2018届二轮复习用样本估计总体

2018届二轮复习用样本估计总体

专题 8 　概率与统计 第 36 练　用样本估计总体 用样本估计总体在高考中也是热点部分，考查形式主要是填空题或是与概率结合的综合性解答题，重点是频率分布直方图以及数字特征，属于比较简单的题目 . 题型 分析 高考 展望 体验 高考 高考必会题型 高考题型精练 栏目索引 体验高考 解析答案 1 2 3 4 5 1.(2015· 湖南 ) 在一次马拉松比赛中， 35 名运动员的成绩 ( 单位：分钟 ) 的茎叶图如图所示： 若将运动员按成绩由好到差编为 1 ～ 35 号，再用系统抽样方法从中抽取 7 人，则其中成绩在区间 [139,151] 上的运动员人数是 ________. 解析 　 由题意知，将 1 ～ 35 号分成 7 组，每组 5 名运动员，成绩落在区间 [139,151] 的运动员共有 4 组，故由系统抽样法知，共抽取 4 名 . 4 1 2 3 4 5 解析答案 2.(2016· 江苏 ) 已知一组数据 4.7,4.8,5.1,5.4,5.5 ，则该组数据的方差是 ________. 0.1 1 2 3 4 5 解析答案 11 1 2 3 4 5 解析答案 4.(2016· 山东改编 ) 某高校调查了 200 名学生每周的自习时间 ( 单位：小时 ) ，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是 [17.5,30] ，样本数据分组为 [17.5 ， 20) ， [20,22.5) ， [22.5,25) ， [25,27.5) ， [27.5,30]. 根据频率分布直方图知，这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数是 ________. 解析 　 由题图知，组距为 2.5 ， 故 每周的自习时间不少于 22.5 小时的频率 为 ( 0.16 ＋ 0.08 ＋ 0.04) × 2.5 ＝ 0.7 ， ∴ 这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数是 200 × 0.7 ＝ 140. 140 1 2 3 4 5 解析答案 5.(2015· 湖北 ) 某电子商务公司对 10 000 名网络购物者 2014 年度的消费情况进行统计，发现消费金额 ( 单位：万元 ) 都在区间 [0.3,0.9] 内，其频率分布直方图如图所示 . (1) 直方图中的 a ＝ ________ ； 解析　 由频率分布直方图及频率和等于 1 可得 0.2 × 0.1 ＋ 0.8 × 0.1 ＋ 1.5 × 0.1 ＋ 2 × 0.1 ＋ 2.5 × 0.1 ＋ a × 0.1 ＝ 1 ， 解 得 a ＝ 3. 3 　 1 2 3 4 5 解析答案 返回 (2) 在这些购物者中，消费金额在区间 [0.5,0.9] 内的购物者的人数为 ________. 解析　 消费金额在区间 [0.5,0.9] 内频率为 0.2 × 0.1 ＋ 0.8 × 0.1 ＋ 2 × 0.1 ＋ 3 × 0.1 ＝ 0.6 ， 所以 消费金额在区间 [0.5,0.9] 内的购物者的人数为 0.6 × 10 000 ＝ 6 000. 6 000 高考 必会题型 题型一　频率分布直方图的应用 例 1 　 (2015· 广东 ) 某城市 100 户居民的月平均用电量 ( 单位：度 ) ，以 [160,180) ， [180,200) ， [200,220) ， [220,240) ， [240,260) ， [260,280) ， [280,300] 分组的频率分布直方图如图 . (1) 求直方图中 x 的值 ； 解析答案 解　 由 (0.002 ＋ 0.009 5 ＋ 0.011 ＋ 0.012 5 ＋ x ＋ 0.005 ＋ 0.002 5) × 20 ＝ 1 ， 得 x ＝ 0.007 5 ， 所以直方图中 x 的值是 0.007 5. 解析答案 (2) 求月平均用电量的众数和中位数； 因为 (0.002 ＋ 0.009 5 ＋ 0.011) × 20 ＝ 0.45<0.5 ， 所以 月平均用电量的中位数在 [220,240) 内 ， 设 中位数为 a ，由 (0.002 ＋ 0.009 5 ＋ 0.011) × 20 ＋ 0.012 5 × ( a － 220) ＝ 0.5 ， 得 a ＝ 224 ， 所以 月平均用电量的中位数是 224. 解析答案 点评 (3) 在月平均用电量为 [220,240) ， [240,260) ， [260,280) ， [280,300] 的四组用户中，用分层抽样的方法抽取 11 户居民，则月平均用电量在 [220,240) 的用户中应抽取多少户？ 解　 月平均用电量为 [220,240) 的用户有 0.012 5 × 20 × 100 ＝ 25( 户 ) ， 月平均 用电量为 [240,260) 的用户有 0.007 5 × 20 × 100 ＝ 15( 户 ) ， 月平均 用电量为 [260,280) 的用户有 0.005 × 20 × 100 ＝ 10( 户 ) ， 月平均 用电量为 [280,300] 的用户有 0.002 5 × 20 × 100 ＝ 5( 户 ) ， 点评 利用频率分布直方图估计样本的数字特征 (1) 中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值 . (2) 平均数：平均数是频率分布直方图的 “ 重心 ” ，等于图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和 . (3) 众数：在频率分布直方图中，众数是最高的矩形底边的中点的横坐标 . 