【数学】2019届一轮复习人教A版 坐标系与参数方程 学案

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【数学】2019届一轮复习人教A版 坐标系与参数方程 学案

‎【命题热点突破一】极坐标系与简单曲线的极坐标方程 例1、【2016年高考北京理数】在极坐标系中,直线与圆交于A,B两点,则______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】直线过圆的圆心,因此 ‎ 【变式探究】[2015·全国卷] 在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求C1,C2的极坐标方程;‎ ‎(2)若直线C3的极坐标方程是θ=(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.‎ ‎【特别提醒】根据直角坐标化为极坐标的公式,可以把直线、曲线的直角坐标方程化为极坐标方程,反之亦然.使用直线、曲线的直角坐标方程和极坐标方程解题各有利弊,要根据情况灵活选取.‎ ‎【变式探究】 ‎ 在直角坐标系xOy中,曲线C:(t为参数).以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为θ=(ρ∈R),l与C相交于A,B两点.‎ ‎(1)写出直线l的参数方程和曲线C的普通方程;‎ ‎(2)设线段AB的中点为M,求点M的极坐标.‎ ‎【解析】:(1)直线l的直角坐标方程为y=x,‎ 则直线l的参数方程为(t为参数).‎ 曲线C的普通方程为y=x2-6.‎ ‎(2)设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,将代入y=x2-6,得t2-2 t-24=0,‎ ‎∴Δ=108>0,t1+t2=2 ,‎ ‎∴=,即点M所对应的参数为,‎ ‎∴点M的直角坐标为(,),‎ ‎∴点M的极坐标为(,). : xx ]‎ ‎【命题热点突破二】简单曲线的参数方程 例2、【2016高考新课标1卷】(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).‎ 在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=.‎ ‎(I)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;‎ ‎(II)直线C3的极坐标方程为,其中满足tan=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.‎ ‎【答案】(I)圆,(II)1‎ ‎ ‎ 时,极点也为的公共点,在上.所以.‎ ‎【变式探究】已知直线l经过点P(1,1),倾斜角α=.‎ ‎(1)写出直线l的参数方程;‎ ‎(2)设l与圆(θ为参数)相交于A,B两点,求点P到A,B两点的距离之积.‎ ‎【解析】:(1)直线l的参数方程是(t是参数).‎ ‎(2)因为点A,B都在直线l上,所以可设点A,B对应的参数分别为t1和t2,将直线l的参数方程代入圆的方程x2+y2=4中,整理得t2+(+1)t-2=0.①‎ 因为t1和t2是方程①的解,从而t1t2=-2,‎ 所以|PA|·|PB|=|t1t2|=2.‎ ‎【特别提醒】直线的参数方程(其中t为参数,α为直线的倾斜角)中t的几何意义是点P(x0,y0)到参数t对应的点的有向线段的数量,解题中注意使用直线参数方程的几何意义,同时注意直线的参数方程中t的系数是否符合上述参数方程.‎ ‎【变式探究】‎ 已知椭圆C:+=1,直线l:(t为参数).‎ ‎(1)写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程;‎ ‎(2)设A(1,0),若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线l的距离相等,求点P的坐标.‎ ‎【命题热点突破三】极坐标与参数方程的综合 例3、【2016高考新课标2理数】选修4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,圆的方程为.‎ ‎(Ⅰ)以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,求的极坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)直线的参数方程是(为参数), 与交于两点,,求的斜率.‎ ‎【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).‎ ‎【变式探究】已知平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,P点的极坐标为(4 ,),曲线C的极坐标方程为ρ2+4 ρsin θ=4.‎ ‎(1)写出点P的直角坐标及曲线C的普通方程;‎ ‎(2)若Q为C上的动点,求PQ中点M到直线l:(t为参数)距离的最大值.‎ ‎【解析】:(1)x=ρcos θ=6,y=ρsin θ=2 ,‎ ‎∴点P的直角坐标为(6,2 ).‎ 由ρ2+4 ρsin θ=4得x2+y2+4 y=4,即x2+(y+2 )2=16,‎ ‎∴曲线C的普通方程为x2+(y+2 )2=16.‎ ‎(2)由l:可得直线l的普通方程为x-y-5=0,‎ 由曲线C的普通方程x2+(y+2 )2=16可设点Q(4cos θ,4sin θ-2 ),‎ ‎∴则点M的坐标为(2cos θ+3,2sin θ),‎ ‎∴点M到直线l的距离d==,‎ 当cos(θ+)=-1时,d取得最大值2+,‎ ‎∴点M到直线l距离的最大值为2+.‎ ‎【特别提醒】在极坐标与参数方程综合的试题中,一个基本的思路是把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程,然后使用我们熟悉的平面解析几何知识解决问题.