【数学】2019届一轮复习人教A版函数的图像学案（理）
专题 5 函数的图像
【典例解析】
1.（必修 1 第 23 页练习第 2 题）下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？
请你为剩下的那个图象写出一件事。
A.我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；
B.我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；
C.我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速。
【解析】由图为时间与离家距离之间的函数关系，易发现事件与对应的函数图象为；A--(4),B--(1),C--(2)
而对于图（3），只要满足随着时间的变化速度由快到慢，事件编写可自主发挥。
【反思回顾】（1）知识反思；函数的图像是函数三种表达形式之一，具有直观性，易观察函数的各种性质；
（2）解题反思；由三种描述，由自变量时间和函数离家的距离，进行定性的分析容易得出函数的图像；
2.（必修 1 第 25 页习题 1.2 B 组第 1 题）函数 的图象如图所示．
（1）函数 的定义域是什么？
（2）函数 的值域是什么？
（3） 取何值时，只有唯一的 值与之对应？
x
y
y=r0
1 2 3 4 5 6–1–2–3–4–5
1
2
3
4
5
( )r f p=
( )r f p=
( )r f p=
r p
【解析】（1）函数 的定义域是 ；
（2）函数 的值域是 ；
（3）当 ，或 时，只有唯一的 值与之对应．
【反思回顾】（1）知识反思；函数的概念，定义域、值域及函数的图像；
（2）解题反思；已知函数的图像，通过图像求定义域（即自变量 的取值范围）可看图像在 轴的部分，
即看左右边界（注意实心点和空心点），而值域（即函数 的取值范围），需看图像 轴
的部分，即看上下边界。对于（3）问为判断自变量 与函数 一对一的区域，在定义
域 内对图像进行排查，如图 时，显然有 2 个 值与之对应，因而
当 ，或 时，只有唯一的 值与之对应．
提示：函数的一种直观表达方式函数图象，同时注意函数三种表达方式的相互转换，既要借助于函数解析
式中某些数的精确性、深刻性来阐明图象的某些属性，又要借助于图象的几何直观性、形象性来揭
示函数式中数之间的某种关系，体现了数形结合思想和运动变化的思想。
【知识背囊】
1.利用描点法作函数的图象
步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性
等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.
2.利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)对称变换
y＝f(x)的图象 ――――――→
关于x轴对称
y＝－f(x)的图象；
y＝f(x)的图象 ――――――→
关于y轴对称
y＝f(－x)的图象；
y＝f(x)的图象 ――――――→
关于原点对称
y＝－f(－x)的图象；
( )r f p= [ 5,0] [2,6)−
( )r f p= [0, )+∞
5r > 0 2r≤ < p
p x
r y
p r
[ 5,0] [2,6)− 0y r= p
5r > 0 2r≤ < p
y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象 ―――――――――→
关于直线y＝x对称
y＝logax(a>0，且 a≠1)的图象.
(3)伸缩变换
y＝f(x) ――――――――――――――――――――→
纵坐标不变
各点横坐标变为原来的1
a（a > 0）倍 y＝f(ax).
y＝f(x) ―――――-――――――――――――---―→
横坐标不变
各点纵坐标变为原来的A（A > 0）倍 y＝Af(x).
(4)翻转变换
y＝f(x)的图象 ――――――――――――→x轴下方部分翻折到上方
x轴及上方部分不变 y＝|f(x)|的图象；
y＝f(x)的图象 ――――――――――――――――→y轴右侧部分翻折到左侧
原y轴左侧部分去掉，右侧不变 y＝f(|x|)的图象.