变式训练 1 　 (2016· 课标全国乙 ) 某公司计划购买 1 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰 . 机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元 . 在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元 . 现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图 . 解析答案 记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数， y 表示 1 台机器在购买易损零件上所需的费用 ( 单位：元 ) ， n 表示购机的同时购买的易损零件数 . (1) 若 n ＝ 19 ，求 y 与 x 的函数解析式； 解　 当 x ≤ 19 时， y ＝ 3 800 ； 当 x >19 时， y ＝ 3 800 ＋ 500( x － 19) ＝ 500 x － 5 700. 解析答案 (2) 若要求 “ 需更换的易损零件数不大于 n ” 的频率不小于 0.5 ，求 n 的最小值； 解　 由柱状图知，需更换的零件数不大于 18 的频率为 0.46 ， 不 大于 19 的频率为 0.7 ， 故 n 的最小值为 19. 解析答案 (3) 假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件，或每台都购买 20 个易损零件，分别计算这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买 1 台机器的同时应购买 19 个还是 20 个易损零件？ 解析答案 解　 若每台机器在购机的同时都购买 19 个易损零件 ， 则 这 100 台机器中有 70 台在购买易损零件上的费用为 3 800 ， 20 台的费用为 4 300,10 台的费用为 4 800 ， 若每台机器在购机同时都购买 20 个易损零件 ， 则 这 100 台机器中有 90 台在购买易损零件上的费用为 4 000,10 台的费用为 4 500 ， 比较两个平均数可知，购买 1 台机器的同时应购买 19 个易损零件 . 题型二　茎叶图的应用 例 2 　 (1) 为了检查某高三毕业班学生的体重状况，从该班随机抽取了 10 位学生进行称重，如图为 10 位学生体重的茎叶图，其中图中左边是体重的十位数字，右边是个位数字，则这 10 位学生体重的平均数与中位数之差为 ________. 解析答案 ∴ 这 10 位学生体重的平均数与中位数之差为 54.8 － 54.5 ＝ 0.3. 0.3 　 点评 (2) 在 “ 某市中学生歌手大赛 ” 比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶图如图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为 ________. 解析答案 85,1.6 由于茎叶图完全反映了所有的原始数据，解决由茎叶图给出的统计图表试题时，就要充分使用这个图表提供的数据进行相关的计算或者是对某些问题作出判断，这类试题往往伴随着对数据组的平均值或者是方差的计算等 . 点评 解析答案 解析　 由茎叶图可知甲的数据为 27,30 ＋ m, 39 ， 乙 的数据为 20 ＋ n, 32,34,38. 由此可知乙的中位数是 33 ， 所以 甲的中位数也是 33 ，所以 m ＝ 3 . 由此 可以得出甲的平均数为 33 ，所以 乙的平均数也是 33 ， 解析答案 (2) 如图为甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况的茎叶图，则甲和乙得分的中位数的和是 ________. 解析　 由茎叶图知，甲共 13 个数据 ， 中间 的一个是 32 ， 乙 共 11 个数据，中间的一个是 25 ， 所以 甲和乙得分的中位数的和为 57. 57 题型三　用样本的数字特征估计总体的数字特征 例 3 　 (1) 一组数据的平均数是 2.8 ，方差是 3.6 ，若将这组数据中的每一个数据都加上 60 ，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是 ________. 解析 答案 62.8,3.6 解析　 设这组数据分别为 x 1 ， x 2 ， … ， x n ， (2) 某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习 10 组，每组罚球 40 个，命中个数的茎叶图如图，则下列结论中错误的是 ________.( 填序号 ) ① 甲的极差是 29 ； ② 乙的众数是 21 ； ③ 甲罚球命中率比乙高； ④ 甲的中位数是 24. 