【数学】2019届人教B版专题11数列求和及数列的简单应用学案

【数学】2019届人教B版专题11数列求和及数列的简单应用学案

‎【考向解读】 ‎ 数列求和是数列部分高考考查的两大重点之一，主要考查等差、等比数列的前n项和公式以及其他求和方法，尤其是错位相减法、裂项相消法是高考的热点内容，常与通项公式相结合考查，有时也与函数、方程、不等式等知识交汇，综合命题. 从全国卷 看，由于三角和数列问题在解答题中轮换命题，若考查数列解答题，则以数列的通项与求和为核心地位 考查，题目难度不大.‎ ‎【命题热点突破一】分组转化法求和 例1、(2016·浙江卷)设数列{an}的前n项和为Sn，已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*.‎ ‎(1)求通项公式an；‎ ‎(2)求数列{|an－n－2|}的前n项和．‎ ‎【变式探究】等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一，二，三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.‎ 第一列 第二列 第三列 第一行 ‎3‎ ‎2‎ ‎10‎ 第二行 ‎6‎ ‎4‎ ‎14‎ 第三行 ‎9‎ ‎8‎ ‎18‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nlnan，求数列{bn}的前n项和Sn.‎ ‎【方法技巧】在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想.把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解.‎ 在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个公式.‎ ‎【命题热点突破二】 裂项相消法求和 例2、【2017课标3，文17】设数列满足.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求数列 的前项和.‎ ‎【答案】(1) ；(2) .‎ ‎【变式探究】设数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数n都有6Sn＝1－2an.求数列{an}的通项公式；‎ 解　(1)由6Sn＝1－2an，‎ 得6Sn－1＝1－2an－1(n≥2).‎ 两式相减得6an＝2an－1－2an，‎ 即an＝an－1(n≥2)， ‎ 由6S1＝6a1＝1－2a1，得a1＝，‎ ‎∴数列{an}是等比数列，公比q＝，‎ 所以an＝·＝.‎ ‎【变式探究】【2016年高考四川文数】（本小题满分12分）‎ 已知数列{ }的首项为1， 为数列的前n项和， ，其中q>0， .‎ ‎（Ⅰ）若 成等差数列，求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设双曲线 的离心率为 ，且 ，证明：.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，.‎ 所以双曲线的离心率 ．‎ 由解得.‎ 因为，所以.‎ 于是，‎ 故. ‎ ‎【方法技巧】裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如(n≥2)或.‎ ‎【命题热点突破三】 错位相减法求和 例3、【2017山东，文19】（本小题满分12分）已知{an}是各项均为正数的等比数列,且. ‎ ‎(I)求数列{an}通项公式；‎ ‎(II){ bn}为各项非零的等差数列,其前n项和Sn,已知,求数列的前n项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.‎ 两式相减得 所以. ‎ ‎【变式探究】已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝an＋1＋n－2，n∈N*，a1＝2.[ : ]‎ ‎(1)证明：数列{an－1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝(n∈N*)的前n项和为Tn，证明：Tn＜6.‎ ‎【方法技巧】近年高考对错位相减法求和提到了特别重要的位置上，常在解答题中出现，也是考纲对数列前n项和的基本要求，错位相减法适用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列；所谓“错位”，就是要找“同类项”相减.要注意的是相减后得到部分等比数列的和，此时一定要查清其项数.‎ ‎【命题热点突破四】 利用数列单调性解决数列不等式问题 例4、首项为正数的数列{an}满足an＋1＝(a＋3)，n∈N*.‎ ‎(1)证明：若a1为奇数，则对一切n≥2，an都是奇数；‎ ‎(2)若对一切n∈N*都有an＋1＞an，求a1的取值范围.‎ 法二　由a2＝＞a1，得a－4a1＋3＞0，‎ 于是0＜a1＜1或a1＞3.‎ an＋1－an＞－＝，‎ 因为a1＞0，an＋1＝，所以所有的an均大于0，因此an＋1－an与an－an－1同号.‎ 根据数 归纳法，∀n∈N*，an＋1－an与a2－a1同号.‎ 因此，对一切n∈N*都有an＋1＞an的充要条件是0＜a1＜1或a1＞3. ‎ ‎【方法技巧】涉及到数列不等式，比较大小或恒成立问题，经常用到作差法.法一用了作差法和数 归纳法；法二将an＋1－an的符号问题转化为a2－a1的符号问题，再由a2，a1的递推关系，求出a1的范围.‎ ‎【命题热点突破五】 放缩法解决与数列和有关的不等式 例5、已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，4Sn＝an·an＋1，n∈N*.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设数列的前n项和为Tn，求证：＜Tn＜.‎ ‎(2)证明　∵＝＞＝，‎ ‎∴Tn＝＋＋…＋＞ ‎＝＝.‎ 又∵＝＜＝＝，∴Tn＝＋＋…＋＜ ‎＝＜.即得＜Tn＜. ‎ ‎【方法技巧】数列与不等式的证明主要有两种题型：(1)利用对通项放缩证明不等式；(2)作差法证明不等式.‎ ‎【高考真题解读】‎ ‎1.【2017山东，文19】（本小题满分12分）已知{an}是各项均为正数的等比数列,且. ‎ ‎(I)求数列{an}通项公式；‎ ‎(II){ bn}为各项非零的等差数列,其前n项和Sn,已知,求数列的前n项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.‎ ‎ ‎ ‎2.【2017北京，文15】已知等差数列和等比数列满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求和：．‎ ‎【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）. ‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d.‎ 因为a2+a4=10，所以2a1+4d=10.‎ 解得d=2.‎ 所以an=2n−1.