2020-2021年新高三数学一轮复习考点 导数的概念及其几何意义

2020-2021年新高三数学一轮复习考点 导数的概念及其几何意义

2020-2021 年新高三数学一轮复习考点 导数的概念及其几何意 义 1.最新考试说明： 1.了解导数概念的实际背景； 2.理解导数的几何意义； 【2020 年高考全国Ⅰ卷理数 6】函数   432f x x x  的图像在点   1, 1 f 处的切线方程为 （ ） A． 21yx   B． 21yx   C． 23yx D． 21yx 【答案】B 【思路导引】求得函数  y f x 的导数  fx ，计算出  1f 和  1f  的值，可得出所求切线的点斜式方 程，化简即可． 【解析】   432fxxx  ，   3246fxxx ，  11f   ，  12f   ，因此，所求切线的方程 为  121yx  ，即 ，故选 B． 【专家解读】本题考查了导数的几何意义，考查曲线切线的求法，考查数学运算、直观想象等学科素养．解 题关键是正确理解导数的几何意义． 【2020 年高考全国Ⅰ卷文数 15】曲线 ln 1y x x   的一条切线的斜率为 2 ，则该切线的方程为 ． 【答案】 2yx 【思路导引】设切线的切点坐标为 00( , )xy，对函数求导，利用 0 |2xy，求出 0x ，代入曲线方程求出 0y ， 得到切线的点斜式方程，化简即可． 【解析】设切线的切点坐标为 00 1(,),ln1,1xyyxxy x  ， 0 00 0 1| 1 2, 1, 2xxy x yx      ， ∴切点坐标为(1,2) ，所求的切线方程为 22(1)yx ，即 ，故答案为： ． 【专家解读】本题考查了曲线切线方程的求法，考查数学运算学科素养．解题关键是正确应用导数的几何 意义解题． 【2019 年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线 elnxyaxx 在点（1，ae）处的切线方程为 y=2x+b，则 A． e1ab  ， B．a=e，b=1 C． 1e1ab， D． 1ea  ， 1b  【答案】D 【解析】∵ e l n 1 ,xy a x    ∴切线的斜率 1|e12xkya  ， 1ea  ，将 (1,1) 代入 2y x b， 得 2 1, 1bb    .故选 D． 【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有 a，b 的等式，从而求解，属于 常考题型. 3.会用课本给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单的函数的导数，能求简单的复合 函数（仅限于形如 ()f a x b  的导数） 【2020 年高考全国Ⅲ卷文数 15】设函数   e x fx xa  ，若   e1 4f   ，则 a  ． 【答案】1 【思路导引】由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数 a 的方程，解方程即可确定实数 a 的值． 【解析】由函数的解析式可得          22 1xxxexaeexafx xaxa    ，则         1 22 111 11 ea aef aa    ， 据此可得：   2 41 aee a   ，整理可得： 2 2 1 0aa   ，解得： 1a  ，故答案为： 1 ． 【专家解读】本题考查了导数的导数的运算法则及基本运算，考查函数与方程思想，考查数学运算学科素 养．解题关键是正确应用导数的运算法则计算导数． 【2019 年高考江苏】在平面直角坐标系 x O y 中，点 A 在曲线 y=lnx 上，且该曲线在点 A 处的切线经过点 （-e，-1)(e 为自然对数的底数），则点 A 的坐标是 ▲ . 【答案】 ( e , 1 ) 【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值，可得切点坐标.设点  00,A x y ，则 00lnyx .又 1y x   ，当 0xx 时， 0 1y x   ，则曲线 lnyx 在点 A 处的切线为 00 0 1 ()yyxx x ， 即 0 0 ln1 xyxx ，将点 e, 1 代入，得 0 0 e1ln1 x x  ，即 00ln exx ，考 察函数   lnH x x x ， 当  0,1x 时，   0Hx ，当  1,x 时，   0Hx ，且   ln 1H x x ，当 1x  时，    0,H x H x  单调递增，注意到  eeH  ，故 存在唯一的实数根 0 ex  ，此时 0 1y  ， 故点 A 的坐标为  e,1 . 【名师点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题： 一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线， 同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点． 