2019届二轮复习第一讲 集合、常用逻辑用语学案（全国通用）
专题一 集合、常用逻辑用语、算法、复数、推理与证明、不等式
第一讲 集合、常用逻辑用语
考点一 集合的概念及运算
1．集合的运算性质及重要结论
(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A．
(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A．
(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U.
(4)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A．
2．集合运算中的常用方法
(1)数轴法：若已知的集合是不等式的解集，用数轴法求解．
(2)图象法：若已知的集合是点集，用图象法求解．
(3)Venn图法：若已知的集合是抽象集合，用Venn图法求解．
[对点训练]
1．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( )
A．9 B．8
C．5 D．4
[解析] 由题意可知A＝{(－1,0)，(0,0)，(1,0)，(0，－1)，(0,1)，(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}，故集合A中共有9个元素，故选A．
[答案] A
2．(2018·江西南昌二中第四次模拟)设全集U＝R，集合A＝{x|log2x≤2}，B＝{x|(x－3)(x＋1)≥0}，则(∁UB)∩A＝( )
A．(－∞，－1] B．(－∞，－1]∪(0,3)
C．[0,3) D．(0,3)
[解析] 集合A＝{x|log2x≤2}＝{x|0
0}＝{x|x<1}，则∁UB＝{x|x≥1}，阴影部分表示的集合为A∩(∁UB)＝{x|1≤x<2}．
[答案] B
4．已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．若A∪B＝A，则实数m的取值范围是________．
[解析] 由A∪B＝A知B⊆A．因为A＝{x|－2≤x≤5}，①若B＝
∅，则m＋1>2m－1，即m<2，此时A∪B＝A；②若B≠∅，则m＋1≤2m－1，即m≥2，由B⊆A得解得－3≤m≤3.又因为m≥2，所以2≤m≤3.由①②知，当m≤3时，A∪B＝A．
[答案] m≤3
[快速审题] (1)看到集合中的元素，想到代表元素的意义；看到点集，想到其对应的几何意义．
(2)看到数集中元素取值连续时，想到借助数轴求解交、并、补集等；看到M⊆N，想到集合M可能为空集．
解决集合问题的3个注意点
(1)集合含义要明确：构成集合的元素及满足的性质．
(2)空集要重视：已知两个集合的关系，求参数的取值，要注意对空集的讨论．
(3)“端点”要取舍：要注意在利用两个集合的子集关系确定不等式组时，端点值的取舍问题，一定要代入检验，否则可能产生增解或漏解现象．
考点二 充分与必要条件的判断
充分、必要条件与充要条件的含义
若p、q中所涉及的问题与变量有关，p、q中相应变量的取值集合分别记为A，B，那么有以下结论：
p与q的关系
集合关系
结论
p⇒q，qp
AB
p是q的充分不必要条件
pq，q⇒p
BA
p是q的必要不充分条件
p⇒q，q⇒p
A＝B
p是q的充要条件
pq，qp
AB，BA
p是q的既不充分也不必要条件
[对点训练]
1．(2018·北京卷)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] |a－3b|＝|3a＋b|⇔|a－3b|2＝|3a＋b|2⇔a2－6a·b＋9b2＝9a2＋6a·b＋b2⇔2a2＋3a·b－2b2＝0，又∵|a|＝|b|＝1，∴a·b＝0⇔a⊥b，故选C．
[答案] C
2．(2017·天津卷)设θ∈R，则“<”是“sinθ<”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] ∵<⇔－<θ－<⇔0<θ<，
sinθ<⇔θ∈，k∈Z，，k∈Z，
∴“<”是“sinθ<”的充分而不必要条件．
[答案] A
3．已知条件p：x＋y≠－2，条件q：x，y不都是－1，则p是q
的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1或y≠－1，所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1且y＝－1，因为綈q⇒綈p但綈p綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．
[答案] A
4．(2018·山西五校联考)已知p：(x－m)2>3(x－m)是q：x2＋3x－4<0的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________________．
[解析] p对应的集合A＝{x|xm＋3}，q对应的集合B＝{x|－40”及它的逆命题均为真命题
