高中数学高考总复习等差数列习题及详解+函数的单调性与最值习题及详解+充分必要条件习题及详解
高中数学高考总复习等差数列习题及详解
+函数的单调性与最值习题及详解+充分必要条件习题及详解
高中数学高考总复习等差数列习题(附参考答案)
一、选择题
1．(2010·宁夏)一个等差数列的前 4 项是 a，x，b,2x，则a
b
等于( )
A.1
4 B.1
2
C.1
3 D.2
3
[答案] C
[解析]
2x＝a＋b
2b＝x＋2x
，∴a＝x
2
，b＝3
2x.
∴a
b
＝1
3.
2．(文)(2010·茂名市模考)数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 an＝ 1
nn＋1
，则 S4 等于( )
A.4
5 B.1
5
C. 1
20 D.5
6
[答案] A
[解析] ∵an＝ 1
nn＋1
＝1
n
－ 1
n＋1
，
∴S4＝a1＋a2＋a3＋a4
＝ 1－1
2 ＋
1
2
－1
3 ＋
1
3
－1
4 ＋
1
4
－1
5 ＝4
5
，故选 A.
(理)已知等差列{an}共有 2008 项，所有项的和为 2010，所有偶数项的和为 2，则 a1004＝( )
A．1 B．2
C. 1
502 D. 1
256
[答案] B
[解析] 依题意得2008a1＋a2008
2
＝2010，
a1＋a2008＝1005
502
，1004a2＋a2008
2
＝2，a2＋a2008＝ 1
251
，
故 a2－a1＝－1003
502
＝d(d 为公差)，
又 a2＋a2008＝2a1005，
∴a1005＝ 1
502
，a1004＝a1005－d＝ 1
502
＋1003
502
＝2.
3．(文)(2010·山东日照模拟)已知等差数列{an}的公差为 d(d≠0)，且 a3＋a6＋a10＋a13＝32，若 am＝8，
则 m 为( )
A．12 B．8
C．6 D．4
[答案] B
[解析] 由等差数列性质知，a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32，
∴a8＝8.
∴m＝8.故选 B.
(理)(2010·温州中学)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S3＝9，S6＝36，则 a7＋a8＋a9＝( )
A．63 B．45
C．43 D．27
[答案] B
[解析] 由等差数列的性质知，S3，S6－S3，S9－S6 成等差数列，∴2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，∴a7＋a8
＋a9＝S9－S6＝2(S6－S3)－S3＝45.
4．(2010·浙江省金华十校)等差数列{an}中，Sn 是{an}前 n 项和，已知 S6＝2，S9＝5，则 S15＝( )
A．15 B．30
C．45 D．60
[答案] A
[解析] 解法 1：由等差数列的求和公式及 S6＝2
S9＝5
知，
6a1＋6×5
2
d＝2
9a1＋9×8
2
d＝5
，∴
a1＝－ 1
27
d＝ 4
27
，
∴S15＝15a1＋15×14
2
d＝15.
解法 2：由等差数列性质知，{Sn
n }成等差数列，设其公差为 D，则S9
9
－S6
6
＝3D＝5
9
－2
6
＝2
9
，∴D＝ 2
27
，
∴S15
15
＝S9
9
＋6D＝5
9
＋6× 2
27
＝1，∴S15＝15.
5．(文)(2010·福建福州一中)设数列{an}的通项公式为 an＝20－4n，前 n 项和为 Sn，则 Sn 中最大的是
( )
A．S3 B．S4 或 S5
C．S5 D．S6
[答案] B
[解析] 由 an＝20－4n≥0 得 n≤5，故当 n>5 时，an<0，所以 S4 或 S5 最大，选 B.
(理)(2010·山师大附中)已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以 Sn 表示{an}的前 n
项和，则使得 Sn 达到最大值的 n 是( )
A．21 B．20
C．19 D．18
[答案] B
[解析] ∵3d＝(a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5)＝99－105＝－6，∴d＝－2，由 a1＋a3＋a5＝105 得 3a1＋6d
＝105，∴a1＝39，∴an＝39－2(n－1)＝41－2n，
由 an≥0，n∈N 得，n≤20，∴a20>0，a21<0，故选 B.
