【数学】2019届一轮复习人教A版（文）专题20不等式选讲教案
不等式选讲
选修4－5(不等式选讲)
[师说考点]
含有绝对值的不等式的解法
(1)|f(x)|>a(a>0)⇔f(x)>a或f(x)<－a；
(2)|f(x)|
0)⇔－a2或k2－1≤－1，
∴k的取值范围是{k|k>或k<－或k＝0}.
[师说考点]
1．含有绝对值的不等式的性质
|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.
2．算术—几何平均不等式
定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立．
定理2：如果a、b为正数，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立．
定理3：如果a、b、c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1，a2，…，an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．
[典例] (2016·贵州模拟)已知函数f(x)＝2|x＋1|＋|x－2|.
(1)求f(x)的最小值m；
(2)若a，b，c均为正实数，且满足a＋b＋c＝m，求证：＋＋≥3.
[解] (1)当x<－1时，f(x)＝－2(x＋1)－(x－2)＝－3x∈(3，＋∞)；
当－1≤x＜2时，f(x)＝2(x＋1)－(x－2)＝x＋4∈[3，6)；
当x≥2时，f(x)＝2(x＋1)＋(x－2)＝3x∈[6，＋∞)．
综上，f(x)的最小值m＝3.
(2)证明：a，b，c均为正实数，且满足a＋b＋c＝3，
因为＋＋＋(a＋b＋c)
＝＋＋
≥2
＝2(a＋b＋c)．
(当且仅当a＝b＝c＝1时，取“＝”)
所以＋＋≥a＋b＋c，即＋＋≥3.
证明不等式的3种基本方法
(1)比较法有作差比较法和作商比较法两种．
(2)用综合法证明不等式时，主要是运用基本不等式证明，一方面要注意基本不等式成立的条件，另一方面要善于对式子进行恰当的转化、变形．
(3)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法．
[演练冲关]
(2016·福建质检)已知函数f(x)＝|x＋1|.
(1)求不等式f(x)<|2x＋1|－1的解集M；
(2)设a，b∈M，证明：f(ab)>f(a)－f(－b)．
解：(1)①当x≤－1时，原不等式可化为－x－1<－2x－2，解得x<－1；
②当－11.
综上，M＝{x|x<－1或x>1}．
(2)证明：因为f(a)－f(－b)＝|a＋1|－|－b＋1|≤|a＋1－(－b＋1)|＝|a＋b|，
所以，要证f(ab)>f(a)－f(－b)，只需证|ab＋1|>|a＋b|，
即证|ab＋1|2>|a＋b|2，
即证a2b2＋2ab＋1>a2＋2ab＋b2，
即证a2b2－a2－b2＋1>0，
即证(a2－1)(b2－1)>0.
因为a，b∈M，所以a2>1，b2>1，
所以(a2－1)(b2－1)>0成立，
所以原不等式成立．
1．(2016·广西质检)已知函数f(x)＝＋ax(a>0)在(1，＋∞)上的最小值为15，函数g(x)＝|x＋a|＋|x＋1|.
(1)求实数a的值；
(2)求函数g(x)的最小值．
解：(1)∵f(x)＝＋ax＝＋a(x－1)＋a，x>1，a>0，
∴f(x)≥3a，即有3a＝15，解得a＝5.
(2)由于|x＋5|＋|x＋1|≥|(x＋5)－(x＋1)|＝4，当且仅当－5≤x≤－1时等号成立，
∴g(x)＝|x＋5|＋|x＋1|的最小值为4.
2．(2016·全国甲卷)已知函数f(x)＝＋，M为不等式f(x)<2的解集．
(1)求M；
(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|<|1＋ab|.
解：(1)f(x)＝
当x≤－时，由f(x)<2得－2x<2，解得x>－1；
当－3时，得9≥5，所以x>3.
故不等式f(x)≥5的解集为{x|x≥1}．
(2)因为|x＋6|－|m－x|≤|x＋6＋m－x|＝|m＋6|，
由题意得|m＋6|≤7，则－7≤m＋6≤7，
解得－13≤m≤1，
故m的取值范围是[－13，1]．
6．(2016·西安质检)设函数f(x)＝＋|x－a|，x∈R.
(1)求证：当a＝－时，不等式ln f(x)>1成立；
(2)关于x的不等式f(x)≥a在R上恒成立，求实数a的最大值．
解：(1)证明：由绝对值不等式的性质，f(x)＝＋≥＝3，
故函数f(x)的最小值为3，
从而f(x)≥3>e，所以ln f(x)>1成立．
(2)由绝对值不等式的性质得f(x)＝＋|x－a|≥|－(x－a)|＝，
所以f(x)的最小值为，
从而≥a，解得a≤.
因此a的最大值为.
7．(2016·兰州模拟)设函数f(x)＝|2x－1|－|x＋2|.
(1)解不等式f(x)>0；
(2)若∃x0∈R，使得f(x0)＋2m2<4m，求实数m的取值范围．
解：(1)不等式f(x)>0，即|2x－1|>|x＋2|，
即4x2－4x＋1>x2＋4x＋4，
3x2－8x－3>0，解得x<－或x>3，
所以不等式f(x)>0的解集为.
(2)f(x)＝|2x－1|－|x＋2|＝
故f(x)的最小值为f＝－.
因为∃x0∈R，使得f(x0)＋2m2<4m，
所以4m－2m2>－，
解得－
查看更多
