2018届二轮复习(理)专题八 数学思想方法与高考数学文化(选用)第1讲课件(全国通用)

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2018届二轮复习(理)专题八 数学思想方法与高考数学文化(选用)第1讲课件(全国通用)

第 1 讲 函数与方程思想、数形结合思想 数学思想解读 1 . 函数与方程思想的实质就是用联系和变化的观点 , 描述两个量之间的依赖关系 , 刻画数量之间的本质特征 , 在提出数学问题时 , 抛开一些非数学特征 , 抽象出数量特征 , 建立明确的函数关系 , 并运用函数的知识和方法解决问题 . 有时需要根据已知量和未知量之间的制约关系 , 列出方程 ( 组 ) , 进而通过解方程 ( 组 ) 求得未知量 . 函数与方程思想是相互联系 , 相互为用的 . 2 . 数形结合思想 , 就是根据数与形之间的对应关系 , 通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想 . 数形结合思想的应用包括以下两个方面: (1) “ 以形助数 ” , 把某些抽象的数学问题直观化、生动化 ,能够变抽象思维为形象思维,揭示数学问题的本质; ( 2) “ 以数定形 ” , 把直观图形数量化 , 使形更加精确 . 热点一 函数与方程思想 应用 1  求解不等式、函数零点的问题 【例 1 】 (1) (2017· 衡阳市联考 ) 设 0< a <1 , e 为自然对数的底数,则 a , a e , e a - 1 的大小关系为 (    ) A.e a - 1< a < a e B. a e < a m 时 , x 2 - 2 mx + 4 m = ( x - m ) 2 + 4 m - m 2 . ∴ 要使方程 f ( x ) = b 有三个不同的根 , 则有 4 m - m 2 < m , 即 m 2 - 3 m >0. 又 m >0 , 解得 m >3. 答案  (1)(0 , 2)   (2)(3 ,+ ∞ ) 探究提高   1. 本题利用数形结合思想 , 将函数零点或方程的根的情况转化为两函数图象交点问题 . 2 . 探究方程解的问题应注意两点: (1) 讨论方程的解 ( 或函数的零点 ) 一般可构造两个函数 ,使问题转化为讨论两曲线的交点问题,讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性,否则会得到错解 . (2) 正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键 , 数形结合应以快和准为原则 , 不要刻意去用数形结合 . 应用 2  利用数形结合思想求最值、范围 【例 5 】   (1) 记实数 x 1 , x 2 , … , x n 中最小数为 min{ x 1 , x 2 , … , x n } ,则定义在区间 [0 ,+ ∞ ) 上的函数 f ( x ) = min{ x 2 + 1 , x + 3 , 13 - x } 的最大值为 (    ) A.5 B.6 C.8 D.10 (2) 已知圆 C : ( x - 3) 2 + ( y - 4) 2 = 1 和两点 A ( - m , 0) , B ( m , 0)( m >0). 若圆 C 上存在点 P ,使得 ∠ APB = 90 °,则 m 的最大值为 (    ) A.7 B.6 C.5 D.4 解析   (1) 在同一坐标系中作出三个函数 y = x 2 + 1 , y = x + 3 , y = 13 - x 的图象如图: 由图可知 , 在实数集 R 上 , min{ x 2 + 1 , x + 3 , 13 - x } 为 y = x + 3 上 A 点下方的射线 , 抛物线 AB 之间的部分 , 线段 BC , 与直线 y = 13 - x 点 C 下方的部分的组合图 . 显然 , 在区间 [0 , + ∞ ) 上 , 在 C 点时 , y = min{ x 2 + 1 , x + 3 , 13 - x } 取得最大值 . 所以 | OP | max = | OC | + r = 6 , 即 m 的最大值为 6. 答案  (1)C   (2)B 探究提高  1. 第 (1) 题利用函数的图象求最值 , 避免分段函数的讨论;第 (2) 题利用几何直观 , 把 m 的值转化为圆上的点到原点的距离 . 2 . 运用数形结合思想求解最值问题 (1) 对于几何图形中的动态问题 , 应分析各个变量的变化过程 , 找出其中的相互关系求解 . (2) 应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式 , 主要有: ① 比值 —— 可考虑直线的斜率; ② 二元一次式 —— 可考虑直线的截距; ③ 根式分式 —— 可考虑点到直线的距离; ④ 根式 —— 可考虑两点间的距离 . 答案  D 应用 3  数形结合求解不等式、参数问题 ∵ f ( x ) 为奇函数 ,∴ g ( x ) 为偶函数 ,∴ g ( x ) 的图象的示意图如图所示 . 当 x >0 时 , 由 f ( x )>0 , 得 g ( x )>0 , 由图知 0< x <1 , 当 x <0 时 , 由 f ( x )>0 , 得 g ( x )<0 , 由图知 x < - 1 , 答案  (1)A   (2)C 探究提高  1. 第 (1) 题利用了数形结合思想 , 由条件判断函数的单调性 , 再结合 f ( - 1) = 0 可作出函数的图象 , 利用图象即可求出 x 的取值范围 . 2 . 求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象 , 根据不等式中量的特点 , 选择适当的两个 ( 或多个 ) 函数 , 利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系解决问题 , 往往可以避免烦琐的运算 , 获得简捷的解答 . 解析  (1) 由题意 , 易知 a >1. 在同一坐标系内作出 y = ( x - 1) 2 , x ∈ (1 , 2) 及 y = log a x 的图象 . 答案  (1)(1 , 2]   (2)( - 1 , 1] 1. 当问题中涉及一些变化的量时,就需要建立这些变化的量之间的关系,通过变量之间的关系探究问题的答案,这就需要使用函数思想 . 2. 借助有关函数的性质,一是用来解决有关求值、解 ( 证 ) 不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题,二是在问题的研究中,可以通过建立函数关系式或构造中间函数来求解 . 3. 许多数学问题中,一般都含有常量、变量或参数,这些参变量中必有一个处于突出的主导地位,把这个参变量称为主元,构造出关于主元的方程,主元思想有利于回避多元的困扰,解方程的实质就是分离参变量 . 4. 在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助数的途径,当试题中涉及这些问题的数量关系时,我们可以通过图形分析这些数量关系,达到解题的目的 . 5. 有些图形问题,单纯从图形上无法看出问题的结论,这就要对图形进行数量上的分析,通过数的帮助达到解题的目的 .
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