2017高考海淀区高三一模文科数学试卷及答案

2017高考海淀区高三一模文科数学试卷及答案

海淀区高三年级第二学期期中练习 数学（文科）2017.4‎ 本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ ‎1.设集合，集合，则集合等于 A. B. C. D .‎ ‎2.圆心为且与直线相切的圆的方程为 A. B.‎ C. D .‎ ‎3.执行如右图所示的程序框图，输出的值为 A．B．‎ C． D．‎ ‎4.若实数满足，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长棱的长度为 A．B．‎ C． D．‎ ‎6.在中，点满足，则 A．点不在直线上B．点在的延长线上 C．点在线段上 D．点在的延长线上 ‎7.若函数的值域为，则实数的取值范围是 A. B. C. D.‎ ‎8.如图，在公路两侧分别有七个工厂，各工厂与公路（图中粗线）之间有小公路连接. 现在需要在公路上设置一个车站，选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”.则下面结论中正确的是 ①车站的位置设在点好于B点；‎ ②车站的位置设在点与C点之间任何一点效果一样；‎ ③车站位置的设置与各段小公路的长短无关. ‎ A. ① B.② C. ①③D.②③‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。‎ ‎9.已知复数为纯虚数，则实数___．‎ ‎10.已知等比数列中，，，则公比，其前项和___．‎ ‎11. 若抛物线的准线经过双曲线的左焦点，则实数___．‎ ‎12.若满足则的最大值是___．‎ ‎13.已知函数，若函数 的部分图象如图所示，则___,的最小值是．‎ ‎14.阅读下列材料，回答后面问题：‎ 在2014年12月30日CCTV13播出的“新闻直播间”节目中，主持人说：“……假如此次亚航失联航班QZ8501被证实失事的话，2014年航空事故死亡人数将达到1320人。尽管如此，航空安全专家还是提醒人们：飞机仍是相对安全的交通工具。①世界卫生组织去年公布的数据显示，每年大约有124万人死于车祸，而即使在航空事故死亡人数最多的一年，也就是1972年，其死亡数字也仅为3346人；②截至2014年9月，每百万架次中有2.1次（指飞机失事），乘坐汽车的百万人中其死亡人数在100人左右。”‎ 对上述航空专家给出的①、②两段描述（划线部分），你认为不能够支持“飞机仍是相对安全的交通工具”的所有描述的序号为______，你的理由是____.‎ 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。‎ ‎15.（本小题满分13分）‎ 已知等差数列满足.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和.‎ ‎16.（本小题满分13分）‎ 某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务.该地出现,两种“共享单车”(以下简称型车,型车).某学习小组7名同学调查了该地区共享单车的使用情况.‎ ‎（Ⅰ）某日该学习小组进行一次市场体验，其中4人租到型车，3人租到型车.如果从组内随机抽取2人，求抽取的2人中至少有一人在市场体验过程中租到型车的概率；‎ ‎（Ⅱ）根据已公布2016年全年市场调查报告，小组同学发现3月,4月的用户租车情况呈现下表使用规律.例如：第3个月租用a型车的人中，在第4个月有60%的人仍租用a型车.‎ 第3个月 第4个月 租用型车 租用型车 租用型车 ‎60%‎ ‎50%‎ 租用型车 ‎40%‎ ‎50%‎ 若认为2017年该地区租用单车情况与2016年大致相同.已知2017年3月该地区租用两种车型的用户比例为，根据表格提供的信息，估计2017年4月该地区租用两种车型的用户比例.‎ ‎17.（本小题满分13分）‎ 已知中，.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ） 若，求的值. ‎ ‎18.（本小题满分14分）‎ 已知四棱锥中，底面为正方形，，，分别是的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥的体积；‎ ‎（Ⅲ）求证：平面平面.‎ ‎19.（本小题满分14分）‎ 已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B，且，离心率为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设点, 若点P在直线上，直线与椭圆交于另一点判断是否存在点，使得四边形为梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.‎ ‎20.（本小题满分13分）‎ 已知函数,曲线在点处的切线与轴平行.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若，求函数的最小值；‎ ‎（Ⅲ）求证：存在当时，‎ 海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案 数学（文科） 2017.4 ‎ 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 A C C C B D A C 二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，‎ 共30分）‎ ‎9． 