近五年安徽文科高考数学试卷及答案2

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近五年安徽文科高考数学试卷及答案2

‎2007年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)‎ 数学(文科)‎ 本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,第I卷第I至第2页,第II卷第3至第4页.全卷满分150分,考试时间120分钟.‎ 考生注意事项:‎ ‎1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名,并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致.‎ ‎2.答第I卷时,每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.‎ ‎3.答第II卷时,必须用毫米黑色黑水签字笔在答题卡上书写.在试题卷上作答无效.‎ ‎4.考试结束,监考员将试题和答题卡一并收回.‎ 参考公式:‎ 如果事件互斥,那么 球的表面积公式 如果事件相互独立,那么 球的体积公式 ‎ 其中表示球的半径 第I卷(选择题共55分)‎ 一、选择题:本大题共11小题,每小题5分,共55分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若,,则(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.椭圆的离心率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.等差数列的前项和为,若,,则(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.下列函数中,反函数是其自身的函数为(  )‎ A., B.‎ C. D.,‎ ‎5.若圆的圆心到直线的距离为,则的值为(  )‎ A.或 B.或 C.或 D.或 ‎6.设,,均为直线,其中在平面内,则“”是“且”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎1‎ ‎2‎ 第7题图 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎7.图中的图象所表示的函数的解析式为(  )‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎8.设,且,,,则的大小关系为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.如果点在平面区域上,点在曲线上,那么的最小值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.把边长为的正方形沿对角线折成直二面角,折成直二面角后,在四点所在的球面上,与两点之间的球面距离为(  )‎ A. C. B. D.‎ ‎11.定义在上的函数既是奇函数,又是周期函数,是它的一个正周期.若将方程 在闭区间上的根的个数记为,则可能为(  )‎ A.0 B.1 C.3 D.5‎ ‎2007年普通高等学校招生全国统一考试(安微卷)‎ 数学(文科)‎ 第II卷(非选择题共95分)‎ 注意事项:‎ ‎ 请用毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上书写作答无效 二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在答题卡的相应位置.‎ ‎12.已知,则的值等于.‎ ‎13.在四面体中,,,,为的中点,为的中点,则(用表示)‎ ‎14.在正方体上任意选择两条棱,则这两条棱相互平行的概率为.‎ ‎15.函数的图象为,如下结论中正确的是(写出所有正确结论的编号).‎ ‎①图象关于直线对称;‎ ‎②图象关于点对称;‎ ‎③函数在区间内是增函数;‎ ‎④由的图角向右平移个单位长度可以得到图象.‎ 三、解答题:本大题共6小题,共79分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ A B C D ‎16.(本小题满分10分)‎ 解不等式.‎ ‎17.(本小题满分14分)‎ 如图,在六面体中,四边形是边长为2的正方形,四边形是边长为1的正方形,平面,平面,.‎ ‎(Ⅰ)求证:与共面,与共面.‎ ‎(Ⅱ)求证:平面平面;‎ ‎(Ⅲ)求二面角的大小(用反三角函数值表示)‎ ‎18.(本小题满分14分)‎ 设是抛物线的焦点.‎ ‎(I)过点作抛物线的切线,求切线方程;‎ ‎(II)设为抛物线上异于原点的两点,且满足,延长,分别交抛物线于点,求四边形面积的最小值.‎ ‎19.(本小题满分13分)‎ 在医学生物试验中,经常以果蝇作为试验对象.一个关有6只果蝇的笼子里,不慎混入了两只苍蝇(此时笼内共有8只蝇子:6只果蝇和2只苍蝇),只好把笼子打开一个小孔,让蝇子一只一只地往外飞,直到两只苍蝇都飞出,再关闭小孔.‎ ‎(I)求笼内恰好剩下1只果蝇的概率;‎ ‎(II)求笼内至少剩下5只果蝇的概率.‎ ‎20.(本小题满分14分)‎ 设函数,,‎ 其中,将的最小值记为.‎ ‎(I)求的表达式;‎ ‎(II)讨论在区间内的单调性并求极值.‎ ‎21.(本小题满分14分)‎ 某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金,数目为,以后每年交纳的数目均比上一年增加,因此,历年所交纳的储备金数目是一个公差为的等差数列.