高考物理主要模型
专题（一）：常见的物理模型
一、斜面问题；
在每年各地的高考卷中几乎都有关于斜面模型的试题．如2009年高考全国理综卷Ⅰ第25题、北京理综卷第18题、天津理综卷第1题、上海物理卷第22题等，2008年高考全国理综卷Ⅰ第14题、全国理综卷Ⅱ第16题、北京理综卷第20题、江苏物理卷第7题和第15题等．在前面的复习中，我们对这一模型的例举和训练也比较多，遇到这类问题时，以下结论可以帮助大家更好、更快地理清解题思路和选择解题方法．
1．自由释放的滑块能在斜面上(如图9－1 甲所示)匀速下滑时，m与M之间的动摩擦因数μ＝gtan θ．
图9－1甲
2．自由释放的滑块在斜面上(如图9－1 甲所示)：
(1)静止或匀速下滑时，斜面M对水平地面的静摩擦力为零；
(2)加速下滑时，斜面对水平地面的静摩擦力水平向右；
(3)减速下滑时，斜面对水平地面的静摩擦力水平向左．
3．自由释放的滑块在斜面上(如图9－1乙所示)匀速下滑时，M对水平地面的静摩擦力为零，这一过程中再在m上加上任何方向的作用力，(在m停止前)M对水平地面的静摩擦力依然为零(见一轮书中的方法概述)．
图9－1乙
4．悬挂有物体的小车在斜面上滑行(如图9－2所示)：
图9－2
(1)向下的加速度a＝gsin θ时，悬绳稳定时将垂直于斜面；
(2)向下的加速度a＞gsin θ时，悬绳稳定时将偏离垂直方向向上；
(3)向下的加速度a＜gsin θ时，悬绳将偏离垂直方向向下．
5．在倾角为θ的斜面上以速度v0平抛一小球(如图9－3所示)：
图9－3
(1)落到斜面上的时间t＝；
(2)落到斜面上时，速度的方向与水平方向的夹角α恒定，且tan α＝2tan θ，与初速度无关；
(3)经过tc＝ 小球距斜面最远，最大距离d＝．
6．如图9－4所示，当整体有向右的加速度a＝gtan θ时，m能在斜面上保持相对静止．
图9－4
7．在如图9－5所示的物理模型中，当回路的总电阻恒定、导轨光滑时，ab棒所能达到的稳定速度vm＝．
图9－5
8．如图9－6所示，当各接触面均光滑时，在小球从斜面顶端滑下的过程中，斜面后退的位移s＝ L．
图9－6
●例1 有一些问题你可能不会求解，但是你仍有可能对这些问题的解是否合理进行分析和判断．例如从解的物理量单位，解随某些已知量变化的趋势，解在一些特殊条件下的结果等方面进行分析，并与预期结果、实验结论等进行比较，从而判断解的合理性或正确性．
举例如下：如图9－7甲所示，质量为M、倾角为θ的滑块A放于水平地面上．把质量为m的滑块B放在A的斜面上．忽略一切摩擦，有人求得B相对地面的加速度a＝ gsin θ，式中g为重力加速度．
图9－7甲
对于上述解，某同学首先分析了等号右侧的量的单位，没发现问题．他进一步利用特殊条件对该解做了如下四项分析和判断，所得结论都是“解可能是对的”．但是，其中有一项是错误的，请你指出该项[2008年高考·北京理综卷]( )
A．当θ＝0°时，该解给出a＝0，这符合常识，说明该解可能是对的
B．当θ＝90°时，该解给出a＝g，这符合实验结论，说明该解可能是对的
C．当M≫m时，该解给出a≈gsin θ，这符合预期的结果，说明该解可能是对的
D．当m≫M时，该解给出a≈，这符合预期的结果，说明该解可能是对的
【解析】当A固定时，很容易得出a＝gsin θ；当A置于光滑的水平面时，B加速下滑的同时A向左加速运动，B不会沿斜面方向下滑，难以求出运动的加速度．
图9－7乙
设滑块A的底边长为L，当B滑下时A向左移动的距离为x，由动量守恒定律得：
M＝m
解得：x＝
当m≫M时，x≈L，即B水平方向的位移趋于零，B趋于自由落体运动且加速度a≈g．
选项D中，当m≫M时，a≈＞g显然不可能．
[答案] D
【点评】本例中，若m、M、θ、L有具体数值，可假设B下滑至底端时速度v1的水平、竖直分量分别为
v1x、v1y，则有：
＝＝
mv1x2＋mv1y2＋Mv22＝mgh
mv1x＝Mv2
解方程组即可得v1x、v1y、v1以及v1的方向和m下滑过程中相对地面的加速度．
●例2 在倾角为θ的光滑斜面上，存在着两个磁感应强度大小相同的匀强磁场，其方向一个垂直于斜面向上，一个垂直于斜面向下(如图9－8甲所示)，它们的宽度均为L．一个质量为m、边长也为L的正方形线框以速度v进入上部磁场时，恰好做匀速运动．
图9－8甲
(1)当ab边刚越过边界ff′时，线框的加速度为多大，方向如何？
(2)当ab边到达gg′与ff′的正中间位置时，线框又恰好做匀速运动，则线框从开始进入上部磁场到ab边到达gg′与ff′的正中间位置的过程中，线框中产生的焦耳热为多少？(线框的ab边在运动过程中始终与磁场边界平行，不计摩擦阻力)
【解析】(1)当线框的ab边从高处刚进入上部磁场(如图9－8 乙中的位置①所示)时，线框恰好做匀速运动，则有：
mgsin θ＝BI1L
此时I1＝
当线框的ab边刚好越过边界ff′(如图9－8乙中的位置②所示)时，由于线框从位置①到位置②始终做匀速运动，此时将ab边与cd边切割磁感线所产生的感应电动势同向叠加，回路中电流的大小等于2I1．故线框的加速度大小为：
图9－8乙
a＝＝3gsin θ，方向沿斜面向上．
(2)而当线框的ab边到达gg′与ff′的正中间位置(如图9－8 乙中的位置③所示)时，线框又恰好做匀速运动，说明mgsin θ＝4BI2L
故I2＝I1
由I1＝可知，此时v′＝v
从位置①到位置③，线框的重力势能减少了mgLsin θ
动能减少了mv2－m()2＝mv2
由于线框减少的机械能全部经电能转化为焦耳热，因此有：
Q＝mgLsin θ＋mv2．
[答案] (1)3gsin θ，方向沿斜面向上
(2)mgLsin θ＋mv2
【点评】导线在恒力作用下做切割磁感线运动是高中物理中一类常见题型，需要熟练掌握各种情况下求平衡速度的方法．
二、连接体模型 （板块模型）；
二、连接体问题(整体法与隔离法)
高考卷中常出现涉及两个研究对象的动力学问题，其中又包含两种情况：一是两对象的速度相同需分析它们之间的相互作用，二是两对象的加速度不同需分析各自的运动或受力．隔离(或与整体法相结合)的思想方法是处理这类问题的重要手段．
1．整体法是指当连接体内(即系统内)各物体具有相同的加速度时，可以把连接体内所有物体组成的系统作为整体考虑，分析其受力情况，运用牛顿第二定律对整体列方程求解的方法．
2．隔离法是指当研究对象涉及由多个物体组成的系统时，若要求连接体内物体间的相互作用力，则应把某个物体或某几个物体从系统中隔离出来，分析其受力情况及运动情况，再利用牛顿第二定律对隔离出来的物体列式求解的方法．
3．当连接体中各物体运动的加速度相同或要求合外力时，优先考虑整体法；当连接体中各物体运动的加速度不相同或要求物体间的作用力时，优先考虑隔离法．有时一个问题要两种方法结合起来使用才能解决．
●例7 如图1－16所示，在光滑的水平地面上有两个质量相等的物体，中间用劲度系数为k的轻质弹簧相连，在外力F1、F2的作用下运动．已知F1＞F2，当运动达到稳定时，弹簧的伸长量为( )
图1－16
A． B．
C． D．
【解析】取A、B及弹簧整体为研究对象，由牛顿第二定律得：F1－F2＝2ma
