【数学】2020届北京一轮复习通用版3-1导数的概念及运算
专题三 导数及其应用
【真题典例】
3.1 导数的概念及运算
挖命题
【考情探究】
考点
内容解读
5年考情
预测热度
考题示例
考向
关联考点
1.导数的概念与几何意义
1.了解导数概念的实际背景
2.理解导数的几何意义
2013北京,18
2013北京文,18
导数的几何意义、导数的应用
函数方程问题
★★★
2.导数的运算
1.能根据导数的定义求函数y=C(C为常数),y=x,y=1x,y=x2,y=x3,y=x的导数
2.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,了解复合函数的求导法则
2014北京文,20
导数的应用
函数方程问题、
函数的性质
★★★
分析解读 本部分主要是对导数概念及其运算的考查,以导数的运算公式和运算法则为基础,以导数的几何意义为重点.
1.最常考查的是求过曲线上某点的切线的斜率、方程、斜率与倾斜角的关系、切点的坐标,或以平行、垂直直线的斜率间的关系为载体求字母的取值等.
2.导数的运算是每年必考的内容,一般不单独考查,而在考查导数的应用时常与函数单调性、极值或最值结合出题考查.
3.本节内容在高考中的分值为5分左右,属于容易题.
破考点
【考点集训】
考点一 导数的概念与几何意义
1.(2018课标Ⅰ,5,5分)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为( )
A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x
答案 D
2.(2017课标Ⅰ文,14,5分)曲线y=x2+1x在点(1,2)处的切线方程为 .
答案 x-y+1=0
考点二 导数的运算
3.(2013江西,13,5分)设函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(ex)=x+ex,则f '(1)= .
答案 2
炼技法
【方法集训】
方法1 求函数的导数的方法
1.曲线f(x)=x2+ax+1在点(1, f(1))处切线的倾斜角为3π4,则实数a= ( )
A.1 B.-1 C.7 D.-7
答案 C
方法2 利用导数的几何意义求曲线的切线方程
2.(2015陕西,15,5分)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=1x(x>0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为 .
答案 (1,1)
3.(2016北京,18,13分)设函数f(x)=xea-x+bx,曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4.
(1)求a,b的值;
(2)求f(x)的单调区间.
解析 (1)因为f(x)=xea-x+bx,所以f '(x)=(1-x)ea-x+b.
依题设,知f(2)=2e+2,f '(2)=e-1,
即2ea-2+2b=2e+2,-ea-2+b=e-1.
解得a=2,b=e.
(2)由(1)知f(x)=xe2-x+ex.
由f '(x)=e2-x(1-x+ex-1)及e2-x>0知, f '(x)与1-x+ex-1同号.
令g(x)=1-x+ex-1,则g'(x)=-1+ex-1.
所以,当x∈(-∞,1)时,g'(x)<0,g(x)在区间(-∞,1)上单调递减;
当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)在区间(1,+∞)上单调递增.
故g(1)=1是g(x)在区间(-∞,+∞)上的最小值,
从而g(x)>0,x∈(-∞,+∞).
综上可知, f '(x)>0,x∈(-∞,+∞).故f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞).
方法总结 (1)曲线在某点处的切线满足两个条件:一是过该点,二是斜率(若斜率存在)等于函数在该点处的导数值.(2)讨论函数的单调性可转化为讨论导函数的符号变化,因此常将导函数作为一个新函数来研究其值域(最值),利用所得结果确定原函数的单调性.
过专题
【五年高考】
A组 自主命题·北京卷题组
1.(2014北京文,20,13分)已知函数f(x)=2x3-3x.
(1)求f(x)在区间[-2,1]上的最大值;
(2)若过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切,求t的取值范围;
(3)问过点A(-1,2),B(2,10),C(0,2)分别存在几条直线与曲线y=f(x)相切?(只需写出结论)
解析 (1)由f(x)=2x3-3x得f '(x)=6x2-3.
令f '(x)=0,得x=-22或x=22.
因为f(-2)=-10, f-22=2, f22=-2, f(1)=-1,
所以f(x)在区间[-2,1]上的最大值为f-22=2.
(2)设过点P(1,t)的直线与曲线y=f(x)相切于点(x0,y0),
则y0=2x03-3x0,且切线斜率为k=6x02-3,
所以切线方程为y-y0=(6x02-3)(x-x0),
因此t-y0=(6x02-3)(1-x0).
整理得4x03-6x02+t+3=0.
设g(x)=4x3-6x2+t+3,
则“过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切”等价于“g(x)有3个不同零点”.
g'(x)=12x2-12x=12x(x-1).
g(x)与g'(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,0)
0
(0,1)
1
(1,+∞)
g'(x)
+
0
-
0
+
g(x)
↗
t+3
↘
t+1
↗
所以,g(0)=t+3是g(x)的极大值,g(1)=t+1是g(x)的极小值.