2.命题方向预测： 导数的概念、导数的运算、导数的几何意义等是重点知识，基础是导数运算.导数的几何意义为高考热 点内容，考查题型多为选择、填空题，也常出现在解答题中前一问，难度较低．归纳起来常见的命题探究 角度往往有： (1)求切线方程问题． (2)确定切点坐标问题． (3)已知切线问题求参数． (4)切线的综合应用． 3.课本结论总结： 1. 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c 为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cosx f(x)＝cos x f′(x)＝－sinx f(x)＝ax f′(x)＝axlna f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax f′(x)＝ 1 xln a f(x)＝ln x f′(x)＝1 x 2．导数的运算法则 （1） [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；（ 2） [f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； （3） 2 ( ) '( ) ( ) '( ) ( )'( ) ( ) f x f x g x g x f x g x g x     (g(x)≠0)． (4) 复合函数的导数 复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为 yx′＝yu′·ux′，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积． 3. 函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数几何意义： 函数 ()y f x 在点 0x 处的导数 0' ( )fx就是曲线 在点 00( , ( ) )x f x 处的切线和斜率，即 0' ( )k f x . 相应地，切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 4.名师二级结论： 当一个函数是多个函数复合而成时，就按照从外层到内层的原则进行求导，求导时要注意分清层次，防止 求导不彻底，同时，也要注意分析问题的具体特征，灵活恰当选择中间变量，同时注意可先化简，再求导， 实际上，复合函数的求导法则，通常称为链条法则，这是由于求导过程像链条一样，必须一环一环套下去， 而不能漏掉其中的任何一环. 5.课本经典习题： (1)新课标 A 版选修 2-2 第 6 页，例 1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷 却和加热.如果在第 x h 时，原油的温度（单位：℃）为 2()715(08)yfxxxx .计算第 2 h 与第 6 h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义. 【解析】在第 2h 和第6h 时，原油温度的变化的瞬时变化率就是 ' (2 )f 和 ' ( 6 )f ，根据导数的定义， 2(2)(2)4()7 3yfxfxxx xxxx        ，∴ 0 '(2)lim3 x yf x    ，同理可得 '(6)5f  ， 在第 2 h 与第 6 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为 3 与 5 ，它说明在第 2 h 附近，原油温度大约以 3 ℃/ h 的 速度下降；在第 6 h 附近，原油温度大约以 5 ℃/ h 的速率上升，一般地， 0' ( )fx 反映了原油温度在时刻 0x 附 近的变化情况. 【经典理由】结合具体的实例，给出了结论： 0' ( )fx反映了原油温度在时刻 0x 附近的变化情况，阐述了导 数的意义：导数可以描述瞬时变化率. (2)新课标 A 版选修 2-2 第 17 页，例 4 求下列函数的导数（1） 2(23)yx；（2） 0.051xye ；（3） sin()yx( 其中  ，  均为常数 ) ； 【解析】（1）函数 可以看作函数 2yu 和 23ux的复合函数，根据复合函数求导法则有 2' ' ' ( )' (2 3)' 4 8 12x u xy y u u x u x        ；（ 2）函数 0.051xye 可以看作函数 uye 和 0.051ux  的复合函数，根据复合函数求导法则有 0.05 1' ' ' ( )' ( 0.05 1)' 0.05 0.05u u x x u xy y u e x e e          ；（ 3） 函数 s i n ( )yx可以看作函数 s i nyu 和 ux的复合函数，根据复合函数求导法则有 '''(sin)' ()'coscos()xuxyyuuxux  . 