【数学】2020届一轮复习（理）通用版选修4－4第二节参数方程学案

【数学】2020届一轮复习（理）通用版选修4－4第二节参数方程学案

第二节　参数方程 ‎1.了解参数方程，了解参数的意义．‎ ‎2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．‎ 突破点一　参数方程 ‎1．参数方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数：并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，变数t叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．‎ ‎2．直线、圆、椭圆的参数方程 ‎(1)过点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(2)圆心在点M0(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎(3)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的参数方程为 (φ为参数)．‎ 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)‎ ‎(1)参数方程(t为参数)所表示的图形是直线．(　　)‎ ‎(2)直线y＝x与曲线(α为参数)的交点个数为1.(　　)‎ 答案：(1)√　(2)×‎ 二、填空题 ‎1．曲线C的参数方程为(θ为参数)，则曲线C的普通方程为____________________．‎ 解析：由(θ为参数)消去参数θ，得y＝2－2x2(－1≤x≤1)．‎ 答案：y＝2－2x2(－1≤x≤1)‎ ‎2．椭圆C的参数方程为(φ为参数)，过左焦点F1的直线l与C相交于A，B两点，则|AB|min＝________.‎ 答案： ‎3．参数方程(t为参数)化为普通方程为________________________．‎ 解析：∵x＝，‎ y＝＝＝4－3×＝4－3x.‎ 又x＝＝＝2－∈[0,2)，‎ ‎∴x∈[0,2)，‎ ‎∴所求的普通方程为3x＋y－4＝0(x∈[0,2))．‎ 答案：3x＋y－4＝0(x∈[0,2))‎ 考法一　参数方程与普通方程的互化　‎ ‎[例1]　将下列参数方程化为普通方程．‎ ‎(1)(k为参数)；‎ ‎(2)(θ为参数)．‎ ‎[解]　(1)两式相除，得k＝，‎ 将其代入x＝，得x＝，‎ 化简得所求的普通方程是4x2＋y2－6y＝0(y≠6)．‎ ‎(2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ)，‎ 得y2＝2－x.又x＝1－sin 2θ∈[0,2]，‎ 故所求的普通方程为y2＝2－x，x∈[0,2]．‎ ‎[方法技巧]‎ 将参数方程化为普通方程的方法 ‎(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin2θ＋cos2θ＝1等．‎ ‎(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．　　‎ 考法二　参数方程的应用　‎ ‎[例2]　(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(1)求C和l的直角坐标方程；‎ ‎(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．‎ ‎[解]　(1)曲线C的直角坐标方程为＋＝1.‎ 当cos α≠0时，l的直角坐标方程为y＝tan α·x＋2－tan α，‎ 当cos α＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.‎ ‎(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，‎ 整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cos α＋sin α)t－8＝0.①‎ 因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，‎ 所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.‎ 又由①得t1＋t2＝－，‎ 故2cos α＋sin α＝0，‎ 于是直线l的斜率k＝tan α＝－2.‎ ‎[方法技巧]‎ ‎1．直线参数方程的标准形式的应用 过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则 ‎(1)|M1M2|＝|t1－t2|.‎ ‎(2)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝.‎ ‎(3)若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0.‎ ‎2．圆和圆锥曲线参数方程的应用 有关圆或圆锥曲线上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用它们的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解．　　‎ ‎1.求直线(t为参数)与曲线(α为参数)的交点个数．‎ 解：将消去参数t得直线x＋y－1＝0；‎ 将消去参数α，得圆x2＋y2＝9.‎ 又圆心(0,0)到直线x＋y－1＝0的距离d＝＜3.‎ 因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点．‎ ‎2.已知直线l：x＋y－1＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点，求线段AB的长度和点M(－1,2)到A，B两点的距离之积．