北师大版七年级上册-第10讲-整式的加减 （培优）-教案

北师大版七年级上册-第10讲-整式的加减 （培优）-教案

1 学科教师辅导讲义 学员编号： 年 级：七年级 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 授课主题 第 10 讲---整式的加减 授课类型 T 同步课堂 P 实战演练 S 归纳总结 教学目标 1 理解同类项及合并同类项的概念，会识别同类项； 2 掌握合并同类项法则，能进行同类项的合并； 3 理解去括号法则，并能正确地去括号； 4 会进行整式的加、减运算。 授课日期及时段 T（Textbook-Based）——同步课堂 体系搭建 一、知识框架 二、知识概念 （一）合并同类项 1、同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项，如： nn 48 和 ； baba 22 72 和 。注意：①两个相同：字母相同；相同字母的指数相同；②两个无关：与系数无关；与字 母顺序无关。 2、合并同类项的含义:把同类项合并成一项就叫做合并同类项。 （1）合并同类项的法则是：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。 2 （2）合并同类项的步骤: ①准确地找出同类项； ②利用合并同类项法则合并同类项，把同类项的系数加在一起，字母和字母的指数不变； ③利用有理数的加减计算出各项系数的和，写出合并后的结果 （二）去括号的法则 1、括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变； 2、括号前是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变。 （三）整式的加减 1、整式的加减：实质就是将整式中的同类项进行合并，如果有括号应先去括号，再合并同类项 2、整式的加减结果注意以下三点： ①结果要是最简，即结果中不再含有同类项； ②一般按照某一字母的降幂或升幂排列； ③不能出现带分数，带分数要转化为假分数。 典例分析 考点一：合并同类项 例 1、若﹣x3ya 与 xby 是同类项，则 a+b 的值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【解析】本题考查了同类项的知识，解答本题的关键是掌握同类项中相同字母指数相同的概念，根据同类 项中相同字母的指数相同的概念求解 ∵﹣x3ya 与 xby 是同类项，∴a=1，b=3，则 a+b=1+3=4．故选 C． 例 2、若 5a|x|b3 与﹣0.2a3b|y﹣1|是同类项，则 x= ，y= ． 【解析】根据同类项相同字母的指数相同可得出|x|=3，|y﹣1|=3，从而可得出 x 和 y 的值． ∵5a|x|b2 与﹣0.2a3b|y﹣1|是同类项 ∴|x|=3，|y﹣1|=3，解得：x=±3，y﹣1=±3． ∴y=4 或﹣2，故答案为：±3；4 或﹣2． 3 例 3、若关于 x、y 的多项式 xm﹣1y3+x3﹣my|n﹣2|+xm﹣1y+x2m﹣3y|n|+m+n﹣1 合并同类项后得到一个四次三项 式，求 m、n 的值（所有指数均为正整数） 【解析】根据多项式的项的系数和次数定义解题．多项式的次数是多项式中最高次项的次数，多项式的项 数为组成多项式的单项式的个数． 