D．命题“若x2＋x＝0，则x＝0或x＝－1”的逆否命题为“若x≠0且x≠－1，则x2＋x≠0”
[解析] 对于选项A，命题“∃x∈[0,1]，使x2－1≥0”的否定为“∀x∈[0,1]，都有x2－1<0”，故A项错误；对于选项B，p为假命题，则綈p为真命题；q为真命题，则綈q为假命题，所以(綈p)∨(綈q)为真命题，故B项错误；对于选项C，原命题为真命题，若a·b>0，则a与b的夹角可能为锐角或零角，所以原命题的逆命题为假命题，故C项错误；对于选项D，命题“若x2＋x＝0，则x＝0或x＝－1”的逆否命题为“若x≠0且x≠－1，则x2＋x≠0”，故选项D正确．因此选D．
[答案] D
2．(2018·清华大学自主招生能力测试)“∀x∈R，x2－πx≥0”的否定是( )
A．∀x∈R，x2－πx<0 B．∀x∈R，x2－πx≤0
C．∃x0∈R，x－πx0≤0 D．∃x0∈R，x－πx0<0
[解析] 全称命题的否定是特称命题，所以“∀x∈R，x2－πx≥0”的否定是“∃x0∈R，x－πx0<0”．故选D．
[答案] D
3．(2018·湖南师大附中模拟)已知命题p：∃x0∈(－∞，0)，2x0<3x0；命题q：∀x∈，sinx1，即2x>3x，所以命题p为假命题，从而綈p为真命题；因为当x∈时，x>sinx，所以命题q为真命题，所以(綈p)∧q为真命题，故选C．
[答案] C
4．(2018·豫西南五校联考)若“∀x∈，m≤tanx＋2”为真命题，则实数m的最大值为________．
[解析] 由x∈可得－1≤tanx≤，∴1≤tanx＋2≤2＋，∵“∀x∈，m≤tanx＋2”为真命题，∴实数m的最大值为1.
[答案] 1
[快速审题] (1)看到命题真假的判断，想到利用反例和命题的等价性．
(2)看到命题形式的改写，想到各种命题的结构，尤其是特称命题、全称命题的否定，要改变的两个地方．
(3)看到含逻辑联结词的命题的真假判断，想到联结词的含义．
解决命题的判定问题应注意的3点
(1)判断四种命题真假有下面两个途径，一是先分别写出四种命题，再分别判断每个命题的真假；二是利用互为逆
否命题是等价命题这一关系来判断它的逆否命题的真假．
(2)要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立．要判定一个特称(存在性)命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可．
(3)含有量词的命题的否定，需从两方面进行：一是改写量词或量词符号；二是否定命题的结论，两者缺一不可．
1．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁RA＝( )
A．{x|－12}
D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}
[解析] 化简A＝{x|x<－1或x>2}，∴∁RA＝{x|－1≤x≤2}．故选B．
[答案] B
2．(2018·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝( )
A．{0} B．{1}
C．{1,2} D．{0,1,2}
[解析] ∵A＝{x|x≥1}，B＝{0,1,2}，∴A∩B＝{1,2}，故选C
[答案] C
3．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为( )
A．3 B．2
C．1 D．0
[解析] 集合A表示单位圆上的所有的点，集合B表示直线y＝x上的所有的点．A∩B表示直线与圆的公共点，显然，直线y＝x经过圆x2＋y2＝1的圆心(0,0)，故共有两个公共点，即A∩B中元素的个数为2.
[答案] B
4．(2018·天津卷)设x∈R，则“<”是“x3<1”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 由<得－f(0)对任意的x∈(0,2]都成立，则f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________．
[解析] 根据函数单调性的概念，只要找到一个定义域 为[0,2]的不单调函数，满足在定义域内有唯一的最小值点，且f(x)min＝f(0)即可，除所给答案外，还可以举出f(x)＝等．
[答案] f(x)＝sinx，x∈[0,2](答案不唯一)
1.集合作为高考必考内容，多年来命题较稳定，多以选择题形式在前3题的位置进行考查，难度较小．命题的热点依然会集中在集合的运算方面，常与简单的一元二次不等式结合命题．
2．高考对常用逻辑用语考查的频率较低，且命题点分散，其中含有量词的命题的否定、充分必要条件的判断需要关注，多结合函数、平面向量、三角函数、不等式、数列等内容命题。
热点课题1 集合中的新定义问题
[感悟体验]
1．(2018·山西四校联考)已知集合M＝{(x，y)|y＝f(x)}，若对于任意(x1，y1)∈M，存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，则称集合M是“Ω集合”．给出下列4个集合：
①M＝；
②M＝；
