点个数，在平面直角坐标系内作出函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象如图所示．由图可知函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象有2个交点，所以函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为2，选A.
[解题师说]
掌握判断函数零点个数的3种方法
(1)解方程法：若对应方程f(x)＝0可解，通过解方程，则方程有几个解就对应有几个零点．(如典题领悟第1题)
(2)函数零点的存在性定理法：利用定理不仅要判断函数图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数的零点个数．
(3)数形结合法：合理转化为两个函数的图象(易画出图象)的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．(如典题领悟第2题)
[冲关演练]
1．函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C 由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)．在同一平面直角坐标系中作出函数y＝|x－2|(x>0)，y＝ln x(x>0)的图象如图所示．
由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.
2．函数f(x)＝的零点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C 当x＜0时，令f(x)＝0，即x2＋2x＝0，解得x＝－2或x＝0(舍去)．所以当x＜0时，只有一个零点；当x≥0时，f(x)＝ex－x－2，而f′(x)＝ex－1，显然f′(x)≥0，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，又f(0)＝e0－0－2＝－1＜0，f(2)＝e2－4＞0，所以当x≥0时，函数f(x)有且只有一个零点．综上，函数f(x)只有两个零点，故选C.
函数零点的应用主要是利用函数零点的存在性定理求相关参数值或范围.多以选择题、填空题的形式出现，体现了化归的数学思想，题目难度较大.
[典题领悟]
已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝a|x－2|－a，其中a＞0，且为
❶ ❷
常数．若函数y＝f(f(x))有10个零点，则a的取值范围是________．
❸
[学审题]
①可知函数f(x)的图象关于y轴对称；
②由f(x)＝0，得x＝1或x＝3；
③等价于函数y＝f(x)的图象与直线y＝±1和y＝±3共有10个交点．
解析：当x≥0时，令f(x)＝0，得|x－2|＝1，
即x＝1或x＝3.
因为f(x)是定义在R上的偶函数，
所以f(x)的零点为x＝±1或x＝±3.
令f(f(x))＝0，
则f(x)＝±1或f(x)＝±3.
因为函数y＝f(f(x))有10个零点，
所以函数y＝f(x)的图象与直线y＝±1和y＝±3共有10个交点．由图可知1＜a＜3.
答案：(1,3)
[解题师说]
利用函数零点求参数范围的思路方法及步骤
(1)常规思路
已知函数的零点个数，一般利用数形结合思想转化为两个函数图象的交点个数，这时图形一定要准确，这种数形结合的方法能够帮助我们直观解题．
(2)常用方法
(3)一般步骤
[冲关演练]
1．若函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是( )
A．(1,3) B．(1,2)
C．(0,3) D．(0,2)
解析：选C 因为函数f(x)＝2x－－a在区间(1,2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则有f(1)·f(2)<0，所以(－a)(4－1－a)<0，
即a(a－3)<0，解得00，f(2)＝3－log22＝2>0，f(4)＝－log24＝－<0，所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4)，故选C.
4．已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
y
124.4
33
－74
24.5
－36.7
－123.6
则函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
解析：选B 依题意，f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，根据零点存在性定理可知，f(x)在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)上均至少含有一个零点，故函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个．
5．已知实数a＞1,0＜b＜1，则函数f(x)＝ax＋x－b的零点所在的区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
解析：选B 因为a＞1,0＜b＜1，所以f(x)＝ax＋x－b在R上是单调增函数，所以f(－1)＝－1－b＜0，f(0)＝1－b＞0，由零点存在性定理可知，f(x)在区间(－1,0)上存在零点．
6．已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(－∞，0)
C．(－1,0) D．[－1,0)
解析：选D 当x>0时，f(x)＝3x－1有一个零点x＝，所以只需当x≤0时，ex＋a＝0有一个根即可，即ex＝－a.当x≤0时，ex∈(0,1]，所以－a∈(0,1]，即a∈[－1,0)，故选D.
7．已知函数f(x)＝＋a的零点为1，则实数a的值为______．
解析：由已知得f(1)＝0，即＋a＝0，解得a＝－.