6．(文)(2010·辽宁锦州)公差不为零的等差数列{an}中，2a3－a72＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且
b7＝a7，则 b6b8＝( )
A．2 B．4
C．8 D．16
[答案] D
[解析] ∵2a3－a72＋2a11＝0，{an}为等差数列，
∴a72＝2(a3＋a11)＝4a7，
∵{bn}为等比数列，b7＝a7，∴a7≠0，∴a7＝4，
∴b7＝4，∴b6b8＝b72＝16.
(理)(2010·重庆市)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S3、S9、S6 成等差数列，则( )
A．S6＝－1
2S3 B．S6＝－2S3
C．S6＝1
2S3 D．S6＝2S3
[答案] C
[解析] ∵S3、S9、S6 成等差数列，∴2S9＝S3＋S6，
∵Sn 是等比数列{an}前 n 项的和，∴2q9＝q3＋q6，
∵q≠0，∴2q6＝1＋q3，∴q3＝1 或－1
2
，q3＝1 时，S3、S9、S6 不成等差数列，应舍去，∴q3＝－1
2
，∴
S6＝(a1＋a2＋a3)＋(a1＋a2＋a3)q3＝S3(1＋q3)＝1
2S3.
7．(2010·重庆中学)数列{an}中，a1＝3，a2＝7，当 n≥1 时，an＋2 等于 an·an＋1 的个位数字，则 a2010＝
( )
A．1 B．3
C．7 D．9
[答案] D
[解析] 由条件知，a1＝3，a2＝7，a3＝1，a4＝7，a5＝7，a6＝9，a7＝3，……可见{an}是周期为 6 的
周期数列，故 a2010＝a6＝9.
8．(2010·广东五校、启东模拟)在等差数列{an}中，a1＝－2010，其前 n 项的和为 Sn.若S2009
2009
－S2007
2007
＝2，
则 S2010＝( )
A．－2010 B．－2008
C．2009 D．2010
[答案] A
[解析] ∵S2009
2009
－S2007
2007
＝2，
∴(a1＋1004d)－(a1＋1003d)＝2，∴d＝2，
∴S2010＝2010a1＋2010×2009
2
d＝－2010.
9．(文)将正偶数按下表排成 4 列：
第 1 列 第 2 列 第 3 列 第 4 列
第 1 行 2 4 6 8
第 2 行 16 14 12 10
第 3 行 18 20 22 24
…… 28 26
则 2010 在( )
A．第 502 行，第 1 列 B．第 502 行，第 2 列
C．第 252 行，第 4 列 D．第 251 行，第 4 列
[答案] C
[解析] 2010 是第 1005 个偶数，
又 1005＝8×125＋5，故前面共排了 125×2＋1＝251 行，余下的一个数 2010 应排在第 4 列．
(理)已知数列{an}满足 a1＝0，an＋1＝an＋2n，那么 a2011 的值是( )
A．2008×2009 B．2009×2010
C．2010×2011 D．2011×2012
[答案] C
[解析] 解法 1：a1＝0，a2＝2，a3＝6，a4＝12，考虑到所给结论都是相邻两整数乘积的形式，可变形
为：
a1＝0×1 a2＝1×2 a3＝2×3 a4＝3×4
猜想 a2011＝2010×2011，故选 D.
解法 2：an－an－1＝2(n－1)，
an－1－an－2＝2(n－2)，
…
a3－a2＝2×2，
a2－a1＝2×1.
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1
＝2[(n－1)＋(n－2)＋…＋1]．
＝2n－1n－1＋1
2
＝n(n－1)．
∴a2011＝2010×2011.
10．在函数 y＝f(x)的图象上有点列(xn，yn)，若数列{xn}是等差数列，数列{yn}是等比数列，则函数 y
＝f(x)的解析式可能为( )
A．f(x)＝2x＋1 B．f(x)＝4x2
C．f(x)＝log3x D．f(x)＝
3
4 x
[答案] D
[解析] 对于函数 f(x)＝
3
4 x 上的点列(xn，yn)，有 yn＝
3
4 xn，由于{xn}是等差数列，所以 xn＋1－xn＝d，
因此yn＋1
yn
＝
3
4 xn＋1
3
4 xn
＝
3
4 xn＋1－xn＝
3
4 d，这是一个与 n 无关的常数，故{yn}是等比数列．故选 D.
二、填空题
11．一个等差数列前 4 项之和为 26，最末 4 项之和为 110，所有项之和为 187，则它的项数为________．
[答案] 11
[解析] ∵a1＋a2＋a3＋a4＝26，an＋an－1＋an－2＋an－3＝110，∴a1＋an＝26＋110
4
＝34，
又∵Sn＝na1＋an
2
＝187，∴n＝11.
