中考数学二轮复习试卷圆含答案解析

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中考数学二轮复习试卷圆含答案解析

2014 年中考数学二轮精品复习试卷: 圆 1、半径为 3 的圆中,一条弦长为 4,则圆心到这条弦的距离是 A.3 B.4 C. D. 2、两个圆的半径分别为 2 和 3,当圆心距 d=5 时,这两个圆的位置关系是【 】 A.内含 B.内切 C.相交 D.外切 3、如图,四边形 ABCD 是菱形,∠A=60°,AB=2,扇形 BEF 的半径为 2,圆心角为 60°, 则图中阴影部分的面积是 A. B. C. D. 4、如图,已知线段 OA 交⊙O 于点 B,且 OB=AB,点 P 是⊙O 上的一个动点,那么∠OAP 的最大值是 A.90° B.60° C.45° D.30° 5、如图,AB 是半圆的直径,点 D 是弧 AC 的中点,∠ABC=500,则∠DAB 等于 A.55° B.60° C.65° D.70° 6、如图, ABCD 的顶点 A、B、D 在⊙O 上,顶点 C 在⊙O 的直径 BE 上,∠ADC=54°, 连接 AE,则∠AEB 的度数为 A.36° B.46° C.27° D.63° 7、一条排水管的截面如图所示,已知排水管的半径 OB=10,水面宽 AB=16,则截面圆心 O 到水面的距离 OC 是【 】 A.4 B.5 C.6 D.8 8、如图,某厂生产横截面直径为 7cm 的圆柱形罐头,需将“蘑菇罐头”字样贴在罐头侧面.为 了获得较佳视觉效果,字样在罐头侧面所形成的弧的度数为 45°,则“蘑菇罐头”字样的长度 为【 】 A. cm B. cm C. cm D.7πcm 9、已知 和 的半径分别为 和 ,圆心距 为 ,则 和 的位 置关系是【 】 A.外离 B.外切 C.相交 D.内切 10、如图,点 A,B,C 在⊙O 上,∠A=50°,则∠BOC 的度数为【 】 A.40° B.50° C.80° D.100° 11、如图,⊙O 的半径 OD⊥弦 AB 于点 C,连结 AO 并延长交⊙O 于点 E,连结 EC.若 AB=8,CD=2,则 EC 的长为【 】 A. B.8 C. D. 12、如图,半圆 O 的直径 AB=10cm,弦 AC=6cm,AD 平分∠BAC,则 AD 的长为【 】 A. cm B. cm C. cm D.4 cm 13、如图,圆心在 y 轴的负半轴上,半径为 5 的⊙B 与 y 轴的正半轴交于点 A(0,1)。过 点 P(0,-7)的直线 l 与⊙B 相交于 C、D 两点,则弦 CD 长的所有可能的整数值有【 】 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 14、如图,AB,CD 是⊙O 的两条互相垂直的直径,点 O1,O2,O3,O4 分别是 OA、OB、 OC、OD 的中点,若⊙O 的半径为 2,则阴影部分的面积为 A.8 B.4 C.4π+4 D.4π-4 15、如图,已知 AB 是⊙O 的直径,AD 切⊙O 于点 A,点 C 是 的中点,则下列结论不 成立的是 A.OC∥AE B.EC=BC C.∠DAE=∠ABE D.AC⊥OE 16、如图,以等边三角形 ABC 的 BC 边为直径画半圆,分别交 AB、AC 于点 E、D,DF 是 圆的切线,过点 F 作 BC 的垂线交 BC 于点 G.若 AF 的长为 2,则 FG 的长为 A.4 B. C.6 D. 17、 如图,在△ABC 中,以 BC 为直径的圆分别交边 AC、AB 于 D、E 两点,连接 BD、 DE.若 BD 平分∠ABC,则下列结论不一定成立的是 A.BD⊥AC B.AC2=2AB·AE C.△ADE 是等腰三角形 D. BC=2AD. 18、已知两个半径不相等的圆外切,圆心距为 ,大圆半径是小圆半径的 倍,则小圆 半径为 A. 