③M＝{(x，y)|y＝cosx}；
④M＝{(x，y)|y＝lnx}．
其中是“Ω集合”的所有序号为( )
A．②③ B．③④
C．①②④ D．①③④
[解析] 对于①，若x1x2＋y1y2＝0，则x1x2＋·＝0，即(x1x2)2＝－1，可知①错误；对于④，取(1,0)∈M，且存在(x2，y2)∈M，则x1x2＋y1y2＝1×x2＋0×y2＝x2>0，可知④错误．同理，可证得②和③都是正确的．故选A．
[答案] A
2．对于集合M，N，定义M－N＝{x|x∈M且x∉N}，MN＝(M－N)∪(N－M)．设A＝，B＝{x|x<0，x∈R}，则AB＝( )
A．
B．
C．∪[0，＋∞)
D．∪(0，＋∞)
[解析] 依题意得A－B＝{x|x≥0，x∈R}，B－A＝
，故AB＝∪[0，＋∞)．故选C．
[答案] C
专题跟踪训练(七)
一、选择题
1．(2018·河北衡水中学、河南郑州一中联考)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，则集合{2,7,8}是( )
A．A∪B B．A∩B
C．∁U(A∩B) D．∁U(A∪B)
[解析] 解法一：由题意可知∁UA＝{1,2,6,7,8}，∁UB＝{2,4,5,7,8}，∴(∁UA)∩(∁UB)＝{2,7,8}．由集合的运算性质可知(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)，即∁U(A∪B)＝{2,7,8}，故选D．
解法二：画出韦恩图(如图所示)，由图可知∁U(A∪B)＝{2,7,8}．故选D．
[答案] D
2．(2018·湖北七市联考)已知N是自然数集，设集合A＝，B＝{0,1,2,3,4}，则A∩B＝( )
A．{0,2} B．{0,1,2}
C．{2,3} D．{0,2,4}
[解析] ∵∈N，∴x＋1应为6的正约数，∴x＋1＝1或x＋1
＝2或x＋1＝3或x＋1＝6，解得x＝0或x＝1或x＝2或x＝5，∴集合A＝{0,1,2,5}，又B＝{0,1,2,3,4}，∴A∩B＝{0,1,2}．故选B．
[答案] B
3．(2018·安徽安庆二模)已知集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，若B⊆A，则实数a＝( )
A．－1 B．2
C．－1或2 D．1或－1或2
[解析] 因为B⊆A，所以必有a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝A．
①若a2－a＋1＝3，则a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2.
当a＝－1时，A＝{1,3，－1}，B＝{1,3}，满足条件；
当a＝2时，A＝{1,3,2}，B＝{1,3}，满足条件．
②若a2－a＋1＝a，则a2－2a＋1＝0，解得a＝1，此时集合A＝{1,3,1}，不满足集合中元素的互异性，所以a＝1应舍去．
综上，a＝－1或2.故选C．
[答案] C
4．(2018·安徽皖南八校联考)已知集合A＝{(x，y)|x2＝4y}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B的真子集个数为( )
A．1 B．3
C．5 D．7
[解析] 由得或
即A∩B＝{(0,0)，(4,4)}，
∴A∩B的真子集个数为22－1＝3.故选B．
[答案] B
5．(2018·江西南昌模拟)已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x|a≤x≤a＋1}，若A∪B＝A，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，－3]∪[2，＋∞) B．[－1,2]
C．[－2,1] D．[2，＋∞)
[解析] 集合A＝{x|y＝}＝{x|－2≤x≤2}，因A∪B＝A，则B⊆A，所以有所以－2≤a≤1，故选C．
[答案] C
6．(2018·湖北武昌一模)设A，B是两个非空集合，定义集合A－B＝{x|x∈A，且x∉B}．若A＝{x∈N|0≤x≤5}，B＝{x|x2－7x＋10<0}，则A－B＝( )
A．{0,1} B．{1,2}
C．{0,1,2} D．{0,1,2,5}
[解析] ∵A＝{x∈N|0≤x≤5}＝{0,1,2,3,4,5}，B＝{x|x2－7x＋10<0}＝{x|21，则a2>1”的否命题是“若a>1，则a2≤1”
B．“若am24x0成立
D．“若sinα≠，则α≠”是真命题
[解析] 对于选项A，“若a>1，则a2>1”的否命题是“若a≤1，则a2≤1”，故选项A错误；对于选项B，“若am23x，故选项C
错误；对于选项D，“若sinα≠，则α≠”的逆否命题为“若α＝，则sinα＝”，该逆否命题为真命题，所以原命题为真命题，故选D．
[答案] D
8．(2018·山东日照联考)“m<0”是“函数f(x)＝m＋log2x(x≥1)存在零点”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 当m<0时，由图象的平移变换可知，函数f(x)必有零点；当函数f(x)有零点时，m≤0，所以“m<0”是“函数f(x)＝m＋log2x(x≥1)存在零点”的充分不必要条件，故选A．