【变式训练】
变式 1.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶. 与
以上事件吻合得最好的图象是( )
【答案】C
【解析】由题意，先匀速行驶，图像应为直线，停留一段时间，图像为平行于 x 轴的一段线段，之后加速
则图像是上凸的曲线。故选 C
变式 2. 如图所示,医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体．开始输液时，滴管内匀速滴下液体（滴管内液体
忽略不计），设输液开始后 分钟, 瓶内液面与进气管的距离为 厘米，已知当 时， ．如果瓶
内的药液恰好 156 分钟滴完．则函数 的图像为（ ）
x h 0x = 13h =
( )h f x=
距学校的距离
距学校的距离 距学校的距离
A B
C D
时间 时间
时间 时间
O O
O O
距学校的距离
【答案】C
【解析】由题意，每分钟滴下药液为：
当 时， ，即 ，此时
当 时， ，即 ，此时
由函数为单调递减，且是，递减速度变快。故选 C
变式 3.若函数 的图象如图，其中 为常数．则函数 的大致图象是（ ）
3cmπ
4 13h≤ ≤ 24 (13 )x hπ π= × × − 1316
xh = − + 0 144x≤ ≤
1 4h≤ < 2 24 9 2 (4 )x hπ π π= × × + × × − 404
xh = − + 144 156x≤ ≤
)(log)( bxxf a += ba, baxg x +=)(
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图可知 ，故选 D。
变式 4.函数 y＝(x3－x)2|x|的图象大致是( )
【答案】B
【解析】由于函数 y＝(x3－x)2|x|为奇函数，故它的图象关于原点对称.当 0
1 时，y>0.排除选项 A，C，D，选 B.
变式 5.已知函数 f(x)的图象如图所示，则函数 的定义域是________.
【答案】(2，8
【解析】当 f(x)>0 时，函数 有意义，由函数 f(x)的图象知满足 f(x)>0
的 x∈(2，8 .
变式 6. 若直角坐标系内 A、B 两点满足：（1）点 A、B 都在 f（x）的图像上；（2）点 A、B 关于原点对
称，则称点对（A，B）是函数 f（x）的一个“姊妹点对”（点对（A，B）与（B，A）可看作一个“姊妹
点对”。已知函数 f（x）= ，则 f（x）的“姊妹点对”有（ ）
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
【答案】B
1−
1
1− 1
y
o x
1−
11− 1
y
o x
1−
1
1− 1
y
o
x1−
11− 1
y
o x
0 1a b< < <
2( ) log ( )g x f x=
2( ) log ( )g x f x=
2 2 ( 0)
2 ( 0)x
x x x
xe
+ < ≥
【解析】设 P（x，y） 令 x＜0，则点 P 关于原点的对称点为 P′（-x，-y），于是
即 ，令 , ，画出 , 的图像
可得有两个交点，所以 有两个解也就是说 f（x）的“姊妹点对”有两个．所以选 B．
【高考链接】
1.【2014 福建理 4】若函数 的图像如右图所示，则下列函数图像正确的是（ ）
【答案】B
【解析】由题意可得 .所以函数 是递减的即 A 选项不正确.B 正确. 是递
减,所以 C 不正确. 图象与 关于 y 轴对称，所以 D 不正确.故选 B.
2.【2014 年浙江卷理 7】在同意直角坐标系中，函数 的图像可能是（ ）
1
3O x
y
DCBA
y=loga(-x)y=(-x)a
y=xay=a-x
-1
-3
11
3
O O O O1
y
x 1
x
y
1
x
y
x
y
xxe x 22 2 +=− −
022 2 =++ xxe x xexg 2)( = xxxh 2)( 2 −−= xexg 2)( = xxxh 2)( 2 −−=
022 2 =++ xxe x
log ( 0, 1)ay x a a= > ≠且
log 3 1, 3a a= ∴ = 3 xy −= 3( )y x= −
3log ( )y x= − 3logy x=
xxgxxxf a
a log)(),0()( =≥=
【答案】D
【解析】 函数 ，与 ，答案Ａ没有幂函数图像，答案Ｂ 中
， 中 ，不符合，答案Ｃ 中 ， 中
，不符合，答案Ｄ 中 ， 中 ，符合，故选Ｄ
3.【2015 高考北京理 7】如图，函数 的图象为折线 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，把函数 的图象向左平移一个单位得到 的图象 时
两图象相交，不等式的解为 ，用集合表示解集选 C
A B
O x
y
-1 2
2 C
( )0ay x x= ≥ ( )log 0ay x x= > ( )0ay x x= ≥
1a > ( )log 0ay x x= > 0 1a< < ( )0ay x x= ≥ 0 1a< < ( )log 0ay x x= >
1a > ( )0ay x x= ≥ 0 1a< < ( )log 0ay x x= > 0 1a< <
( )f x ACB ( ) ( )2log 1f x x +≥
{ }| 1 0x x− < ≤ { }| 1 1x x− ≤ ≤
{ }| 1 1x x− < ≤ { }| 1 2x x− < ≤
2l ogy x= 2l og ( 1)y x= + 1x =
1 1x− < ≤
4.【2016·浙江卷】函数 y＝sin x2 的图象是( )
【答案】D
【解析】∵y＝sin(－x)2＝sin x2，∴函数为偶函数，可排除 A 项和 C 项；
当 x＝π
2时，sin x2＝sinπ2
4 ≠1，排除 B 项，只有 D 满足.