解：∵关于 x、y 的多项式 xm﹣1y3+x3﹣my|n﹣2|+xm﹣1y+x2m﹣3y|n|+m+n﹣1 合并同类项后得到一个四次三项式， ∴m﹣1=1，解得：m=2，多项式变为：xy3+xy|n﹣2|+xy+xy|n|+n+1， ①当|n|=1， n=1 时，xy3+xy|n﹣2|+xy+xy|n|+n+1=xy3+3xy+2，符合题意； n=﹣1 时，xy3+xy|n﹣2|+xy+xy|n|+n+1=xy3+xy3+xy+xy=2xy3+2xy，不符合题意； ②当|n|=3， n =3 时，xy3+xy|n﹣2|+xy+xy|n|+n+1=xy3+xy+xy+xy3+3+1=2xy3+2xy+4，符合题意； n=﹣3 时，xy3+xy|n﹣2|+xy+xy|n|+n+1=2xy3+xy5+xy﹣2，不符合题意． 故 m=2，n=1 或 3． 考点二：去括号法则 例 1、下列计算正确的是（ ） A．3a﹣（2b﹣c）=3a﹣2b﹣c B．3a+2（2b﹣3c）=3a+4b﹣3c C．6a﹣（﹣2b+5）=6a+2b﹣5 D．﹣（5x﹣3y）﹣（2x﹣y）=﹣5x+3y﹣2x﹣y 菁优网版 权所有 【解析】根据去括号法则对四个选项逐一进行分析，要注意括号前面的符号，以选用合适的法则． A、3a﹣（2b﹣c）=3a﹣2b+c，故本选项错误； B、3a+2（2b﹣3c）=3a+4b﹣6c，故本选项错误； C、6a﹣（﹣2b+5）=6a+2b﹣5，故本选项正确； D、﹣（5x﹣3y）﹣（2x﹣y）=﹣5x+3y﹣2x+y，故本 选项错误；故选 C． 例 2、要使等式 4a﹣（ ）=4a﹣2b﹣c+3d 成立，括号内应填上的项是（ ） A．2b﹣c+3d B．2b﹣c﹣3d C．2b+c+3d D．2b+c﹣3d 菁优网版 权所有 【解析】根据去括号的法则可知，原式=4a﹣（2b+c﹣3d），故选：D． 例 3、化简：﹣[﹣（﹣a2）﹣b2]﹣[+（﹣b2）]的结果是（ ） A．2b2﹣a2 B．﹣a2 C．a2 D．a2﹣2b2 所有 【解析】根据去括号的法则计算即可． ﹣[﹣（﹣a2）﹣b2]﹣[+（﹣b2）]=﹣（a2﹣b2）﹣（﹣b2）=﹣a2+b2+b2=2b2﹣a2 故选 A． 4 考点三：整式的加减 例 1、小黄做一道题“已知两个多项式 A，B，计算 A﹣B”．小黄误将 A﹣B 看作 A+B，求得结果是 9x2﹣2x+7．若 B=x2+3x﹣2，请你帮助小黄求出 A﹣B 的正确答案（ ） A．8x2﹣5x+9 B．7x2﹣8x+11 C．10x2+x+5 D．7x2+4x+3 版权所有 【解析】根据题意列出关系式，去括号合并即可确定出 A﹣B． 根据题意得： （9x2﹣2x+7）﹣2（x2+3x﹣2） =9x2﹣2x+7﹣2x2﹣6x+4 =7x2﹣8x+11．故选 B． 例 2、若 x 的多项式 8x2﹣3x+5 与 3x3+2mx2﹣5x+3 相加后，不含 x2 项，则 m 等于（ ） A．2 B．﹣2 C．﹣4 D．﹣8 【解析】先把两个多项式相加，再根据不含 x2 项，可知 x2 项的系数为 0，那么 8+2m=0，即可求 m． ∵8x2﹣3x+5+3x3+2mx2﹣5x+3=3x3+（8+2m）x2﹣8x+8， 又结果中不含 x2 项， ∴8+2m=0， 解得 m=﹣4． 故选 C． 例 3、把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个 底面为长方形（长为 m cm，宽为 n cm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被 卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（ ） A．4m cm B．4n cm C．2（m+n）cm D．4（m﹣n）cm 【解析】本题需先设小长方形卡片的长为 a，宽为 b，再结合图形得出上面的阴影周长和下面的阴影周长， 再把它们加起来即可求出答案． 