点评 解析 √ 解析 由茎叶图知，甲的最大值为 37 ，最小值为 8 ，所以甲的极差为 29 ，故 ① 对； 乙的数据中出现次数最多的是 21 ，故 ② 对； 甲的命中个数集中在 20 ，而乙的命中个数集中在 10 和 20 ，所以甲罚球命中率大，故 ③ 对； 点评 平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小 . 点评 变式训练 3 　 甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图 . (1) 分别求出两人得分的平均数与方差 ； 解析答案 解　 由题图象可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为 甲： 10 分， 13 分， 12 分， 14 分， 16 分； 乙： 13 分， 14 分， 12 分， 12 分， 14 分 . 返回 (2) 根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价 . 解析答案 甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动 ， 可知 甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高 . 从折线图看， 高考 题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 1. 某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为 [20,40) ， [40,60) ， [60,80) ， [80,100] ，若低于 60 分的人数是 15 ，则该班的学生人数是 ________. 解析　 低于 60 分的人数的频率为 0.015 × 20 ＝ 0.3 ， 所以该班人数为 15÷0.3 ＝ 50. 50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 2. 某赛季，甲，乙两名篮球运动员都参加了 11 场比赛，他们每场比赛得分的情况用茎叶图表示，如图，则甲，乙两名运动员得分的中位数分别为 ________. 解析 　 中位数为一组数据由小到大排列后位于中间的一个数或两个数的平均数 ， 所以 中位数为 19,13. 19,13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 3. 如图是某社区工会对当地企业工人月收入情况进行一次抽样调查后画出的频率分布直方图，其中月收入在 [1.5,2) 千元的频数为 300 ，则此次抽样的样本容量为 ________. 解析　 由频率分布直方图，得月收入在 [1.5,2) 千元的频率为 P ＝ 0.6 × 0.5 ＝ 0.3 ， 1 000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 4. 甲、乙两同学用茎叶图记录高三前 5 次数学测试的成绩，如图所示，他们在分析对比成绩变化时，发现乙同学成绩的一个数字看不清楚了，若已知乙的平均成绩低于甲的平均成绩，则看不清楚的数字为 ________. 解析　 设看不清的数字为 x ， 所以 x ＝ 0. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 5. 如图是一容量为 100 的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为 ________. 解析 　 由频率分布直方图，可估计样本重量的中位数在第二组， 设中位数比 10 大 x ，由题意可得， 0.06 × 5 ＋ x × 0.1 ＝ 0.5 ，得 x ＝ 2 ， 所以中位数为 12. 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 6. 已知两组样本数据 { x 1 ， x 2 ， … ， x n } 的平均数为 h ， { y 1 ， y 2 ， … ， y m } 的平均数为 k ，则把两组数据合并成一组以后，这组样本的平均数 为 _______. 解析　 因为样本数据 { x 1 ， x 2 ， … ， x n } 的平均数为 h ， { y 1 ， y 2 ， … ， y m } 的平均数为 k ， 所以第一组数据和为 nh ，第二组数据和为 mk ， 因此把两组数据合并成一组以后， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 7. 从向阳小区抽取 100 户居民进行月用电量调查，为制定阶梯电价提供数据，发现其用电量都在 50 到 350 度之间，制作频率分布直方图的工作人员粗心大意，位置 t 处未标明数据，你认为 t ＝ ________. 解析 　 由题意得， 50 × (0.006 ＋ t ＋ 0.003 6 ＋ 0.002 4 × 2 ＋ 0.001 2) ＝ 1 ， t ＝ 0.004 4. 0.004 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 8.10 名工人某天生产同一零件，生产的件数 分别为 15,17,14,10,15,17,17,16,14,12 ，设其平均数为 a ，中位数为 b ，众数为 c ，则 a 、 b 、 c 的大小关系为 ________. 