与此同时,国家给予优惠的计息政策,不仅采用固定利率,而且计算复利.这就是说,如果固定年利率为,那么,在第年末,第一年所交纳的储备金就变为,第二年所交纳的储备金就变为,.以表示到第年末所累计的储备金总额.‎ ‎(Ⅰ)写出与的递推关系式;‎ ‎(Ⅱ)求证:,其中是一个等比数列,是一个等差数列.‎ ‎2007年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)‎ 数学(文史)参考答案 一、选择题:本题考查基本知识的基本运算.每小题5分,满分55分.‎ ‎1.D 2.A 3.C 4.D 5.C 6.A ‎ ‎7.B 8.B 9.A 10.C 11.D 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.‎ ‎12. 13. 14. 15.①②③‎ 三、解答题 ‎16.本小题主要考查三角函数的基本性质,含绝对值不等式的解法,考查基本运算能力.本小题满分10分.‎ 解:因为对任意,,所以原不等式等价于.‎ 即,,,故解为.‎ 所以原不等式的解集为.‎ ‎17.本小题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识,考查空间想象能力和思维能力,应用向量知识解决立体几何问题的能力.本小题满分14分.‎ 解法1(向量法):‎ A B C D 以为原点,以所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系如图,‎ 则有.‎ ‎(Ⅰ)证明:.‎ ‎.‎ 与平行,与平行,‎ 于是与共面,与共面.‎ ‎(Ⅱ)证明:,,‎ ‎,.‎ 与是平面内的两条相交直线.‎ 平面.‎ 又平面过.‎ 平面平面.‎ ‎(Ⅲ)解:.‎ 设为平面的法向量,‎ ‎,.‎ 于是,取,则,.‎ 设为平面的法向量,‎ ‎,.‎ 于是,取,则,.‎ A B C D ‎.‎ 二面角的大小为.‎ 解法2(综合法):‎ ‎(Ⅰ)证明:平面,平面.‎ ‎,,平面平面.‎ 于是,.‎ 设分别为的中点,连结,‎ 有.‎ ‎,‎ 于是.‎ 由,得,‎ 故,与共面.‎ 过点作平面于点,‎ 则,连结,‎ 于是,,.‎ ‎,.‎ ‎,.‎ 所以点在上,故与共面.‎ ‎(Ⅱ)证明:平面,,‎ 又(正方形的对角线互相垂直),‎ 与是平面内的两条相交直线,‎ 平面.‎ 又平面过,平面平面.‎ ‎(Ⅲ)解:直线是直线在平面上的射影,,‎ 根据三垂线定理,有.‎ 过点在平面内作于,连结,‎ 则平面,‎ 于是,‎ 所以,是二面角的一个平面角.‎ 根据勾股定理,有.‎ ‎,有,,,.‎ ‎,,‎ 二面角的大小为.‎ ‎18.本小题主要考查抛物线的方程与性质,抛物线的切点与焦点,向量的数量积,直线与抛物线的位置关系,平均不等式等基础知识,考查综合分析问题、解决问题的能力.本小题满分14分.‎ 解:(I)设切点.由,知抛物线在点处的切线斜率为,故所求切线方程为.‎ 即.‎ 因为点在切线上.‎ 所以,,.‎ 所求切线方程为.‎ ‎(II)设,.‎ 由题意知,直线的斜率存在,由对称性,不妨设.‎ 因直线过焦点,所以直线的方程为.‎ 点的坐标满足方程组 得,‎ 由根与系数的关系知 ‎.‎ 因为,所以的斜率为,从而的方程为.‎ 同理可求得.‎ ‎.‎ 当时,等号成立.所以,四边形面积的最小值为.‎ ‎19.本小题主要考查排列、组合知识与等可能事件、互斥事件概率的计算,运用概率知识分析问题及解决实际问题的能力.本小题满分13分.‎ 解:以表示恰剩下只果蝇的事件.‎ 以表示至少剩下只果蝇的事件.‎ 可以有多种不同的计算的方法.‎ 方法1(组合模式):当事件发生时,第只飞出的蝇子是苍蝇,且在前只飞出的蝇子中有1只是苍蝇,所以.‎ 方法2(排列模式):当事件发生时,共飞走只蝇子,其中第只飞出的蝇子是苍蝇,哪一只?有两种不同可能.在前只飞出的蝇子中有只是果蝇,有种不同的选择可能,还需考虑这只蝇子的排列顺序.所以.‎ 由上式立得;‎ ‎.‎ ‎20.本小题主要考查同角三角函数的基本关系,倍角的正弦公式,正弦函数的值域,多项式函数的导数,函数的单调性,考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间,极值与最值等问题的综合能力.本小题满分14分.‎ 解:(I)我们有 ‎.‎ 由于,,故当时,达到其最小值,即 ‎.‎ ‎ (II)我们有.‎ 列表如下:‎ 极大值 极小值 由此可见,在区间和单调增加,在区间单调减小,极小值为,极大值为.‎ ‎21.本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法,考查学生阅读资料、提取信息、建立数学模型的能力、考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力.本小题满分14分.‎ 解:(Ⅰ)我们有.‎ ‎(Ⅱ),对反复使用上述关系式,得 ‎, ①‎ 在①式两端同乘,得 ‎②‎ ‎②①,得 ‎.‎ 即.‎ 如果记,,‎ 则.‎ 其中是以为首项,以为公比的等比数列;是以为首项,为公差的等差数列.‎ ‎2008年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)‎ 数 学(文科)‎ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第1至第2页,第Ⅱ卷第3至第4页.全卷满分150分,考试时间120分钟.‎ 考生注意事项:‎ 1. 