解：设小长方形卡片的长为 a，宽为 b， ∴L 上面的阴影=2（n﹣a+m﹣a）， L 下面的阴影=2（m﹣2b+n﹣2b）， ∴L 总的阴影=L 上面的阴影+L 下面的阴影=2（n﹣a+m﹣a）+2（m﹣2b+n﹣2b）=4m+4n﹣4（a+2b）， 又∵a+2b=m，∴4m+4n﹣4（a+2b）=4n．故选：B． 5 考点四：整式的化简求值 例 1、先化简，再求值 3（a2+2a）﹣2（3a﹣a2+5），其中|a|=2． 【解析】原式去括号合并得到最简结果，利用绝对值的代数意义求出 a 的值，代入计算即可求出值． 原式=3a2+6a﹣6a+2a2﹣10=5a2﹣10， 由|a|=2，得到 a=2 或﹣2，则原式=20﹣10=10． 例 2、已知 x3m﹣1y3 与﹣ x5y2n+1 是同类项，求代数式：5mn2﹣[2mn2+（m2﹣4mn+3mn2）]的值． 【解析】利用同类项定义求出 m 与 n 的值，原式去括号合并后代入计算即可求出值． ∵ x3m﹣1y3 与﹣ x5y2n+1 是同类项， ∴3m﹣1=5，2n+1=3，解得：m=2，n=1， 则原式=5mn2﹣2mn2﹣m2+4mn﹣3mn2=﹣m2+4mn=﹣4+8=4． 例 3、当 a=2015，b=2014 时，求 5（a2b﹣3ab2）﹣2（a2b﹣7ab2）﹣（3a2b﹣ab2）的值． 对于此题，四位同学展开讨论． 小亮：这么大的数，没法算． 小刚：先去括号，合并同类项，化简后再代值，就简单了． 小龙：这个算式的结果是个常数． 小颖：这个算式的结果与 a、b 取值无关． 那么他们到底谁说的对？你能说明理由吗？优网版权 所有 【解析】直接去括号，进而合并同类项，进而得出答案． 小刚、小龙、小颖说得都对， 理由：5（a2b﹣3ab2）﹣2（a2b﹣7ab2）﹣（3a2b﹣ab2） =﹣5a2b﹣﹣15ab2﹣2a2b+14ab2﹣3a2b+ab2 =0． P(Practice-Oriented)——实战演练 6 实战演练  课堂狙击 1、在下列各对整式中，是同类项的为（ ） A．3x，3y B． xy，22yx C．23，a3 D．3m3n2，﹣3m2n3 【解析】利用同类项和定义判定即可．利用同类项和定义可得 xy 与 22yx 是同类项，故选：B． 2、已知﹣6a5bn+4 和 5a2m﹣1b3 是同类项，则代数式 m﹣n 的值是（ ） A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4 【解析】根据同类项的概念求解，解答本题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同． ∵﹣6a5bn+4 和 5a2m﹣1b3 是同类项，∴2m﹣1=5，n+4=3，∴m=3，n=﹣1，则 m﹣n=3﹣（﹣1）=4．故选 C． 3、下列式子计算一定正确的是（ ） A．3x2﹣5x2=﹣2x B．6x2+2x2=3x2 C．x2+x2=2x2 D．﹣2（x﹣2）=﹣2x﹣4 【解析】根据合并同类项系数相加字母及指数不变，可得答案． A、合并同类项系数相加字母及指数不变，故 A 错误； B、合并同类项系数相加字母及指数不变，故 B 错误； C、合并同类项系数相加字母及指数不变，故 C 正确； D、括号前是负数去括号全变号，故 D 错误； 故选：C． 4、下列去括号错误的是（ ） A．2x2﹣（x﹣3y）=2x2﹣x+3y B． x2+（3y2﹣2xy）= x2﹣3y2+2xy C．a2+（﹣a+1）=a2﹣a+1 D．