‎ 解：因为直线l过定点M，且l的倾斜角为，‎ 所以它的参数方程为(t为参数)，‎ 即(t为参数)，‎ 把它代入抛物线的方程，得t2＋t－2＝0，‎ 由根与系数的关系得t1＋t2＝－，t1·t2＝－2，‎ 由参数t的几何意义可知|AB|＝|t1－t2|＝，‎ ‎|MA|·|MB|＝|t1t2|＝2.‎ 突破点二　参数方程与极坐标方程的综合问题 ‎[典例]　(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)写出C的普通方程；‎ ‎(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cos θ＋sin θ)－＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．‎ ‎[解]　(1)消去参数t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；‎ 消去参数m得l2的普通方程l2：y＝(x＋2)．‎ 设P(x，y)，由题设得 消去k得x2－y2＝4(y≠0)．‎ 所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)．‎ ‎(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)．‎ 联立 得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．‎ 故tan θ＝－，‎ 从而cos2θ＝，sin2θ＝.‎ 代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5，‎ 所以交点M的极径为.‎ ‎[方法技巧]‎ 处理参数方程与极坐标方程综合问题的方法 ‎(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．‎ ‎(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．　　‎ ‎[针对训练]‎ ‎1．(2019·贵阳模拟)曲线C的参数方程为(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos＝.‎ ‎(1)写出C的普通方程，并用(α为直线的倾斜角，t为参数)的形式写出直线l的一个参数方程；‎ ‎(2)l与C是否相交？若相交，求出两交点的距离，若不相交，请说明理由．‎ 解：(1)C的普通方程为＋y2＝1，‎ 由ρcos＝得x－y－2＝0，‎ 则直线l的倾斜角为，‎ 又直线l过点(2,0)，得直线l的一个参数方程为(t为参数)．‎ ‎(2)将l的参数方程代入C的普通方程得 ‎5t2＋4t＝0，解得t1＝0，t2＝－，‎ 显然l与C有两个交点，分别记为A，B，且|AB|＝|t1－t2|＝.‎ ‎2．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的圆心C的极坐标为，半径为2，直线l与圆C交于M，N两点．‎ ‎(1)求圆C的极坐标方程；‎ ‎(2)当φ变化时，求弦长|MN|的取值范围．‎ 解：(1)由已知，得圆心C的直角坐标为(1，)，圆的半径为2，‎ ‎∴圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－)2＝4，‎ 即x2＋y2－2x－2y＝0，‎ ‎∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，∴ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ＝0，‎ 故圆C的极坐标方程为ρ＝4cos.‎ ‎(2)由(1)知，圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y＝0，‎ 将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程得，‎ ‎(2＋tcos φ)2＋(＋tsin φ)2－2(2＋tcos φ)－2(＋tsin φ)＝0，‎ 整理得，t2＋2tcos φ－3＝0，‎ 设M，N两点对应的参数分别为t1，t2，‎ 则t1＋t2＝－2cos φ，t1·t2＝－3，‎ ‎∴|MN|＝|t1－t2|＝＝.‎ ‎∵φ∈，∴cos φ∈，∴|MN|∈[，4]．‎ 故弦长|MN|的取值范围为[，4]．‎ ‎[课时跟踪检测] ‎ ‎1．(2018·河南息县第一高级中学段测)已知曲线C的参数方程是(α为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(1)求曲线C与直线l的普通方程；‎ ‎(2)若直线l与曲线C相交于P，Q两点，且|PQ|＝，求实数m的值．‎ 解：(1)由(α为参数)得曲线C的普通方程为x2＋(y－m)2＝1.‎ 由x＝1＋t，得t＝x－1，代入y＝4＋t，得y＝4＋2(x－1)，‎ 所以直线l的普通方程为2x－y＋2＝0.‎ ‎(2)圆心(0，m)到直线l的距离为d＝，‎ 由勾股定理得2＋2＝1，解得m＝3或m＝1.‎ ‎2．(2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；‎ ‎(2)若C上的点到l距离的最大值为，求a.‎ 解：(1)曲线C的普通方程为＋y2＝1.‎ 当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0，‎ 由解得或 从而C与l的交点坐标为(3,0)，.‎ ‎(2)直线l的普通方程为x＋4y－a－4＝0，‎ 故C上的点(3cos θ，sin θ)到l的距离为 d＝.‎ 当a≥－4时，d的最大值为 .‎ 由题设得＝，解得a＝8；‎ 当a＜－4时，d的最大值为.‎ 由题设得＝，解得a＝－16.‎ 综上，a＝8或a＝－16.‎ ‎3．(2019·成都模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＋4sin θ＝ρ.‎ ‎(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)已知点M在直角坐标系中的坐标为(2,2)，若直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，求|MA|·|MB|的值．