取B为研究对象：kx－F2＝ma
(或取A为研究对象：F1－kx＝ma)
可解得：x＝．
[答案] C
【点评】①解析中的三个方程任取两个求解都可以．
②当地面粗糙时，只要两物体与地面的动摩擦因数相同，则A、B之间的拉力与地面光滑时相同．
★同类拓展3 如图1－17所示，质量为m的小物块A放在质量为M的木板B的左端，B在水平拉力的作用下沿水平地面匀速向右滑动，且A、B相对静止．某时刻撤去水平拉力，经过一段时间，B在地面上滑行了一段距离x，A在B上相对于B向右滑行了一段距离L(设木板B足够长)后A和B都停了下来．已知A、B间的动摩擦因数为μ1，B与地面间的动摩擦因数为μ2，且μ2＞μ1，则x的表达式应为( )
图1－17
A．x＝L B．x＝
C．x＝ D．x＝
【解析】设A、B相对静止一起向右匀速运动时的速度为v，撤去外力后至停止的过程中，A受到的滑动摩擦力为：
f1＝μ1mg
其加速度大小a1＝＝μ1g
B做减速运动的加速度大小a2＝
由于μ2＞μ1，所以a2＞μ2g＞μ1g＝a1
即木板B先停止后，A在木板上继续做匀减速运动，且其加速度大小不变
对A应用动能定理得：－f1(L＋x)＝0－mv2
对B应用动能定理得：
μ1mgx－μ2(m＋M)gx＝0－Mv2
解得：x＝．
[答案] C
【点评】①虽然使A产生加速度的力由B施加，但产生的加速度a1＝μ1g是取大地为参照系的．加速度是相对速度而言的，所以加速度一定和速度取相同的参照系，与施力物体的速度无关．
②动能定理可由牛顿第二定律推导，特别对于匀变速直线运动，两表达式很容易相互转换．
三、临界问题
●例8 如图1－18甲所示，滑块A置于光滑的水平面上，一细线的一端固定于倾角为45°、质量为M的光滑楔形滑块A的顶端P处，细线另一端拴一质量为m的小球B．现对滑块施加一水平方向的恒力F，要使小球B能相对斜面静止，恒力F应满足什么条件？
图1－18甲
【解析】
先考虑恒力背离斜面方向(水平向左)的情况：设恒力大小为F1时，B还在斜面上且对斜面的压力为零，此时A、B有共同加速度a1，B的受力情况如图1－18乙所示，有：
图1－18乙
Tsin θ＝mg，Tcos θ＝ma1
解得：a1＝gcot θ
即F1＝(M＋m)a1＝(M＋m)gcot θ
由此可知，当水平向左的力大于(M＋m)gcot θ时，小球B将离开斜面，对于水平恒力向斜面一侧方向(水平向右)的情况：设恒力大小为F2时，B相对斜面静止时对悬绳的拉力恰好为零，此时A、B的共同加速度为a2，B的受力情况如图1－18丙所示，有：
图1－18丙
FNcos θ＝mg，FNsin θ＝ma2
解得：a2＝gtan θ
即F2＝(M＋m)a2＝(M＋m)gtan θ
由此可知，当水平向右的力大于(M＋m)gtan θ，B将沿斜面上滑，综上可知，当作用在A上的恒力F向左小于(M＋m)gcot θ，或向右小于(M＋m)gtan θ时，B能静止在斜面上．
[答案] 向左小于(M＋m)gcot θ或向右小于(M＋m)gtan θ
【点评】斜面上的物体、被细绳悬挂的物体这两类物理模型是高中物理中重要的物理模型，也是高考常出现的重要物理情境．
四、超重与失重问题
1．超重与失重只是物体在竖直方向上具有加速度时所受支持力不等于重力的情形．
2．要注意飞行器绕地球做圆周运动时在竖直方向上具有向心加速度，处于失重状态．
●例9 为了测量某住宅大楼每层的平均高度(层高)及电梯的运行情况，甲、乙两位同学在一楼电梯内用电子体重计及秒表进行了以下实验：质量m＝50 kg的甲同学站在体重计上，乙同学记录电梯从地面一楼到顶层的过程中，体重计的示数随时间变化的情况，并作出了如图1－19甲所示的图象．已知t＝0时，电梯静止不动，从电梯内楼层按钮上获知该大楼共19层．求：
(1)电梯启动和制动时的加速度大小．
(2)该大楼的层高．
图1－19甲
【解析】(1)对于启动状态有：F1－mg＝ma1
得：a1＝2 m/s2
对于制动状态有：mg－F3＝ma2
得：a2＝2 m/s2．
(2)电梯匀速运动的速度v＝a1t1＝2×1 m/s＝2 m/s
从图中读得电梯匀速上升的时间t2＝26 s
电梯运行的总时间t＝28 s
电梯运行的v－t图象如图1－19乙所示，
图1－19乙
所以总位移s＝v (t2＋t)＝×2×(26＋28) m＝54 m
层高h＝＝＝3 m．
[答案] (1)2 m/s2 2 m/s2 (2)3 m
连接体模型在历年的高考中频繁出现，一般需求解它们之间的摩擦力、相对滑动路程、摩擦生热、多次作用后的速度变化等，另外广义的连接体模型可以有许多变化，涉及的问题更多．如2009年高考天津理综卷第10题、宁夏理综卷第20题、山东理综卷第24题，2008年高考全国理综卷 Ⅰ 的第15题、北京理综卷第24题、江苏物理卷第6题、四川延考区理综卷第25题等．
连接体模型有较多的变化，解题时往往需要进行综合分析(前面相关例题、练习较多)，下列两个典型的情境和结论需要熟记和灵活运用．
1．叠放的长方体物块A、B在光滑的水平面上匀速运动或在光滑的斜面上自由释放后变速运动的过程中(如图9－9所示)，A、B之间无摩擦力作用．
图9－9
2．如图9－10所示，一对滑动摩擦力做的总功一定为负值，其绝对值等于摩擦力乘以相对滑动的总路程或等于摩擦产生的热量，与单个物体的位移无关，即Q摩＝f·s相．
图9－10
●例3 质量为M的均匀木块静止在光滑的水平面上，木块左右两侧各有一位拿着完全相同的步枪和子弹的射击手．首先左侧的射击手开枪，子弹水平射入木块的最大深度为d1，然后右侧的射击手开枪，子弹水平射入木块的最大深度为d2，如图9－11所示．设子弹均未射穿木块，且两子弹与木块之间的作用力大小均相同．当两颗子弹均相对木块静止时，下列说法正确的是(注：属于选修3－5模块)( )
图9－11
A．最终木块静止，d1＝d2
B．最终木块向右运动，d1
d2
【解析】木块和射出后的左右两子弹组成的系统水平方向不受外力作用，设子弹的质量为m，由动量守恒定律得：
mv0－mv0＝(M＋2m)v
解得：v＝0，即最终木块静止
设左侧子弹射入木块后的共同速度为v1，有：
mv0＝(m＋M)v1
Q1＝f·d1＝mv02－(m＋M)v12
解得：d1＝
对右侧子弹射入的过程，由功能原理得：
Q2＝f·d2＝mv02＋(m＋M)v12－0
解得：d2＝
即d1＜d2．
[答案] C
【点评】摩擦生热公式可称之为“功能关系”或“功能原理”的公式，但不能称之为“动能定理”的公式，它是由动能定理的关系式推导得出的二级结论．
三、含弹簧的物理模型；
三、含弹簧的物理模型
纵观历年的高考试题，和弹簧有关的物理试题占有相当大的比重．高考命题者常以弹簧为载体设计出各类试题，这类试题涉及静力学问题、动力学问题、动量守恒和能量守恒问题、振动问题、功能问题等，几乎贯穿了整个力学的知识体系．为了帮助同学们掌握这类试题的分析方法，现将有关弹簧问题分类进行剖析．