2‎ ‎ 10．2，15‎ ‎ 11. 4‎ ‎12. ‎ ‎ 13．2,‎ ‎14．选①，数据①虽是同类数据，但反映不出乘车出行和乘飞机出行的总人数的关系；‎ 选②，数据②两个数据不是同一类数据，这与每架次飞机的乘机人数有关 不选②，数据②两个数据虽表面不是同一类数据，但是可以做如下大致估算，考虑平均每架次飞机的乘机人数为x，这样每百万人乘机死亡人数2.1人，要远远少于乘车每百万人中死亡人数。‎ ‎{说明：只要对两个数据言之有理，就给5分。若是只对一个数据进行了合理说明，给3分。}‎ 三、解答题(本大题共6小题,共80分)‎ ‎15.解：‎ ‎(Ⅰ)设数列的公差为，‎ 因为，，所以，‎ 所以，.‎ 又，所以，‎ 所以.‎ ‎（Ⅱ）记 所以，‎ 又，‎ 所以是首项为，公差为的等差数列，‎ 其前项和 ‎.‎ ‎16.解：‎ ‎(Ⅰ)法1：依题意记租到a型车的4人为A1，A2，A3，A4；‎ 租到b型车的3人为B1，B2，B3；‎ 设事件A为“7人中抽到2人，至少有一人租到a型车”，‎ 则事件为“7人中抽到2人都租到b型车”.‎ 如表格所示：从7人中抽出2人共有21种情况，‎ 事件发生共有3种情况，‎ 所以事件A概率p(A)=P()=.‎ 法2：依题意记租到a型车的4人为A1，A2，A3，A4；‎ 租到b型车的3人为B1，B2，B3；‎ 设事件A为“7人中抽到2人，至少有一人租到a型车”，‎ 事件A包含两类情形：2人都租到a型车；一人租用a型车，一人租用b型车。两类情形共有18种情况.‎ 从7人中抽出2人共有21种情况，‎ 所以事件A发生的概率.‎ ‎(Ⅱ)依题意，市场4月份租用a型车的比例为50%60%+50%50%=55%，‎ 租用b型车的比例为50%40%+50%50%=45%，‎ 所以市场4月租用a,b型车的用户比例为.‎ ‎{说明：如果学生假设a型车和b型车的具体数值，然后计算数值再求比例，不扣分}‎ ‎17.解：‎ ‎(Ⅰ)因为，‎ 所以由正弦定理，‎ 得，‎ 得，‎ 所以. ‎ ‎（Ⅱ）法1：由余弦定理，,‎ 因为，‎ 所以, ‎ 所以，即，‎ 因为，所以，‎ ‎{或因为，所以}‎ 所以，所以.‎ 法2：由余弦定理，,‎ 因为，‎ 所以，‎ 所以.‎ 因为，所以，‎ 所以，所以.‎ 法3：因为，‎ 所以由余弦定理，,‎ 可得，即，‎ 又因为，所以计算可得，即，‎ 因为，所以，‎ 所以，‎ 所以.‎ 法4：因为，根据余弦定理，可得 ‎,‎ 又因为，所以计算可得，即，‎ 因为，所以，‎ 所以，‎ 所以.‎ ‎18.解：‎ ‎(Ⅰ)连接，与交于点，连接，‎ 在中，，分别是，中点，‎ 所以，‎ 又因为平面，---1分平面，‎ 所以平面.‎ ‎{说明：本题下面过程中的标灰部分不写不扣分}‎ ‎（Ⅱ）法1：因为平面，平面，‎ 所以，，‎ 又因为，，平面，‎ 所以平面，‎ 在直角中，，为中点，‎ 所以，‎ 所以三棱锥的体积为.‎ 法2：因为平面，所以为棱锥的高.‎ 因为，底面是正方形，‎ 所以，‎ 因为为中点，所以，‎ 所以.‎ ‎（Ⅲ）证明：‎ 因为平面，平面，‎ 所以，‎ 在等腰直角中，，‎ 又，平面，‎ 所以平面，‎ 又，‎ 所以平面，‎ 又平面，‎ 所以平面平面.‎ ‎19.解：‎ ‎ (Ⅰ)由得.‎ 又因为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以椭圆的方程为. ‎ ‎（Ⅱ）法1：假设存在点使得四边形为梯形.‎ 由题可知，显然不平行，所以与平行，.‎ 设点，，，,‎ 则①‎ 直线方程为，‎ 由点在直线上，则② -‎ ①②联立，，显然，可解得. ‎ 又由点在椭圆上，，所以，‎ 即，将其代入①，解得，‎ 所以.‎ 法2：假设存在点使得四边形为梯形.‎ 由题可知，显然不平行，所以与平行, .‎ 显然直线存在斜率且斜率不为，设，‎ 设直线方程为.‎ 由得，‎ 又因为，所以，‎ ‎，‎ 所以.‎ ‎，所以.‎ 所以，‎ 因为，所以，‎ 解得，‎ 所以.‎ 法3：假设存在点使得四边形为梯形.‎ 由题可知，显然不平行，所以与平行, ，‎ 显然直线斜率存在，设直线方程为.‎ 则，所以，所以，‎ 又因为，所以.‎ 所以直线方程为，，‎ 消，.‎ 又因为, 所以，即，‎ 所以.‎ 所以. ‎ 由可得，‎ 解得,‎ 所以，，‎ 法4：假设存在点使得四边形为梯形. ‎ 由题可知，显然不平行，所以与平行, ‎ 所以，所以. ‎ 设点，. ‎ 过点作于，则有，‎ 所以，‎ 所以，所以，‎ 代入椭圆方程，求得，‎ 所以. ‎ ‎20.解：‎ ‎（Ⅰ），‎ 由已知可得，‎ 所以,得.‎ ‎（Ⅱ），令，得，‎ 所以，，的变化情况如下表所示：‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以的最小值为.‎ ‎（Ⅲ）证明：显然且，‎ 由（Ⅱ）知，在上单调递减，在上单调递增. ‎ 又，，‎ 由零点存在定理，存在唯一实数，满足，‎ 即，，‎ 综上，存在两个零点，分别为0，.‎ 所以 时，，即，在上单调递增；‎ 时，，即，在上单调递减；‎ 时，，即，在上单调递增，‎ 所以是极大值，是极小值，‎ ‎，‎ 因为，‎ 所以，所以，‎ 因此时，.‎ 因为且在上单调递增，‎ 所以一定存在满足，‎ 所以存在，当时，.‎