‎ ‎【变式探究】‎ 以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系取相同的单位长度.已知圆C的参数方程是(φ为参数),直线l的极坐标方程是2ρcos θ+ρsin θ=6.‎ ‎(1)求圆C的极坐标方程;‎ ‎(2)过圆C上任意一点P作与l夹角为45°的直线,交l于点Q,求|PQ|的最大值与最小值.‎ ‎【高考真题解读】‎ ‎1.【2016年高考北京理数】在极坐标系中,直线与圆交于A,B两点,则______.‎ ‎【答案】2[ : xx ]‎ ‎【解析】直线过圆的圆心,因此 ‎2.【2016高考新课标1卷】(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).‎ 在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=.‎ ‎(I)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;‎ ‎(II)直线C3的极坐标方程为,其中满足tan=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.‎ ‎【答案】(I)圆,(II)1[ :学 ]‎ ‎ ‎ ‎3.【2016高考新课标2理数】选修4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,圆的方程为.‎ ‎(Ⅰ)以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,求的极坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)直线的参数方程是(为参数), 与交于两点,,求的斜率.‎ ‎【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).‎ ‎【解析】(I)由可得的极坐标方程 ‎(II)在(I)中建立的极坐标系中,直线的极坐标方程为[ :学 ]‎ 由所对应的极径分别为将的极坐标方程代入的极坐标方程得 于是 ‎[ :学 ]‎ 由得,‎ 所以的斜率为或.‎ ‎4.【2016高考新课标3理数】(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,曲线的参数方程为,以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴,,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.‎ ‎(I)写出的普通方程和的直角坐标方程;‎ ‎(II)设点在上,点在上,求的最小值及此时的直角坐标.‎ ‎【答案】(Ⅰ)的普通方程为,的直角坐标方程为;(Ⅱ).‎ ‎ ‎ ‎1.(2015·广东,14)已知直线l的极坐标方程为2ρsin=,点A的极坐标为A,则点A到直线l的距离为________.‎ ‎【答案】  ‎【解析】依题已知直线l:2ρsin=和点A可化为l:x-y+1=0和A(2,-2),所以点A到直线l的距离为d==.‎ ‎2.(2015·北京,11)在极坐标系中,点到直线ρ(cos θ+sin θ)=6的距离为________.‎ ‎【答案】 1‎ ‎【解析】 在平面直角坐标系下,点化为(1,),直线方程为:x+y=6,∴点(1,)到直线的距离为d===1.‎ ‎3.(2015·安徽,12)在极坐标系中,圆ρ=8sin θ上的点到直线θ=(ρ∈R)距离的最大值是________.‎ ‎【答案】 6‎ ‎【解析】 由ρ=8sin θ得x2+y2=8y,即x2+(y-4)2=16,由θ=得y=x,即x-y=0,∴圆心(0,4)到直线y=x的距离为2,圆ρ=8sin θ上的点到直线θ=的最大距离为4+2=6. 学 ‎ ‎4.(2015·江苏,21)已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin-4=0,求圆C的半径.‎ ‎ 5.(2015·新课标全国Ⅰ,23)在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求C1,C2的极坐标方程;‎ ‎(2)若直线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.‎ ‎【解析】 (1)因为x=ρcos θ,y=ρsin θ,所以C1的极坐标方程为ρcos θ=-2,‎ C2的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0.‎ ‎(2)将θ=代入ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0,得ρ2-3ρ+4=0,解得ρ1=2,ρ2=.故ρ1-ρ2=,即|MN|=.‎ 由于C2的半径为1,所以△C2MN为等腰直角三角形,‎ 所以△C2MN的面积为.‎ ‎6.(2015·福建,21(2))在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为 (t为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴)中,直线l的方程为ρsin=m(m∈R).‎ ‎①求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程;‎ ‎②设圆心C到直线l的距离等于2,求m的值.‎ ‎ ‎ ‎7.(2015·湖南,16Ⅱ)已知直线l:(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2cos θ.‎ ‎(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;‎ ‎(2)设点M的直角坐标为(5,),直线l与曲线C的交点为A,B,求|MA|·|MB|的值.‎ ‎【解析】 (1)ρ=2cos θ等价于ρ2=2ρcos θ.①‎ 将ρ2=x2+y2,ρcos θ=x代入①即得曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.