答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名,并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致.‎ 2. 答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.‎ 3. 答第Ⅱ卷时,必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写.在试题卷上作答无效.‎ 4. 考试结束,监考员将试题卷和答题卡一并收回.‎ 参考公式:‎ 如果事件互斥,那么 球的表面积公式 ‎ ‎ 其中表示球的半径 如果事件相互独立,那么 球的体积公式 ‎ ‎ 其中表示球的半径 ‎ 第I卷(选择题共60分)‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎(1).若为位全体正实数的集合,则下列结论正确的是( )‎ A.B.‎ C.D.‎ 解:是全体非正数的集合即负数和0,所以 ‎(2).若,, 则( )‎ A. (1,1) B.(-1,-1) C.(3,7) D.(-3,-7) ‎ 解:向量基本运算 ‎ ‎(3).已知是两条不同直线,是三个不同平面,下列命题中正确的是( )‎ A.B.‎ C. D.‎ 解:定理:垂直于一个平面的两条直线互相平行,故选B。‎ ‎(4).是方程至少有一个负数根的( )‎ A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解:当,得a<1时方程有根。a<0时,,方程有负根,又a=1时,方程根为,所以选B ‎(5).在三角形中,,则的大小为( )‎ A. B. C. D.‎ 解:由余弦定理,‎ ‎(6).函数的反函数为 A. B. ‎ C. D. ‎ 解:由原函数定义域是反函数的值域,,排除B,D两个;又原函数不能取1,‎ ‎ 不能取1,故反函数定义域不包括1,选C .(直接求解也容易)‎ ‎(7).设则中奇数的个数为( )‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ 解:由题知,逐个验证知,其它为偶数,选A。‎ ‎(8).函数图像的对称轴方程可能是( )‎ A. B. C.D.‎ 解:的对称轴方程为,即,‎ ‎(9).设函数 则( )‎ A.有最大值 B.有最小值 C.是增函数 D.是减函数 解:,,由基本不等式 有最大值,选A ‎(10)若过点的直线与曲线有公共点,则直线的斜率的取值范围为( )A. B. C.D.‎ 解:解:设直线方程为,即,直线与曲线有公共点,‎ 圆心到直线的距离小于等于半径 ,‎ 得,选择C 另外,数形结合画出图形也可以判断C正确。‎ ‎(11) 若为不等式组表示的平面区域,则当从-2连续变化到1时,动直线 扫过中的那部分区域的面积为 ( )A. B.1 C.D.5‎ 解:如图知区域的面积是△OAB去掉一个小直角三角形。‎ ‎(阴影部分面积比1大,比小,故选C,不需要算出来) ‎ ‎(12)12名同学合影,站成前排4人后排8人,现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排,若其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的总数是 ( )‎ A. B. C. D.‎ 解:从后排8人中选2人共种选法,这2人插入前排4人中且保证前排人的顺序不变,则先从4人中的5个空挡插入一人,有5种插法;余下的一人则要插入前排5人的空挡,有6种插法,故为;综上知选C。‎ ‎2008年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)‎ 数 学(文科)‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)‎ 考生注意事项:‎ ‎ 请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上书写作答无效.‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在答题卡的相应位置.‎ ‎(13).函数的定义域为.‎ 解:由题知:;解得:x≥3.‎ ‎(14).已知双曲线的离心率是。则=‎ 解:,离心率,所以 ‎(15) 在数列在中,,,,其中为常数,‎ 则 解:∵∴从而。‎ ‎∴a=2,,则 ‎(16)已知点在同一个球面上,‎ 若,则两点间的球面距离是 解:如图,易得,,,则此球内接长方体三条棱长为AB、BC、CD(CD的对边与CD等长),从而球外接圆的直径为,R=4则BC与球心构成的大圆如图,因为△OBC为正三角形,则B,C两点间的球面距离是。‎ 三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎(17).(本小题满分12分)‎ 已知函数 ‎(Ⅰ)求函数的最小正周期和图象的对称轴方程 ‎(Ⅱ)求函数在区间上的值域 解:(1)‎ ‎(2)‎ 因为在区间上单调递增,在区间上单调递减,‎ 所以 当时,取最大值 1‎ 又 ,当时,取最小值 所以 函数 在区间上的值域为 ‎(18).(本小题满分12分)‎ ‎ 在某次普通话测试中,为测试汉字发音水平,设置了10张卡片,每张卡片印有一个汉字的拼音,其中恰有3张卡片上的拼音带有后鼻音“g”.‎ ‎(Ⅰ)现对三位被测试者先后进行测试,第一位被测试者从这10张卡片总随机抽取1张,测试后放回,余下2位的测试,也按同样的方法进行。