【数学】2020届一轮复习人教B版综合求证多变换，几何结合代数算学案

【数学】2020届一轮复习人教B版综合求证多变换，几何结合代数算学案

‎【题型综述】‎ 综合求证问题有以下类型：（1）证明直线过定点，设出直线方程，利用题中的条件与设而不求思想找出曲线方程中参数间的关系，即可求出定点.‎ ‎(2)定值问题就是证明一个量或表达式的值与其中的变化因素无关，这些变化的因素可能是直线的斜率、截距，也可能是动点的坐标等，这类问题的一般解法是使用变化的量表示求证目标，通过运算得知求证目标的取值与变化的量无关．当使用直线的斜率和截距表示直线方程时，在解题过程中要注意建立斜率和截距之间的关系，把双参数问题化为单参数问题解决．‎ ‎（3）恒等式的证明问题，将恒等式转化为常见的弦长、距离之比或向量关系等问题，进而转化为直线与圆锥曲线的交点坐标问题，利用设而不求思想及韦达定理即可证明.‎ ‎(4)几何图形性质的证明，利用几何图形性质与向量运算的关系，转化为向量的运算或直线的斜率关系，再用直线与圆锥曲线的交点坐标问题，利用设而不求思想及韦达定理即可证明.‎ ‎【典例指引】‎ 类型一 证明分点问题 例1 【2017北京，理18】已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）.过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；‎ ‎（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点..‎ 直线ON的方程为，点B的坐标为.‎ 因为 ‎，‎ 所以.*‎ 故A为线段BM的中点.‎ 类型二 几何证明问题 例2. 【2015高考湖南，理20】已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，与的公共弦的长为.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）过点的直线与相交于，两点，与相交于，两点，且与同向 ‎（ⅰ）若，求直线的斜率 ‎（ⅱ）设在点处的切线与轴的交点为，证明：直线绕点旋转时，总是钝角三角形 ‎ ‎ ‎（ii）由得，∴在点处的切线方程为，即 ‎，令，得，即，∴，而，于是 ‎，因此是锐角，从而是钝角.，故直线绕点旋转时，总是钝角三角形. *‎ 类型三 等式证明 例3【2015高考上海，理21】已知椭圆，过原点的两条直线和分别于椭圆交于、和、，记得到的平行四边形的面积为.‎ ‎（1）设，，用、的坐标表示点到直线的距离，并证明；‎ ‎（2）设与的斜率之积为，求面积的值.‎ 类型四 长度关系证明 例4.【2016高考四川】已知椭圆E：的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆E上.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆E的方程；‎ ‎(Ⅱ)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：．‎ ‎【扩展链接】‎ ‎1.圆锥曲线以P(x0，y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率分别是：k＝－(椭圆＋＝1)，k＝(双曲线－＝1)，k＝(抛物线y2＝2px)，其中k＝(x1≠x2)，(x1，y1)，(x2，y2)为弦端点的坐标．‎ ‎ 2.给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角, 给出,等于已知是锐角；‎ ‎3.在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;‎ ‎4.在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;‎