5.【2015 高考安徽，理 9】函数 的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）
（A） ， ， （B） ， ，
（C） ， ， （D） ， ，
【答案】C
【解析】由 及图象可知， ， ，则 ；当 时， ，所
以 ；当 ， ，所以 ，所以 .故 ， ， ，选 C.
( ) ( )2
ax bf x
x c
+=
+
0a > 0b > 0c < 0a < 0b > 0c >
0a < 0b > 0c < 0a < 0b < 0c <
( ) ( )2
ax bf x
x c
+=
+ x c≠ − 0c− > 0c < 0x =
2(0) 0bf c
= >
0b > 0y = 0ax b+ = 0bx a
= − > 0a < 0a < 0b > 0c <
6.【2016 高考新课标 1 卷】函数 在 的图像大致为( )
（A） （B）
（C） （D）
【答案】D
【解析】函数 f(x)=2x2–e|x|在[–2,2 上是偶函数,其图象关于 轴对称,因为 ,所以排
除 选项；当 时, 有一零点,设为 ,当 时, 为减函数,当
时, 为增函数．故选 D.
7．【2018 年浙江卷】函数 y= sin2x 的图象可能是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在 上的符号，即可判断选择.
22 xy x e= − [ ]2,2−
y 2 2(2) 8 ,0 8 1f e e= − < − <
,A B [ ]0,2x ∈ 4 xy x e′ = − 0x 0(0, )x x∈ ( )f x
0( ,2)x x∈ ( )f x
详解：令 ， 因为 ，所以 为
奇函数，排除选项 A,B;因为 时， ，所以排除选项 C，选 D.
反思：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，
由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇
偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．
8．【2018 年理数全国卷 II】函数 的图像大致为（ ）
【答案】B
【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.
详解： 为奇函数，舍去 A, 舍去 D;
，所以舍去 C；因此选 B.
9.【2015 高考新课标 2，理 10】如图，长方形 的边 ， ， 是 的中点，点 沿着
边 ， 与 运动，记 ．将动 到 、 两点距离之和表示为 的函数 ，则
的图像大致为（ ）
ABCD 2AB = 1BC = O AB P
BC CD DA BOP x∠ = P A B x ( )f x
( )y f x=
D P C
B OA
x
【答案】B
【解析】由已知得，当点 在 边上运动时，即 时， ；当点
在 边上运动时，即 时， ，当
时， ；当点 在 边上运动时，即 时， ，从
点 的运动过程可以看出，轨迹关于直线 对称，且 ，且轨迹非线型，故选 B．
10.【2016 高考新课标 2 理数】已知函数 满足 ，若函数 与
图像的交点为 则 （ ）
（A）0 （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】由于 ，不妨设 ，与函数 的交点为 ，
故 ，故选 C.
P BC 0 4x
π≤ ≤ 2tan 4 tanPA PB x x+ = + + P
CD 3 ,4 4 2x x
π π π≤ ≤ ≠ 2 21 1( 1) 1 ( 1) 1tan tanPA PB x x
+ = − + + + +
2x
π=
2 2PA PB+ = P AD 3
4 x
π π≤ ≤ 2tan 4 tanPA PB x x+ = + −
P 2x
π= ( ) ( )4 2f f
π π>
( )( )f x x∈R ( ) 2 ( )f x f x− = − 1xy x
+= ( )y f x=
1 1 2 2( , ),( , ), ,( , ),m mx y x y x y⋅⋅⋅
1
( )
m
i i
i
x y
=
+ =∑
m 2m 4m
( ) ( ) 2f x f x− + = ( ) 1f x x= + 1 11xy x x
+= = + ( ) ( )1,2 , 1,0−
1 2 1 2 2x x y y+ + + =