对于弹簧，从受力角度看，弹簧上的弹力是变力；从能量角度看，弹簧是个储能元件．因此，弹簧问题能很好地考查学生的综合分析能力，故备受高考命题老师的青睐．如2009年高考福建理综卷第21题、山东理综卷第22题、重庆理综卷第24题，2008年高考北京理综卷第22题、山东理综卷第16题和第22题、四川延考区理综卷第14题等．题目类型有：静力学中的弹簧问题，动力学中的弹簧问题，与动量和能量有关的弹簧问题．
1．静力学中的弹簧问题
(1)胡克定律：F＝kx，ΔF＝k·Δx．
(2)对弹簧秤的两端施加(沿轴线方向)大小不同的拉力，弹簧秤的示数一定等于挂钩上的拉力．
●例4 如图9－12甲所示，两木块A、B的质量分别为m1和m2，两轻质弹簧的劲度系数分别为k1和k2，两弹簧分别连接A、B，整个系统处于平衡状态．现缓慢向上提木块A，直到下面的弹簧对地面的压力恰好为零，在此过程中A和B的重力势能共增加了( )
图9－12甲
A．
B．
C．(m1＋m2)2g2()
D．＋
【解析】取A、B以及它们之间的弹簧组成的整体为研究对象，则当下面的弹簧对地面的压力为零时，向上提A的力F恰好为：
F＝(m1＋m2)g
设这一过程中上面和下面的弹簧分别伸长x1、x2，如图9－12乙所示，由胡克定律得：
图9－12乙
x1＝，x2＝
故A、B增加的重力势能共为：
ΔEp＝m1g(x1＋x2)＋m2gx2
＝＋．
[答案] D
【点评】①计算上面弹簧的伸长量时，较多同学会先计算原来的压缩量，然后计算后来的伸长量，再将两者相加，但不如上面解析中直接运用Δx＝进行计算更快捷方便．
②通过比较可知，重力势能的增加并不等于向上提的力所做的功W＝·x总＝＋．
2．动力学中的弹簧问题
(1)瞬时加速度问题(与轻绳、轻杆不同)：一端固定、另一端接有物体的弹簧，形变不会发生突变，弹力也不会发生突变．
(2)如图9－13所示，将A、B下压后撤去外力，弹簧在恢复原长时刻B与A开始分离．
图9－13
●例5 一弹簧秤秤盘的质量m1＝1.5 kg，盘内放一质量m2＝10.5 kg的物体P，弹簧的质量不计，其劲度系数k＝800 N/m，整个系统处于静止状态，如图9－14 所示．
图9－14
现给P施加一个竖直向上的力F，使P从静止开始向上做匀加速直线运动，已知在最初0.2 s内F是变化的，在0.2 s后是恒定的，求F的最大值和最小值．(取g＝10 m/s2)
【解析】初始时刻弹簧的压缩量为：
x0＝＝0.15 m
设秤盘上升高度x时P与秤盘分离，分离时刻有：
＝a
又由题意知，对于0～0.2 s时间内P的运动有：
at2＝x
解得：x＝0.12 m，a＝6 m/s2
故在平衡位置处，拉力有最小值Fmin＝(m1＋m2)a＝72 N
分离时刻拉力达到最大值Fmax＝m2g＋m2a＝168 N．
[答案] 72 N 168 N
【点评】对于本例所述的物理过程，要特别注意的是：分离时刻m1与m2之间的弹力恰好减为零，下一时刻弹簧的弹力与秤盘的重力使秤盘产生的加速度将小于a，故秤盘与重物分离．
3．与动量、能量相关的弹簧问题
与动量、能量相关的弹簧问题在高考试题中出现频繁，而且常以计算题出现，在解析过程中以下两点结论的应用非常重要：
(1)弹簧压缩和伸长的形变相同时，弹簧的弹性势能相等；
(2)弹簧连接两个物体做变速运动时，弹簧处于原长时两物体的相对速度最大，弹簧的形变最大时两物体的速度相等．
●例6 如图9－15所示，用轻弹簧将质量均为m＝1 kg的物块A和B连接起来，将它们固定在空中，弹簧处于原长状态，A距地面的高度h1＝0.90 m．同时释放两物块，A与地面碰撞后速度立即变为零，由于B压缩弹簧后被反弹，使A刚好能离开地面(但不继续上升)．若将B物块换为质量为2m的物块C(图中未画出)，仍将它与A固定在空中且弹簧处于原长，从A距地面的高度为h2处同时释放，C压缩弹簧被反弹后，A也刚好能离开地面．已知弹簧的劲度系数k＝100 N/m，求h2的大小．
图9－15
【解析】设A物块落地时，B物块的速度为v1，则有：
mv12＝mgh1
设A刚好离地时，弹簧的形变量为x，对A物块有：
mg＝kx
从A落地后到A刚好离开地面的过程中，对于A、B及弹簧组成的系统机械能守恒，则有：
mv12＝mgx＋ΔEp
换成C后，设A落地时，C的速度为v2，则有：
·2mv22＝2mgh2
从A落地后到A刚好离开地面的过程中，A、C及弹簧组成的系统机械能守恒，则有：
·2mv22＝2mgx＋ΔEp
联立解得：h2＝0.5 m．
[答案] 0.5 m
【点评】由于高中物理对弹性势能的表达式不作要求，所以在高考中几次考查弹簧问题时都要用到上述结论“①”．如2005年高考全国理综卷Ⅰ第25题、1997年高考全国卷第25题等．
●例7 用轻弹簧相连的质量均为2 kg 的A、B两物块都以v＝6 m/s的速度在光滑的水平地面上运动，弹簧处于原长，质量为4 kg的物块C静止在前方，如图9－16 甲所示．B与C碰撞后二者粘在一起运动，则在以后的运动中：
图9－16甲
(1)当弹簧的弹性势能最大时，物体A的速度为多大？
(2)弹簧弹性势能的最大值是多少？
(3)A的速度方向有可能向左吗？为什么？
【解析】(1)当A、B、C三者的速度相等(设为vA′)时弹簧的弹性势能最大，由于A、B、C三者组成的系统动量守恒，则有：
(mA＋mB)v＝(mA＋mB＋mC)vA′
解得：vA′＝ m/s＝3 m/s．
(2)B、C发生碰撞时，B、C组成的系统动量守恒，设碰后瞬间B、C两者的速度为v′，则有：
mBv＝(mB＋mC)v′
解得：v′＝＝2 m/s
A的速度为vA′时弹簧的弹性势能最大，设其值为Ep，根据能量守恒定律得：
Ep＝(mB＋mC)v′2＋mAv2－(mA＋mB＋mC)vA′2
＝12 J．
(3)方法一 A不可能向左运动．
根据系统动量守恒有：(mA＋mB)v＝mAvA＋(mB＋mC)vB
设A向左，则vA＜0，vB＞4 m/s
则B、C发生碰撞后，A、B、C三者的动能之和为：
E′＝mAv＋(mB＋mC)v＞(mB＋mC)v＝48 J
实际上系统的机械能为：
E＝Ep＋(mA＋mB＋mC)vA′2＝12 J＋36 J＝48 J
根据能量守恒定律可知，E′＞E是不可能的，所以A不可能向左运动．
方法二 B、C碰撞后系统的运动可以看做整体向右匀速运动与A、B和C相对振动的合成(即相当于在匀速运动的车厢中两物块相对振动)
由(1)知整体匀速运动的速度v0＝vA′＝3 m/s
图9－16乙
取以v0＝3 m/s匀速运动的物体为参考系，可知弹簧处于原长时，A、B和C相对振动的速率最大，分别为：
vAO＝v－v0＝3 m/s
vBO＝|v′－v0|＝1 m/s
由此可画出A、B、C的速度随时间变化的图象如图9－16乙所示，故A不可能有向左运动的时刻．
[答案] (1)3 m/s (2)12 J (3)不可能，理由略
【点评】①要清晰地想象、理解研究对象的运动过程：相当于在以3 m/s匀速行驶的车厢内，A、B和C做相对弹簧上某点的简谐振动，振动的最大速率分别为3 m/s、1 m/s．
②当弹簧由压缩恢复至原长时，A最有可能向左运动，但此时A的速度为零．
●例8 探究某种笔的弹跳问题时，把笔分为轻质弹簧、内芯和外壳三部分，其中内芯和外壳质量分别为m和4m．笔的弹跳过程分为三个阶段：
图9－17