‎ ‎（Ⅱ）设等比数列的公比为q.[ : ]‎ 因为b2b4=a5，所以b1qb1q3=9.‎ 解得q2=3.‎ 所以. ‎ 从而.‎ ‎1.【2016高考天津文数】已知是各项均为正数的等差数列，公差为，对任意的是和的等差中项.‎ ‎(Ⅰ)设，求证：是等差数列；‎ ‎(Ⅱ)设 ，求证：‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析 ‎ ‎ ‎2.【2016高考新课标3文数】已知数列的前n项和，其中．‎ ‎（I）证明是等比数列，并求其通项公式；‎ ‎（II）若 ，求．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．‎ ‎ ‎ ‎3.【2016高考浙江文数】设数列满足，．‎ ‎（I）证明：，；‎ ‎（II）若，，证明：，．‎ ‎【答案】（I）证明见解析；（II）证明见解析．‎ ‎【解析】（I）由得，故 ‎，， ‎ 所以 ‎，‎ 因此 ‎．‎ 从而对于任意，均有 ‎．‎ 由的任意性得． ①‎ 否则，存在，有，取正整数且，则 ‎，‎ 与①式矛盾． ‎ 综上，对于任意，均有．‎ ‎4.【2016年高考北京文数】（本小题13分）‎ ‎ 设数列A： ， ,… ().如果对小于()的每个正整数都有 ＜ ，则称是数列A的一个“G时刻”.记“是数列A的所有“G时刻”组成的集合.‎ ‎（1）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出的所有元素；‎ ‎（2）证明：若数列A中存在使得>，则 ；‎ ‎（3）证明：若数列A满足- ≤1（n=2,3, …,N）,则的元素个数不小于 -.‎ ‎【答案】（1）的元素为和；（2）详见解析；（3）详见解析.‎ 由（Ⅱ）知.‎ 设.记.‎ 则.‎ 对，记.‎ 如果，取，则对任何.‎ 从而且.‎ 又因为是中的最大元素，所以.‎ 从而对任意，，特别地，.‎ 对. ‎ 因此.‎ 所以.‎ 因此的元素个数p不小于.‎ ‎5.【2016年高考四川文数】（本小题满分12分）‎ 已知数列{ }的首项为1， 为数列的前n项和， ，其中q>0， .‎ ‎（Ⅰ）若 成等差数列，求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设双曲线 的离心率为 ，且 ，证明：. ‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.‎ ‎ ‎ ‎6.【2016高考上海文数】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.‎ 若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质.‎ ‎（1）若具有性质，且，，求；‎ ‎（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，，判断是否具有性质，并说明理由；‎ ‎（3）设是无穷数列，已知.求证：“对任意都具有性质”的充要条件为“是常数列”.‎ ‎【答案】（1）．（2）不具有性质．（3）见解析．‎ 使得，而．‎ 下面证明存在满足的，使得，但．‎ 设，取，使得，则 ‎，，故存在使得．‎ 取，因为（），所以，‎ 依此类推，得．‎ 但，即．‎ 所以不具有性质，矛盾．‎ 必要性得证．‎ 综上，“对任意，都具有性质”的充要条件为“是常数列”．‎ ‎7.【2016高考新课标2文数】为等差数列的前项和，且记，其中表示不超过的最大整数，如．‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前1 000项和．‎ ‎【答案】（Ⅰ），， ；（Ⅱ）1893.‎ ‎ ‎ ‎8.【2016高考山东文数】（本小题满分12分）‎ 已知数列 的前n项和Sn=3n2+8n，是等差数列，且 ‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令 求数列的前n项和Tn.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ 所以 ‎9.【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）‎ 记.对数列和的子集T，若,定义;若，定义.例如：时，.现设是公比为3的等比数列，且当时，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）对任意正整数，若，求证：；‎ ‎（3）设,求证：.‎ ‎【答案】（1）（2）详见解析（3）详见解析 于是，，进而由，得.‎ 设是中的最大数，为中的最大数，则.‎ 由（2）知，，于是，所以，即.‎ 又，故，‎ 从而，‎ 故，所以，‎ 即.‎ 综合①②③得，. ‎ ‎10.【2016高考山东文数】（本小题满分12分）‎ 已知数列 的前n项和Sn=3n2+8n，是等差数列，且 ‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令 求数列的前n项和Tn.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ 又，‎ 得，‎ ‎，‎ 两式作差，得 所以 ‎1．(2015·新课标全国Ⅱ，16)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝____________．‎ 解析　由题意，得S1＝a1＝－1，又由an＋1＝SnSn＋1，得Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，所以Sn≠0，所以＝1，即－＝－1，故数列是以＝－1为首项，－1为公差的等差数列，得＝－1－(n－1)＝－n，所以Sn＝－.‎ 答案　－ ‎2．(2015·福建，8)若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于(　　)‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎3．(2015·浙江，3)已知{an}是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则(　　)‎ A．a1d＞0，dS4＞0 B．a1d＜0，dS4＜0‎ C．a1d＞0，dS4＜0 D．a1d＜0，dS4＞0‎ 解析　∵a3，a4，a8成等比数列，∴(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋7d)，整理得a1＝－d，∴a1d＝－d2＜0，又S4＝4a1＋d＝－，∴dS4＝－＜0，故选B.‎ 答案　B ‎4．(2015·广东，21)数列{an}满足：a1＋2a2＋…＋nan＝4－，n∈N*.‎ ‎(1)求a3的值；‎ ‎(2)求数列{an}前n项和Tn；‎ ‎(3)令b1＝a1，bn＝＋an(n≥2)，证明：数列{bn}的前n项和Sn满足Sn<2＋2ln n.‎ 对于任意自然数k∈N，令x＝－∈(－1，0)时，ln＋<0，‎ 即

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