【经典理由】结合具体的例题，说明了复合函数求导的一般方法. 6.考点交汇展示： (1)导数与点线距离相结合 例 1．（ 2020·黑龙江省哈尔滨三中高三）若点 P 是曲线 2 lny x x 上任一点，则点 P 到直线 40xy   的最小距离是（ ） A． 2 B．3 C． 22 D． 23 【答案】C 【解析】要使点 P 到直线 的最小距离，只需点 P 为曲线与直线 平行的切线切点， 即点 为斜率为 1 的切线的切点，设 000( , ) , 0P x y x  ， 0 2 0 0 1ln,|21 xxyxxyx x ，解得 0 1x  或 0 1 2x  （舍去），点 (1,1)P 到直线 的距离为 |114 | 22 2   ，所以曲线 上任 一点到直线 距离最小值为 . 例 2．（ 2020·重庆南开中学高三）点 P 在函数 lnyx 的图象上，若满足到直线 yxa 的距离为 的点 P 有且仅有 3 个，则实数 a 的值为（ ） A．1 B． 3 C．2 D． 22 【答案】B 【解析】对于函数 ，定义域为 0,  ， ' 1y x 在 上为减函数，令 ' 1 1y x，解得 1x  ， 故函数 导数为 处的切点坐标为 ( )1,0A ，点 到直线 0xya 的距离为 1 2 2 a  ，解 得 1a  或 3a  .结合图象可知，要使满足到直线 的距离为 的点 有且仅有 3 个，则 不 符合，所以 . (2)导数与函数图象相结合 例 3.函数 y=f(x)的导函数 ()y f x  的图像如图所示，则函数 y=f(x)的图像可能是 【答案】D 【解析】原函数先减再增，再减再增，且由增变减时，极值点大于 0，因此选 D． 例 4.已知函数  fx在 R 上可导，其部分图象如图所示，设    42 42 ffa  ，则下列不等式正确的是（ ） A.    24a f f    B.    24f a f   C.    42f f a D.    24f f a 【答案】B 【解析】由图象可知，函数的增长越来越快，故函数在该点的斜率越来越大，所 以      2, 2 , 4, 4ff 两点连续的斜率    42 42 ff  大小，在点   2, 2f 处的 切线斜率  '2f 与点   4 , 4f 的切线斜率  '4f 之间，    '2'4faf ， 故选 B. (3)导数与不等式相结合 例 5．（ 2020·山东省山东师范大学附中高三）己知 a，b 为正实数，直线 y=x－a 与曲线 y=ln(x+b)相切于点(x0， y0)，则 11 ab 的最小值是_______________. 【答案】4 【解析】对  lny x b求导得 1y xb    ，因为直线 y=x－a 与曲线 y=ln(x+b)相切于点(x0，y0)，所以 0 1 1xb 即 0 1xb ，所以    00lnln10yxbbb ，所以切点为  1 ,0 b ，由切点 在 切线 y=x－a 上可得10ba 即 1ba，所以  1111 2224bab aababababa b     ， 当且仅当 1 2ba 时，等号成立.所以 的最小值是 4 . 例 6．（ 2020·梅河口市第五中学高三）已知函数   lnfxxx  . （1）求曲线  yfx 在点   1,1Pf 处切线方程； （2）当 1a  时，求证：存在 10,c a  ，使得对任意的  ,1xc ，恒有    1fxaxx. 【答案】(1) 10xy   ；（ 2）证明见解析. 【解析】(1)由 ,得   ln1fxx ，∴    10,11ff， 故所求切线方程为  0 1 1yx    ，即 ； (2)证明：由 ,得 ln ( 1)x x ax x，考虑到 0x  ，可得  ln1xax， 设    ln1gxxax ，则 1 11() axax agxa xxx     ， 当 10,x a   时   0gx  ，当 1 ,x a   时，   0gx  ，∴  gx在 10, a   上单调递增,在 1 ,a  上 单调递减.由 在区间 1 ,1a   内是减函数及  10g  ,得当 1 ,1x a   时,   0gx ，① 又    ln10aaaageeaeae   ,则存在 0 1,,axea   即 0 10,x a   ,使得  0 0gx  . 又 在区间 0 1,x a   内是增函数，∴当 0 1,xxa   时， .②由①②可知,存在 0 1,cxa   ,使 恒成立，即存在 10,c a   使得对任意的 ( ,1)xc ，恒有 ( ) ( 1 )f x a x x. 【考点分类】 热点 1 导数的运算 1．（ 2020·陕西省高三）已知函数 2()(1)e2 xfxfx  ，则 ' ( 0 ) f （ ） A． 