【数学】2019届一轮复习人教A版11-5 数学归纳法学案
11.5 数学归纳法
[知识梳理]
数学归纳法的定义
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
1．(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；
2．(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，上述证明方法叫做数学归纳法．
[诊断自测]
1．概念思辨
(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．( )
(2)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．( )
(3)用数学归纳法证明等式：1＋2＋3＋…＋n2＝(n∈N*)时，从n＝k到n＝k＋1左边应添加的项为(k＋1)2.( )
(4)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
2．教材衍化
(1)(选修A2－2P99B组T1)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 三角形是边数最少的凸多边形，故第一步应检验n＝3.故选C.
(2)(选修A2－2P96T1)用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋>(n∈N*)成立时，其初始值至少应取( )
A．7 B．8 C．9 D．10
答案 B
解析 左边＝1＋＋＋…＋＝＝2－，代入验证可知n的最小值是8.故选B.
3．小题热身
(1)已知f(n)＝＋＋＋…＋，则( )
A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋
B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋
C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋
D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋
答案 D
解析 分母为首项为n，公差为1的等差数列，故f(n)共有n2－n
＋1项，当n＝2时，＝，＝，故f(2)＝＋＋.故选D.
(2)用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N*)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真．
答案 2k＋1
解析 由于步长为2，所以2k－1后一个奇数应为2k＋1.
题型1 用数学归纳法证明恒等式
求证：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N*)．
证明 (1)当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝＝.左边＝右边．
(2)假设n＝k时等号成立，即1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，
则当n＝k＋1时，
1－＋－＋…＋－＋＝＋＋…＋＋
＝＋＋…＋＋.
即当n＝k＋1时，等式也成立．
综合(1)(2)可知，对一切n∈N*，等式成立．
方法技巧
数学归纳法证明等式的思路和注意点
1．思路：用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．
2．注意点：由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程．
提醒：归纳假设就是证明n＝k＋1时命题成立的条件，必须用上，否则就不是数学归纳法．
冲关针对训练
用数学归纳法证明：＋＋＋…＋＝(其中n∈N*)．
证明 (1)当n＝1时，等式左边＝＝，
等式右边＝＝，∴等式成立．
(2)假设n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立．
即＋＋…＋＝成立，那么当
n＝k＋1时，＋＋＋…＋＋
＝＋
＝＝
＝，
即n＝k＋1时等式成立．
由(1)(2)可知，对任意n∈N*等式均成立．
题型2 用数学归纳法证明不等式
已知数列{an}，当n≥2时，an<－1，又a1＝0，a＋an＋1－1＝a，求证：当n∈N*时，an＋1
a2.
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，ak＋10.
又ak＋2＋ak＋1＋1<－1＋(－1)＋1＝－1，
∴ak＋2－ak＋1<0，
∴ak＋2(n∈N*)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，下列说法正确的是( )
A．增加了一项
B．增加了两项和
C．增加了B中两项，但又少了一项
D．增加了A中一项，但又少了一项
答案 C
解析 当n＝k时，左端＝＋＋…＋，
那么当n＝k＋1时，左端＝＋…＋＋＋，
故第二步由k到k＋1时不等式左端的变化是增加了两项，同时减少了这一项．故选C.
2．(2017·珠海期末)《庄子·天下篇》中记述了一个著名命题：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，反映这个命题本质的式子是( )
A．1＋＋＋…＋＝2－
B.＋＋…＋<1
C.＋＋…＋＝1
D.＋＋…＋>1
答案 B
解析 根据已知可得每次截取的长度构造一个以为首项，以为公比的等比数列，
∵＋＋…＋＝1－<1，
故反映这个命题本质的式子是＋＋…＋<1.
故选B.
