2018届二轮复习(文科)专题二第3讲 平面向量学案(全国通用)

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文档介绍

2018届二轮复习(文科)专题二第3讲 平面向量学案(全国通用)

第3讲 平面向量 高考定位 1.以选择题、填空题的形式考查向量的线性运算,多以熟知的平面图形为背景,难度中低档;2.以选择题、填空题的形式考查平面向量的数量积,多考查角、模等问题,难度中低档;3.向量作为工具常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何等结合,以解答题形式出现.‎ 真 题 感 悟 ‎1.(2017·全国Ⅱ卷)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则(  )‎ A.a⊥b B.|a|=|b|‎ C.a∥b D.|a|>|b|‎ 解析 由|a+b|=|a-b|两边平方,得a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,即a·b=0,故a⊥b.‎ 答案 A ‎2.(2017·全国Ⅰ卷)已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b与a垂直,则m=________.‎ 解析 由题意得a+b=(m-1,3),‎ 因为a+b与a垂直,所以(a+b)·a=0,所以-(m-1)+2×3=0,解得m=7.‎ 答案 7‎ ‎3.(2017·天津卷)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2,若=2,=λ- (λ∈R),且·=-4,则λ的值为________.‎ 解析 ·=3×2×cos 60°=3,=+,则·=·(λ-)=·-2+2=×3-×32+×22=λ-5=-4,解得λ=.‎ 答案  ‎4.(2017·江苏卷)已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-),x∈[0,π].‎ ‎(1)若a∥b,求x的值;‎ ‎(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.‎ 解 (1)∵a∥b,∴3sin x=-cos x,‎ ‎∴3sin x+cos x=0,即sin=0.‎ ‎∵0≤x≤π,∴≤x+≤π,‎ ‎∴x+=π,∴x=.‎ ‎(2)f(x)=a·b=3cos x-sin x=-2sin.‎ ‎∵x∈[0,π],∴x-∈,‎ ‎∴-≤sin≤1,‎ ‎∴-2≤f(x)≤3,‎ 当x-=-,即x=0时,f(x)取得最大值3;‎ 当x-=,即x=时,f(x)取得最小值-2.‎ 考 点 整 合 ‎1.平面向量的两个重要定理[来源:学科网]‎ ‎(1)向量共线定理:向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数λ,使b=λa.‎ ‎(2)平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2,其中e1,e2是一组基底.‎ ‎2.平面向量的两个充要条件 若两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 ‎(1)a∥b⇔a=λb⇔x1y2-x2y1=0.‎ ‎(2)a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.‎ ‎3.平面向量的三个性质 ‎(1)若a=(x,y),则|a|==.‎ ‎(2)若A(x1,y1),B(x2,y2),则|A|=.‎ ‎(3)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为a与b的夹角,‎ 则cos θ==.‎ ‎4.平面向量的三个锦囊 ‎(1)向量共线的充要条件:O为平面上一点,则A,B,P三点共线的充要条件是=λ1+λ2 (其中λ1+λ2=1).‎ ‎(2)三角形中线向量公式:若P为△OAB的边AB的中点,则向量与向量,的关系是=(+).‎ ‎(3)三角形重心坐标的求法:G为△ABC的重心⇔++=0⇔G.‎ 热点一 平面向量的有关运算 ‎【例1】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=________.‎ ‎(2)设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC.若=λ1+λ2 (λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为________.‎ 解析 (1)由|a+b|2=|a|2+|b|2,得a⊥b,‎ 所以a·b=m×1+1×2=0,得m=-2.‎ ‎(2)=+=+ ‎=+(-)=-+,‎ ‎∵=λ1+λ2,‎ ‎∴λ1=-,λ2=,‎ 因此λ1+λ2=.‎ 答案 (1)-2 (2) 探究提高 对于平面向量的线性运算,首先要选择一组基底,同时注意共线向量定理的灵活运用.其次运算过程中重视数形结合,结合图形分析向量间的关系.‎ ‎【训练1】 (2017·衡阳二模)如图,正方形ABCD中,M,N分别是BC,CD的中点,若=λ+μ,则λ+μ=(  )‎ A.2 B. ‎ C. D. 解析 法一 如图以AB,AD为坐标轴建立平面直角坐标系,设正方形边长为1,=,=,=(1,1).‎ ‎∵=λ+μ=λ+μ=,‎ ‎∴解之得故λ+μ=.‎ 法二 以,作为基底,‎ ‎∵M,N分别为BC,CD的中点,‎ ‎∴=+=+,‎ =+=-,‎ 因此=λ+μ=+,‎ 又=+,‎ 因此解得λ=且μ=.‎ 所以λ+μ=.‎ 答案 D 热点二 平面向量的数量积 命题角度1 平面向量数量积的运算 ‎【例2-1】 (1)(2017·浙江卷)如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O,记I1=·,I2=·,I3=·,则(  )‎ A.I1<I2<I3 B.I1<I3<I2‎ C.I3<I1<I2 D.I2<I1<I3‎ ‎(2)已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则·的值为________;·的最大值为________.‎ 解析 (1)如图所示,四边形ABCE是正方形,F为正方形的对角线的交点,易得AOI3,作AG⊥BD于G,‎ 又AB=AD,‎ ‎∴OB·,‎ 即I1>I3.∴I3
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