2 e B． 2 e1 C． 2e e1 D． 4 2 e e1   【答案】B 【解析】由已知得 ( ) (1)e 2xf x f x，令 1x  ，则 (1) (1)e 2ff，解得 2(1) e1f    ， 所以 2()e2 e1 xfxx  ，所以 2(0) 1   f e ， 2.已知 '()fx是 ( ) sin cosf x x a x 的导函数，且 2'( )44f   ，则实数 a 的值为（ ） A． 2 3 B． 1 2 C． 3 4 D．1 【答案】B 【解析】由题意可得 '( ) cos sinf x x a x ，由 可得 2 2 2 2 2 4a，解之得 1 2a  ，选 B. 3.曲线 在点 处切线为 ，则 等于( ) A. B. C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】由题意可得 ,而 = = ，选 C. 【方法规律】导数运算时，要注意以下几点： 1.尽可能的把原函数化为幂函数和的形式； 2.遇到三角函数求导时，往往要对原函数进行化简，从而可以减少运算量； 3.求复合函数的导数时，要合理地选择中间变量. 热点 2 导数的几何意义 1．（ 2020·全国高三其他（理））曲线 c o s si n xy x 在点 π ,14   处的切线方程为（ ）. A． π210 2xy B． π210 2xy C． π210 2xy D． π210 2xy 【答案】D 【解析】 22 22 sincos1 sinsin xxy xx    ，切线斜率为 2k  ，∴切线方程为 π12 4yx   ，即 . 2．（ 2020·湖南省高三其他（理））已知直线 2ykxx与曲线 lnyxx 在 xe 处的切线平行，则实数 k 的 值为_______. 【答案】4 【解析】对 求导数，得 'ln1yx.当 时， '2y  .故曲线在 处的切线的斜率为 2．而 已知直线的斜率为 2k  ，∴ 22k ，故 4k  . 3．（ 2020·辉县市第二高级中学高三）过原点  0,0 作函数   322fxxx  图象的切线，则切线方程为 ______． 【答案】 0y  或 0xy 【解析】   322f x x x  ,则 2( ) 3 4f x x x ,设切点为 32 000( , 2 )x x x  ,则切线的斜率 2 000()34kfxxx ,故切线方程为: 32 00( 2 )y x x   2 000(34)()xxxx,因为切线过点 (0 ,0 ) ,所以 32 00( 2 )xx   2 000( 3 4 ) ( )x x x,即 32 0002200xxx 或 0 1x  ,故当 0 0x  时,切线方程为 0y  ,当 时,切线方程为 0xy, 4．（ 2020·定西市第一中学高三其他（理））已知曲线  1 :e0 xCyxx 和 2 2 2: e x xCy   ，若直线 l 与 12,CC 都相切，且与 2C 相切于点 P ，则 的横坐标为（ ） A． 35 B． 51 C． 35 2 - D． 31 2  【答案】C 【解析】设  00,P x y ，另设 与 1C 相切于点  11,M x y ，则 1 0 0 011 2 2 , x x xyyxe e  ．由 xy x e 得 (1) xyxe  ，由 2 2 x xy e   得 2 3 x xy e    ．因为 是 和 的切线，所以   1 0 0 12 3 1 x x x xee    ，即    0 12 01211 x xxexe  ．又 (1) xyxe 在 (0, ) 单调递增，所以 012 xx．又因为   110 1 10 1 xyy xexx   ，即   1 0 1 0 1 2 1 10 2 1 x x x xxe e xexx    ，所以    11 111 1 11 12 xx xx ex e xexx   ， 即 1 1 1 11 x xx  ，解得 1 15 2x  或15 2  （不合，舍去）．所以 01 352 2xx ， 【方法规律】 曲线的切线的求法： 若已知曲线过点 00(,)Pxy ，求曲线过点 P 的切线则需分点 00(,)Pxy 是切点和不是切点两种情况求解． (1)点 是切点的切线方程为 000 '()()yyfxxx ． (2)当点 不是切点时可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标 11'( , ( ))P x f x ； 第二步：写出过 的切线方程为 1 1 1( ) '( )( )y f x f x x x   ； 第三步：将点 P 的坐标 00( , )xy代入切线方程求出 1x ； 第四步：将 的值代入方程 可得过点 的切线方程． 热点 3 导数的几何意义的应用 1．