﹣（b﹣2a）﹣（﹣a2+b2）=﹣b+2a+a2﹣b2 菁优网版 权所有 【解析】利用去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反，进而判断得出即可． A、2x2﹣（x﹣3y）=2x2﹣x+3y，正确； B、 x2+（3y2﹣2xy）= x2+3y2﹣2xy，故错误； C、a2+（﹣a+1）=a2﹣a+1，正确； D、﹣（b﹣2a）﹣（﹣a2+b2）=﹣b+2a+a2﹣b2，正确； 5、合并同类项： （1）3x2﹣1﹣2x﹣5+3x﹣x2 （2）﹣0.8a2b﹣6ab﹣1.2a2b+5ab+a2b 7 （3） （4）6x2y+2xy﹣3x2y2﹣7x﹣5yx﹣4y2x2﹣6x2y （5）4x2y﹣8xy2+7﹣4x2y+12xy2﹣4 （6）a2﹣2ab+b2+2a2+2ab﹣b2 【解析】（1）3x2﹣1﹣2x﹣5+3x﹣x2=2x2+x﹣6； （2）﹣0.8a2b﹣6ab﹣1.2a2b+5ab+a2b=﹣a2b﹣ab； （3） = ； （4）6x2y+2xy﹣3x2y2﹣7x﹣5yx﹣4y2x2﹣6x2y=﹣7x2y2﹣3xy﹣7x； （5）4x2y﹣8xy2+7﹣4x2y+12xy2﹣4=4xy2+3； （6）a2﹣2ab+b2+2a2+2ab﹣b2=3a2． 6、先去括号、再合并同类项 （1） 2（a﹣b+c）﹣3（a+b﹣c） （2） 3a2b﹣2[ab2﹣2（a2b﹣2ab2）] 【解析】根据括号前是正号，去掉括号及正号，括号里的各项都不变，括号前是负号，去掉括号及负号， 括号里的各项都变号，可得答案． （1）原式=2a﹣2b+2c﹣3a﹣3b+3c =（2a﹣3a）+（﹣2b﹣3b）+（2c+3c） =﹣a﹣5b+5c； （2）原式 =3a2b﹣2（ab2﹣2a2b+4ab2） =3a2b﹣10ab2+4a2b =7a2b﹣10ab2 7、一个多项式 A 减去多项式 2x2+5x﹣3，马虎同学将减号抄成了加号，计算结果是﹣x2+3x﹣7，那么这个 多项式 A 减去多项式 2x2+5x﹣3，正确的计算结果应该是 ． 8 【解析】由题意和减去一个加数等于另一个加数求出多项式 A，用 A 减去 2x2+5x﹣3，去括号合并即可得到 结果． 由题意列得：（﹣x2+3x﹣7）﹣（2x2+5x﹣3） =﹣x2+3x﹣7﹣2x2﹣5x+3 =﹣3x2﹣2x﹣4， 则这个多项式减去 2x2+5x﹣3 列得： （﹣3x2﹣2x﹣4）﹣（2x2+5x﹣3） =﹣3x2﹣2x﹣4﹣2x2﹣5x+3 =﹣5x2﹣7x﹣1．故答案为：﹣5x2﹣7x﹣1 8、化简求值：4a2b﹣[ab2﹣（﹣2ab2+5a2b）]﹣2（3a2b﹣ab2），其中 a=﹣1，b=﹣ ． 【解析】原式去括号合并得到最简结果，把 a 与 b 的值代入计算即可求出值． 原式=4a2b﹣ab2﹣2ab2+5a2b﹣6a2b+2ab2=3a2b﹣ab2， 当 a=﹣1，b=﹣ 时，原式=﹣2+ =﹣1 ． 9、先化简，后求值． （1）（5a+2a2﹣3﹣4a3）﹣（﹣a+3a3﹣a2），其中 a=﹣2； （2）3a2﹣（5a2﹣ab+b2）﹣（7ab﹣7b2﹣3a2），其中 a=3，b=﹣1．菁优网版 权所有 【解析】 （1）原式=5a+2a2﹣3﹣4a3+a﹣3a3+a2=﹣7a3+3a2+6a﹣3， 当 a=﹣2 时， 原式=（﹣7）×（﹣8）+3×4+6×（﹣2）﹣3= 56+12﹣12﹣3=53 （2）原式 =3a2﹣5a2+ab﹣b2﹣7ab+7b2+3a2=a2﹣6ab+6b2， 当 a=3，b=﹣1 时， 原式=32﹣6×3×（﹣1）+6×（﹣1）2=9+18+6=33  课后反击 1、如果 xa+2y3 与﹣3x3y2b﹣1 是同类项，那么|3a﹣2b|的值是 ．