12．已知数列{an}：1
2
，1
3
＋2
3
，1
4
＋2
4
＋3
4
，…， 1
10
＋ 2
10
＋ 3
10
＋…＋ 9
10
，…，设 bn＝ 1
anan＋1
，那么数列{bn}
的前 n 项和 Sn＝________.
[答案] 4n
n＋1
[解析] 由条件知 an＝ 1
n＋1
＋ 2
n＋1
＋…＋ n
n＋1
＝n
2
，
∴bn＝ 4
nn＋1
＝4
1
n
－ 1
n＋1 ，
∴Sn＝4[(1－1
2)＋(1
2
－1
3)＋…＋(1
n
－ 1
n＋1)]
＝ 4n
n＋1
.
13．(09·上海)已知函数 f(x)＝sinx＋tanx.项数为 27 的等差数列{an}满足 an∈ －π
2
，π
2 ，且公差 d≠0.若
f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a27)＝0，则当 k＝_______________时，f(ak)＝0.
[答案] 14
[解析] ∵f(x)＝sinx＋tanx 为奇函数，且在 x＝0 处有定义，∴f(0)＝0.
∵{an}为等差数列且 d≠0，
且 f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a27)＝0，
∴an(1≤n≤27，n∈N*)对称分布在原点及原点两侧
∴f(a14)＝0.
∴k＝14.
14．给定 81 个数排成如图所示的数表，若每行 9 个数与每列的 9 个数按表中顺序构成等差数列，且
表中正中间一个数 a55＝5，则表中所有数之和为______．
a11 a12 … a19
a21 a22 … a29
… … … …
a91 a92 … a99
[答案] 405
[解析] S＝(a11＋…＋a19)＋…＋(a91＋…＋a99)＝9(a15＋a25＋…＋a95)＝9×9×a55＝405.
三、解答题
15．(09·安徽)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝2n2＋2n，数列{bn}的前 n 项和 Tn＝2－bn.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
(2)设 cn＝an2·bn，证明：当且仅当 n≥3 时，cn＋1
1
，若 f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数 a 的取值
范围为( )
A．(1,2) B．(2,3)
C．(2,3] D．(2，＋∞)
[答案] C
[解析] ∵f(x)在 R 上单调增，
∴
a>1
a－2>0
a－2×1－1≤loga1
，
∴2log54>log53>0，∴log53>(log53)2>0，而 log45>1，∴c>a>b.
7．若 f(x)＝x3－6ax 的单调递减区间是(－2,2)，则 a 的取值范围是( )
A．(－∞，0] B．[－2,2]
C．{2} D．[2，＋∞)
[答案] C
[解析] f ′(x)＝3x2－6a，
若 a≤0，则 f ′(x)≥0，∴f(x)单调增，排除 A；
若 a>0，则由 f ′(x)＝0 得 x＝± 2a，当 x<－ 2a和 x> 2a时，f ′(x)>0，f(x)单调增，当－ 2a0 的 x
的取值范围是( )
A．(3，＋∞) B．(0，1
3)
C．(0，＋∞) D．(0，1
3)∪(3，＋∞)
[答案] D
[解析] ∵定义在 R 上的偶函数 f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且 f(1
3)＝0，则由 f(log 1
27
x)>0，得|log 1
27
x|>1
3
，
即 log 1
27
x>1
3
或 log 1
27
x<－1
3.选 D.
(理)(2010·南充市)已知函数 f(x)图象的两条对称轴 x＝0 和 x＝1，且在 x∈[－1,0]上 f(x)单调递增，设 a
＝f(3)，b＝f( 2)，c＝f(2)，则 a、b、c 的大小关系是( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．b>c>a D．c>b>a
[答案] D
[解析] ∵f(x)在[－1,0]上单调增，f(x)的图象关于直线 x＝0 对称，
∴f(x)在[0,1]上单调减；又 f(x)的图象关于直线 x＝1 对称，
∴f(x)在[1,2]上单调增，在[2,3]上单调减．
由对称性 f(3)＝f(－1)＝f(1)f(a)得 2－a2>a，∴－20，则函数 f(x)在[a，
b]上有( )
A．最小值 f(a)
B．最大值 f(b)
C．最小值 f(b)
D．最大值 f
a＋b
2
[答案] C
[解析] 令 x＝y＝0 得，f(0)＝0，
令 y＝－x 得，f(0)＝f(x)＋f(－x)，
∴f(－x)＝－f(x)．
对任意 x1，x2∈R 且 x10，∴f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在 R 上是减函数，
∴f(x)在[a，b]上最小值为 f(b)．
二、填空题
11．(2010·重庆中学)已知函数 f(x)＝ax＋b
x
－4(a，b 为常数)，f(lg2)＝0，则 f(lg1
2)＝________.