‎ 解：(1)由消去参数t可得y＝(x－2)＋2，‎ ‎∴直线l的普通方程为x－y＋2－2＝0.‎ ‎∵ρsin2θ＋4sin θ＝ρ，∴ρ2sin2θ＋4ρsin θ＝ρ2.‎ ‎∵ρsin θ＝y，ρ2＝x2＋y2，‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为x2＝4y.‎ ‎(2)将代入抛物线方程x2＝4y中，‎ 可得2＝4，‎ 即t2＋(8－8)t－16＝0.‎ ‎∵Δ＞0，且点M在直线l上，‎ ‎∴此方程的两个实数根为直线l与曲线C的交点A，B对应的参数t1，t2，‎ ‎∴t1t2＝－16，‎ ‎∴|MA|·|MB|＝|t1t2|＝16.‎ ‎4．(2019·贵州联考)以极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的单位长度相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝，过点M(2，－2)且倾斜角为α的直线l与曲线C交于A，B两点．‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程，并用(α为直线的倾斜角，t为参数)的形式写出直线l的参数方程；‎ ‎(2)若M是线段AB的中点，求α的值．‎ 解：(1)由ρ＝得ρsin2θ＝4cos θ，‎ ‎∴ρ2sin2θ＝4ρcos θ，即y2＝4x(x≠0)，‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为y2＝4x(x≠0)；‎ 直线l的参数方程为(t为参数，0≤α＜π)．‎ ‎(2)将代入y2＝4x(x≠0)得 ‎(sin2α)t2－4(sin α＋cos α)t－4＝0，‎ ‎∴t1＋t2＝＝0，∴α＝.‎ ‎5．(2019·洛阳模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，m∈R)，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＝(0≤θ≤π)．‎ ‎(1)写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)已知点P是曲线C2上一点，若点P到曲线C1的最小距离为2，求m的值．‎ 解：(1)由曲线C1的参数方程消去参数t，可得C1的普通方程为x－y＋m＝0.‎ 由曲线C2的极坐标方程得3ρ2－2ρ2cos2θ＝3，θ∈[0，π]，‎ ‎∴曲线C2的直角坐标方程为＋y2＝1(0≤y≤1)．‎ ‎(2)设曲线C2上任意一点P的坐标为(cos α，sin α)，α∈[0，π]，‎ 则点P到曲线C1的距离 d＝＝.‎ ‎∵α∈[0，π]，‎ ‎∴cos∈，2cos∈[－2，]．‎ 由点P到曲线C1的最小距离为2得，‎ 若m＋＜0，则m＋＝－4，即m＝－4－；‎ 若m－2＞0，则m－2＝4，即m＝6；‎ 若m－2≤0，m＋≥0，即－≤m≤2时，‎ min＝0，不合题意，舍去．‎ 综上，m＝－4－或m＝6.‎ ‎6．(2019·广州花都区模拟)已知直线l：(t为参数)，曲线C1：(θ为参数)．‎ ‎(1)设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；‎ ‎(2)若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l距离的最小值．‎ 解：(1)由已知得l的普通方程为y＝(x－1)，C1的普通方程为x2＋y2＝1，‎ 联立方程解得l与C1的交点为A(1,0)，B，则|AB|＝1.‎ ‎(2)由题意，得C2的参数方程为(θ为参数)，‎ 故点P的坐标为，‎ 从而点P到直线l的距离是 d＝＝，‎ 当sin＝－1时，d取得最小值，且最小值为.‎ ‎7．(2019·辽宁五校联考)极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，θ∈[0,2π]．‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)在曲线C上求一点D，使它到直线l：(t为参数)的距离最短，写出D点的直角坐标．‎ 解：(1)由ρ＝2sin θ可得ρ2＝2ρsin θ，‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0.‎ ‎(2)直线l的参数方程为(t为参数)，‎ 消去t得l的普通方程为y＝－x＋5，‎ 由(1)得曲线C的圆心为(0,1)，半径为1，‎ 又点(0,1)到直线l的距离为＝2＞1，‎ 所以曲线C与l相离．‎ 设D(x0，y0)，且点D到直线l：y＝－x＋5的距离最短，‎ 则曲线C在点D处的切线与直线l：y＝－x＋5平行，‎ ‎∴·(－)＝－1，‎ 又x＋(y0－1)2＝1，‎ ‎∴x0＝－(舍去)或x0＝，∴y0＝，‎ ‎∴点D的直角坐标为.‎ ‎8．(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．‎ ‎(1)求α的取值范围；‎ ‎(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．‎ 解：(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.‎ 当α＝时，l与⊙O交于两点．‎ 当α≠时，记tan α＝k，则l的方程为y＝kx－.‎ l与⊙O交于两点需满足＜1，‎ 解得k＜－1或k＞1，‎ 即α∈或α∈.‎ 综上，α的取值范围是.‎ ‎(2)l的参数方程为.‎ 设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，‎ 则tP＝，且tA，tB满足t2－2tsin α＋1＝0.‎ 于是tA＋tB＝2sin α，tP＝sin α.‎ 又点P的坐标(x，y)满足 所以点P的轨迹的参数方程是.‎