当g(0)=t+3≤0,即t≤-3时,此时g(x)在区间(-∞,1]和(1,+∞)上分别至多有1个零点,所以g(x)至多有2个零点.
当g(1)=t+1≥0,即t≥-1时,此时g(x)在区间(-∞,0)和[0,+∞)上分别至多有1个零点,所以g(x)至多有2个零点.
当g(0)>0且g(1)<0,即-3
0,所以g(x)分别在区间[-1,0),[0,1)和[1,2)上恰有1个零点.由于g(x)在区间(-∞,0)和(1,+∞)上单调,所以g(x)分别在区间(-∞,0)和[1,+∞)上恰有1个零点.
综上可知,当过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切时,t的取值范围是(-3,-1).
(3)过点A(-1,2)存在3条直线与曲线y=f(x)相切;
过点B(2,10)存在2条直线与曲线y=f(x)相切;
过点C(0,2)存在1条直线与曲线y=f(x)相切.
评析本题主要考查导数的几何意义、导数的应用及函数方程问题,考查学生运用导数研究函数性质的能力,考查了函数与方程、等价转化等思想方法.
2.(2013北京文,18,13分)已知函数f(x)=x2+xsin x+cos x.
(1)若曲线y=f(x)在点(a, f(a))处与直线y=b相切,求a与b的值;
(2)若曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同交点,求b的取值范围.
解析 由f(x)=x2+xsin x+cos x,得f '(x)=x(2+cos x).
(1)因为曲线y=f(x)在点(a, f(a))处与直线y=b相切,
所以f '(a)=a(2+cos a)=0,b=f(a).解得a=0,b=f(0)=1.
(2)令f '(x)=0,得x=0.f(x)与f '(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,0)
0
(0,+∞)
f '(x)
-
0
+
f(x)
↘
1
↗
所以函数f(x)在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增, f(0)=1是f(x)的最小值.
当b≤1时,曲线y=f(x)与直线y=b最多只有一个交点;当b>1时, f(-2b)=f(2b)≥4b2-2b-1>4b-2b-1>b,f(0)=11时曲线y=f(x)与直线y=b有且仅有两个不同交点.
综上可知,如果曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同交点,那么b的取值范围是(1,+∞).
思路分析 (1)根据题意可得f '(a)=0, f(a)=b,联立解出a,b的值即可;
(2)利用导数得出其单调性与最值,即可得b的取值范围.
3.(2013北京,18,13分)设L为曲线C:y=lnxx在点(1,0)处的切线.
(1)求L的方程;
(2)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线L的下方.
解析 (1)设f(x)=lnxx,则f '(x)=1-lnxx2.
所以f '(1)=1.所以L的方程为y=x-1.
(2)证明:令g(x)=x-1-f(x),则除切点之外,曲线C在直线L的下方等价于g(x)>0(∀x>0,x≠1).
g(x)满足g(1)=0,且g'(x)=1-f '(x)=x2-1+lnxx2.
当01时,x2-1>0,ln x>0,
所以g'(x)>0,故g(x)单调递增.
所以,g(x)>g(1)=0(∀x>0,x≠1).
所以除切点之外,曲线C在直线L的下方.
思路分析 (1)先求导,再求切线的斜率,进而得出切线方程;(2)令g(x)=x-1-f(x),待证等价于g(x)>0(∀x>0,x≠1),再利用函数的单调性和最值解决问题.
一题多解 (2)令g(x)=x-1-f(x),则除切点之外,曲线C在直线L的下方等价于g(x)>0(∀x>0,x≠1).
令h(x)=x(x-1)-ln x,则g(x)=h(x)x,并且h(1)=0,
h'(x)=2x-1-1x=(2x+1)(x-1)x.
当01时,h'(x)>0,h(x)单调递增.
所以,h(x)>h(1)=0(∀x>0,x≠1).
因此g(x)>0(∀x>0,x≠1).
所以除切点之外,曲线C在直线L的下方.
B组 统一命题、省(区、市)卷题组
1.(2014课标Ⅱ,8,5分)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 D
2.(2018课标Ⅱ,13,5分)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 .
答案 y=2x
3.(2018课标Ⅲ,14,5分)曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a= .
答案 -3
4.(2018天津文,10,5分)已知函数f(x)=exln x, f '(x)为f(x)的导函数,则f '(1)的值为 .
答案 e
5.(2016天津文,10,5分)已知函数f(x)=(2x+1)ex, f '(x)为f(x)的导函数,则f '(0)的值为 .