3．(2017·北京西城区期末)若不等式＋＋＋…＋>a(n∈N*)恒成立，则a的取值范围为________．
答案
解析 设f(n)＝＋＋＋…＋，
则f(n＋1)＝＋＋…＋＋＋，
则f(n＋1)－f(n)＝＋－＝－>0，
∴数列f(n)是关于n(n∈N*)的递增数列，
∴f(n)≥f(1)＝，
∵不等式＋＋＋…＋>a(n∈N*)恒成立，∴a<，故a的取值范围为
4．(2016·桥西期末)用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N*)时，从n＝k到n＝k＋1时左边需增乘的代数式是________．
答案 4k＋2
解析 用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N*)时，从n＝k到n＝k＋1时左边需增乘的代数式是＝2(2k＋1)．
故答案为4k＋2.
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一、选择题
1．(2016·安庆高三月考)用数学归纳法证明2n>n2(n≥5，n∈N*)，第一步应验证( )
A．n＝4 B．n＝5 C．n＝6 D．n＝7
答案 B
解析 根据数学归纳法的步骤，首先要验证n取第一个值时命题成立，又n≥5，故第一步验证n＝5.故选B.
2．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝时，由n＝k的假设到证明n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是( )
A．(k＋1)2＋2k2
B．(k＋1)2＋k2
C．(k＋1)2
D.(k＋1)[2(k＋1)2＋1]
答案 B
解析 由n＝k到n＝k＋1时，左边增加(k＋1)2＋k2.故选B.
3．(2018·沈阳调研)用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，利用归纳法假设证明n＝k＋1时，只需展开( )
A．(k＋3)3 B．(k＋2)3
C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3
答案 A
解析 假设n＝k时，原式k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只须将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．故选A.
4．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为( )
A．30 B．26 C．36 D．6
答案 C
解析 ∵f(1)＝36，f(2)＝108＝3×36，f(3)＝360＝10×36，∴f(1)，f(2)，f(3)都能被36整除，猜想f(n)能被36整除．证明如下：当n＝1,2时，由以上得证．假设当n＝k(k≥2)时，f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被36整除，则当n＝k＋1时，f(k＋1)－f(k)＝(2k＋9)·3k＋1－(2k＋7)·3k＝(6k＋27)·3k－(2k＋7)·3k＝(4k＋20)·3k＝36(k＋5)·3k－2(k≥2)，∴
f(k＋1)能被36整除．∵f(1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m的值为36.
5．(2017·泉州模拟)用数学归纳法证明n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2(n∈N*)时，若记f(n)＝n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)，则f(k＋1)－f(k)等于( )
A．3k－1 B．3k＋1 C．8k D．9k
答案 C
解析 因为f(k)＝k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)，f(k＋1)＝(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(3k－1)＋(3k)＋(3k＋1)，则f(k＋1)－f(k)＝3k－1＋3k＋3k＋1－k＝8k.故选C.
6．(2018·太原质检)平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为 ( )
A．n＋1 B．2n
C. D．n2＋n＋1
答案 C
解析 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……；n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝个区域．故选C.
7．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，第n个三角形数为＝n2＋n.记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：
三角形数N(n,3)＝n2＋n；
正方形数N(n,4)＝n2；
五边形数N(n,5)＝n2－n；
六边形数N(n,6)＝2n2－n.
可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝( )
A．500 B．1000 C．1500 D．2000
答案 B
解析 由已知得，N(n,3)＝n2＋n＝n2＋n，N(n,4)＝n2＝n2＋n，N(n,5)＝n2－n＝n2＋n，N(n,6)＝2n2－n＝n2＋n，根据归纳推理可得，N(n，k)＝n2＋n.所以N(10,24)＝×102＋×10＝1100－100＝1000，故答案为1000.选B.
8．若数列{an}满足an＋5an＋1＝36n＋18，n∈N*，且a1＝4，猜想其通项公式为( )
A．3n＋1 B．4n C．5n－1 D．6n－2
答案 D
解析 由a1＝4求得a2＝10，a3＝16，经检验an＝6n－2.故选D.
二、填空题
9．设Sn＝1＋＋＋＋…＋，则Sn＋1－Sn＝______.
答案 ＋＋＋…＋
解析 Sn＋1＝1＋＋＋＋…＋
Sn＋1－Sn＝＋＋＋…＋.