[答案] －8
[解析] 令φ(x)＝ax＋b
x
，则φ(x)为奇函数，f(x)＝φ(x)－4，
∵f(lg2)＝φ(lg2)－4＝0，∴φ(lg2)＝4，
∴f(lg1
2)＝f(－lg2)＝φ(－lg2)－4
＝－φ(lg2)－4＝－8.
12．偶函数 f(x)在(－∞，0]上单调递减，且 f(x)在[－2，k]上的最大值点与最小值点横坐标之差为 3，
则 k＝________.
[答案] 3
[解析] ∵偶函数 f(x)在(－∞，0]上单调递减，∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增．
因此，若 k≤0，则 k－(－2)＝k＋2<3，若 k>0，∵f(x)在[－2,0]上单调减在[0，－k]上单调增，∴最小
值为 f(0)，又在[－2，k]上最大值点与最小值点横坐标之差为 3，∴k－0＝3，即 k＝3.
13．函数 f(x)＝ax－1
x＋3
在(－∞，－3)上是减函数，则 a 的取值范围是________．
[答案]
－∞，－1
3
[解析] ∵f(x)＝a－3a＋1
x＋3
在(－∞，－3)上是减函数，∴3a＋1<0，∴a<－1
3.
14．(2010·江苏无锡市调研)设 a(00，则 t 的取值范围是______．
[答案] (1， 1
a
)∪(0， a)
[解析] f(logat)>0，即 f(logat)>f
1
2 ，
∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，∴logat>1
2
，
∵00 又可化为 f(logat)>f
－1
2 ，
∵奇函数 f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴f(x)在(－∞，0)上为增函数，∴0>logat>－1
2
，
∵00 且 a≠1.
(1)求 f(x)的定义域；
(2)判断 f(x)的奇偶性并予以证明；
(3)当 a>1 时，求使 f(x)>0 的 x 的取值集合．
[解析] (1)要使 f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)有意义，则
x＋1>0
1－x>0
，解得－11 时，f(x)在定义域{x|－10⇔x＋1
1－x
>1.
解得 00 的 x 的取值集合是{x|00，a≠1)．
(1)求 m 的值；
(2)求函数 f(x)的单调区间；
(3)若当 x∈(1，a－2)时，f(x)的值域为(1，＋∞)，求实数 a 的值．
[解析] (1)依题意，f(－x)＝－f(x)，即 f(x)＋f(－x)＝0，即 loga
1－mx
x－1
＋loga
1＋mx
－x－1
＝0，
∴1－mx
x－1
·1＋mx
－x－1
＝1，∴(1－m2)x2＝0 恒成立，
∴1－m2＝0，∴m＝－1 或 m＝1(不合题意，舍去)
当 m＝－1 时，由1＋x
x－1
>0 得，x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，此即函数 f(x)的定义域，
又有 f(－x)＝－f(x)，
∴m＝－1 是符合题意的解．
(2)∵f(x)＝loga
1＋x
x－1
，
∴f ′(x)＝x－1
x＋1
1＋x
x－1 ′logae
＝x－1
x＋1
·x－1－x＋1
x－12 logae＝2logae
1－x2
①若 a>1，则 logae>0
当 x∈(1，＋∞)时，1－x2<0，∴f ′(x)<0，f(x)在(1，＋∞)上单调递减，
即(1，＋∞)是 f(x)的单调递减区间；
由奇函数的性质知，(－∞，－1)是 f(x)的单调递减区间．
②若 00，
∴(1，＋∞)是 f(x)的单调递增区间；由奇函数的性质知，(－∞，－1)是 f(x)的单调递增区间．
(3)令 t＝1＋x
x－1
＝1＋ 2
x－1
，则 t 为 x 的减函数
∵x∈(1，a－2)，
∴t∈ 1＋ 2
a－3
，＋∞
且 a>3，要使 f(x)的值域为(1，＋∞)，需 loga
1＋ 2
a－3 ＝1，解得 a＝2＋ 3.