（ 2020·江苏省丰县中学高三）若点 P 是曲线 2 lny x x 上的任意一点，则点 到直线 2yx的最小 距离为（ ） A． 2 B． 2 2 C． 1 2 D．1 【答案】A 【解析】设 ( , )P x y ，则 12(0)yxx x ，令 121x x，则 ( 1 ) (2 1 ) 0xx   ， 0x > ， 1x， 1y ∴ ， 即平行于直线 且与曲线 2y x l n x 相切的切点坐标为 (1,1)．点 到直线 的最小距离就 是平行于直线 且与曲线 相切的切点到直线的距离，由点到直线的距离公式可得 |112| 2 2 d ． 2.已知点 P 在曲线 4 1xy e  （其中 e 为自然对数的底数）上， 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则 tan 的取值范围是 ． 【答案】 )0,1[  【解析】由导数的几何意义 ytan 12 4 2  xx x ee e 21 4   x x ee 212 4   x x ee 1 ，又因为 0xe ，所以 0tan  ，故 )0,1[tan  . 3.若函数 与函数 有公切线，则实数 的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 ，设切点分别是 ，所以切线方程分别为： ，化简为 ，所以 消 ，得 令 ， ，所以 f(x)在 单调递减， ， ，填 . 3.（2020·辉县市第二高级中学高三已知函数 32()f x a x b x在点 (1, (1) )f 处的切线方程为 3 1 = 0xy . （1）求实数 a，b 的值； （2）若过点  1 , 4 ()mm   可做曲线  y f x 的三条切线，求实数 m 的取值范围. 【答案】（1） 1 3 a b    ；（ 2）  4 ,4 . 【解析】（1）由切线方程知：  13112f  ，  13f   ，又   232fxaxbx ， 2 3 2 3 ab ab        ，解得： . （2）由（1）知：   323f x x x  ，则   236f x x x ， 4m  ，  1, m 不在  fx上，又  1369f   ，可知切点横坐标不为 1 ，设切点坐标为 32 0 0 0,3x x x ， 0 1x  ，则切线斜率 32 200 00 0 3 361 x x mk x xx    ，整理得： 3 0026mxx  ， 过  1, m 可作 三条不同的切线， 3 0026mxx  有三个不为 的解；令    3261hxxxx   ，则      266611hxxxx    ，  当  ,1x 和  1,  时，   0hx  ；当  1,1x 时，   0hx  ，  hx 在  ,1 和 上 单调递减，在  1 ,1 上单调递增，由此可得  hx 图象如下图所示： 有三个不为 的解等价于 ym 与 有三个不同的交点，由图象可知： 44m   ，  实数 m 的取值范围为  4 ,4 . 【解题技巧】 导数的应用除研究切线方程外，还有许多应用，如： （1）因为有些物理量，如瞬时速度，瞬时加速度，瞬时功率，瞬时电流和瞬时感应电动势等与导数有着直 接或间接的关系，在解题时应紧扣这些联系来解决问题； （2）利用导数的性质求解参数的取值范围问题，解决这类问题的一般方法是待定系数法，即根据题设条件， 利用导数工具所列出所需的方程或方程组，然后加以求解即可. 【易错点睛】 利用导数解决恒成立或存在性问题的基本思想是转化成函数的最值问题，利用导数来判断函数的单调性求 七最值，在过程中，通常会用到分离变量法或者含参讨论以及构造函数.此外，在分析题目描述的问题是需 分析清楚到底是恒成立问题还是存在性问题. 【热点预测】 1．函数 ( ) 3sin 4cosf x x x 的图象在点 T(0， f(0))处的切线 l 与坐标轴围成的三角形面积等于（ ） A． 4 3 B． 5 3 C． 7 3 D． 8 3 【答案】D 【解析】 ()3sin4cosfxxx ， ()3cos4sinfxxx ， (0)4f  ， (0)3f   ，则切线l 的方程为 4 3( 0)yx   ，令 0x  ， 解得切线 在 y 轴上的截距 4b  ， 令 0y  ， 解得切线 在 x 轴上的截距 4 3a  ， 则直线 与坐标轴围成的三角形面积 18||||23Sab. 2.若函数 ()yfx 的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称 具有 T 性质.下列函数中具有 T 性质的是（ ） （A） sinyx （B） lnyx （C） exy  （D） 3yx 【答案】A 【解析】由函数的图象在两点处的切线互相垂直可知，存在两点处的切线斜率的积，即导函数值的乘积为 负一.当 sinyx 时， cosyx  ，有 cos0 cos1   ，所以在函数 图象存在两点 0,xx使 条件成立，故 A 正确；函数 3ln ,, xyx yeyx 的导数值均非负，不符合题意，故选 A. 3．