①把笔竖直倒立于水平硬桌面，下压外壳使其下端接触桌面(如图9－17甲所示)；
②由静止释放，外壳竖直上升到下端距桌面高度为h1时，与静止的内芯碰撞(如图9－17乙所示)；
③碰后，内芯与外壳以共同的速度一起上升到外壳下端距桌面最大高度为h2处(如图9－17丙所示)．
设内芯与外壳的撞击力远大于笔所受重力，不计摩擦与空气阻力，重力加速度为g．求：
(1)外壳与内芯碰撞后瞬间的共同速度大小．
(2)从外壳离开桌面到碰撞前瞬间，弹簧做的功．
(3)从外壳下端离开桌面到上升至h2处，笔损失的机械能．
[2009年高考·重庆理综卷]
【解析】设外壳上升到h1时速度的大小为v1，外壳与内芯碰撞后瞬间的共同速度大小为v2．
(1)对外壳和内芯，从撞后达到共同速度到上升至h2处，由动能定理得：
(4m＋m)g(h2－h1)＝(4m＋m)v－0
解得：v2＝．
(2)外壳与内芯在碰撞过程中动量守恒，即：
4mv1＝(4m＋m)v2
将v2代入得：v1＝
设弹簧做的功为W，对外壳应用动能定理有：
W－4mgh1＝×4mv
将v1代入得：W＝mg(25h2－9h1)．
(3)由于外壳和内芯达到共同速度后上升至高度h2的过程中机械能守恒，只有在外壳和内芯的碰撞中有能量损失，损失的能量E损＝×4mv－(4m＋m)v
将v1、v2代入得：E损＝mg(h2－h1)．
[答案] (1) (2)mg(25h2－9h1)
(3)mg(h2－h1)
由以上例题可以看出，弹簧类试题的确是培养和训练学生的物理思维、反映和开发学生的学习潜能的优秀试题．弹簧与相连物体构成的系统所表现出来的运动状态的变化，为学生充分运用物理概念和规律(牛顿第二定律、动能定理、机械能守恒定律、动量定理、动量守恒定律)巧妙解决物理问题、施展自身才华提供了广阔空间，当然也是区分学生能力强弱、拉大差距、选拔人才的一种常规题型．因此，弹簧试题也就成为高考物理题中的一类重要的、独具特色的考题．
四、传送带问题 ）
四、传送带问题
从1990年以后出版的各种版本的高中物理教科书中均有皮带传输机的插图．皮带传送类问题在现代生产生活中的应用非常广泛．这类问题中物体所受的摩擦力的大小和方向、运动性质都具有变化性，涉及力、相对运动、能量转化等各方面的知识，能较好地考查学生分析物理过程及应用物理规律解答物理问题的能力．如2003年高考全国理综卷第34题、2005年高考全国理综卷Ⅰ第24题等．
对于滑块静止放在匀速传动的传送带上的模型，以下结论要清楚地理解并熟记：
(1)滑块加速过程的位移等于滑块与传送带相对滑动的距离；
(2)对于水平传送带，滑块加速过程中传送带对其做的功等于这一过程由摩擦产生的热量，即传送装置在这一过程需额外(相对空载)做的功W＝mv2＝2Ek＝2Q摩．
●例9 如图9－18甲所示，物块从光滑曲面上的P点自由滑下，通过粗糙的静止水平传送带后落到地面上的Q点．若传送带的皮带轮沿逆时针方向匀速运动(使传送带随之运动)，物块仍从P点自由滑下，则( )
图9－18甲
A．物块有可能不落到地面上
B．物块仍将落在Q点
C．物块将会落在Q点的左边
D．物块将会落在Q点的右边
【解析】如图9－18乙所示，设物块滑上水平传送带上的初速度为v0，物块与皮带之间的动摩擦因数为μ，则：
图9－18乙
物块在皮带上做匀减速运动的加速度大小a＝＝μg
物块滑至传送带右端的速度为：
v＝
物块滑至传送带右端这一过程的时间可由方程s＝v0t－μgt2解得．
当皮带向左匀速传送时，滑块在皮带上的摩擦力也为：
f＝μmg
物块在皮带上做匀减速运动的加速度大小为：
a1′＝＝μg
则物块滑至传送带右端的速度v′＝＝v
物块滑至传送带右端这一过程的时间同样可由方程s＝v0t－μgt2 解得．
由以上分析可知物块仍将落在Q点，选项B正确．
[答案] B
【点评】对于本例应深刻理解好以下两点：
①滑动摩擦力f＝μFN，与相对滑动的速度或接触面积均无关；
②两次滑行的初速度(都以地面为参考系)相等，加速度相等，故运动过程完全相同．
我们延伸开来思考，物块在皮带上的运动可理解为初速度为v0的物块受到反方向的大小为μmg的力F的作用，与该力的施力物体做什么运动没有关系．
●例10 如图9－19所示，足够长的水平传送带始终以v＝3 m/s的速度向左运动，传送带上有一质量M＝2 kg 的小木盒A，A与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.3．开始时，A与传送带之间保持相对静止．现有两个光滑的质量均为m＝1 kg 的小球先后相隔Δt＝3 s自传送带的左端出发，以v0＝15 m/s的速度在传送带上向右运动．第1个球与木盒相遇后立即进入盒中并与盒保持相对静止；第2个球出发后历时Δt1＝ s才与木盒相遇．取g＝10 m/s2，问：
图9－19
(1)第1个球与木盒相遇后瞬间，两者共同运动的速度为多大？
(2)第1个球出发后经过多长时间与木盒相遇？
(3)在木盒与第1个球相遇至与第2个球相遇的过程中，由于木盒与传送带间的摩擦而产生的热量是多少？
【解析】(1)设第1个球与木盒相遇后瞬间，两者共同运动的速度为v1，根据动量守恒定律得：
mv0－Mv＝(m＋M)v1
解得：v1＝3 m/s，方向向右．
(2)设第1个球与木盒的相遇点离传送带左端的距离为s，第1个球经过时间t0与木盒相遇，则有：
t0＝
设第1个球进入木盒后两者共同运动的加速度大小为a，根据牛顿第二定律得：
μ(m＋M)g＝(m＋M)a
解得：a＝μg＝3 m/s2，方向向左
设木盒减速运动的时间为t1，加速到与传送带具有相同的速度的时间为t2，则：
t1＝t2＝＝1 s
故木盒在2 s内的位移为零
依题意可知：s＝v0Δt1＋v(Δt＋Δt1－t1－t2－t0)
解得：s＝7.5 m，t0＝0.5 s．
(3)在木盒与第1个球相遇至与第2个球相遇的这一过程中，设传送带的位移为s′，木盒的位移为s1，则：
s′＝v(Δt＋Δt1－t0)＝8.5 m
s1＝v(Δt＋Δt1－t1－t2－t0)＝2.5 m
故木盒相对于传送带的位移为：Δs＝s′－s1＝6 m
则木盒与传送带间因摩擦而产生的热量为：
Q＝fΔs＝54 J．
[答案] (1)3 m/s (2)0.5 s (3)54 J
【点评】本题解析的关键在于：①对物理过程理解清楚；②求相对路程的方法．
(一)直线运动
高考中对直线运动规律的考查一般以图象的应用或追及问题出现．这类题目侧重于考查学生应用数学知识处理物理问题的能力．对于追及问题，存在的困难在于选用哪些公式来列方程，作图求解，而熟记和运用好直线运动的重要推论往往是解决问题的捷径．
●例1 如图1－5甲所示，A、B两辆汽车在笔直的公路上同向行驶．当B车在A车前s＝84 m处时，B车的速度vB＝4 m/s，且正以a＝2 m/s2的加速度做匀加速运动；经过一段时间后，B车的加速度突然变为零．A车一直以vA＝20 m/s的速度做匀速运动，从最初相距84 m时开始计时，经过t0＝12 s后两车相遇．问B车加速行驶的时间是多少？
图1－5甲
【解析】设B车加速行驶的时间为t，相遇时A车的位移为：sA＝vAt0
B车加速阶段的位移为：
