【数学】2021届一轮复习人教A版函数与导数热点问题学案
2021届一轮复习人教A版 函数与导数热点问题 学案
三年考情分析
热点预测
真题印证
核心素养
导数与函数的性质
2017·Ⅱ，21；2018·Ⅰ，21；2017·Ⅲ，21；2018·Ⅱ，21
数学运算、逻辑推理
导数与函数的零点
2018·Ⅱ，21(2)；2018·江苏，19
数学运算、直观想象
导数在不等式中的应用
2017·Ⅲ，21；2017·Ⅱ，21；2016·Ⅱ，20；2018·Ⅰ，21
数学运算、逻辑推理
审题答题指引
1.教材与高考对接——导数在不等式中的应用
【题根与题源】 (选修2－2 P32习题1.3B组第1题(3)(4))
利用函数的单调性证明下列不等式，并通过函数图象直观验证.
(3)ex>1＋x(x≠0)；
(4)ln x
0).
【试题评析】
1.问题源于求曲线y＝ex在(0，1)处的切线及曲线y＝ln x在(1，0)处的切线，通过观察函数图象间的位置关系可得到以上结论，可构造函数f(x)＝ex－x－1与g(x)＝x－ln x－1对以上结论进行证明.
2.两题从本质上看是一致的，第(4)题可以看作第(3)题的推论.在第(3)题中，用“lnx”替换“x”，立刻得到x>1＋ln x(x>0且x≠1)，进而得到一组重要的不等式链：ex>x＋1>x－1>ln x(x>0且x≠1).
3.利用函数的图象(如图)，不难验证上述不等式链成立.
【教材拓展】 试证明： ex－ln x>2.
证明 法一 设f(x)＝ex－ln x(x>0)，
则f′(x)＝ex－，令φ(x)＝ex－，
则φ′(x)＝ex＋>0在(0，＋∞)恒成立，
所以φ(x)在(0，＋∞)单调递增，
即f′(x)＝ex－在(0，＋∞)上是增函数，
又f′(1)＝e－1>0，f′＝－2<0，
∴f′(x)＝ex－在内有唯一的零点.
不妨设f′(x0)＝0，则e x0＝，从而x0＝ln ＝－ln x0，
所以当x>x0时，f′(x)>0；当02，x0∈.
故ex－ln x>2.
法二 注意到ex≥1＋x(当且仅当x＝0时取等号)，
x－1≥ln x(当且仅当x＝1时取等号)，
∴ex＋x－1>1＋x＋ln x，故ex－ln x>2.
【探究提高】
1.法一中关键有三点：(1)利用零点存在定理，判定极小值点x0∈；(2)确定ex＝，x0＝－ln x0的关系；(3)基本不等式的利用.
2.法二联想经典教材习题结论，降低思维难度，优化思维过程，简洁方便.
【链接高考】
(2017·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当a<0时，证明f(x)≤－－2.
(1)解 f(x)的定义域为(0，＋∞)，
且f′(x)＝＋2ax＋2a＋1＝.
若a≥0时，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，
故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
若a<0时，则当x∈时，f′(x)>0；
当x∈时，f′(x)<0.
故f(x)在上单调递增，在上单调递减.
(2)证明 由(1)知，当a<0时，f(x)在x＝－处取得最大值，最大值为f＝ln－1－，
所以f(x)≤－－2等价于ln－1－≤－－2，
即ln＋＋1≤0，
设g(x)＝ln x－x＋1，则g′(x)＝－1.
当x∈(0，1)时，g′(x)>0；x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0.
所以g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减.
故当x＝1时，g(x)取得最大值，最大值为g(1)＝0.
所以当x>0时，g(x)≤0，
从而当a<0时，ln＋＋1≤0，
故f(x)≤－－2.
2.教你如何审题——导数与函数的零点
【例题】 (2018·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ex－ax2.
(1)若a＝1，证明：当x≥0时，f(x)≥1；
(2)若f(x)在(0，＋∞)只有一个零点，求a.
【审题路线】
【自主解答】
(1)证明 当a＝1时，f(x)＝ex－x2，则f′(x)＝ex－2x.
令g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝ex－2.
令g′(x)＝0，解得x＝ln 2.
当x∈(0，ln 2)时，g′(x)<0；
当x∈(ln 2，＋∞)时，g′(x)>0.