答案 3
C组 教师专用题组
1.(2016山东,10,5分)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是( )
A.y=sin x B.y=ln x C.y=ex D.y=x3
答案 A
2.(2014陕西,10,5分)如图,修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切).已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为( )
A.y=12x3-12x2-x B.y=12x3+12x2-3x C.y=14x3-x D.y=14x3+12x2-2x
答案 A
3.(2016课标Ⅱ,16,5分)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b= .
答案 1-ln 2
4.(2016课标Ⅲ,15,5分)已知f(x)为偶函数,当x<0时, f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是 .
答案 y=-2x-1
5.(2015天津文,11,5分)已知函数f(x)=axln x,x∈(0,+∞),其中a为实数, f '(x)为f(x)的导函数.若f '(1)=3,则a的值为 .
答案 3
6.(2014江西,13,5分)若曲线y=e-x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是 .
答案 (-ln 2,2)
7.(2014课标Ⅰ,21,12分)设函数f(x)=aln x+1-a2x2-bx(a≠1),曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线斜率为0.
(1)求b;
(2)若存在x0≥1,使得f(x0)0,f(x)在(1,+∞)上单调递增.
所以,存在x0≥1,使得f(x0)1,故当x∈1,a1-a时, f '(x)<0;当x∈a1-a,+∞时, f '(x)>0.f(x)在1,a1-a上单调递减,在a1-a,+∞上单调递增.
所以,存在x0≥1,使得f(x0)aa-1,所以不合题意.
(iii)若a>1,则f(1)=1-a2-1=-a-120.即F(x)在(-2,x1)上单调递减,在(x1,+∞)上单调递增.故F(x)在[-2,+∞)上的最小值为F(x1).而F(x1)=2x1+2-x12-4x1-2=-x1(x1+2)≥0.
故当x≥-2时,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.
(ii)若k=e2,则F'(x)=2e2(x+2)(ex-e-2).
从而当x>-2时,F'(x)>0,
即F(x)在(-2,+∞)上单调递增.
而F(-2)=0,故当x≥-2时,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.
(iii)若k>e2,则F(-2)=-2ke-2+2=-2e-2(k-e2)<0.从而当x≥-2时, f(x)≤kg(x)不可能恒成立.
综上,k的取值范围是[1,e2].
评析本题考查了导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性,考查了分类与整合、函数与方程的思想;结合特值限定参数的范围可减少分类的情况,有利于提高效率,利用两根大小作为讨论的分界点是解题关键.
【三年模拟】
一、选择题(每小题5分,共5分)
1.(2019届北京顺义一中10月月考文,5)已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则a的范围是( )
A.-12 D.a<-3或a>6
答案 D
二、填空题(每小题5分,共10分)
2.(2019届北京通州期中文,11)曲线y=ex+1在点(0,2)处的切线方程为 .
答案 x-y+2=0
3.(2019届北京潞河中学10月月考文,9)曲线y=x3-x2-x+1在点(0,1)处的切线方程是 .
答案 x+y-1=0
三、解答题(共50分)
4.(2019届北京海淀期中,17)已知函数f(x)=x3+x2+ax-1.
(1)当a=-1时,求函数f(x)的单调区间;
(2)求证:直线y=ax-2327是曲线y=f(x)的切线;
(3)写出a的一个值,使得函数f(x)有三个不同的零点(只需直接写出数值).
解析 (1)当a=-1时, f(x)=x3+x2-x-1, f(x)的定义域为R,
则f '(x)=3x2+2x-1=(3x-1)(x+1),
令f '(x)=0,得x1=13,x2=-1,
当x变化时, f '(x), f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,-1)
-1
-1,13
13
13,+∞
f '(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以, f(x)的单调递增区间是(-∞,-1),13,+∞,单调递减区间是-1,13.
(2)证明:f '(x)=3x2+2x+a,
设切点为(x0,y0),则f '(x0)=3x02+2x0+a=a,
解得x0=0或-23,
f(0)=-1, f-23=-23a-2327.
点(0,-1)不在直线y=ax-2327上,舍去,
点-23,-23a-2327在直线y=ax-2327上,
故直线y=ax-2327是曲线y=f(x)的切线.
(3)a=-5(a<-1即可).
方法总结 利用导数确定函数的单调区间,可令导数大于零(或小于零),解不等式即可;利用导数求曲线的切线问题一般是先设出切点,利用切点处的导数值就是切线的斜率,再结合已知条件,问题就可以解决.
5.(2018北京西城一模,18)已知函数f(x)=ex·a+1x+lnx,其中a∈R.
(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线与直线y=-xe垂直,求a的值;
(2)当a∈(0,ln 2)时,证明: f(x)存在极小值.
解析 (1)f(x)的导函数为f '(x)=ex·a+1x+lnx+ex·1x-1x2=ex·a+2x-1x2+lnx.