或 B. C. D. 19、如图,半圆 O 与等腰直角三角形两腰 CA、CB 分别切于 D、E 两点,直径 FG 在 AB 上, 若 BG= ﹣1,则△ABC 的周长为 A、 B、6 C、 D、4 20、如图,AB 是⊙O 的直径,C、D 是⊙O 上的点,∠CDB=30°,过点 C 作⊙O 的切线交 AB 的延长线于 E,则 sin∠E 的值为【 】 A. B. C. D. 21、如图,AB 是⊙O 的切线,B 为切点,AO 与⊙O 交于点 C,若∠BAO=400,则∠OCB 的度数为【 】 A.400 B.500 C.650 D.750 22、如图,已知⊙O1 的半径为 1cm,⊙O2 的半径为 2cm,将⊙O1,⊙O2 放置在直线 l 上, 如果⊙O1 在直线 l 上任意滚动,那么圆心距 O1O2 的长不可能是【 】 A.6cm B.3cm C.2cm D.0.5cm 23、如图,ABCD 是平行四边形,AB 是⊙O 的直径,点 D 在⊙O 上 AD=OA=1,则图中阴 影部分的面积为 A. B. C. D. 24、如图,以 AD 为直径的半圆 O 经过 Rt△ABC 斜边 AB 的两个端点,交直角边 AC 于点 E、B,E 是半圆弧的三等分点,弧 BE 的长为 ,则图中阴影部分的面积为 A. B. C. D. 25、如图,⊙O1,⊙O2、相交于 A、B 两点,两圆半径分别为 6cm 和 8cm,两圆的连心线 O1O2 的长为 10cm,则弦 AB 的长为【 】 A.4.8cm B.9.6cm C.5.6cm D.9.4cm 二、填空题() 26、在同一平面内,已知线段 AO=2,⊙A 的半径为 1,将⊙A 绕点 O 按逆时针方向旋转 60° 得到的像为⊙B,则⊙A 与⊙B 的位置关系为 . 27、在平面直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为圆心的圆过点 A(13,0),直线 与⊙O 交于 B、C 两点,则弦 BC 的长的最小值为 . 28、已知⊙O1 的半径为 3,⊙O2 的半径为 r,⊙O1 与⊙O2 只能画出两条不同的公共切线, 且 O1O2=5,则⊙O2 的半径为 r 的取值范围是 . 29、已知 与 的半径分别是方程 的两根,且 , 若这两个圆相切,则 t= . 30、已知扇形的半径为 6cm,圆心角为 150°,则此扇形的弧长是 cm,扇形的面积 是 cm2(结果保留π). 31、如图所示,在△ABC 中,BC=4,以点 A 为圆心,2 为半径的⊙A 与 BC 相切于点 D, 交 AB 于点 E,交 AC 于点 F,且∠EAF=80°,则图中阴影部分的面积是 . 32、如图,PA、PB 分别切⊙O 于点 A、B,若∠P=70°,则∠C 的大小为 (度). 33、如图 AB 是⊙O 的直径,∠BAC=42°,点 D 是弦 AC 的中点,则∠DOC 的度数是 度. 34、若圆锥的母线长为 5cm,底面半径为 3cm,则它的侧面展开图的面积为 cm2(结 果保留π) 35、如图,三个小正方形的边长都为 1,则图中阴影部分面积的和是 (结果保留π). 36、图中圆心角∠AOB=30°,弦 CA∥OB,延长 CO 与圆交于点 D,则∠BOD= . 37、如图,AB 切⊙O 于点 B,OA=2,∠OAB=300,弦 BC∥OA,劣弧 的弧长为 . (结果保留π) 38、如图,AB 是⊙O 的直径, ,AB=5,BD=4,则 sin∠ECB= . 39、如图,AE 是半圆 O 的直径,弦 AB=BC=4 ,弦 CD=DE=4,连结 OB,OD,则图中 两个阴影部分的面积和为 . 40、如图,A,B,C 为⊙O 上相邻的三个 n 等分点, ,点 E 在 上,EF 为⊙O 的直径,将⊙O 沿 EF 折叠,使点 A 与 A′重合,点 B 与 B′重合,连接 EB′,EC,EA′.设 EB′=b,EC=c,EA′=p.现探究 b,c,p 三者的数量关系:发现当 n=3 时,p=b+c.