（ 2020·安徽省六安中学高三）已知函数    2 10xf x e ex x     ，则函数  fx在 1x  处的切线方 程为（ ） A． 10e x y e    B． 0xy C． 0xy D． 10e x y e    【答案】A 【解析】    2 10xfxeexx ，   2 xfxexe ，则  11f  ，  1fe  ，因此，函数  y f x 在 1x  处的切线方程为  11y e x   ，即 . 4.设 1nyx ( n ∈N*)在(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 nx ，则 201712017220172016loglog......logxxx 的 值为 ( ). A. 2017l o g 2 0 1 6 B. －1 C. 2017l o g 2 0 1 6 1  D. 1 【答案】B 【解析】令   1nf x x  ，则    1 nfxnx   ，切线的斜率为  11k f n   ，∴切线方程为 y－1＝ (n＋1)(x－1)，令 y＝0，得 11 11 nx nn  ，所以 201712017220172016loglog......logxxx  2017122016log...... x xx 20172017 1 2 320161log......log12 3 420172017    5. 设函数 '()fx是奇函数 ( )( )f x x R 的导函数， (1)0f ，当 0x  时， ' ()()0xfxfx ，则使得 ()0fx 成立的 x 的取值范围是（ ） A．(,1)(0,1) B．(1,0)(1,) C．( , 1) ( 1,0)   D．(0,1) (1, ) 【答案】A 【解析】记函数 ()() fxgx x ，则 ' ' 2 ( ) ( )() xf x f xgx x  ，因为当 时， ' ( ) ( ) 0xf x f x，故当 时， '( ) 0gx ，所以 ()gx在(0, ) 单调递减；又因为函数 ()()fxxR  是奇函数，故函数 ()gx是偶函数， 所以 在 ( ,0) 单调递减，且 ( 1) (1) 0gg   ．当 01x时， ( ) 0gx ，则 ( ) 0fx ；当 1x  时， ()0gx ，则 ，综上所述，使得 成立的 x 的取值范围是 ，故选 A． 6．（ 2020·黑龙江省哈尔滨三中高三）已知点 P 在直线 1yx上，点Q 在曲线 2 2xy 上，则 PQ 的最小 值为（ ） A． 1 4 B． 1 8 C． 2 2 D． 2 4 【答案】D 【解析】设与直线 1yx平行的直线 l 的方程为 y x m ， ∴当直线 与曲线 2 2xy 相切，且点 Q 为 切点时， ,PQ两点间的距离最小， 设切点  00,Q x y ， 2212 2xyyx ，所以 yx ， 0 1x， 0 1 2y，  点 11, 2Q   ， 直线 的方程为 1 2yx ， ,PQ 两点间距离的最小值为平行线 和 间的距离， 两点间距离的最小值为 1 1 22 42   . 7.已知曲线 2xay e y x 与 恰好存在两条公切线，则实数 a 的取值范围是 A.  2ln2 2,  B.  2ln2, C.  ,2ln2 2  D.  ,2ln22 【答案】D 【解析】设直线 (0)ykxbk 为它们的公切线，联立 2{ ykxb yx   可得 2 40kb①， xaye 求导可 得 xaye ，令 xaek  可得 lnxka，所以切点坐标为 ln,lnkakkakb ，代入 xaye 可得 lnkkkakb ②.联立①②可得 2 4 4 4 ln 0k k ak k k    ，化简得 444lnakk 。令   4lngkkk ，   4 1gk k  ，      0,0;0,04;0,4gkkgkkgkk  ，  gk 在  0 ,4 内单调递增，在  4,  内单调递减，    max 44ln44gkg  。 有两条公切线，  444lnakk 方程有两解， 4 4 4ln4 4a    2ln2 2a   . 8.已知点 P 在曲线 C: 4 1xy e  上，则曲线 C 在 P 处切线的倾斜角的取值范围是 _________. 【答案】 3 ,4    【解析】由    2 441,011 2 x x x x ey e e e         ，所以 3 ,.4   9．（ 2020·甘肃省静宁县第一中学高三）已知奇函数 ()fx的定义域为 R，且当 0x  时， ( ) l n( 1 3 )f x x ， 则曲线 ()y f x 在点 ( 1, ( 1 ))f 处的切线斜率为________. 【答案】 3 4 . 【解析】因为函数 为奇函数，所以 ( ) ( )f x f x   ，因为当 时， ，所以当 0x  时，  ()()ln13fxfxx ，所以 3() 13fx x    ， 3( 1 ) 4f   ，所以曲线 在点 处的切线斜率为 . 