依题意,有f '(1)=e·(a+1)=e,
解得a=0.
(2)证明:由f '(x)=ex·a+2x-1x2+lnx及ex>0知, f '(x)与a+2x-1x2+ln x同号.
令g(x)=a+2x-1x2+ln x,x∈(0,+∞).
则g'(x)=x2-2x+2x3=(x-1)2+1x3.
所以对任意x∈(0,+∞),有g'(x)>0,故g(x)在(0,+∞)上单调递增.
因为a∈(0,ln 2),所以g(1)=a+1>0,g12=a+ln12<0,
故存在x0∈12,1,使得g(x0)=0.
f(x)与f '(x)在区间12,1上的变化情况如表:
x
12,x0
x0
(x0,1)
f '(x)
-
0
+
f(x)
↘
极小值
↗
所以f(x)在区间12,x0上单调递减,在区间(x0,1)上单调递增.
所以f(x)存在极小值f(x0).
6.(2018北京十七中期中,18)已知函数f(x)=a(x-1)x2,其中a>0.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若直线x-y-1=0是曲线y=f(x)的切线,求实数a的值;
(3)设g(x)=xln x-x2f(x),求g(x)在区间[1,e]上的最大值(其中e为自然对数的底数).
解析 (1)f '(x)=a(2-x)x3(x≠0),
令f '(x)<0,得x<0或x>2,
令f '(x)>0,得00,解得a0,求得x的范围,可得函数f(x)的单调增区间,令f '(x)<0,求得x的范围,可得函数f(x)的单调减区间;(2)利用切线的斜率即为切点处的导数值以及切点是直线与曲线的共同点,联立得方程组即可求实数a的值;(3)求出g(x)的导函数,分三种情况讨论,利用导数研究函数在区间[1,e]上的单调性,进而求得g(x)在区间[1,e]上的最大值.
7.(2017北京海淀零模,19)已知函数f(x)=exx.
(1)若曲线y=f(x)与直线y=kx相切于点P,求点P的坐标;
(2)当a≤e时,证明:当x∈(0,+∞)时, f(x)≥a(x-ln x).
解析 (1)f '(x)=ex(x-1)x2,设点P的坐标为(x0,y0),
由题意知ex0(x0-1)x02=k,ex0x0=kx0,解得x0=2,所以y0=ex0x0=e22,
从而点P的坐标为2,e22.
(2)证明:设g(x)=f(x)-a(x-ln x)=exx-a(x-ln x),
则g'(x)=(ex-ax)(x-1)x2,x∈(0,+∞),
设h(x)=ex-ax,x∈(0,+∞),则h'(x)=ex-a.
①当a≤1时,因为x>0,所以ex>1,所以h'(x)=ex-a>0,
所以h(x)在区间(0,+∞)上单调递增,所以h(x)>h(0)=1>0;
②当10.
所以h(x)≥h(ln a)=a(1-ln a)≥0.
故当x∈(0,+∞)时,有h(x)≥0,所以g(x),g'(x)的变化情况如表:
x
(0,1)
1
(1,+∞)
g'(x)
-
0
+
g(x)
↘
极小值
↗
所以g(x)min=g(1)=e-a≥0,所以当x∈(0,+∞)时, f(x)≥a(x-ln x).
8.(2017北京房山一模,18)已知函数f(x)=x-1+aex.
(1)若曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线平行于x轴,求a的值;
(2)求f(x)的极值;
(3)当a=1时,曲线y=f(x)与直线y=kx-1没有公共点,求k的取值范围.
解析 (1)f '(x)=1+aex,
因为曲线y=f(x)=x-1+aex在点(1, f(1))处的切线平行于x轴,所以k=f '(1)=1+ae1=0,所以a=-1e.
(2)当a≥0时, f '(x)>0恒成立,所以函数无极值;
当a<0时,令f '(x)=1+aex=0,得x=ln-1a,
当x变化时, f(x), f '(x)的变化情况如表:
x
-∞,ln-1a
ln-1a
ln-1a,+∞
f '(x)
+
0
-
f(x)
↗
ln-1a-2
↘
所以f(x)极大值=ln-1a-2.
(3)当a=1时,曲线f(x)=x-1+ex与直线y=kx-1没有公共点,令h(x)=x-1+ex-(kx-1),
即h(x)=x(1-k)+ex无零点,
易知当k=1时,无零点;当k<1时,有一个零点;
当k>1时,若y=ex的图象与直线y=(k-1)x相切,则有一个零点,设切点为(x0,y0),则ex0=(k-1),y0=ex0,y0=(k-1)x0,
解得x0=1,所以切点为(1,e),所以k-1=e,所以k=1+e.故当1
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