请继续探 究 b,c,p 三者的数量关系:当 n=4 时,p= ;当 n=12 时,p= . ( 参 考 数 据 : , ) 三、计算题() 41、圆锥的底面半径为 3cm,侧面展开图是圆心角为 120º的扇形,求圆锥的全面积。 四、解答题() 42、已知:如图,AC⊙O 是的直径,BC 是⊙O 的弦,点 P 是⊙O 外一点,∠PBA=∠C. (1)求证:PB 是⊙O 的切线; (2)若 OP∥BC,且 OP=8,BC=2.求⊙O 的半径. 43、已知直线 l 与⊙O,AB 是⊙O 的直径,AD⊥l 于点 D. (1)如图①,当直线 l 与⊙O 相切于点 C 时,若∠DAC=30°,求∠BAC 的大小; (2)如图②,当直线 l 与⊙O 相交于点 E、F 时,若∠DAE=18°,求∠BAF 的大小. 44、如图,CD 为⊙O 的直径,CD⊥AB,垂足为点 F,AO⊥BC,垂足为点 E,AO=1. (1)求∠C 的大小; (2)求阴影部分的面积. 45、如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,E 为 BC 上一点,以 CE 为直径作⊙O,AB 与⊙O 相切于点 D,连接 CD,若 BE=OE=2. (1)求证:∠A=2∠DCB; (2)求图中阴影部分的面积(结果保留π和根号). 46、如图,AB 是⊙O 的直径,AF 是⊙O 切线,CD 是垂直于 AB 的弦,垂足为 E,过点 C 作 DA 的平行线与 AF 相交于点 F,CD= ,BE=2. 求证:(1)四边形 FADC 是菱形; (2)FC 是⊙O 的切线. 47、如图 AB 是半圆的直径,图 1 中,点 C 在半圆外;图 2 中,点 C 在半圆内,请仅用无 刻度的直尺按要求画图. (1)在图 1 中,画出△ABC 的三条高的交点; (2)在图 2 中,画出△ABC 中 AB 边上的高. 48、如图 1,一辆汽车的背面,有一种特殊形状的刮雨器,忽略刮雨器的宽度可抽象为一条 折线 OAB,如图 2 所示,量得连杆 OA 长为 10cm,雨刮杆 AB 长为 48cm,∠OAB=1200.若 启动一次刮雨器,雨刮杆 AB 正好扫到水平线 CD 的位置,如图 3 所示. (1)求雨刮杆 AB 旋转的最大角度及 O、B 两点之间的距离;(结果精确到 0.01) (2)求雨刮杆 AB 扫过的最大面积.(结果保留π的整数倍) (参考数据:sin60°= ,cos60°= ,tan60°= , ≈26.851,可使用科学计算器) 49、如图,AB 为的直径,点 C 在⊙O 上,点 P 是直径 AB 上的一点(不与 A,B 重合), 过点 P 作 AB 的垂线交 BC 的延长线于点 Q。 (1)在线段 PQ 上取一点 D,使 DQ=DC,连接 DC,试判断 CD 与⊙O 的位置关系,并说 明理由。 (2)若 cosB= ,BP=6,AP=1,求 QC 的长。 50、 问题背景: 如图(a),点 A、B 在直线 l 的同侧,要在直线 l 上找一点 C,使 AC 与 BC 的距离之和最小, 我们可以作出点 B 关于 l 的对称点 B′,连接 A B′与直线 l 交于点 C,则点 C 即为所求. (1)实践运用: 如图(b),已知,⊙O 的直径 CD 为 4,点 A 在⊙O 上,∠ACD=30°,B 为弧 AD 的中点, P 为直径 CD 上一动点,则 BP+AP 的最小值为 . (2)知识拓展: 如图(c),在 Rt△ABC 中,AB=10,∠BAC=45°,∠BAC 的平分线交 BC 于点 D,E、F 分 别是线段 AD 和 AB 上的动点,求 BE+EF 的最小值,并写出解答过程. 试卷答案 1.【解析】 试题分析:如图所示,过点 O 作 OD⊥AB 于点 D, ∵OB=3,AB=3,OD⊥AB, ∴BD= AB= ×4=2。 在 Rt△BOD 中, 。故选 C。 2.