求这三位被测试者抽取的卡片上,拼音都带有后鼻音“g”的概率。‎ ‎(Ⅱ)若某位被测试者从10张卡片中一次随机抽取3张,求这三张卡片上,拼音带有后鼻音“g”的卡片不少于2张的概率。‎ 解:(1)每次测试中,被测试者从10张卡片中随机抽取1张卡片上,拼音带有后鼻音“g”的概率为,因为三位被测试者分别随机抽取一张卡片的事件是相互独立的,因而所求的概率为 ‎(2)设表示所抽取的三张卡片中,恰有张卡片带有后鼻音“g”的事件,且其相应的概率为则 ‎ , ‎ ‎ 因而所求概率为 ‎(19).(本小题满分12分 如图,在四棱锥中,底面四边长为1的 菱形,, , ,为的中点。‎ ‎(Ⅰ)求异面直线AB与MD所成角的大小;‎ ‎(Ⅱ)求点B到平面OCD的距离。‎ 解:方法一(综合法)‎ ‎(1)‎ 为异面直线与所成的角(或其补角)‎ 作连接 ‎,‎ 所以 与所成角的大小为 ‎(2)点A和点B到平面OCD的距离相等,‎ 连接OP,过点A作 于点Q,‎ 又 ,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离 ‎,‎ ‎,所以点B到平面OCD的距离为 方法二(向量法)‎ 作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系 ‎,‎ ‎(1)设与所成的角为,‎ ‎ ,‎ 与所成角的大小为 ‎(2)‎ 设平面OCD的法向量为,则 即 ‎ 取,解得 设点B到平面OCD的距离为,则为在向量上的投影的绝对值,‎ ‎, .‎ 所以点B到平面OCD的距离为 ‎(20).(本小题满分12分)‎ 设函数为实数。‎ ‎(Ⅰ)已知函数在处取得极值,求的值; ‎ ‎(Ⅱ)已知不等式对任意都成立,求实数的取值范围。‎ 解: (1),由于函数在时取得极值,所以 ‎ 即 ‎ ‎ (2) 方法一 由题设知:对任意都成立 ‎ 即对任意都成立 ‎ 设 , 则对任意,为单调递增函数 ‎ 所以对任意,恒成立的充分必要条件是 ‎ 即 ,, 于是的取值范围是 ‎ 方法二 由题设知:对任意都成立 ‎ 即对任意都成立 ‎ 于是对任意都成立,即 ‎, 于是的取值范围是 ‎(21).(本小题满分12分)‎ 设数列满足其中为实数,且 ‎(Ⅰ)求数列的通项公式 ‎(Ⅱ)设,,求数列的前项和;‎ ‎(Ⅲ)若对任意成立,证明 解 (1) 方法一:‎ 当时,是首项为,公比为的等比数列。‎ ‎,即 。当时,仍满足上式。‎ 数列的通项公式为 。‎ 方法二 由题设得:当时,‎ 时,也满足上式。‎ 数列的通项公式为 。‎ ‎(2)由(1)得 (3) 由(1)知 若,则 由对任意成立,知。下面证,用反证法 方法一:假设,由函数的函数图象知,当趋于无穷大时,趋于无穷大 不能对恒成立,导致矛盾。。‎ 方法二:假设,,‎ 即 恒成立 (*)‎ 为常数, (*)式对不能恒成立,导致矛盾,‎ ‎(22).(本小题满分14分)‎ 设椭圆其相应于焦点的准线方程为.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)已知过点倾斜角为的直线交椭圆于两点,求证:‎ ‎;‎ ‎(Ⅲ)过点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于和,求 的最小值 解 :(1)由题意得:‎ 椭圆的方程为 ‎ (2)方法一:‎ 由(1)知是椭圆的左焦点,离心率 ‎ 设为椭圆的左准线。则 ‎ 作,与轴交于点H(如图)‎ 点A在椭圆上 ‎ 同理 ‎ ‎。‎ 方法二:‎ ‎ 当时,记,则 ‎ 将其代入方程 得 ‎ ‎ 设 ,则是此二次方程的两个根.‎ ‎ ................(1)‎ 代入(1)式得 ........................(2)‎ ‎ 当时, 仍满足(2)式。‎ ‎(3)设直线的倾斜角为,由于由(2)可得 ‎ ,‎ ‎ 当时,取得最小值 ‎2009年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)‎ 数学文科 一:选择题:本大题10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1、是虚数单位,等于 ‎ (A) (B) (C) (D)‎ 答案:选D 解析:‎ ‎(2)若集合A={x∣(2x+1)(x-3)<0},则A∩B是 ‎ (A) {1,2,3,} (B) {1,2, } (C) {4,5} (D){1,2,3,4,5}‎ 答案:选B 解析:,,∴‎ ‎(3)不等式组所表示的平面区域的面积等于 A B C x y O ‎(A). (B). (C). (D). ‎ 答案:选C 解析:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC 由得A(1,1),又B(0,4),C(0,)‎ ‎∴S△ABC=。‎ ‎(4) “>b+d ”是“>b且c>d ”的 ‎(A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 ‎(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 ‎ 答案:选A 解析:由>b且c>d>b+d,而由>b+d 不能推出>b且c>d,可举反例。‎ ‎(5)已知为等差数列,++=105,=99,则等于 ‎(A)-1 (B) 1 (C) 3 (D 7‎ 答案:选B 解析:由++=105得即,由=99得即 ‎∴,。‎ ‎(6)下列曲线中离心率为的是 ‎(A). (B). (C). (D). ‎ 答案:选B 解析;由得,,观察各选项即得。