10.已知 P ， Q 为抛物线 2 2xy 上两点，点 P,Q 的横坐标分别为 4，  2，过 P,Q 分别作抛物线的切线，两 切线交于点 A，则点 A 的纵坐标为_________． 【答案】 4 . 【解析】因为点 ， 的横坐标分别为 4 ， 2 ，代入 抛 物 线 方 程 得 ， 的纵坐标分别为 8 ， 2 ， 由 2 2xy ，则 2 2 1 xy  ，所以 'yx ，过点 ， 的抛物线的切线的斜率分别为 4 ， 2 ， 所以过点 ， 的抛物线的切线方程分别为 48yx， 22yx ，联立方程组解得 1x  ， 4y  11．（ 2020·黑龙江省大庆实验中学高三）已知   2fxx  ，则曲线  yfx 过点  1,0P  的切线方程是 ______． 【答案】 0y  或 440xy 【解析】设切点为( , )mn ， 2()fxx  的导数为 ( ) 2f x x，可得切线的斜率为 2km ，又 202 11 nmm mm  ， 解得 0m  或 2m  ，当 时， 0k  ； 时， 4k  ；曲线 过点 ( 1,0)P  的切线方 程为 (1)ykx，则切线的方程为 或 44yx ． 12.已知函数 ，若曲线 在点 处的切线经过圆 ： 的圆心，则实数 的值是________. 【答案】 【解析】由题意可得： ，且 ，据此可得，切线方程 为： ，圆的圆心为 ，切线过圆心，则： . 13.已知函数  y f x 的图象在点   2, 2Mf 处的切线方程是 4yx，则    22ff ． 【答案】 7 【解析】由函数在某点的导数等于函数在该点的切线的斜率可知 1)2( f ，有点 M 必在切线上，代入切线 方程 4yx，可得 6)2( f ，所以有 7)2()2(  ff ． 14．（ 2020·江苏省高三其他）已知函数 2()f x x m， ( ) 2 lng x n x ，若曲线 ()y f x 与 ()y g x 在 1x  处有相同的切线，则函数 ()()()Fxfxgx的最小值为________. 【答案】0 【解析】因为 ， ，有 ' ( ) 2f x x  ， 2' ( ) ngx x ，所以 '(1)2,'(1)2fgn ， 且 (1) 1 , (1) 0f m g   ，所以 在 处的切线方程为 12(1)ymx ，即 2 1 0x y m    ， 在 处的切线方程为 0 2 ( 1 )y n x   ，即 2 2 0n x y n   ，因为两条切线相同，所以有 22 12 n mn      ，解得 1 1 n m    ，所以 2()()()12lnFxfxgxxx ， ( 0 )x  ， 222(1)2(1)(1)'( )2 2 xxxFxx xx  ， ，所以当 01x时， '()0Fx ，当 1x  时， '( ) 0Fx ，所以 ()Fx 在 (0 ,1) 上单调递减，在  1,  时单调递增，所以 在 处取得最小值，且 (1)1100F  ， 15．（ 2020·内蒙古自治区北重三中高三其他（理））已知函数 ()(0) xfxaea， 21() 2gxx  . （1）当 2a  时，求曲线  fx与  gx的公切线方程： （2）若    yfxgx有两个极值点 1x ， 2x ，且 213xx ，求实数 a 的取值范围. 【答案】（1） 22yx ；（ 2） 3(0,ln 3]6 【解析】（1） 时， ()2 xfxe  ，设曲线 ()fx上的切点为 1 1( , 2 )xxe ，则切线方程为 11 122()xxyeexx  ，设曲线 ()gx上的切点为 2 22 1( , )2xx，则切线方程为 2 2 2 2 1 ()2y x x x x   由两条切线重合得 1 1 2 2 12 2 12 ( 1) 2 x x ex e x x     ，则 1 2 0 2 x x    ，所以，公切线方程为 ； （2） 21( ) ( ) 2 xy f x g x ae x    ， xy ae x ，设其零点为 ， ， 12 12 xxaexaex ， 12 12 xx xxa ee   ，令 21( 3 )x k x k，可得 11 11 x k x x k x ee ，则 1 ln 1 kx k  令 ln()(3) 1 xhxx x ， 2 11ln () (1) xxhx x     ，又令 1()1ln(3)txxx x ， 2 1( ) 0 xtx x  ，则 ()tx 单 调递减， 2()(3)ln 30 3txt  ， ( ) 0hx， ()hx 单调递减， l n 3() 2hx  ，易知 ( ) 0hx  ， 1 l n 3(0 , ] 2x ，令 () x xx e  ， 1() x xx e   ，则 ()x 在 ( ,1] 上递增， 1 1 3(0,ln 3]6x xa e