【解析】根据两圆的位置关系的判定:外切(两圆圆心距离等于两圆半径之和),内切(两 圆圆心距离等于两圆半径之差),相离(两圆圆心距离大于两圆半径之和),相交(两圆圆心 距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差),内含(两圆圆心距离小于两圆半径之差)。因此, ∵两个圆的半径分别为 2 和 3,且 d=5, ∴2+3=5=5,即两圆圆心距离等于两圆半径之和。 ∴这两个圆的位置关系是外切。故选 D。 3.【解析】 试题分析:如图,连接 BD,设 BE 与 AD 相交于点 P,BF 与 CD 相交于点 Q, 根据菱形的性质,等边三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,可以得到 △BDP≌△BCQ(ASA), ∴四边形 BPDQ 的面积等于等边△BCD 的面积。 ∴图中阴影部分的面积等于扇形 BEF 的面积-等边△BCD 的面积, 即 。 故选 B。 4.【解析】 试题分析:如图,当点 P 运动到点 P′,即 AP′与⊙O 相切时,∠OAP 最大。 连接 O P′,则 A P′⊥O P′,即△AO P′是直角三角形。 ∵OB=AB,OB=" O" P′,∴OA="2" O P′。 ∴ 。∴∠OAP′=300,即∠OAP 的最大值是=300。故选 A。 5.【解析】 试题分析:如图,连接 BD, ∵AB 是半圆的直径,∴∠ADB=900。 ∵点 D 是 AC 的中点,∴∠ABD=∠CBD。 ∵∠ABC=500,∴∠ABD=250。 ∴∠DAB=900-250=650。故选 C。 6.【解析】 试题分析:∵四边形 ABCD 是平行四边形,∠ADC=54°,∴∠B=∠ADC=54°。 ∵BE 为⊙O 的直径, ∴∠BAE=90°。 ∴∠AEB=90°﹣∠B=90°﹣54°=36°。 故选 A。 7.【解析】根据垂径定理得出 AB=2BC,再根据勾股定理求出 OC 的长: ∵OC⊥AB,AB=16,∴BC= AB=8。 在 Rt△BOC 中,OB=10,BC=8, ∴ 。故选 C。 8.【解析】∵字样在罐头侧面所形成的弧的度数为 45°,∴此弧所对的圆心角为 90°。 由题意可得,R= cm,∴“蘑菇罐头”字样的长 。故选 B。 9.【解析】根据两圆的位置关系的判定:外切(两圆圆心距离等于两圆半径之和),内切(两 圆圆心距离等于两圆半径之差),相离(两圆圆心距离大于两圆半径之和),相交(两圆圆心 距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差),内含(两圆圆心距离小于两圆半径之差)。因此, ∵⊙O1 和⊙O2 的半径分别为 2 ㎝和 3 ㎝,且 O1O2=5 ㎝, ∴2+3=5,即两圆圆心距离等于两圆半径之和。 ∴⊙O1 和⊙O2 的位置关系是外切。故选 B。 10.【解析】∵在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半, ∴∠BOC=2∠BAC=100°。故选 D。 11.【解析】∵⊙O 的半径 OD⊥弦 AB 于点 C,AB=8,∴AC=AB=4。 设⊙O 的半径为 r,则 OC=r-2, 在 Rt△AOC 中,∵AC=4,OC=r-2, ∴OA2=AC2+OC2,即 r2=42+(r﹣2)2,解得 r=5。 ∴AE=2r=10。 连接 BE, ∵AE 是⊙O 的直径,∴∠ABE=90°。 在 Rt△ABE 中,∵AE=10,AB=8,∴ 。 在 Rt△BCE 中,∵BE=6,BC=4,∴ 。故选 D。 12.【解析】连接 OD,OC,作 DE⊥AB 于 E,OF⊥AC 于 F, ∵∠CAD=∠BAD(角平分线的性质),∴ 。 ∴∠DOB=∠OAC=2∠BAD。 又∵AO=DO,∴△AOF≌△OED(AAS)。 ∴OE=AF=AC=3cm。 在 Rt△DOE 中, , 在 Rt△ADE 中, 。