②‎ ‎(2)将代入②式,得t2+5t+18=0. ‎ 设这个方程的两个实根分别为t1,t2,则由参数t的几何意义即知,‎ ‎|MA|·|MB|=|t1t2|=18.‎ ‎1. 【2014高考安徽卷理第4题】以平面直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线的参数方程是(为参数),圆的极坐标方程是,则直线被圆截得的弦长为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎ 2. 【2014高考北京卷理第3题】曲线,(为参数)的对称中心( ) ‎ A.在直线上 B.在直线上 ‎ C.在直线上 D.在直线上 ‎【答案】B ‎【解析】参数方程所表示的曲线为圆心在,半径为1的圆,其对称中心为,逐个代入选项可知,点满足,故选B.‎ ‎3. 【2014高考湖北卷理第16题】已知曲线的参数方程是,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程是,则与交点的直角坐标为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由消去得,由得,解方程组得与的交点坐标为.学 ‎ ‎4. 【2014高考湖南卷第11题】在平面直角坐标系中,倾斜角为的直线与曲线,(为参数)交于、两点,且,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线的极坐标方程是________.‎ ‎ 【答案】‎ ‎ 5.【2014江西高考理第12题】若以直角坐标系的原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段的极坐标为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据,得:‎ 解得,选A.‎ ‎6. 【2014重庆高考理第15题】已知直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,则直线与曲线的公共点的极径________.‎ ‎【答案】‎ ‎ 7. 【2014陕西高考理第15题】在极坐标系中,点到直线的距离是 .‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】直线化为直角坐标方程为,点的直角坐标为,点到直线的距离,故答案为1. ‎ ‎8. 【2014天津高考理第13题】在以为极点的极坐标系中,圆和直线相交于两点.若是等边三角形,则的值为___________.‎ ‎【答案】3.‎ ‎【解析】圆的方程为,直线为.是等边三角形,∴其中一个交点坐标为 ,代入圆的方程可得.‎ ‎9.【2014高考福建理第21(2)题】 已知直线的参数方程为,(为参数),圆的参数方程为 ‎ ,(为常数).‎ ‎ (I)求直线和圆的普通方程;‎ ‎ (II)若直线与圆有公共点,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(I),;(II)‎ ‎ 10. 【2014高考江苏第21C题】在平面直角坐标系中,已知直线的参数方程(为参数),直线与抛物线相交于两点,求线段的长.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】直线的普通方程为,即,与抛物线方程联立方程组解得,∴.‎ ‎11. 【2014高考辽宁理第23题】将圆上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C. ‎ ‎(Ⅰ)写出C的参数方程;‎ ‎(Ⅱ)设直线与C的交点为,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极坐标建立极坐标系,求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.‎ ‎【答案】(1) (t为参数);(2) .‎ ‎ 12. 【2014高考全国1第23题】已知曲线,直线:(为参数). ‎ ‎(I)写出曲线的参数方程,直线的普通方程; ‎ ‎(II)过曲线上任意一点作与夹角为的直线,交于点,的最大值与最小值.‎ ‎【答案】(I);(II)最大值为,最小值为.‎ ‎【解析】‎ ‎(I)曲线C的参数方程为(为参数).直线的普通方程为.‎ ‎(II)曲线C上任意一点到的距离为.则 ‎.其中为锐角,且.‎ 当时,取到最大值,最大值为.‎ 当时,取到最小值,最小值为.‎ ‎13. 【2014高考全国2第23题】在直角坐标系xoy中,以坐标原点为极点,x轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为,‎ ‎.‎ ‎(Ⅰ)求C的参数方程;‎ ‎(Ⅱ)设点D在C上,C在D处的切线与直线垂直,根据(Ⅰ)中你得到的参数方程,确定D的坐标. ‎ ‎【答案】(Ⅰ)是参数,;(Ⅱ)‎ ‎ 14. 【2014高考上海理 】已知曲线C的极坐标方程为,则C与极轴的交点到极点的距离是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令,则,,所以所求距离为.‎ ‎(2013·新课标I理)(23)(本小题10分)选修4—4:坐标系与参数方程 ‎ 已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ。‎ ‎(Ⅰ)把C1的参数方程化为极坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)‎ ‎【答案】(1)因为,消去参数,得,即 ‎,‎ 故极坐标方程为;‎ ‎(2)的普通方程为,联立、的方程,解得或,所以交点的极坐标为.‎ ‎【解析】‎ ‎(1)先得到C1的一般方程,进而得到极坐标方程;(2)先联立求出交点坐标,进而求出极坐标.‎ ‎ ‎
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