2020届二轮复习圆锥曲线中的最值、范围、证明问题课时作业(全国通用)

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2020届二轮复习圆锥曲线中的最值、范围、证明问题课时作业(全国通用)

第3讲 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 ‎1.已知F为椭圆C:+=1的右焦点,M为C上的任意一点.‎ ‎(1)求|MF|的取值范围;‎ ‎(2)P,N是C上异于M的两点,若直线PM与直线PN的斜率之积为-,证明:M,N两点的横坐标之和为常数.‎ 解:(1)依题意得a=2,b=,所以c= =1,‎ 所以椭圆C的右焦点F的坐标为(1,0),‎ 设椭圆C上的任意一点M的坐标为(xM,yM),‎ 则+=1,‎ 所以|MF|2=(xM-1)2+y=(xM-1)2+3-x ‎=x-2xM+4=(xM-4)2,‎ 又-2≤xM≤2,所以1≤|MF|2≤9,‎ 所以1≤|MF|≤3,‎ 所以|MF|的取值范围为[1,3].‎ ‎(2)证明:设P,M,N三点的坐标分别为(xP,yP),(xM,yM),(xN,yN),‎ 设直线PM,PN的斜率分别为k1,k2,则直线PM的方程为y-yP=k1(x-xP),‎ 联立方程,得消去y,得 ‎(3+4k)x2-8k1(k1xP-yP)x+4kx-8k1xPyP+4y-12=0,‎ 由根与系数的关系可得xM+xP=,‎ 所以xM=-xP=,‎ 同理可得xN+xP=,‎ 又k1·k2=-,‎ 故xN+xP===,‎ 则xN=-xP=-=-xM,‎ 从而xN+xM=0,‎ 即M,N两点的横坐标之和为常数.‎ ‎2.(2019·郑州市第二次质量预测)椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,A为椭圆上一动点(异于左、右顶点),△AF1F2的周长为4+2,且面积的最大值为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)设B是椭圆上一动点,线段AB的中点为P,OA,OB(O为坐标原点)的斜率分别为k1,k2,且k1k2=-,求|OP|的取值范围.‎ 解:(1)由椭圆的定义及△AF1F2的周长为4+2,可得2(a+c)=4+2,所以a+c=2+①.‎ 当A在上(或下)顶点时,△AF1F2的面积取得最大值,即bc=②,‎ 由①②及a2=c2+b2,得a=2,b=1,c=,‎ 所以椭圆C的方程为+y2=1.‎ ‎(2)当直线AB的斜率不存在时,k1=-k2,因为k1k2=-,所以k1=±,不妨取k1=,则直线OA的方程为y=x,‎ 不妨取点A,则B,P(,0),所以|OP|=.‎ 当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),由可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,Δ=64k2m2-4(4k2+1)(4m2-4)=16(4k2+1-m2)>0①,‎ 所以x1+x2=,x1x2=.因为k1k2=-,所以4y1y2+x1x2=0,‎ 所以4(kx1+m)(kx2+m)+x1x2=(4k2+1)x1x2+4km(x1+x2)+4m2=4m2-4-+4m2=0,‎ 化简得2m2=1+4k2(满足①式),所以m2≥.‎ 设P(x0,y0),则x0===,y0=kx0+m=.‎ 所以|OP|2=x+y=+=2-∈,所以|OP|∈.‎ 综上,|OP|的取值范围为.‎ ‎3.(2019·长春模拟)已知椭圆D:+=1(a>b>0)的离心率为e=,点(-,1)在椭圆D上.‎ ‎(1)求椭圆D的方程;‎ ‎(2)过椭圆D内一点P(0,t)的直线l的斜率为k,且与椭圆D交于M,N两点,设直线OM,ON(O为坐标原点)的斜率分别为k1,k2,若对任意k,存在实数λ,使得k1+k2=λk,求实数λ的取值范围.‎ 解:(1)椭圆D的离心率e==,所以a=b,‎ 又点(-,1)在椭圆D上,所以+=1,得a=2,b=,所以椭圆D的方程为+=1.‎ ‎(2)由题意得,直线l的方程为y=kx+t.‎ 由,消元可得(2k2+1)x2+4ktx+2t2-4=0.‎ 设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,‎ k1+k2=+=+=2k+=2k+t··=.‎ 由k1+k2=λk,得=λk,‎ 因为此等式对任意的k都成立,所以=λ,‎ 即t2=2-.‎ 因为点P(0,t)在椭圆内,所以0≤t2<2,‎ 即0≤2-<2,解得λ≥2.‎ 所以实数λ的取值范围是[2,+∞).‎ ‎4.(2019·重庆七校联考)椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,其左焦点到点P(2,1)的距离为.不经过原点O的直线l与椭圆C相交于A,B两点,且线段AB被直线OP平分.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)求△ABP的面积取最大值时,直线l的方程.‎ 解:(1)依题意知,e==,‎ 左焦点(-c,0)到点P(2,1)的距离d0==,‎ 得a2=4,c2=1,所以b2=3,故椭圆C的方程为+=1.‎ ‎(2)易得直线OP的方程为y=x,设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点R(x0,y0)(y0≠0),其中y0=x0.‎ 因为A,B在椭圆C上,所以+=1,+=1,两式相减得-+-=0,‎ 即+=0,‎ 故kAB==-·=-.‎ 由题意可设直线l的方程为y=-x+m(m≠0),代入+=1中,消去y并整理得3x2-3mx+m2-3=0,‎ 由Δ=(3m)2-4×3(m2-3)=3(12-m2)>0,得-20,当m∈(1-,2)且m≠0时,f′(m)<0,所以当m=1-时,S△ABP取得最大值,此时直线l的方程为3x+2y+2-2=0.‎
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