故选 A。 13.【解析】设⊙B 与 y 轴的负半轴交于点 E,则由题意,可得:AP=8,EP=2。 设 CD=y,CP=x,则 DP= y-x。 根据相交弦定理,得 。 ∴若 y 为正整数,x=1,2,4,8,16。 ∵AP=8,EP=2,∴ 。∴x=2,4,8。 当 x=2,4,8 时,y=10,8,10。 ∴弦 CD 长的所有可能的整数值有 2 个。故选 B。 14.【解析】 试题分析:如图,作正方形 EFMN, ∵⊙O 的半径为 2,∴O1,O2,O3,O4 的半径为 1。 ∴正方形 EFMN 边长为 2。 ∵正方形中阴影部分面积为:8-2π, 正方形外空白面积为 4 个小半圆的面积:2×π×12=2π。 ∴阴影部分的面积为:8-2π+2π=8。故选 A。 15.【解析】 试题分析:A.∵点 C 是 的中点,∴OC⊥BE。 ∵AB 为圆 O 的直径,∴AE⊥BE。∴OC∥AE。本选项正确。 B.∵点 C 是 的中点,∴ 。∴BC=CE。本选项正确。 C.∵AD 为圆 O 的切线,∴AD⊥OA。∴∠DAE+∠EAB=90°。 ∵∠EBA+∠EAB=90°,∴∠DAE=∠EBA,本选项正确。 D.AC 不一定垂直于 OE,本选项错误。 ∴结论不成立的是 AC⊥OE。故选 D。 16.【解析】 试题分析:连接 OD, ∵DF 为圆 O 的切线,∴OD⊥DF。 ∵△ABC 为等边三角形,∴AB=BC=AC,∠A=∠B=∠C=60°。 ∵OD=OC,∴△OCD 为等边三角形。∴OD∥AB。 又 O 为 BC 的中点,∴D 为 AC 的中点,即 OD 为△ABC 的中位线。 ∴OD∥AB,∴DF⊥AB。 在 Rt△AFD 中,∠ADF=30°,AF=2, ∴AD=4,即 AC=8。∴FB=AB﹣AF=8﹣2=6。 在 Rt△BFG 中,∠BFG=30°,∴BG=3。 则根据勾股定理得:FG= 。故选 B。 17.【解析】 试题分析:利用排除法选择: ∵BC 是直径,∴∠BDC=90°。∴BD⊥AC。故 A 正确。 ∵BD 平分∠ABC,BD⊥AC,∴△ABC 是等腰三角形,∴AD=CD。 ∵∠AED=∠ACB,∴△ADE∽△ABC。∴△ADE 是等腰三角形。故 C 正确。 ∴AD=DE=CD。∴ 。 ∴AC2=2AB•AE。故 B 正确。 故选 D。 18.【解析】 试题分析:根据两圆的位置关系的判定:外切(两圆圆心距离等于两圆半径之和),内切(两 圆圆心距离等于两圆半径之差),相离(两圆圆心距离大于两圆半径之和),相交(两圆圆心 距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差),内含(两圆圆心距离小于两圆半径之差)。因此, ∵大圆半径是小圆半径的 2 倍,∴可设小圆半径为 rcm,由大圆半径 2rcm。 ∵两圆外切,且圆心距为 6cm,∴3r=6,即 r=2cm。 故选 D。 19.【解析】 试题分析:如图,连接 OD,OE, ∵半圆 O 与等腰直角三角形两腰 CA、CB 分别切于 D、E 两点, ∴∠C=∠OEB=∠OEC=∠ODC=90°。∴四边形 ODCE 是矩形。 ∵OD=OE,∴四边形 ODCE 是正方形。∴CD=CE=OE。 ∵∠A=∠B=45°,∴△OEB 是等腰直角三角形。 设 OE=r,则 BE=OG=r。∴OB=OG+BG= ﹣1+r。 ∵OB= OE= r,∴ ﹣1+r= r,解得 r=1。 ∴AC=BC=2r=2,AB=2OB=2×(1+ ﹣1)=2 。 ∴△ABC 的周长为:AC+BC+AB=4+2 。 故选 A。 20.【解析】连接 O ∵CE 是⊙O 切线,∴OC⊥CE,即∠OCE=90°。 ∵∠CDB=30°,∴∠COB=2∠CDB=60°。∴∠E=90°-∠COB=30°。 ∴sin∠E= sin30°= 。故选 A。 21.【解析】∵AB 是⊙O 的切线,∴AB⊥OA,即∠OBA=900。 ∵∠BAO=400,∴∠BOA=500。 ∵OB=OC,∴∠OCB= 。 故选 C。 22.【解析】∵⊙O1 的半径为 1cm,⊙O2 的半径为 2cm,∴当两圆内切时,圆心距为 1。 ∵⊙O1 在直线 l 上任意滚动,∴两圆不可能内含。 ∴圆心距不能小于 1。故选 D。 23.【解析】 试题分析:连接 DO,EO,BE,过点 D 作 DF⊥AB 于点 F, ∵AD=OA=1,∴AD=AO=DO。∴△AOD 是等边三角形。 ∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴DC∥AB。 ∴∠CDO=∠DOA=60°,∴△ODE 是等边三角形。 同理可得出△OBE 是等边三角形且 3 个等边三角形全等。 ∴阴影部分面积等于△BCE 面积。 ∵DF=ADsin60°= ,DE=EC=1, ∴图中阴影部分的面积为: × ×1= 。 故选 A。 24.【解析】 试题分析:连接 BD,BE,BO,EO, ∵B,E 是半圆弧的三等分点,∴∠EOA=∠EOB=∠BOD=60°。∴∠BAC=∠BAD=30°。 ∵弧 BE 的长为 ,∴ ,解得:r=2。∴AD=4。 ∵AD 是半圆 O 的直径,∴∠ABD=90°。 ∴AB=ADcos30°= 。∴BC= AB= 。∴ 。 ∴ 。 ∵△BOE 和△ABE 同底等高,∴△BOE 和△ABE 面积相等。 ∴图中阴影部分的面积为: 。 故选 D。 25.【解析】如图,连接 AO1,AO2,设 O1O2 与 AB 相交于点 C, ∵⊙O1,⊙O2 相交于 A、B 两点,两圆半径分别为 6cm 和 8cm,两圆的连心线 O1O2 的长为 10cm, ∴O1O2⊥AB。∴AC=AB。 设 O1C=x,则 O2C=10﹣x,∴62﹣x2=82﹣(10﹣x)2,解得:x=3.6。 ∴AC2=62﹣x2=36﹣3.62=23.04。∴AC=4.8cm。 ∴弦 AB 的长为:9.6cm。故选 B。 26.【解析】∵⊙A 绕点 O 按逆时针方向旋转 60°得到的⊙B, ∴△OAB 为等边三角形。∴AB=OA=2。 ∵⊙A、⊙B 的半径都为 1,∴AB 等于两圆半径之和。 ∴⊙A 与⊙B 外切。 27.【解析】∵直线 必过点 D(3,4), ∴最短的弦 CD 是过点 D 且与该圆直径垂直的弦。 ∵点 D 的坐标是(3,4),∴OD=5。 ∵以原点 O 为圆心的圆过点 A(13,0)。 ∴圆的半径为 13。∴OB=13。∴BD=12。 ∴BC 的长的最小值为 24。 28.【解析】∵⊙O1 与⊙O2 只能画出两条不同的公共切线,∴两圆的位置关系为相交。 ∵⊙O1 的半径为 3,⊙O2 的半径为 r,O1O2=5,∴r﹣3<5<r+3,解得:2<r<8。 29.【解析】先解方程求出⊙O1、⊙O2 的半径,再分两圆外切和两圆内切两种情况列出关于 t 的方程讨论求解: ∵⊙O1、⊙O2 的半径分别是方程 的两根,解得⊙O1、⊙O2 的半径分别是 1 和 3。 ①当两圆外切时,圆心距 O1O2=t+2=1+3=4,解得 t=2; ②当两圆内切时,圆心距 O1O2=t+2=3-1=2,解得 t=0。 ∴t 为 2 或 0。 30.【解析】 试题分析:∵扇形的半径为 6cm,圆心角为 150°, ∴此扇形的弧长是: 。 根据扇形的面积公式,得 。 31.【解析】如图,连接 AD, ∵⊙A 与 BC 相切于点 D,∴AD⊥BC。 ∴S△ABC= AD•BC, ∴ 。 32.【解析】 试题分析:连接 OA,OB, ∵PA、PB 分别切⊙O 于点 A、B, ∴OA⊥PA,OB⊥PB,即∠PAO=∠PBO=90°。 ∴ 。 ∴∠C 和∠AOB 是同弧所对的圆周角和圆心角,∴∠C= ∠AOB=55°。 33.【解析】 试题分析:根据点 D 是弦 AC 的中点,得到 OD⊥AC,然后根据∠DOC=∠DOA 即可求得 答案: ∵AB 是⊙O 的直径,∴OA=OC。 ∵∠A=42°,∴∠ACO=∠A=42°。 ∵D 为 AC 的中点,∴OD⊥AC。 ∴∠DOC=90°﹣∠DCO=90°﹣42°=48°。 34.【解析】 试题分析:计算出圆锥底面圆的周长 2π×3,再根据圆锥的侧面展开图为扇形,扇形的弧长 等于圆锥底面圆的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长,然后根据扇形的面积公式计算即可: 圆锥的侧面展开图的面积= ×2π×3×5=15π(cm2)。 35.【解析】 试题分析:将左下阴影部分对称移到右上角,则阴影部分面积的和为一个 900 角的扇形面积 与一个 450 角的扇形面积的和: 。 36.【解析】 试题分析:∵CA∥OB,∠AOB=30°,∴∠CAO=∠AOB=30°。 ∵OA=OC,∴∠C=∠OAC=30°。 ∵∠C 和∠AOD 是同弧所对的圆周角和圆心角,∴∠AOD=2∠C=60°。 ∴∠BOD=60°-30°=30°。 37.【解析】 试题分析:如图,连接 OB,OC, ∵AB 切⊙O 于点 B,∴OB⊥AB,即∠OBA=900。 ∵∠OAB=300,∴∠AOB=600, ∵BC∥OA,∴∠OBC=∠AOB=600。 ∵OB=OC,∴△OBC 是等边三角形。∴∠BOC=600。 ∵OA=2,∴OB=1。 ∴劣弧 的弧长为 。 38.【解析】 试题分析:连接 AD,则∠ADB=90°, 在 Rt△ABD 中,AB=5,BD=4,则 , ∵ ,∴∠DAC=∠DBA。∴△DAC∽△DBA。 ∴ ,即 。∴ 。 ∴ 。 ∴ 。 39.【解析】∵弦 AB=BC,弦 CD=DE, ∴点 B 是弧 AC 的中点,点 D 是弧 CE 的中点。∴∠BOD=90°,过点 O 作 OF⊥BC 于点 F, OG⊥CD 于点 G, 则 BF=FC=2 ,CG=GD=2,∠FOG=45°。 在四边形 OFCG 中,∠FCD=135°。 过点 C 作 CN∥OF,交 OG 于点 N,则∠FCN=90°,∠NCG=135°-90°=45°。 ∴△CNG 为等腰直角三角形,∴CG=NG=2。 过点 N 作 NM⊥OF 于点 M,则 MN=FC=2 , 在等腰三角形 MNO 中,NO= MN=4。∴OG=ON+NG=6。 在 Rt△OGD 中, ,即圆 O 的半径为 。 ∴ 。 40.【解析】如图,连接 AB、AC、BC, 由题意,点 A、B、C 为圆上的 n 等分点, ∴AB=BC, (度)。 在等腰△ABC 中,过顶点 B 作 BN⊥AC 于点 N, 则 AC=2CN=2BC•cos∠ACB=2cos •BC, ∴ 。 连接 AE、BE,在 AE 上取一点 D,使 ED=EC,连接 CD, ∵∠ABC=∠CED, ∴△ABC 与△CED 为顶角相等的两个等腰三角形。 ∴△ABC∽△CED。∴ ,∠ACB=∠DCE。 ∵∠ACB=∠ACD+∠BCD,∠DCE=∠BCE+∠BCD,∴∠ACD=∠BCE。 在△ACD 与△BCE 中,∵ ,∠ACD=∠BCE,∴△ACD∽△BCE。 ∴ 。∴ 。 ∴EA=ED+DA=EC+ 。 由折叠性质可知,p=EA′=EA,b=EB′=EB,c=EC。 ∴p=c+ 。 当 n=4 时,p=c+2cos45°•b=c+ b; 当 n=12 时,p=c+2cos15°•b=c+ b。 41. 42.【解析】 试题分析:(1)连接 OB,求出∠ABC=90°,∠PBA=∠OBC=∠OCB,推出∠PBO=90°,根 据切线的判定推出即可。 (2)证△PBO 和△ABC 相似,得出比例式,代入求出即可。 43.【解析】 试题分析:(1)如图①,首先连接 OC,根据当直线 l 与⊙O 相切于点 C,AD⊥l 于点 D.易 证得 OC∥AD,继而可求得∠BAC=∠DAC=30°。 (2)如图②,连接 BF,由 AB 是⊙O 的直径,根据直径所对的圆周角是直角,可得∠AFB=90°, 由三角形外角的性质,可求得∠AEF 的度数,又由圆的内接四边形的性质,求得∠B 的度 数,继而求得答案。 