sB1＝vBt＋at2
匀速阶段的速度v＝vB＋at，匀速阶段的位移为：
sB2＝v(t0－t)
相遇时，依题意有：
sA＝sB1＋sB2＋s
联立以上各式得：t2－2t0t－＝0
将题中数据vA＝20 m/s，vB＝4 m/s，a＝2 m/s2，t0＝12 s，代入上式有：t2－24t＋108＝0
解得：t1＝6 s，t2＝18 s(不合题意，舍去)
因此，B车加速行驶的时间为6 s．
[答案] 6 s
【点评】①出现不符合实际的解(t2＝18 s)的原因是方程“sB2＝v(t0－t)”并不完全描述B车的位移，还需加一定义域t≤12 s．
②解析后可以作出vA－t、vB－t 图象加以验证．
图1－5乙
根据v－t图象与t围成的面积等于位移可得，t＝12 s时，Δs＝[×(16＋4)×6＋4×6] m＝84 m．
(二)平抛运动
平抛运动在高考试题中出现的几率相当高，或出现于力学综合题中，如2008年北京、山东理综卷第24题；或出现于带电粒子在匀强电场中的偏转一类问题中，如2008年宁夏理综卷第24题、天津理综卷第23题；或出现于此知识点的单独命题中，如2009年高考福建理综卷第20题、广东物理卷第17(1)题、2008年全国理综卷Ⅰ第14题．对于这一知识点的复习，除了要熟记两垂直方向上的分速度、分位移公式外，还要特别理解和运用好速度偏转角公式、位移偏转角公式以及两偏转角的关系式(即tan θ＝2tan α)．
●例2 图1－6甲所示，m为在水平传送带上被传送的小物体(可视为质点)，A为终端皮带轮．已知皮带轮的半径为r，传送带与皮带轮间不会打滑．当m可被水平抛出时，A轮每秒的转数最少为( )
图1－6甲
A． B．
C． D．
【解析】解法一 m到达皮带轮的顶端时，若m≥mg，表示m受到的重力小于(或等于)m沿皮带轮表面做圆周运动的向心力，m将离开皮带轮的外表面而做平抛运动
又因为转数n＝＝
所以当v≥，即转数n≥时，m可被水平抛出，故选项A正确．
解法二 建立如图1－6乙所示的直角坐标系．当m到达皮带轮的顶端有一速度时，若没有皮带轮在下面，m将做平抛运动，根据速度的大小可以作出平抛运动的轨迹．若轨迹在皮带轮的下方，说明m将被皮带轮挡住，先沿皮带轮下滑；若轨迹在皮带轮的上方，说明m立即离开皮带轮做平抛运动．
图1－6乙
又因为皮带轮圆弧在坐标系中的函数为：当y2＋x2＝r2
初速度为v的平抛运动在坐标系中的函数为：
y＝r－g()2
平抛运动的轨迹在皮带轮上方的条件为：当x>0时，平抛运动的轨迹上各点与O点间的距离大于r，即>r
即>r
解得：v≥
又因皮带轮的转速n与v的关系为：n＝
可得：当n≥时，m可被水平抛出．
[答案] A
【点评】“解法一”应用动力学的方法分析求解；“解法二”应用运动学的方法(数学方法)求解，由于加速度的定义式为a＝，而决定式为a＝，故这两种方法殊途同归．
★同类拓展1 高台滑雪以其惊险刺激而闻名，运动员在空中的飞跃姿势具有很强的观赏性．某滑雪轨道的完整结构可以简化成如图1－7所示的示意图．其中AB段是助滑雪道，倾角α＝30°，BC段是水平起跳台，CD段是着陆雪道，AB段与BC段圆滑相连，DE段是一小段圆弧(其长度可忽略)，在D、E两点分别与CD、EF相切，EF是减速雪道，倾角θ＝37°．轨道各部分与滑雪板间的动摩擦因数均为μ＝0.25，图中轨道最高点A处的起滑台距起跳台BC的竖直高度h＝10 m．A点与C点的水平距离L1＝20 m，C点与D点的距离为32.625 m．运动员连同滑雪板的总质量m＝60 kg．滑雪运动员从A点由静止开始起滑，通过起跳台从C点水平飞出，在落到着陆雪道上时，运动员靠改变姿势进行缓冲使自己只保留沿着陆雪道的分速度而不弹起．除缓冲外运动员均可视为质点，设运动员在全过程中不使用雪杖助滑，忽略空气阻力的影响，取重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8．求：
图1－7
(1)运动员在C点水平飞出时的速度大小．
(2)运动员在着陆雪道CD上的着陆位置与C点的距离．
(3)运动员滑过D点时的速度大小．
【解析】(1)滑雪运动员从A到C的过程中，由动能定理得：mgh－μmgcos α－μmg(L1－hcot α)＝mv
解得：vC＝10 m/s．
(2)滑雪运动员从C点水平飞出到落到着陆雪道的过程中做平抛运动，有：
x＝vCt
y＝gt2
＝tan θ
着陆位置与C点的距离s＝
解得：s＝18.75 m，t＝1.5 s．
(3)着陆位置到D点的距离s′＝13.875 m，滑雪运动员在着陆雪道上做匀加速直线运动．把平抛运动沿雪道和垂直雪道分解，可得着落后的初速度v0＝vCcos θ＋gtsin θ
加速度为：mgsin θ－μmgcos θ＝ma
运动到D点的速度为：v＝v＋2as′
解得：vD＝20 m/s．
[答案] (1)10 m/s (2)18.75 m (3)20 m/s
互动辨析 在斜面上的平抛问题较为常见，“位移与水平面的夹角等于倾角”为着落条件．同学们还要能总结出距斜面最远的时刻以及这一距离．
第3专题 圆周运动、航天与星体问题
知识网络
考点预测
本专题包含两类问题或者说两大题型，无论是星体问题还是其他圆周运动的问题，往往都要运用牛顿运动定律和功能关系进行求解，但由于在高考中地位重要，因`而单独作为一个专题进行总结、分类和强化训练．
航天与星体问题是近几年各地高考卷中的必考题型．由于对这个小模块每年都考，各类题型都有，考得很细，所以历年高考试题往往与近期天文的新发现或航天的新成就、新事件结合，我们在平时学习的过程中应多思考这类天文新发现和航天新事件中可能用于命题的要素．
在高考卷中，关于航天及星体问题的大部分试题的解题思路明确，即向心力由万有引力提供，设问的难度不大，但也可能出现设问新颖、综合性强、难度大的试题．如2008年高考全国理综卷Ⅱ中第25题，2009年高考全国理综卷Ⅱ第26题．
要点归纳
一、圆周运动
1．描述匀速圆周运动的相关物理量及其关系
(1)物理量：线速度v、角速度ω、周期T、频率f、转速n、向心加速度a等等．
(2)关系：v＝＝ωr＝2πrf，a＝＝ω2r＝r＝4π2f2r．
2．匀速圆周运动的向心力
(1)向心力的来源：向心力是由效果命名的力，它可以由重力、弹力、摩擦力等力来充当，也可以是由这些力的合力或它们的分力来提供，即任何力都可能提供向心力，向心力的作用是只改变线速度的方向，不改变线速度的大小．
(2)大小：F向＝ma＝m＝mω2r＝mr
＝4mπ2f2r (牛顿第二定律)
3．圆周运动的临界问题
分析圆周运动的临界问题时，一般应从与研究对象相联系的物体(如：绳、杆、轨道等)的力学特征着手．
(1)如图3－1所示，绳系小球在竖直平面内做圆周运动及小球沿竖直圆轨道的内侧面做圆周运动过最高点的临界问题(小球只受重力、绳或轨道的弹力)．
图3－1
由于小球运动到圆轨迹的最高点时，绳或轨道对小球的作用力只能向下，作用力最小为零，所以小球做完整的圆周运动在最高点应有一最小速度vmin．当小球刚好能通过最高点时，有：
mg＝m
解得：vmin＝．
又由机械能守恒定律有：mv下2＝mv上2＋mg·2R，可得v下≥