答案：－
8．函数f(x)＝ex＋x－2的零点有______个．
解析：∵f(x)在R上单调递增，
又f(0)＝1－2<0，f(1)＝e－>0，
∴函数f(x)有且只有一个零点．
答案：1
9．已知f(x)＝则其零点为________．
解析：当x＞0时，由f(x)＝0，即xln x＝0得ln x＝0，解得x＝1；当x≤0时，由f(x)＝0，即x2－x－2＝0，解得x＝－1或x＝2.因为x≤0，所以x＝－1.
综上，函数的零点为1，－1.
答案：1，－1
10．设函数y＝x3与y＝x－2的图象的交点为(x0，y0)，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，则x0所在的区间是________．
解析：设f(x)＝x3－x－2，则x0是函数f(x)的零点，在同一平面直角坐标系下作出函数y＝x3与y＝x－2的图象如图所示．因为f(1)＝1－－1＝－1＜0，f(2)＝8－0＝7＞0，所以f(1)·f(2)＜0，所以x0∈(1,2)．
答案：(1,2)
B级——中档题目练通抓牢
1．已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)＋x－4的零点个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 函数y＝f(x)＋x－4的零点个数，即函数y＝－x＋4与y＝f(x)的图象的交点的个数．如图所示，函数y＝－x＋4与y＝f(x)的图象有两个交点，故函数y＝f(x)＋x－4的零点有2个．故选B.
2．(2018·云南第一次统一检测)已知a，b，c，d都是常数，a＞b，c＞d.若f(x)＝2 018－(x－a)(x－b)的零点为c，d，则下列不等式正确的是( )
A．a＞c＞b＞d B．a＞b＞c＞d
C．c＞d＞a＞b D．c＞a＞b＞d
解析：选D f(x)＝2 018－(x－a)·(x－b)＝－x2＋(a＋b)x－ab＋2 018，又f(a)＝f(b)＝2 018，c，d为函数f(x)的零点，且a＞b，c＞d，所以可在平面直角坐标系中作出函数f(x)的大致图象如图所示，由图可知c＞a＞b＞d，故选D.
3．(2017·山东高考)已知当x∈[0,1]时，函数y＝(mx－1)2的图象与y＝＋m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是( )
A．(0,1]∪[2，＋∞) B．(0,1]∪[3，＋∞)
C．(0， ]∪[2，＋∞) D．(0， ]∪[3，＋∞)
解析：选B 在同一平面直角坐标系中，分别作出函数f(x)＝(mx－1)2＝m22
与g(x)＝＋m的大致图象．
分两种情形：
(1)当01时，0<<1，如图②，要使f(x)与g(x)的图象在[0,1]上只有一个交点，只需g(1)≤f(1)，即1＋m≤(m－1)2，解得m≥3或m≤0(舍去)．
综上所述，m∈(0,1]∪[3，＋∞)．
4．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．
解析：作出f(x)＝的图象如图所示．
由于函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，结合图象得0＜m＜1，即m∈(0,1)．
答案：(0,1)
5．方程2x＋3x＝k的解在[1,2)内，则k的取值范围为______．
解析：令函数f(x)＝2x＋3x－k，
则f(x)在R上是增函数．
当方程2x＋3x＝k的解在(1,2)内时，f(1)·f(2)<0，
即(5－k)(10－k)<0，
解得50，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，根据零点存在性定理可知，f(x)在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)上均至少含有一个零点，故函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个．
3.(2018·四川双流中学必得分训练)函数f(x)＝2x＋2x的零点所处的区间是( )
A．[－2，－1] B．[－1,0]
C．[0,1] D．[1,2]
解析：选B f(－2)＝2－2＋2×(－2)<0，f(－1)＝2－1＋2×(－1)<0，f(0)＝20＋0>0，由零点存在性定理知，函数f(x)的零点在区间[－1,0]上．故选B.
4.(2018·甘肃天水一中月考)已知函数f(x)＝ln x－ax2＋ax恰有两个零点，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(0,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，0)∪{1}
解析：选C 由题意，显然x＝1是函数f(x)的一个零点，取a＝－1，则f(x)＝ln x＋x2－x，f′(x)＝＝>0恒成立．则f(x)仅有一个零点，不符合题意，排除A、D；取a＝1，则f(x)＝ln x－x2＋x，f′(x)＝＝，令f′(x)＝0，得x＝1，则f(x)在(0,1)上递增，在(1，＋∞)上递减，f(x)max＝f(1)＝0，即f(x)仅有一个零点，不符合题意，排除B，故选C.