17．(2010·山东文)已知函数 f(x)＝lnx－ax＋1－a
x
－1(a∈R)．
(1)当 a＝－1 时，求曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)当 a≤1
2
时，讨论 f(x)的单调性．
[解析] (1)a＝－1 时，f(x)＝lnx＋x＋2
x
－1，x∈(0，＋∞)．
f ′(x)＝x2＋x－2
x2
，x∈(0，＋∞)，
因此 f ′(2)＝1，
即曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为 1.
又 f(2)＝ln2＋2，
所以 y＝f(x)在(2，f(2))处的切线方程为 y－(ln2＋2)＝x－2，
即 x－y＋ln2＝0.
(2)因为 f(x)＝lnx－ax＋1－a
x
－1，
所以 f ′(x)＝1
x
－a＋a－1
x2
＝－ax2－x＋1－a
x2 x∈(0，＋∞)．
令 g(x)＝ax2－x＋1－a，
①当 a＝0 时，g(x)＝1－x，x∈(0，＋∞)，
当 x∈(0,1)时，g(x)>0，f ′(x)<0，f(x)单调递减；
当 x∈(1，＋∞)时，g(x)<0，此时 f ′(x)>0，f(x)单调递增；
②当 a≠0 时，f ′(x)＝a(x－1)[x－(1
a
－1)]，
(ⅰ)当 a＝1
2
时，g(x)≥0 恒成立，f ′(x)≤0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
(ⅱ)当 01>0，
x∈(0,1)时，g(x)>0，此时 f ′(x)<0，f(x)单调递减；
x∈(1，1
a
－1)时，g(x)<0，此时 f ′(x)>0，f(x)单调递增；
x∈(1
a
－1，＋∞)时，g(x)>0，此时 f ′(x)<0，f(x)单调递减；
③当 a<0 时，1
a
－1<0，
x∈(0,1)时，g(x)>0，有 f ′(x)<0，f(x)单调递减
x∈(1，＋∞)时，g(x)<0，有 f ′(x)>0，f(x)单调递增．
综上所述：
当 a≤0 时，函数 f(x)在(0,1)上单调递减，(1，＋∞)上单调递增；
当 a＝1
2
时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
当 0b2”是“a>b”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] D
[解析] a2>b2 不能推出 a>b，例：(－2)2>12，但－2<1；a>b 不能推出 a2>b2，例：1>－2，但 12<(－2)2，
故 a2>b2 是 a>b 的既不充分也不必要条件．
(理)“|x－1|<2 成立”是“x(x－3)<0 成立”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] 由|x－1|<2 得－20，∴a1n>0”是“方程 mx2＋ny2＝1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] 由 m>n>0 可以得方程 mx2＋ny2＝1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，反之亦成立．故选 C.
5．(文)设集合 A＝{x| x
x－1
<0}，B＝{x|00
x>0
x＋3>0
，∴x＝1，
∴甲是乙的必要不充分条件．
10．(2010·辽宁文，4)已知 a＞0，函数 f(x)＝ax2＋bx＋c，若 x0 满足关于 x 的方程 2ax＋b＝0，则下列
选项的命题中为假命题的是( )
A．∃x∈R，f(x)≤f(x0)
B．∃x∈R，f(x)≥f(x0)
C．∀x∈R，f(x)≤f(x0)
D．∀x∈R，f(x)≥f(x0)
[答案] C
[解析] ∵f ′(x)＝2ax＋b，
又 2ax0＋b＝0，∴有 f ′(x0)＝0
故 f(x)在点 x0 处切线斜率为 0
∵a＞0 f(x)＝ax2＋bx＋c
∴f(x0)为 f(x)的图象顶点的函数值
∴f(x)≥f(x0)恒成立
故 C 选项为假命题，选 C.