所以，小球要能通过最高点，它在最高点时的速度v需要满足的条件是v≥．当v＞ 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力．
(2)如图3－2所示，轻质杆一端的小球绕杆的另一端做圆周运动及小球在竖直放置的圆环内做圆周运动过最高点的临界问题．
图3－2
分析小球在最高点的受力情况：小球受重力mg、杆或轨道对小球的力F．
小球在最高点的动力学方程为：
mg＋F＝m．
由于小球运动到圆轨迹的最高点时，杆或轨道对小球的作用力可以向下，可以向上，也可以为零；以向下的方向为正方向，设小球在最高点时杆或轨道对它的作用力大小为F，方向向上，速度大小为v，则有：
mg－F＝m
当v＝0时，F＝mg，方向向上；
当0＜v＜ 时，F随v的增大而减小，方向向上；
当v＝ 时，F＝0；
当v＞ 时，F为负值，表示方向向下，且F随v的增大而增大．
4．弯道问题
(1)火车的弯道、公路的弯道都向内侧倾斜，若弯道半径为r，车辆通过速度为v0，则弯道的倾角应为：
θ＝．
(2)飞机、鸟在空中盘旋时受力与火车以“v0”过弯道相同，故机翼、翅膀的倾角θ＝arctan．
图3－3
(3)骑自行车在水平路面上转弯时，向心力由静摩擦力提供，但车身的倾斜角仍为θ＝arctan．
二、航天与星体问题
1．天体运动的两个基本规律
(1)万有引力提供向心力
行星卫星模型：F＝G＝m＝mrω2＝mr
双星模型：G＝m1ω2r1＝m2ω2(L－r1)
其中，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2
2．万有引力等于重力
G＝mg(物体在地球表面且忽略地球自转效应)；
G＝mg′(在离地面高h处，忽略地球自转效应完全相等，g′为该处的重力加速度)
2．人造卫星的加速度、线速度、角速度、周期跟轨道半径的关系
F万＝G＝F向＝
3．宇宙速度
(1)第一宇宙速度(环绕速度)：v＝＝7.9_km/s，是卫星发射的最小速度，也是卫星环绕地球运行的最大速度．
(2)第二宇宙速度：v＝11.2 km/s
(3)第三宇宙速度：v＝16.7 km/s
注意：①三个宇宙速度的大小都是取地球中心为参照系；
②以上数据是地球上的宇宙速度，其他星球上都有各自的宇宙速度，计算方法与地球相同．
4．关于地球同步卫星
地球同步卫星是指与地球自转同步的卫星，它相对于地球表面是静止的，广泛应用于通信领域，又叫做同步通信卫星．其特点可概括为六个“一定”：
(1)位置一定(必须位于地球赤道的上空)
地球同步卫星绕地球旋转的轨道平面一定与地球的赤道面重合．
假设同步卫星的轨道平面与赤道平面不重合，而与某一纬线所在的平面重合，如图3－4所示．同步卫星由于受到地球指向地心的万有引力F的作用，绕地轴做圆周运动，F的一个分力F1提供向心力，而另一个分力F2将使同步卫星不断地移向赤道面，最终直至与赤道面重合为止(此时万有引力F全部提供向心力)．
图3－4
(2)周期(T)一定
①同步卫星的运行方向与地球自转的方向一致．
②同步卫星的运转周期与地球的自转周期相同，即T＝24 h．
(3)角速度(ω)一定
由公式ω＝知，地球同步卫星的角速度ω＝，因为T恒定，π为常数，故ω也一定．
(4)向心加速度(a)的大小一定
地球同步卫星的向心加速度为a，则由牛顿第二定律和万有引力定律得：
G＝ma，a＝．
(5)距离地球表面的高度(h)一定
由于万有引力提供向心力，则在ω一定的条件下，同步卫星的高度不具有任意性，而是唯一确定的．
根据G＝mω2(R＋h)得：
h＝－R＝－R≈36000 km．
(6)环绕速率(v)一定
在轨道半径一定的条件下，同步卫星的环绕速率也一定，且为v＝＝＝3.08 km/s．
因此，所有同步卫星的线速度大小、角速度大小及周期、半径都相等．
由此可知要发射同步卫星必须同时满足三个条件：
①卫星运行周期和地球自转周期相同；
②卫星的运行轨道在地球的赤道平面内；
③卫星距地面高度有确定值．
热点、重点、难点
一、圆周运动
关于圆周运动，在高考中除了一般会出现星体问题，带电粒子在匀强磁场中的运动的试题外，还常会出现其他考查动能和功能关系的圆周运动问题．如2009年高考安徽理综卷第24题、浙江理综卷第24题，2008年高考山东理综卷第24题、广东物理卷第17题，2007年高考全国理综卷Ⅱ第23题等．
●例1 如图3－5 所示，两个圆弧轨道固定在水平地面上，半径R相同，A轨道由金属凹槽制成，B轨道由金属圆管制成，均可视为光滑轨道．在两轨道右侧的正上方分别将金属小球A和B由静止释放，小球距离地面的高度分别用hA和hB表示，则下列说法正确的是( )
图3－5
A．若hA＝hB≥2R，则两小球都能沿轨道运动到最高点
B．若hA＝hB＝，由于机械能守恒，两个小球沿轨道上升的最大高度均为
C．适当调整hA和hB，均可使两小球从轨道最高点飞出后，恰好落在轨道右端口处
D．若使小球沿轨道运动并且从最高点飞出，A小球的最小高度为，B小球在hB>2R的任何高度均可
【解析】当hB＝2R时，B小球能沿圆管运动到达最高点，且由机械能守恒定律知到达最高点时速度减为零，故当hA＝2R时，A小球到达最高点前已离开圆弧轨道；同理，当hA＝hB＝R时，B小球能恰好上升至R，A小球上升至前已离开圆弧，故选项A、B错误．
要使小球从轨道最高点飞出后恰好落在轨道右端口，在最高点的初速度应为v0＝＝
又因为A小球沿凹槽到达最高点的条件为m≥mg，即v≥，故A小球不可能从轨道最高点飞出后恰好落在轨道右端口处．
又由机械能守恒定律，A小球能到达凹槽轨道高点的条件为：
mgha≥mg·2R＋m()2
得ha≥R．故选项C错误、D正确．
[答案] D
【点评】除了天体问题和带电粒子在匀强磁场中运动外，竖直方向的圆周运动问题是较常出现的题型．本例题较典型地包含这类问题中的动力学关系和动能关系．
二、天体质量、密度及表面重力加速度的计算
1．星体表面的重力加速度：g＝G
2．天体质量常用的计算公式：M＝＝
●例2 假设某个国家发射了一颗绕火星做圆周运动的卫星．已知该卫星贴着火星表面运动，把火星视为均匀球体，如果知道该卫星的运行周期为T，引力常量为G，那么( )
A．可以计算火星的质量
B．可以计算火星表面的引力加速度
C．可以计算火星的密度
D．可以计算火星的半径
【解析】卫星绕火星做圆周运动的向心力由万有引力提供，则有：G＝mr
而火星的质量M＝ρπr3
联立解得：火星的密度ρ＝
由M＝，g＝G＝r知，不能确定火星的质量、半径和其的表面引力加速度，所以C正确．
[答案] C
【点评】历年的高考中都常见到关于星体质量(或密度)、重力加速度的计算试题，如2009年高考全国理综卷Ⅰ第19题，江苏物理卷第3题，2008年高考上海物理卷1(A)等． ★同类拓展1 我国探月的嫦娥工程已启动，在不久的将来，我国宇航员将登上月球．假如宇航员在月球上测得摆长为l的单摆做小振幅振动的周期为T，将月球视为密度均匀、半径为r的球体，则月球的密度为( )
A． B． C． D．
【解析】设月球表面附近的重力加速度为g0．
有：T＝2π
又由g0＝G，ρ＝
可解得ρ＝．