5．(2018·云南第一次统一检测)已知a，b，c，d都是常数，a＞b，c＞d.若f(x)＝2 018－(x－a)(x－b)的零点为c，d，则下列不等式正确的是( )
A．a＞c＞b＞d B．a＞b＞c＞d
C．c＞d＞a＞b D．c＞a＞b＞d
解析：选D f(x)＝2 018－(x－a)·(x－b)＝－x2＋(a＋b)x－ab＋2 018，又f(a)＝f(b)＝2 018，c，d为函数f(x)的零点，且a＞b，c＞d，所以可在平面直角坐标系中作出函数f(x)的大致图象如图所示，由图可知c＞a＞b＞d，故选D.
6．函数f(x)＝ex＋x－2的零点有______个．
解析：∵f(x)在R上单调递增，
又f(0)＝1－2<0，f(1)＝e－>0，
∴函数f(x)有且只有一个零点．
答案：1
7．已知f(x)＝则其零点为________．
解析：当x＞0时，由f(x)＝0，即xln x＝0得ln x＝0，解得x＝1；当x≤0时，由f(x)＝0，即x2－x－2＝0，解得x＝－1或x＝2.因为x≤0，所以x＝－1.
综上，函数的零点为1，－1.
答案：1，－1
8．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．
解析：作出f(x)＝的图象如图所示．
由于函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，结合图象得0＜m＜1，即m∈(0,1)．
答案：(0,1)
9.已知函数f(x)＝x3－x2＋＋.求证：存在x0∈，使f(x0)＝x0.
证明：令g(x)＝f(x)－x.
∵g(0)＝，g＝f－＝－，
∴g(0)·g<0.
又∵函数g(x)在上是连续不断的曲线，
∴存在x0∈，使g(x0)＝0，即f(x0)＝x0.
10．已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x.
(1)写出函数y＝f(x)的解析式．
(2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围．
解：(1)设x＜0，则－x＞0，
所以f(－x)＝x2＋2x.又因为f(x)是奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x.
所以f(x)＝
(2)方程f(x)＝a恰有3个不同的解，
即y＝f(x)与y＝a的图象有3个不同的交点．
作出y＝f(x)与y＝a的图象如图所示，故若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，只需－1＜a＜1，
故a的取值范围为(－1,1)．
B级——拔高题目稳做准做
1.已知x0是f(x)＝x＋的一个零点，x1∈(－∞，x0)，x2∈(x0,0)，则( )
A．f(x1)＜0，f(x2)＜0 B．f(x1)＞0，f(x2)＞0
C．f(x1)＞0，f(x2)＜0 D．f(x1)＜0，f(x2)＞0
解析：选C 因为x0是函数f(x)＝x＋的一个零点，所以f(x0)＝0，因为f(x)＝x＋在(－∞，0)和(0，＋∞)上是单调递减函数，且x1∈(－∞，x0)，x2∈(x0,0)，所以f(x1)＞f(x0)＝0＞f(x2)．
2.设函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝lnx＋x2－3.若实数a，b满足f(a)＝0，g(b)＝0，则( )
A．g(a)<00，所以f(a)＝0时，a∈(0,1)．又g(x)＝ln x＋x2－3在(0，＋∞)上单调递增，且g(1)＝－2<0，所以g(a)<0.
由g(2)＝ln 2＋1>0，所以g(b)＝0时，b∈(1,2)，
又f(1)＝e－1>0，所以f(b)>0.
综上可知，g(a)<00.
∵f(x)min＝f(1)＝－4a＝－4，∴a＝1.
故函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3.
(2)∵g(x)＝－4ln x＝x－－4ln x－2(x>0)，
∴g′(x)＝1＋－＝.
令g′(x)＝0，得x＝1或x＝3.
当x变化时，g′(x)，g(x)的取值变化情况如下：
x
(0,1)
1
(1,3)
3
(3，＋∞)
g′(x)
＋
0
－
0
＋
g(x)
极大值
极小值
当0
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