[答案] A
9．(2018·山西太原模拟)已知命题p：∃x0∈R，x－x0＋1≥0；命题q：若a，则下列命题中为真命题的是( )
A．p∧q B．p∧(綈q)
C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q)
[解析] x2－x＋1＝2＋≥>0，所以∃x0∈R，使x－x0＋1≥0成立，故p为真命题，綈p为假命题，又易知命题q为假命题，所以綈q为真命题，由复合命题真假判断的真值表知p∧(綈q)为真命题，故选B．
[答案] B
10．(2018·陕西西安二模)已知集合A＝，B＝{y|y＝x2}，则A∩B＝( )
A．[－2,2] B．[0,2]
C．{(－2,4)，(2,4)} D．[2，＋∞)
[解析] 由A＝，得A＝(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
由B＝{y|y＝x2}，知集合B表示函数y＝x2的值域，即B＝[0，＋∞)，
所以A∩B＝[2，＋∞)．故选D．
[答案] D
11．(2018·山西太原期末联考)已知a，b都是实数，那么“2a>2b”是“a2>b2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 充分性：若2a>2b，则2a－b>1，∴a－b>0，∴a>B．当a＝－1，b＝－2时，满足2a>2b，但a22b不能得出a2>b2，因此充分性不成立．必要性：若a2>b2，则|a|>|b|.当a＝－2，b＝1时，满足a2>b2，但2－2<21，即2a<2b，故必要性不成立．综上，“2a>2b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件．故选D．
[答案] D
12．(2018·江西南昌二模)给出下列命题：
①已知a，b∈R，“a>1且b>1”是“ab>1”的充分条件；
②已知平面向量a，b，“|a|>1，|b|>1”是“|a＋b|>1”的必要不充分条件；
③已知a，b∈R，“a2＋b2≥1”是“|a|＋|b|≥1”的充分不必要条件；
④命题p：“∃x0∈R，使e x0≥x0＋1且lnx0≤x0－1”的否定为綈p：“∀x∈R，都有exx－1”．
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] ①已知a，b∈R，“a>1且b>1”能够推出“ab>1”，“ab>1”不能推出“a>1且b>1”，故①正确；
②已知平面向量a，b，“|a|>1，|b|>1”不能推出“|a＋b|>1”，|a＋b|>1不能推出|a|>1且|b|>1，故②不正确；
③已知a，b∈R，当a2＋b2≥1时，a2＋b2＋2|a|·|b|≥1，则(|a|＋|b|)2≥1，则|a|＋|b|≥1，又a＝0.5，b＝0.5满足|a|＋|b|≥1，但a2＋b2＝0.5<1，所以“a2＋b2≥1”是“|a|＋|b|≥1”的充分不必要条件，故③正确；
④命题p：“∃x0∈R，使e x0≥x0＋1且lnx0≤x0－1”的否定为綈p：“∀x∈R，都有exx－1”，故④不正确．
所以正确命题的个数为2.故选C．
[答案] C
二、填空题
13．(2018·安徽“皖南八校”联考)已知集合A＝{x|x2－x－6≤0}，B＝，则A∩B＝________.
[解析] ∵A＝{x|x2－x－6≤0}＝[－2,3]，B＝＝[1，＋∞)∪(－∞，0)，∴A∩B＝[－2,0)∪[1,3]．
[答案] [－2,0)∪[1,3]
14．若条件p：|x＋1|>2，条件q：x>a，且綈p是綈q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．
[解析] 綈p是綈q的充分不必要条件等价于q是p的充分不必要条件，条件p：|x＋1|>2即x>1或x<－3.因为条件q：x>a，故a≥1.
[答案] a≥1
15．已知命题p：∀x∈[2,4]，log2x－a≥0，命题q：∃x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0.若命题“p∧綈q”是真命题，则实数a的取值范围是________．
[解析] 命题p：∀x∈[2,4]，log2x－a≥0⇒a≤1.命题q：∃x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0⇒a≤－2或a≥1，由p∧綈q为真命题，得－20}，集合B＝{x|x2－2ax－1≤0，a>0}，若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是________．
[解析] A＝{x|x2＋2x－3>0}＝{x|x>1或x<－3}，设函数f(x)＝x2－2ax－1，因为函数f(x)＝x2－2ax－1图象的对称轴为直线x＝a(a>0)，f(0)＝－1<0，根据对称性可知若A∩B中恰有一个整数，则这个整数为2，所以有即
所以即≤a<.
[答案]