44.【解析】 试题分析:(1)根据垂径定理可得 ,∠C= ∠AOD,然后在 Rt△COE 中可求出 ∠C 的度数。 (2)连接 OB,根据(1)可求出∠AOB=120°,在 Rt△AOF 中,求出 AF,OF,然后根据 S 阴影=S 扇形 OAB﹣S△OAB,即可得出答案。 45.【解析】 试题分析:(1)连接 OD,求出∠ODB=90°,求出∠B=30°,∠DOB=60°,求出∠DCB 度数, 关键三角形内角和定理求出∠A,即可得出答案。 (2)根据勾股定理求出 BD,分别求出△ODB 和扇形 DOE 的度数,即可得出答案。 46.【解析】 试题分析:(1)连接 OC,由垂径定理,可求得 CE 的长,又由勾股定理,可求得半径 OC 的长,然后由勾股定理求得 AD 的长,即可得 AD=CD,易证得四边形 FADC 是平行四边形, 继而证得四边形 FADC 是菱形; (2)连接 OF,易证得△AFO≌△CFO,继而可证得 FC 是⊙O 的切线。 47.【解析】 试题分析:(1) 图 1 点 C 在圆外,要画三角形的高,就是要过点 B 作 AC 的垂线,过点 A 作 BC 的垂线,但题目限制了作图的工具(无刻度的直尺,只能作直线或连接线段),说明 必须用所给图形本身的性质来画图,作高就是要构造 90 度角,显然由圆的直径就应联想到 “直径所对的圆周角为 90 度”,设 AC 与圆的交点为 E, 连接 BE,就得到 AC 边上的高 BE; 同理设 BC 与圆的交点为 D, 连接 AD,就得到 BC 边上的高 AD,则 BE 与 AD 的交点就是 △ABC 的三条高的交点。 (2)由(1),我们能够作出△ABC 的三条高的交点 P,再作射线 PC 与 AB 交于点 D,则 CD 就是所求作的 AB 边上的高。 48.【解析】 试题分析:(1)AB 旋转的最大角度为 180°;在△OAB 中,已知两边及其夹角,可求出另 外两角和一边,只不过它不是直角三角形,需要转化为直角三角形来求解,由∠OAB=1200 想到作 AB 边上的高,得到一个含 600 角的 Rt△OAE 和一个非特殊角的 Rt△OEB。在 Rt△OAE 中,已知∠OAE=600,斜边 OA=10,可求出 OE、AE 的长,从而求得 Rt△OEB 中 EB 的长,再由勾股定理求出斜边 OB 的长。 (2)根据旋转的性质可知,雨刮杆 AB 扫过的最大面积就是一个半圆环的面积(以 OB、 OA 为半径的半圆面积之差)。 49.【解析】 试题分析:(1)应用等腰三角形等边对等角的性质、直角三角形两锐角到余的关系和平角的 性质,证明∠DCO=90°,即可得出结论。 (2)在 Rt△ABC 和 Rt△BPQ 中应用锐角三角函数求出 BC 和 BQ 的长,由 求出结果。 50.【解析】 试题分析:(1)找点 A 或点 B 关于 CD 的对称点,再连接其中一点的对称点和另一点,和 MN 的交点 P 就是所求作的位置,根据题意先求出∠C′AE,再根据勾股定理求出 AE,即可 得出 PA+PB 的最小值: 如图作点 B 关于 CD 的对称点 E,连接 AE 交 CD 于点 P,此时 PA+PB 最小,且等于 A。作 直径 AC′,连接 C′E, 根据垂径定理得弧 BD=弧 DE。 ∵∠ACD=30°,∴∠AOD=60°,∠DOE=30°。∴∠AOE=90°。 ∴∠C′AE=45°。 又 AC 为圆的直径,∴∠AEC′=90°。 ∴∠C′=∠C′AE=45°。∴C′E=AE= AC′= 。 ∴AP+BP 的最小值是 。 (2)首先在斜边 AC 上截取 AB′=AB,连接 BB′,再过点 B′作 B′F⊥AB,垂足为 F,交 AD 于 E,连接 BE,则线段 B′F 的长即为所求。
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