[答案] B
三、行星、卫星的动力学问题
不同轨道的行星(卫星)的速度、周期、角速度的关系在“要点归纳”中已有总结，关于这类问题还需特别注意分析清楚卫星的变轨过程及变轨前后的速度、周期及向心加速度的关系．
●例3 2008年9月25日到28日，我国成功发射了神舟七号载人航天飞行并实现了航天员首次出舱．飞船先沿椭圆轨道飞行，后在远地点343千米处点火加速，由椭圆轨道变成高度为343千米的圆轨道，在此圆轨道上飞船运行周期约为90分钟．下列判断正确的是[2009年高考·山东理综卷]( )
A．飞船变轨前后的机械能相等
B．飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态
C．飞船在此圆轨道上运动的角速度大于同步卫星运动的角速度
D．飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后沿圆轨道运动的加速度
【解析】飞船点火变轨，反冲力对飞船做正功，飞船的机械能不守恒，A错误．飞船在圆形轨道上绕行时，航天员(包括飞船及其他物品)受到的万有引力恰好提供所需的向心力，处于完全失重状态，B正确．神舟七号的运行高度远低于同步卫星，由ω2∝知，C正确．由牛顿第二定律a＝＝G知，变轨前后过同一点的加速度相等．
[答案] BC
【点评】对于这类卫星变轨的问题，特别要注意比较加速度时不能根据运动学公式a＝＝ω2r，因为变轨前后卫星在同一点的速度、轨道半径均变化，一般要通过决定式a＝来比较．
★同类拓展2 为纪念伽利略将望远镜用于天文观测400周年，2009年被定为以“探索我的宇宙”为主题的国际天文年．我国发射的嫦娥一号卫星绕月球经过一年多的运行，完成了既定任务，于2009年3月1日16日13分成功撞月．图示为嫦娥一号卫星撞月的模拟图，卫星在控制点1开始进入撞月轨道．假设卫星绕月球做圆周运动的轨道半径为R，周期为T，引力常量为G．根据题中信息( )
A．可以求出月球的质量
B．可以求出月球对嫦娥一号卫星的引力
C．可知嫦娥一号卫星在控制点1处应减速
D．可知嫦娥一号在地面的发射速度大于11.2 km/s
【解析】由G＝mR可得月球的质量M＝，A正确．由于不知嫦娥一号的质量，无法求得引力，B错误．卫星在控制点1开始做近月运动，知在该点万有引力要大于所需的向心力，故知在控制点1应减速，C正确．嫦娥一号进入绕月轨道后，同时还与月球一起绕地球运行，并未脱离地球，故知发射速度小于11.2 km/s，D错误．
[答案] AC
四、星体、航天问题中涉及的一些功能关系
1．质量相同的绕地做圆周运动的卫星，在越高的轨道动能Ek＝mv2＝G越小，引力势能越大，总机械能越大．
2．若假设距某星球无穷远的引力势能为零，则距它r处卫星的引力势能Ep＝－G(不需推导和记忆)．在星球表面处发射物体能逃逸的初动能为Ek≥|Ep|＝G．
●例4 2008年12月，天文学家们通过观测的数据确认了银河系中央的黑洞“人马座A*”的质量与太阳质量的倍数关系．研究发现，有一星体S2绕人马座A*做椭圆运动，其轨道半长轴为9.50×102天文单位(地球公转轨道的半径为一个天文单位)，人马座A*就处在该椭圆的一个焦点上．观测得到S2星的运动周期为15.2年．
(1)若将S2星的运行轨道视为半径r＝9.50×102天文单位的圆轨道，试估算人马座A*的质量MA是太阳质量MS的多少倍．(结果保留一位有效数字)
(2)黑洞的第二宇宙速度极大，处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚．由于引力的作用，黑洞表面处质量为m的粒子具有的势能为Ep＝－G(设粒子在离黑洞无限远处的势能为零)，式中M、R分别表示黑洞的质量和半径．已知引力常量G＝6.7×10－11 N·m2 /kg2，光速c＝3.0×108 m/s，太阳质量MS＝2.0×1030 kg，太阳半径RS＝7.0×108 m，不考虑相对论效应，利用上问结果，在经典力学范围内求人马座A*的半径RA与太阳半径RS之比应小于多少．(结果按四舍五入保留整数)
[2009年高考·天津理综卷]
【解析】(1)S2星绕人马座A*做圆周运动的向心力由人马座A*
对S2星的万有引力提供，设S2星的质量为mS2，角速度为ω，周期为T，则有：
G＝mS2ω2r
ω＝
设地球质量为mE，公转轨道半径为rE，周期为TE，则：
G＝mE()2rE
综合上述三式得：＝()3()2
上式中TE＝1年，rE＝1天文单位
代入数据可得：＝4×106．
(2)引力对粒子作用不到的地方即为无限远处，此时粒子的势能为零．“处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚”，说明了黑洞表面处以光速运动的粒子在远离黑洞的过程中克服引力做功，粒子在到达无限远之前，其动能便减小为零，此时势能仍为负值，则其能量总和小于零．根据能量守恒定律可知，粒子在黑洞表面处的能量也小于零，则有：
mc2－G＜0
依题意可知：R＝RA，M＝MA
可得：RA＜
代入数据得：RA＜1.2×1010 m
故＜17．
[答案] (1)4×106 (2)<17
【点评】①“黑洞”问题在高考中时有出现，关键要理解好其“不能逃逸”的动能定理方程：mc2－G<0．
②Ep＝－G是假定离星球无穷远的物体与星球共有的引力势能为零时，物体在其他位置(与星球共有)的引力势能，同样有引力做的功等于引力势能的减少．
★同类拓展3 2005年10月12日，神舟六号飞船顺利升空后，在离地面340 km的圆轨道上运行了73圈．运行中需要多次进行轨道维持．所谓“轨道维持”就是通过控制飞船上发动机的点火时间、推力的大小和方向，使飞船能保持在预定轨道上稳定运行．如果不进行轨道维持，由于飞船在轨道上运动受摩擦阻力的作用，轨道高度会逐渐缓慢降低，在这种情况下，下列说法正确的是( )
A．飞船受到的万有引力逐渐增大、线速度逐渐减小
B．飞船的向心加速度逐渐增大、周期逐渐减小、线速度和角速度都逐渐增大
C．飞船的动能、重力势能和机械能都逐渐减小
D．重力势能逐渐减小，动能逐渐增大，机械能逐渐减小
【解析】飞船的轨道高度缓慢降低，由万有引力定律知其受到的万有引力逐渐增大，向心加速度逐渐增大，又由于轨道变化的缓慢性，即在很短时间可当做匀速圆周运动，由G＝m＝mω2r＝mr知，其线速度逐渐增大，动能增大，由此可知飞船动能逐渐增大，重力势能逐渐减小，由空气阻力做负功知机械能逐渐减少．
[答案] BD
五、双星问题
●例5 天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星．双星系统在银河系中很普遍．利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量．已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试推算这个双星系统的总质量．(引力常量为G)
[2008年高考·宁夏理综卷]
【解析】设两颗恒星的质量分别为m1、m2，做圆周运动的半径分别为r1、r2，角速度分别为ω1、ω2．根据题意有：