所有 9 【解析】根据同类项是字母项相同且相同字母的指数也相同，可得 a、b 的值，根据有理数的减法，可得差， 根据绝对值的性质，可得答案． 由 xa+2y3 与﹣3x3y2b﹣1 是同类项，得 a+2=3，b﹣1=3． 解得 a=1，b=4． |3a﹣2b|=|2×1﹣2×4|=6，故答案为：6 2、如果单项式 2mxayb﹣1 与﹣5nx2a﹣3y 是关于 x，y 的单项式，且它们是同类项． （1）求（7a﹣11b）2003 的值． （2）若无论 x,y 取何值，2mxayb﹣1+5nx2a﹣3y=0 都成立。求（2m+5n）2004 的值．网版权所有 【解析】（1）根据所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项可得 a=2a﹣3，b﹣1=1， 再解即可得到 a、b 的值，进而可得答案．（2）根据合并同类项法则可得 2m+5n=0，再代入（2m+5n）2004 求值即可． 解：（1）由题意得：a=2a﹣3，b﹣1=1， 解得：a=3，b=2，（7a﹣11b）2003=1； （2）由题意得：2m+5n=0，（2m+5n）2004=0． 3、合并同类项 （1）3a 2﹣b2+4ab﹣2a2+ab﹣2b2 （2）3（2x2﹣y2）﹣2（3y2﹣2x2） （3）9x2+[4x2﹣3x﹣（2x2﹣6x）] （4）2（2b﹣3a）+（2a﹣3b） 【解析】根据合并同类项系数相加字母及指数不变，可得答案。 （1）3a 2﹣b2+4ab﹣2a2+ab﹣2b2=a2+5ab﹣3b2 （2）3（2x2﹣y2）﹣2（3y2﹣zx2）=10x2﹣9y2 （3）9x2+[4x2﹣3x﹣（2x2﹣6x）]=11x2+3x （4）2（2b﹣3a）+（2a﹣3b）=﹣4a+b． 4、先去括号，再合并同类项： （1）6a2﹣2ab﹣2（3a2﹣ ab） （2）2（2a﹣b）﹣[4b﹣（﹣2a+b）] 10 （3）9a3﹣[﹣6a2+2（a3﹣ a2）] （4）2t﹣[t﹣（t2﹣t﹣3）﹣2]+（2t2﹣3t+1） 【解析】先去小括号，再去中括号，然后合并同类项即可； 解：（1）6a2﹣2ab﹣2（3a2﹣ ab）=6a2﹣2ab﹣6a2+ab=﹣ab； （2）2（2a﹣b）﹣[4b﹣（﹣2a+b）]=4a﹣2b﹣4b﹣2a+b=2a﹣5b； （3）9a3﹣[﹣6a2+2（a3﹣ a2）]=9a3+6a2﹣2a3+ a2=7a3+ a2； （4）2t﹣[t﹣（t2﹣t﹣3）﹣2]+（2t2﹣3t+1）=2t﹣t+t2﹣t﹣3+2+2t2﹣3t+1=3t2﹣3t． 5、（1）化简 5（a2b﹣2ab2+c）﹣4（2c+3a2b﹣ab2） （2）先化简，再求值： ，其中 a=﹣2， ． 【解析】（1）先去括号，然后合并同类项即可得出答案． （2）本题的关键根据去括号与合并同类项的法则将代数式化简，然后把给定的值代入求值． 解：（1）原式=5a2b﹣10ab2+5c﹣8c-12a2b+4ab2 = -7a2b﹣6ab2﹣3c （2）原式= a﹣2a+ b2﹣ a+2b2=﹣3a+ b2， 当 a=﹣2，b= 时，原式= -3×(-2)+ × =12 6、张师傅再就业，做起了小商品生意．第一次进货时，他以每件 a 元的价格购进了 20 件甲种小商品，每 件 b 元的价格购进了 30 件乙种小商品（a＞b）；回来后，根据市场行情，他将这两种小商品以每件 元 的价格全部售出，则在这次买卖中，张师傅赚了（ ） A．（5a﹣5b）元 B．（10a﹣10b）元 C．（20a﹣5b）元 D．