‎ ‎(7)直线过点(-1,2)且与直线2x-3y+4=0垂直,则的方程是 ‎ ‎(A)3x+2y-1=0 (B)3x+2y+7=0 (C)2x-3y+5=0 (D) 2x-3y+8=0‎ 答案:选A 解析:,∴的方程为,即 ‎ (8)<b,函数的图象可能是 答案:选C 解析:‎ ‎(9).设函数,其中,则导数的取值范围是(A). (B). (C) (D ‎ 答案:选D 解析:,∴‎ ‎∴。‎ ‎(10)考察正方体6个面的中心,从中任意选3个点连成三角形,再把剩下的3个点也连成三角形,则所得的两个三角形全等的概率等于 ‎(A).1 (B). (C) (D)0‎ 答案:选A 解析:不妨设上下面的中心为A、B左右面的中心为C、D前后面的中心为E、F如图所示。‎ A B C D E F 从中任选3个点连成三角形可分两类:‎ 一是相对面的中心两点及被这两个面所夹四个面中心的 任意一面的中心,构成的是等腰直角三角形,此时剩下 的3个点也连成一个与其全等的三角形。‎ 二是所选3个点所在的平面中没有任何两个面是相对面 即此三个面彼此相邻,此时构成的是正三角形,‎ 同时剩下的3个点也构成正三角形。故所求概率是1。‎ 二.填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题卡的相应位置。‎ 开始 输出 结束 是 否 ‎(11)‎ 在空间直角坐标系中,已知点A(1,0,2),B(1,-3,1),点M在y轴上,且M到A与到B的距离相等,则M的坐标是_______ ‎ 答案:‎ 解析:设 ,则由得 ‎,解得 即M的坐标是 ‎(12)程序框图(即算法流程图)如图所示,其输入结果是_______‎ 答案:127‎ 解析:由程序框图知,循环体被执行后的值依次为3、7、15、31、‎ ‎63、127,故输出的结果是127。‎ ‎(13)从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条,则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________ ‎ ‎ 答案:‎ 解析:从长度为2、3、4、5的四条线段中任意趣出3条共有4种不同的取法,其中可构成三角形的有(2,3,4),(2,4,5),(3,4,5)三种,故所求概率 A B C D E F ‎(14)在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,若=+,其中,R ,则+ _____ .‎ 答案:‎ 解析:如图 ‎,∴,∴‎ ‎(15)对于四面体ABCD,下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号)。‎ 相对棱与所在的直线是异面直线;‎ 由顶点A作四面体的高,其垂足是BCD的三条高线的交点;‎ 若分别作ABC和ABD的边AB上的高,则这两条高的垂足重合;‎ 任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积;‎ 分别作三组相对棱中点的连线,所得的三条线段相交于一点。‎ 解析:①④⑤‎ 解析:命题①显然正确,不然与共面,四面体不存在了.‎ 命题②不正确,BCD的三条高线的交点固定时,顶点还可以移动.‎ 命题③不正确,任选上两点作垂足,分别在垂线上取可组成四面体。‎ 命题④正确,3个面组成的曲面面积一定大于一个平面三角形的面积。 ‎ 命题⑤正确,设中点为,中点为,则,‎ 于是的中点为,同理其它两对棱连线中点也是点。 ‎ 三.解答题;本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答题卡上的指定区域内。‎ ‎(16)(本小题满分12分)‎ 在ABC中,C-A=, sinB=。‎ ‎(I)求sinA的值;‎ ‎ (II)设AC=,求ABC的面积 解:本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识,考查运算求解能力。‎ ‎(Ⅰ)由,且,∴,∴,‎ A B C ‎∴,又,∴‎ ‎(Ⅱ)如图,由正弦定理得 ‎∴,又 ‎∴‎ ‎(17)(本小题满分12分)‎ 某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A,将其与原有的一个优良品种B进行对照试验,两种小麦各种植了25亩,所得亩产数据(单位:千克)如下 品种A: 357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,‎ ‎ 415,421,423,423,427,430,430,434,443,445,445,451,454‎ 品种B:363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397‎ ‎ 397,400,401,401,403,406,407,410,412,415,416,422,430‎ ‎(I)完成所附的茎叶图 ‎(II)用茎叶图处理现有的数据,有什么优点?‎ ‎(III)通过观察茎叶图,对品种A与B的亩产量及其稳定性进行比较,写出统计结论。‎ A ‎7 35 ‎ ‎7 36 3 ‎ ‎5 37 1 4‎ ‎ 8 38 3 5 6 ‎ ‎ 9 2 39 1 2 4 4 5 7 7‎ ‎ 5 0 40 0 1 1 3 6 7‎ ‎ 5 4 2 41 0 2 5 6 ‎ ‎7 3 3 1 42 2‎ ‎ 4 0 0 43 0‎ ‎ 5 5 3 44‎ ‎ 4 1 45‎ B 解:本小题主要考查茎叶图统计的基本思想方 法,考查分析样本数据、从样本数据中提取基 本的数字特征、进行统计推断的能力和应用意识。