解析 　 易得 a ＝ 14.7 ， b ＝ 15 ， c ＝ 17. c > b > a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 9. 如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲，乙两名选手打出的分数的茎叶图 ( 其中 m 为数字 0 ～ 9 中的一个 ) ，去掉一个最高分和一个最低分后，甲，乙两名选手得分的平均数分别为 a 1 ， a 2 ，则 a 1 ， a 2 的大小关系是 ________.( 填 a 1 > a 2 ， a 2 > a 1 ， a 1 ＝ a 2 ) 所以 a 2 > a 1 . a 2 > a 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 11.(2016· 四川 ) 我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年 100 位居民每人的月均用水量 ( 单位：吨 ) ，将数据按照 [0,0.5) ， [0.5,1) ， … ， [4,4.5] 分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图 . (1) 求直方图中 a 的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解　 由频率分布直方图可知，月均用水量在 [0,0.5) 的频率为 0.08 × 0.5 ＝ 0.04. 同理，在 [0.5,1) ， [1.5,2) ， [2,2.5) ， [3,3.5) ， [3.5,4) ， [4,4.5] 等组的频率分别为 0.08,0.21,0.25,0.06 ， 0.04 ， 0.02. 由 1 － (0.04 ＋ 0.08 ＋ 0.21 ＋ 0.25 ＋ 0.06 ＋ 0.04 ＋ 0.02) ＝ 0.5 × a ＋ 0.5 × a ， 解得 a ＝ 0.30. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 (2) 设该市有 30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数，说明理由； 解　 由 (1) 知， 100 位居民月均用水量不低于 3 吨的频率为 0.06 ＋ 0.04 ＋ 0.02 ＝ 0.12 . 由 以上样本的频率分布 ，可以 估计 30 万居民中月均用水量不低于 3 吨的人数为 300 000 × 0.12 ＝ 36 000. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 (3) 估计居民月均用水量的中位数 . 解　 设中位数为 x 吨 . 因为前 5 组的频率之和为 0.04 ＋ 0.08 ＋ 0.15 ＋ 0.21 ＋ 0.25 ＝ 0.73>0.5. 而前 4 组的频率之和为 0.04 ＋ 0.08 ＋ 0.15 ＋ 0.21 ＝ 0.48<0.5. 所以 2 ≤ x <2.5. 由 0.50 × ( x － 2) ＝ 0.5 － 0.48 ，解得 x ＝ 2.04. 故可估计居民月均用水量的中位数为 2.04. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 12.(2016· 北京 ) 某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过 w 立方米的部分按 4 元 / 立方米收费， 超出 w 立方米 的部分按 10 元 / 立方米收费，从该市随机调查了 10 000 位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图： (1) 如果 w 为整数，那么根据此次调查，为使 80% 以上居民在该月的用水价格为 4 元 / 立方米， w 至少定为多少？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解　 如题图所示，用水量在 [0.5,2) 的频率的和为 (0.2 ＋ 0.3 ＋ 0.4) × 0.5 ＝ 0.45 ＜ 0.8 ， 用水量 在 [0.5,3) 的频率的和为 (0.2 ＋ 0.3 ＋ 0.4 ＋ 0.5 ＋ 0.3) × 0.5 ＝ 0.85 ， ∴ 用水量小于等于 3 立方米的频率为 0.85 ，又 w 为整数， ∴ 为使 80% 以上的居民在该月的用水价格为 4 元 / 立方米， w 至少定为 3. 解析答案 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2) 假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当 w ＝ 3 时，估计该市居民该月的人均水费 . 解　 当 w ＝ 3 时，该市居民该月的人均水费估计为 (0.1 × 1 ＋ 0.15 × 1.5 ＋ 0.2 × 2 ＋ 0.25 × 2.5 ＋ 0.15 × 3) × 4 ＋ 0.15 × 3 × 4 ＋ [0.05 × (3.5 － 3) ＋ 0.05 × (4 － 3) ＋ 0.05 × (4.5 － 3)] × 10 ＝ 7.2 ＋ 1.8 ＋ 1.5 ＝ 10.5( 元 ). 即该市居民该月的人均水费估计为 10.5 元 .