- 2021-05-22 发布 |
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文档介绍
【数学】2020届一轮复习人教B版 1-2命题及其关系、充分条件与必要条件 学案
1.2命题及其关系、充分条件与必要条件 典例精析 题型一 四种命题的写法及真假判断 【例1】写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断其真假. (1)若m,n都是奇数,则m+n是奇数; (2)若x+y=5,则x=3且y=2. 【解析】(1)逆命题:若m+n是奇数,则m,n都是奇数,假命题; 否命题:若m,n不都是奇数,则m+n不是奇数,假命题; 逆否命题:若m+n不是奇数,则m,n不都是奇数,假命题. (2)逆命题:若x=3且y=2,则x+y=5,真命题; 否命题:若x+y≠5,则x≠3或y≠2,真命题; 逆否命题:若x≠3或y≠2,则x+y≠5,假命题. 【点拨】写命题的四种形式,关键是找出命题的条件与结论,根据四种命题结构写出所求命题.判断四种命题真假,要熟悉四种命题的相互关系,注意它们之间的相互性. 【变式训练1】已知命题“若p,则q”为真,则下列命题中一定为真的是( ) A.若p,则q B.若q,则p C.若q,则p D.若q,则p 【解析】选 B. 题型二 充分必要条件探究 【例2】设m>0,且为常数,已知条件p:|x-2|<m,条件q:|x2-4|<1,若p是q的必要非充分条件,求实数m的取值范围. 【解析】设集合A={x||x-2|<m}={x|2-m<x<2+m},B={x||x2-4|<1}={x|<x<或-<x<-}. 由题设有:q⇒p且p不能推出q,所以p⇒q且q不能推出p,所以A⊆B. 因为m>0,所以(2-m,2+m)⊆(,), 故由2+m≤且2-m≥⇒0<m≤-2,故实数m的取值范围为(0,-2]. 【点拨】正确化简条件p和q,然后将充分条件、必要条件问题等价转化为集合与集合之间的包含问题,借助数轴这个处理集合问题的有力工具使问题得以解决. 【变式训练2】已知集合A={x|a-2<x<a+2},B={x|x≤-2或x≥4},则A∩B=∅的充要条件是( ) A.0≤a≤2 B.-2<a<2 C.0<a≤2 D.0<a<2 【解析】选A.因为A={x|a-2<x<a+2},B={x|x≤-2或x≥4},且A∩B=∅,所以如图,由画出的数轴可知, 即0≤a≤2. 题型三 充分必要条件的证明 【例3】设数列{an}的各项都不为零,求证:对任意n∈N*且n≥2,都有++…+=成立的充要条件是{an}为等差数列. 【证明】(1)(充分性)若{an}为等差数列,设其公差为d,则 ++…+=[(-)+(-)+…+(-)] =(-)==. (2)(必要性)若++…+=, 则++…++=, 两式相减得=- ⇒a1=nan-(n-1)an+1.① 于是有a1=(n+1)an+1-nan+2,② 由①②得nan-2nan+1+nan+2=0,所以an+1-an=an+2-an+1(n≥2). 又由+=⇒a3-a2=a2-a1, 所以n∈N*,2an+1=an+2+an,故{an}为等差数列. 【点拨】按照充分必要条件的概念,分别从充分性和必要性两方面进行探求. 【变式训练3】设0<x<,则“xsin2x<1”是“xsin x<1”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选B.若xsin x<1,因为x∈(0,),所以xsin x>xsin2x,由此可得xsin2x<1,即必要性成立.若xsin2x<1,由于函数f(x)=xsin2x在(0,)上单调递增,且sin2=>1,所以存在x0∈(0,)使得x0sin2x0=1.又x0sin x0>x0sin2x0=1,即x0sin x0>1,所以存在x0′∈(0,x0)使得x0′sin2x0′<1,且x0′sin x0′≥1,故充分性不成立. 总结提高 1.四种命题的定义和区别,主要在于命题的结论和条件的变化上. 2.由于互为逆否命题的两个命题是等价的,所以我们在证明一个命题的真假时,可以通过其逆否命题的证明来达到目的.适合这种处理方法的题型有: ①原命题含有否定词“不”、“不能”、“不是”等;②原命题含有“所有的”、“任意的”、“至少 ”、“至多”等;③原命题分类复杂,而逆否命题分类简单;④原命题化简复杂,而逆否命题化简简单. 3.p是q的充分条件,即p⇒q,相当于分别满足条件p和q的两个集合P与Q之间有包含关系:P⊆Q,即PQ或P=Q,必要条件正好相反.而充要条件p⇔q就相当于P=Q. 4.以下四种说法表达的意义是相同的:①命题“若p,则q”为真;②p⇒q;③p是q的充分条件;④q是p的必要条件. 查看更多