‎ ‎(Ⅰ)茎叶图如图所示:‎ ‎(Ⅱ)由于每个品种的数据都只有25个,样本不大,‎ 画茎叶图很方便;此时茎叶图不仅清晰明了地展 示了数据的分布状况,便于比较,没有任何信息 损失,而且可以随时记录新的数据。‎ ‎(Ⅲ)通过观察茎叶图可以看出:‎ ‎①品种A的亩产平均数(或均值)比品种B高;‎ ‎②品种A的亩产标准差(或方差)比品种B大,‎ 故品种A的亩产稳定性较差。‎ ‎(18)(本小题满分12分)‎ 已知椭圆(a>b>0)的离心率为,以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切,‎ ‎(1)求与;‎ ‎(2)设该椭圆的左,右焦点分别为和,直线过且与轴垂直,动直线与轴垂直,交与点.求线段垂直平分线与的交点的轨迹方程,并指明曲线类型。‎ 解:本小题主要考查椭圆、抛物线的方程,点到直线的距离公式,直线和曲线的位置关系等基础知识,考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力.‎ ‎(1)由得,又,∴,∴。‎ ‎(2)(方法一)由得.‎ 设则.由,得 此轨迹是抛物线.‎ ‎(方法二)因为点在线段的垂直平分线上,所以 ‎,即到的距离等于到的距离.此轨迹是以为焦点、为准线的抛物线,轨迹方程为 ‎(19)(本小题满分12分)‎ 已知数列{} 的前项和,数列{}的前n项和 ‎(1)求数列{}与{}的通项公式;‎ ‎(2)设,证明:当且仅当n≥3时,<‎ 解:本小题主要考查等差数列、等比数列,不等式等有关知识,考查数列的通项与其前项和之间的关系,考查抽象概括和运算求解能力。‎ 当时,‎ 当时,‎ 也适合上式,所以数列{}的通项公式 当时,,∴‎ 当时,,∴‎ ‎∴数列是以1为首项,为公比的等比数列,所以数列{}的通项公式。‎ ‎(2)由(1)知,∴‎ 当时,2,当时,‎ 当 时,,‎ 因此,当且仅当n≥3时,<‎ ‎(20)本小题满分13分 A B C D E F 第20题图 如图,ABCD是边长为2的正方形,直线与平面ABCD平行,E和F式上的两个不同点,且EA=ED,FB=FC,和是平面ABCD内的两点,和都与平面ABCD垂直,‎ ‎(1)证明:直线垂直且平分线段AD:‎ ‎(2)若∠EAD=∠EAB,EF2,求多面体ABCDEF的体积。‎ 解:本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系以及空间几何体的体积计算等知识,考查空间想象能力和推理论证能力。‎ 由且面ABCD,∴点在线段AD的垂直平分线上,‎ 同理点在线段BC 的垂直平分线上,又ABCD是正方形 ‎∴线段BC 的垂直平分线就是线段AD的垂直平分线,‎ 即点、都在线段AD的垂直平分线,所以直线垂直且平分线段AD。‎ ‎(2)连接EB、EC。由题设知,多面体ABCDEF可分割成正四棱锥E-ABCD和正四面体E-BCF两部分。‎ 设AD的中点为M,在Rt△MEE/中,由于ME/=1,ME=,∴EE/=‎ ‎∴‎ 又 ‎∴多面体ABCDEF的体积为。‎ ‎(21)(本小题满分14分)‎ ‎ 已知函数,a>0,‎ ‎(1)讨论的单调性;‎ ‎(2)设a=3,求在区间[1,]上值域。其中e=2.71828…是自然对数的底数。‎ 解:本小题主要考查函数的定义域、值域、最值,利用导数研究函数的单调性、极值等知识,考查分类讨论的思想和运算求解的能力 ‎(1)函数的定义域是,导函数 设二次方程的判别式 当,即时,恒成立,‎ ‎∴是上的单调递增函数。‎ 当,即时,方程有两个不同的实根 ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 单调递增 极大 单调递减 极小 单调递增 此时在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增。‎ ‎(2)当时,方程有两个不同的实根。‎ 由(1)知,在上是减函数,在上增函数。‎ 又 所以函数在区间上的值域为。‎ 绝密★启用前 ‎2010年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)‎ ‎ 数 学(文科)‎ ‎ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第1至第2页,第Ⅱ卷第3至第4页。全卷满分l50分,考试时间l20分钟。‎ 参考公式:‎ S表示底面积,h表示底面上的高 如果事件A与B互斥,那么 棱柱体积V=Sh ‎ P(A+B)=P(A)+P(B) 棱锥体积V=‎ 第Ⅰ卷(选择题共50分)‎ 一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.‎ ‎(1)若A=,B=,则=‎ ‎ (A)(-1,+∞) (B)(-∞,3) (C)(-1,3) (D)(1,3)‎ 答案:C 解析:画数轴易知.‎ ‎(2)已知,则i()=‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ 答案:B 解析:直接计算.‎ ‎(3)设向量,,则下列结论中正确的是 ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)与垂直 答案:D 解析:利用公式计算,采用排除法.‎ ‎(4)过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是 ‎(A)x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 (D)x+2y-1=0‎ 答案:A 解析:利用点斜式方程.