（30a﹣20b）元 【解析】用（售价﹣甲的进价）×甲的件数+（售价﹣乙的进价）×乙的件数 列出关系式，去括号合并得 到结果，即为张师傅赚的钱数 解：根据题意列得：20（ ﹣a）+30（ ﹣b） 11 =20× +30× =10（b﹣a）+15（a﹣b） =10b﹣10a+15a﹣15b =5a﹣5b，则这次买卖中，张师傅赚 5（a﹣b）元．故应选 A． 7、老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下： +（﹣3x2+5x﹣7）=﹣2x2+3x﹣6 （1）求所捂的多项式； （2）若 x 是 x=﹣ x+3 的解，求所捂多项式的值； （3）若 x 为正整数，任取 x 几个值并求出所捂多项式的值，你能发现什么规律？ （4）若所捂多项式的值为 144，请直接写出 x 的取值． 【解析】（1）（﹣2x2+3x﹣6）﹣（﹣3x2+5x﹣7） =﹣2x2+3x﹣6+3x2﹣5x+7 =x2﹣2x+1，即所捂的多项式是 x2﹣2x+1； （2）∵x 是 x=﹣ x+3 的解，∴x=4， ∴x2﹣2x+1=42﹣2×4+1=9， 即若 x 是 x=﹣ x+3 的解，所捂多项式的值是 9； （3）当 x=1 时，x2﹣2x+1=1﹣2+1=0； 当 x=2 时，x2﹣2x+1=4﹣4+1=1； 当 x=3 时，x2﹣2x+1=9﹣6+1=4； 当 x=4 时，x2﹣2x+1=16﹣8+1=9，由上可以发现规律是所捂多项式的值是代入的正整数 x﹣1 的平方； （4）若所捂多项式的值为 144，x 的取值是 13． ∵144=122，∴x 的值是 13． 直击中考 1、（2012•广州）下面的计算正确的是（ ） A．6a﹣5a=1 B．a+2a2=3a3 C．﹣（a﹣b）=﹣a+b D．2（a+b）=2a+b 菁优网版权所有 12 【解析】考察合并同类项法则和去括号法则 A、6a﹣5a=a，故此选项错误； B、a 与 2a2 不是同类项，不能合并，故此选项错误； C、﹣（a﹣b）=﹣a+b，故此选项正确； D、2（a+b）=2a+2b，故此选项错误；故选：C． 2、（2012•雅安）如果单项式 与 是同类项，那么 a，b 分别为（ ） A．2，2 B．﹣3，2 C．2，3 D．3，2 【解析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）即可求解． 单项式 与 是同类项，则 a=3，b=2．故选：D． 3、（2012•河北）如图，两个正方形的面积分别为 16，9，两阴影部分的面积分别为 a，b（a＞b），则（a﹣b） 等于（ ） A．7 B．6 C．5 D．4 【解析】设重叠部分面积为 c，（a﹣b）可理解为（a+c）﹣（b+c），即两个正方形 面积的差． 设重叠部分面积为 c，a﹣b=（a+c）﹣（b+c）=16﹣9=7，故选 A． S(Summary-Embedded)——归纳总结 重点回顾 1、合并同类项 2、去括号的法则 3、整式的加减 名师点拨 1、去括号的法则 （1）括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变； （2）括号前是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变。 2、整式的加减 13 （1）整式的加减：实质就是将整式中的同类项进行合并，如果有括号应先去括号，再合并同类项 （2）整式的加减结果注意以下三点： ①结果要是最简，即结果中不再含有同类项； ②一般按照某一字母的降幂或升幂排列； ③不能出现带分数，带分数要转化为假分数。 学霸经验  本节课我学到了  我需要努力的地方是