[点评] 可以用作差法比较．
二、填空题
11．给出以下四个命题：
①若 p∨q 为真命题，则 p∧q 为真命题．
②命题“若 A∩B＝A，则 A∪B＝B”的逆命题．
③设 a、b、c 分别是△ABC 三个内角 A、B、C 所对的边，若 a＝1，b＝ 3，则 A＝30°是 B＝60°的必
要不充分条件．
④命题“若 f(x)是奇函数，则 f(－x)是奇函数”的否命题，
其中真命题的序号是________．
[答案] ②③④
[解析] ①∵p∨q 为真，∴p 真或 q 真，故 p∧q 不一定为真命题，故①假．
②逆命题：若 A∪B＝B，则 A∩B＝A，∵A∪B＝B，A⊆B，∴A∩B＝A，故②真．
③由条件得，b
a
＝sinB
sinA
＝ 3，当 B＝60°时，有 sinA＝1
2
，注意 b>a，故 A＝30°；但当 A＝30°时，有 sinB
＝ 3
2
，B＝60°，或 B＝120°.故③真；
④否命题：若 f(x)不是奇函数，则 f(－x)不是奇函数，这是一个真命题，假若 f(－x)为奇函数，则 f[－(－
x)]＝－f(－x)，即 f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，与条件矛盾．
12．(文)设 P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意 a、b∈P，都有 a＋b、a－b、ab、a
b
∈P(除数
b≠0)，则称 P 是一个数域．例如有理数集 Q 是数域．有下列命题：
①数域必含有 0,1 两个数；
②整数集是数域；
③若有理数集 Q⊆M，则数集 M 必为数域；
④数域必为无限集；
其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)
[答案] ①④
[解析] 结合题设的定义，逐一判断，可知①④正确．
(理)设 P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意 a、b∈P，都有 a＋b、a－b、ab、a
b
∈P(除数 b≠0)，
则称 P 是一个数域．例如有理数集 Q 是数域；数集 F＝{a＋b 2|a，b∈Q}也是数域．有下列命题：
①整数集是数域；
②若有理数集 Q⊆M，则数集 M 必为数域；
③数域必为无限集；
④存在无穷多个数域．
其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)
[答案] ③④
[解析] ①整数 a＝2，b＝4，a
b
不是整数；
②如将有理数集 Q，添上元素 2，得到数集 M，则取 a＝3，b＝ 2，a＋b∉M；
③由数域 P 的定义知，若 a∈P，b∈P(P 中至少含有两个元素)，则有 a＋b∈P，从而 a＋2b，a＋3b，…，
a＋nb∈P，∴P 中必含有无穷多个元素，∴③对．
④设 x 是一个非完全平方正整数(x>1)，a，b∈Q，则由数域定义知，F＝{a＋b x|a、b∈Q}必是数域，
这样的数域 F 有无穷多个．
13．(2010·辽宁葫芦岛四校联考)设有两个命题：p：不等式
1
3 x＋4>m>2x－x2 对一切实数 x 恒成立；q：
f(x)＝－(7－2m)x 是 R 上的减函数，如果 p 且 q 为真命题，则实数 m 的取值范围是________．
[答案] (1,3)
[解析] ∵
1
3 x＝4>4,2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，
∴要使
1
3 x＋4>m>2x－x2 对一切 x∈R 都成立，应有 11，∴m<3，∵p 且 q 为真命题，∴p 真且 q 真，∴10.设命题 P：函数 y＝logcx 为减函数．
命题 Q：当 x∈
1
2
，2 时，函数 f(x)＝x＋1
x>1
c
恒成立．如果 P 或 Q 为真命题，P 且 Q 为假命题，求 c
的取值范围．
[解析] 由 y＝logcx 为减函数得 01
c
恒成立．得 2>1
c
，解得 c>1
2
如果 P 真，且 Q 假，则 00 恒成立，求 a 的取值范围．
[解析] (1)f ′(x)＝(x－1)＋1
x
－a，由 f ′(2)＝0 得，a＝3
2
；
(2)当 a≤1 时，∵x∈(1,3)，∴f ′(x)＝ x＋1
x －(1＋a)≥2－2＝0 成立，所以函数 y＝f(x)在(1,3)上为增
函数，
对任意的 x∈(1,3)，f(x)>f(1)＝0，所以 a≤1 时命题成立；
当 a>1 时，令 f ′(x)＝(x－1)＋1
x
－a＝0 得，x＝a＋1± a＋12－4
2
，则函数在
(0，a＋1－ a＋12－4
2
)上为增函数，
在(a＋1－ a＋12－4
2
，a＋1＋ a＋12－4
2
)上为减函数，
在(a＋1＋ a＋12－4
2
，＋∞)上为增函数，
当 a≤7
3
时，1≤a＋1＋ a＋12－4
2
≤3，
则 f(1)>f(a＋1＋ a＋12－4
2
)，不合题意，舍去．
当 a>7
3
时，函数在(1,3)上是减函数，f(x)
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