‎ ‎(5)设数列{}的前n项和=,则的值为 ‎(A) 15 (B) 16 (C) 49 (D)64‎ 答案:A 解析:利用=S8-S7,即前8项和减去前7项和.‎ ‎(6)设abc>0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图像可能是 答案:D 解析:利用开口方向a、对称轴的位置、y轴上的截距点c之间关系,结合abc>0产生矛盾,采用排除法易知.‎ ‎(7)设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是 ‎(A)a>c>b (B)a>b>c (C)c>a>b (D)b>c>a 答案:A 解析:利用构造幂函数比较a、c再利用构造指数函数比较b、c.‎ ‎(8)设x,y满足约束条件则目标函数z=x+y的最大值是 ‎(A)3 (B) 4 (C) 6 (D)8‎ 答案:C 解析:画出可行域易求.‎ ‎(9)一个几何体的三视图如图,该几何体的表面积是 ‎(A)372 (C)292 ‎ ‎(B)360 (D)280‎ 答案:B 解析:可理解为长8、宽10、高2的长方体和长6、宽2、高8的长方体组合而成,注意2×6重合两次,应减去.‎ ‎(10)甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,则所得的两条直线相互垂直的概率是 ‎(A) (B) (C) (D)‎ 答案:C 解析:所有可能有6×6,所得的两条直线相互垂直有5×2.‎ 数 学(文科)(安徽卷)‎ 第Ⅱ卷(非选择题共100分)‎ 二.填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡的相应位置·‎ ‎(11)命题“存在x∈R,使得x2+2x+5=0”的否定是 答案:对任何X∈R,都有X2+2X+5≠0 ‎ 解析:依据“存在”的否定为“任何、任意”,易知.‎ ‎(12)抛物线y2=8x的焦点坐标是 答案:(2,0) 解析:利用定义易知.‎ ‎(13)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出值x=‎ 答案:12 解析:运算时X顺序取值为: 1,2,4,5,6,8,9,10,12.‎ ‎(14)某地有居民100000户,其中普通家庭99 000户,高收入家庭1‎ ‎ 000户.从普通家庭中以简单随机抽样方式抽取990户,从高收入家庭中以简单随机抽样方式抽取l00户进行调查,发现共有120户家庭拥有3套或3套以上住房,其中普通家庭50户,高收人家庭70户.依据这些数据并结合所掌握的统计知识,你认为该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计是 .‎ 答案:5.7% 解析:,,易知.‎ ‎(15)若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是 . (写出所有正确命题的编号).‎ ‎①ab≤1; ②+≤; ③a2+b2≥2;④a3+b3≥3; ‎ 答案:①,③,⑤ 解析:①,⑤化简后相同,令a=b=1排除②、易知④ ,再利用易知③正确 三、解答题:本大题共6小题.共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.‎ (16) ‎△ABC的面积是30,内角A,B,C,所对边长分别为a,b,c,cosA=.‎ (1) 求 (2) 若c-b=1,求a的值.‎ ‎(本小题满分12分)本题考查同角三角形函数基本关系,三角形面积公式,向量的数量积,利用余弦定理解三角形以及运算求解能力.‎ 解:由cosA=,得sinA= =.‎ 又bc sinA=30,∴bc=156. ‎ ‎(1)=bc cosA=156·=144.‎ ‎(2)a2=b2+c2-2bc cosA=(c-b)2+2bc(1-cosA)=1+2·156·(1-)=25,‎ ‎∴a=5‎ (17) 椭圆E经过点A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点F1,F2在x轴上,离心率.‎ (1) 求椭圆E的方程;‎ (1) 求∠F1AF2的角平分线所在直线的方程.‎ ‎(本小题满分12分)本题考查椭圆的定义,椭圆的标准方程及简单几何性质,直线的点斜式方程与一般方程,点到直线的距离公式等基础知识,考查解析几何的基本思想和综合运算能力.‎ 解:(1)设椭圆E的方程为 由e=,得=,b2=a2-c2 =3c2. ∴ 将A(2,3)代入,有 ,解得:c=2, 椭圆E的方程为 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知F1(-2,0),F2(2,0),所以直线AF1的方程为 y=(X+2),‎ 即3x-4y+6=0. 直线AF2的方程为x=2. 由椭圆E的图形知,‎ ‎∠F1AF2的角平分线所在直线的斜率为正数.‎ 设P(x,y)为∠F1AF2的角平分线所在直线上任一点,‎ 则有 若3x-4y+6=5x-10,得x+2y-8=0,其斜率为负,不合题意,舍去.‎ 于是3x-4y+6=-5x+10,即2x-y-1=0.‎ 所以∠F1AF2的角平分线所在直线的方程为2x-y-1=0.