∴当x≥0时，g(x)≥g(ln 2)＝2－2ln 2>0，
∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴f(x)≥f(0)＝1.
(2)解 若f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点，即方程ex－ax2＝0在(0，＋∞)上只有一个解，
由a＝，令φ(x)＝，x∈(0，＋∞)，
φ′(x)＝，令φ′(x)＝0，解得x＝2.
当x∈(0，2)时，φ′(x)<0；当x∈(2，＋∞)时，φ′(x)>0.
∴φ(x)min＝φ(2)＝.∴a＝.
【探究提高】
1.利用导数研究函数的零点主要考查直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养.考查的主要形式：(1)求函数的零点、图象交点的个数；(2)根据函数的零点个数求参数的取值或范围.
2.导数研究函数的零点常用方法：(1)研究函数的单调性、极值，利用单调性、极值、函数零点存在定理来求解零点问题；(2)将函数零点问题转化为方程根的问题，从而同解变形为两个函数图象的交点，运用函数的图象性质求解.
【尝试训练】
已知三次函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d(a，b，c∈R)过点(3，0)，且函数f(x)在点(0，f(0))处的切线恰好是直线y＝0.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设函数g(x)＝9x＋m－1，若函数y＝f(x)－g(x)在区间[－2，1]上有两个零点，求实数m的取值范围.
解 (1)f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由已知条件得，
解得b＝－3，c＝d＝0，
所以f(x)＝x3－3x2.
(2)由已知条件得，f(x)－g(x)＝x3－3x2－9x－m＋1在[－2，1]上有两个不同的零点，可转化为y＝m与y＝x3－3x2－9x＋1的图象有两个不同的交点；
令h(x)＝x3－3x2－9x＋1，
h′(x)＝3x2－6x－9，x∈[－2，1]，
令h′(x)>0得－2≤x＜－1；令h′(x)<0得－1＜x≤1.
所以h(x)max＝h(－1)＝6，
又f(－2)＝－1，f(1)＝－10，所以h(x)min＝－10.
数形结合，可知要使y＝m与y＝x3－3x2－9x＋1的图象有两个不同的交点，则－1≤m＜6.
故实数m的取值范围是[－1，6).
3.满分答题示范——导数与函数的性质
【例题】 (12分)(2017·浙江卷)已知函数f(x)＝(x－)e－x.
(1)求f(x)的导函数；
(2)求f(x)在区间上的取值范围.
【规范解答】
4.高考状元满分心得
❶得步骤分：抓住得分点的步骤，“步步为赢”、求得满分.如第(1)问中求定义域，求导，第(2)问中求零点和列表.
❷得关键分：解题过程不可忽视关键点，有则给分，无则没分如第(2)问中，对f(x)≥0的判断.
❸得计算分：解题过程中计算准确是得满分的根本保证.如第(1)问中求导准确变形到位；第(2)问中规范列表，正确计算出f(x)的最值.
【构建模板】
【规范训练】
(2018·全国Ⅰ卷改编)已知函数f(x)＝－x＋aln x.
(1)试讨论函数f(x)的单调性；
(2)设x1，x2是f(x)的两个极值点，且x2>x1，设t＝f(x1)－f(x2)－(a－2)(x1－x2)，试证明t>0.
(1)解 f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－－1＋＝－.
(ⅰ)若a≤2，则f′(x)≤0，
当且仅当a＝2，x＝1时f′(x)＝0，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减.
(ⅱ)若a>2，令f′(x)＝0得，
x＝或x＝.
当x∈∪时，f′(x)<0；
当x∈时，f′(x)>0.
所以f(x)在，上单调递减，
在上单调递增.
(2)证明 由(1)知，f(x)存在两个极值点时，当且仅当a>2.
由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2－ax＋1＝0，
所以x1x2＝1.
又因x2>x1>0，所以x2>1.
又t＝f(x1)－f(x2)－(a－2)(x1－x2)
＝－－(x1－x2)＋a(ln x1－ln x2)－(a－2)(x1－x2)
＝a＝－a.
设φ(x)＝－x＋2ln x，x>1.
由第(1)问知，φ(x)在(1，＋∞)单调递减，且φ(1)＝0，
从而当x∈(1，＋∞)时，φ(x)<0.
所以＋2ln x2－x2<0，故t>0.