10．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，下图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n个图的蜂巢总数，则用n表示的f(n)＝________.
答案 3n2－3n＋1
解析 由于f(2)－f(1)＝7－1＝6，f(3)－f(2)＝19－7＝2×6，
推测当n≥2时，有f(n)－f(n－1)＝6(n－1)，
所以f(n)＝[f(n)－f(n－1)]＋[f(n－1)－f(n－2)]＋[f(n－2)－f(n－3)]＋…＋[f(2)－f(1)]＋f(1)＝6[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]＋1＝3n2－3n＋1.
又f(1)＝1＝3×12－3×1＋1，∴f(n)＝3n2－3n＋1.
11．设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的自然数n都有(Sn－1)2＝anSn，通过计算S1，S2，S3，猜想Sn＝______.
答案
解析 由(S1－1)2＝S，得S1＝；
由(S2－1)2＝(S2－S1)S2，得S2＝；
由(S3－1)2＝(S3－S2)S3，得S3＝.
猜想Sn＝.
12．(2018·云南名校联考)观察下列等式：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第n个等式为________．
答案 13＋23＋33＋…＋n3＝2
解析 由第一个等式13＝12，得13＝(1＋0)2；第二个等式13＋23＝32，得13＋23＝(1＋2)2；第三个等式13＋23＋33＝62，得13＋23＋33
＝(1＋2＋3)2；第四个等式13＋23＋33＋43＝102，得13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，由此可猜想第n个等式为13＋23＋33＋43＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2＝2.
三、解答题
13．(2017·河南期末)设等差数列{an}的公差d>0，且a1>0，记Tn＝＋＋…＋.
(1)用a1，d分别表示T1，T2，T3，并猜想Tn；
(2)用数学归纳法证明你的猜想．
解 (1)T1＝＝；
T2＝＋＝＋＝＝＝；
T3＝＋＋＝＋＋＝＝＝；
由此可猜想Tn＝.
(2)证明：①当n＝1时，T1＝，结论成立，
②假设当n＝k时(k∈N*)时结论成立，
即Tk＝，
则当n＝k＋1时，Tk＋1＝Tk＋
＝＋
＝
＝＝.
即n＝k＋1时，结论成立．
由①②可知，Tn＝对于一切n∈N*恒成立．
14．(2017·扬州模拟)在数列{an}中，an＝cos(n∈N*)．
(1)试将an＋1表示为an的函数关系式；
(2)若数列{bn}满足bn＝1－(n∈N*)，猜想an与bn的大小关系，并证明你的结论．
解 (1)an＝cos＝cos
＝22－1，
∴an＝2a－1，
∴an＋1＝± ，
又n∈N*，n＋1≥2，an＋1>0，∴an＋1＝.
(2)当n＝1时，a1＝－，b1＝1－2＝－1，∴a1>b1，
当n＝2时，a2＝，b2＝1－＝，∴a2＝b2，
当n＝3时，a3＝，b3＝1－＝，∴a30，
即证明 ＋2>0，显然成立．
∴n＝k＋1时，结论也成立．
综合①②可知：当n≥3时，anb1；当n＝2时，a2＝b2；
当n≥3，n∈N*时，anS5，
猜想：n≥4时，>Sn＋1.
下面用数学归纳法证明：
①当n＝4时，已证．
②假设当n＝k(k∈N*，k≥4)时，>Sk＋1，
即>(k＋1)2，那么，n＝k＋1时，
＝＝3·>3(k＋1)2＝3k2＋6k＋3
＝(k2＋4k＋4)＋2k2＋2k－1>[(k＋1)＋1]2＝S(k＋1)＋1.
综合①②，当n≥4时，>Sn＋1.
16．(2018·合肥模拟)函数f(x)＝x2－2x－3.定义数列{xn}如下：x1＝2，xn＋1是过两点P(4,5)，Qn(xn，f(xn))的直线PQn与x轴交点的横坐标．
(1)证明：2≤xn0，即xk＋1
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