‎ ‎18、(本小题满分13分)‎ ‎ 某市2010年4月1日—4月30日对空气污染指数的检测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物):‎ ‎ 61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,‎ ‎ 77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45,‎ ‎(Ⅰ) 完成频率分布表;‎ ‎(Ⅱ)作出频率分布直方图;‎ ‎(Ⅲ)根据国家标准,污染指数在0~50之间时,空气质量为优:在51~100之间时,为良;在101~150之间时,为轻微污染;在151~200之间时,为轻度污染。‎ 请你依据所给数据和上述标准,对该市的空气质量给出一个简短评价.‎ ‎(本小题满分13分)本题考查频数,频数及频率分布直方图,考查运用统计知识解决简单实际问题的能力,数据处理能力和应用意识.‎ 解:(Ⅰ) 频率分布表:‎ 分 组 频 数 频 率 ‎[41,51)‎ ‎2‎ ‎[51,61)‎ ‎1‎ ‎[61,71)‎ ‎4‎ ‎[71,81)‎ ‎6‎ ‎[81,91)‎ ‎10‎ ‎[91,101)‎ ‎5‎ ‎[101,111)‎ ‎2‎ 空气污染指数 ‎4151 61 71 81 91 101 111‎ 频率 组距 ‎(Ⅱ)频率分布直方图:‎ ‎(Ⅲ)答对下述两条中的一条即可:‎ ‎(i)该市一个月中空气污染指数有2天处于优的水平,占当月天数的. 有26天处于良好的水平,占当月天数的. 处于优或良的天数共有28天,占当月天数的. 说明该市空气质量基本良好.‎ ‎(ii)轻微污染有2天,占当月天数的. 污染指数在80以上的接近轻微污染的天数有15天,加上处于轻微污染的天数,共有17天,占当月天数的,超过50%. 说明该市空气质量有待进一步改善.‎ (19) ‎(本小题满分13分)‎ 如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,AB=2EF=2,EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°,BF=FC,H为BC的中点,‎ ‎(Ⅰ)求证:FH∥平面EDB;‎ ‎(Ⅱ)求证:AC⊥平面EDB; ‎ ‎(Ⅲ)求四面体B—DEF的体积;‎ ‎(本小题满分13分)本题考查空间线面平行,线面垂直,面面垂直,体积的计算等基础知识,同时考查空间想象能力与推理论证能力.‎ ‎(Ⅰ) 证:设AC与BD交于点G,则G为AC的中点. 连EG,GH,由于H为BC的中点,故GH∥AB且 GH=AB 又EF∥AB且 EF=AB ‎∴EF∥GH. 且 EF=GH∴四边形EFHG为平行四边形.‎ ‎∴EG∥FH,而EG 平面EDB,∴FH∥平面EDB.‎ ‎(Ⅱ)证:由四边形ABCD为正方形,有AB⊥BC.‎ 又EF∥AB,∴EF⊥BC. 而EF⊥FB,∴ EF⊥平面BFC,∴ EF⊥FH.‎ ‎∴ AB⊥FH.又BF=FC H为BC的中点,FH⊥BC.∴ FH⊥平面ABCD.‎ ‎∴ FH⊥AC. 又FH∥EG,∴AC⊥EG. 又AC⊥BD,EG∩BD=G,‎ ‎∴ AC⊥平面EDB.‎ ‎(Ⅲ)解:∵ EF⊥FB,∠BFC=90°,∴ BF⊥平面CDEF.‎ ‎∴ BF为四面体B-DEF的高. 又BC=AB=2, ∴ BF=FC=‎ ‎(20)(本小题满分12分)‎ ‎ 设函数f(x)=sinx-cosx+x+1, 0﹤x﹤2,求函数f(x)的单调区间与极值.‎ ‎(本小题满分12分)本题考查导数的运算,利用导数研究函数的单调性与极值的方法,考查综合运用数学知识解决问题的能力.‎ 解:由f(x)=sinx-cosx+x+1,0﹤x﹤2,‎ 知=cosx+sinx+1,‎ 于是=1+sin(x+).‎ 令=0,从而sin(x+)=-,得x=,或x=.‎ 当x变化时,,f(x)变化情况如下表:‎ X ‎(0, )‎ ‎(,)‎ ‎(,2)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎ 单调递增↗‎ ‎+2‎ 单调递减↘‎ 单调递增↗‎ 因此,由上表知f(x)的单调递增区间是(0, )与(,2),单调递减区间是(,),极小值为f()=,极大值为f()=+2.‎ ‎(21)(本小题满分13分)‎ 设,...,,…是坐标平面上的一列圆,它们的圆心都在x轴的正半轴上,且都与直线y=x相切,对每一个正整数n,圆都与圆相互外切,以表示的半径,已知为递增数列.‎ ‎(Ⅰ)证明:为等比数列;‎ ‎(Ⅱ)设=1,求数列的前n项和.‎ ‎(本小题满分13分)本题考查等比数列的基本知识,利用错位相减法求和等基本方法,考查抽象能力以及推理论证能力.‎ 解:(Ⅰ)将直线y=x的倾斜角记为 , 则有tan = ,sin =.‎ 设Cn的圆心为(,0),则由题意知= sin = ,得 =2 ;同理,题意知将 =2代入,解得 rn+1=3rn.‎ 故{ rn }为公比q=3的等比数列.‎ ‎(Ⅱ)由于r1=1,q=3,故rn=3n-1,从而 =n·,‎ 记Sn=, 则有 Sn=1+2·3-1+3·3-2+………+n·. ①‎ ‎=1·3-1+2·3-2+………+(n-1) ·+n·. ②①-②,得 ‎=1+3-1 +3-2+………+-n·=- n·=–(n+)·‎ Sn=– (n+)·.‎ ‎2011年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)‎ 数学(文科)‎ 参考公式:‎ 椎体体积,其中S为椎体的底面积,h为椎体的高。‎ 若(x,y),(x,y)…,(x,y)为样本点,为回归直线,则 ,‎ ‎,‎ 说明:若对数据适当的预处理,可避免对大数字进行运算。‎
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