ω1＝ω2
r1＋r2＝r
根据万有引力定律和牛顿定律，有：
G＝m1r1ω12
G＝m2r2ω22
联立解得：r1＝
根据角速度与周期的关系知ω1＝ω2＝
联立解得：m1＋m2＝．
[答案]
【点评】在双星系统中，当其中一星体质量远远大于另一星体时，它们的共同圆心就在大质量星球内部且趋近于球心．
经典考题
1．天文学家新发现了太阳系外的一颗行星．这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍．已知某一近地卫星绕地球运行的周期约为1.4小时，引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由此估算该行星的平均密度约为[2009年高考·全国理综卷Ⅰ]( )
A．1.8×103 kg/m3 B．5.6×103 kg/m3
C．1.1×104 kg/m3 D．2.9×104 kg/m3
【解析】由G＝mR，ρ＝可得，地球密度ρ＝，再由质量和体积关系得该行星的密度ρ′＝2.9×104 kg/m3．
[答案] D
2．2009年2月11日，俄罗斯的“宇宙－2251”卫星和美国的“铱－33”卫星在西伯利亚上空约805 km处发生碰撞．这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件．碰撞过程中产生的大量碎片可能会影响太空环境．假定有甲、乙两块碎片，绕地球运行的轨道都是圆，甲的运行速率比乙的大，则下列说法中正确的是[2009年高考·安徽理综卷Ⅰ]( )
A．甲的运行周期一定比乙的长
B．甲距地面的高度一定比乙的高
C．甲的向心力一定比乙的小
D．甲的加速度一定比乙的大
【解析】由v＝可知，甲碎片的速率大，轨道半径小，故B错误；由公式T＝2π可知，甲的周期小，故A错误；由于未知两碎片的质量，无法判断向心力的大小，故C错误；碎片的加速度是指引力加速度，由G＝ma，可得a＝，甲的加速度比乙大，D正确．
[答案] D
3.1990年4月25日，科学家将哈勃天文望远镜送上距地球表面约600 km的高空，使得人类对宇宙中星体的观测与研究有了极大的进展．假设哈勃望远镜沿圆轨道绕地球运行．已知地球半径为6.4×106 m，利用地球同步卫星与地球表面的距离为3.6×107 m这一事实可得到哈勃望远镜绕地球运行的周期．以下数据中，最接近其运行周期的是[2008年高考·四川理综卷]( )
A．0.6小时 B．1.6小时 C．4.0小时 D．24小时
【解析】由开普勒行星运动定律可知，＝恒量，所以＝，其中r为地球的半径，h1，t1，h2，t2分别表示望远镜到地表的距离、望远镜的周期、同步卫星距地表的距离、同步卫星的周期(24 h)，代入解得：t1＝1.6 h．
[答案] B
【点评】高考对星体航天问题的考查以圆周运动的动力学方程为主，具体常涉及求密度值、同步卫星的参量、变轨的能量变化等．在具体解题时要注意运用好几个常用的代换．
4．我国发射的嫦娥一号探月卫星沿近似于圆形的轨道绕月飞行．为了获得月球表面全貌的信息，让卫星轨道平面缓慢变化，卫星将获得的信息持续用微波信号发回地球．设地球和月球的质量分别为M和m，地球和月球的半径分别为R和R1，月球绕地球的轨道半径和卫星绕月球的轨道半径分别为r和r1，月球绕地球转动的周期为T．假定在卫星绕月运行的一个周期内卫星轨道平面与地月连心线共面，求在该周期内卫星发射的微波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间．(用M、m、R、R1、r、r1和T表示，忽略月球绕地球转动对遮挡时间的影响)．[2008年高考·全国理综卷Ⅱ]
【解析】如图所示，设O和O′分别表示地球和月球的中心．在卫星轨道平面上，A是地月连心线OO′与地月球表面的公切线ACD的交点，D、C和B分别是该公切线与地球表面、月球表面和卫星轨道的交点．过A点在另一侧作地月球面的公切线，交卫星轨道于E点．卫星在圆弧BE上运动时发出的信号被遮挡．
设探月卫星的质量为m0，引力常量为G，根据万有引力定律有：
G＝m()2r
G＝m0()2r1(其中T1表示探月卫星绕月球转动的周期)
由以上两式可得：()2＝()3
设卫星的微波信号被遮挡的时间为t，则由于卫星绕月球做匀速圆周运动，有：
＝，其中α＝∠CO′A，β＝∠CO′B
由几何关系得：rcos α＝R－R1，r1cos β＝R1
联立解得：t＝(arccos－arccos)．
[答案] (arccos－arccos)
【点评】航体星体问题有时在高考中也以计算题出现，解答的关键仍是做圆周运动的动力学方程．另外，还需要同学们具有丰富的想象力，描绘情境图、难图化易、化整为零等能力．
能力演练
一、选择题(10×4分)
1．在越野赛车时，一辆赛车在水平公路上减速转弯，从俯视图可以看到，赛车沿圆周由P向Q行驶．下列图中画出了赛车转弯时所受合力的四种方式，其中正确的是( )
【解析】将F向切向和径向分解，切向分力使其减速，径向的分力产生向心加速度，故D正确．
[答案] D
2．备受关注的京沪高速铁路预计在2010年投入运营．按照设计，乘高速列车从北京到上海只需4个多小时，由于高速列车的速度快，对轨道、轨基的抗震动和抗冲击力的要求都很高．如图所示，列车转弯可以看成是做匀速圆周运动，若某弯道的半径为R，列车设计时速为v，则该弯道处铁轨内外轨的设计倾角θ应为( )
A．arctan B．arcsin
C．arccot D．arccos
【解析】设计的倾角θ应使列车过弯道时重力与支持力的合力提供向心力：mgtan θ＝m，解得：θ＝arctan ．
[答案] A
3.2005年12月11日，有着“送子女神”之称的小行星“婚神”(Juno)冲日，在此后十多天的时间里，国内外天文爱好者凭借双筒望远镜可观测到它的“倩影”．在太阳系中除了八大行星以外，还有成千上万颗肉眼看不见的小天体，沿着椭圆轨道不停地围绕太阳公转．这些小天体就是太阳系中的小行星．冲日是观测小行星难得的机遇．此时，小行星、太阳、地球几乎成一条直线，且和地球位于太阳的同一侧．“婚神”星冲日的虚拟图如图所示，则( )
A．2005年12月11日，“婚神”星的线速度大于地球的线速度
B．2005年12月11日，“婚神”星的加速度小于地球的加速度
C．2006年12月11日，必将发生下一次“婚神”星冲日
D．下一次“婚神”星冲日必将在2006年12月11日之后的某天发生
【解析】由G＝m得v2∝，“婚神”的线速度小于地球的线速度，由a＝＝G知，“婚神”的加速度小于地球的加速度，地球的公转周期为一年，“婚神”的公转周期大于一年，C错误，D正确．
[答案] BD
4.2007年11月5日，嫦娥一号探月卫星沿地月转移轨道到达月球附近，在距月球表面200 km的P点进行第一次“刹车制动”后被月球俘获，进入椭圆轨道 Ⅰ 绕月飞行，如图所示．之后，卫星在P点经过几次“刹车制动”，最终在距月球表面200 km、周期127 min的圆形轨道 Ⅲ 上绕月球做匀速圆周运动．若已知月球的半径R月和引力常量G，忽略地球对嫦娥一号的引力作用，则由上述条件( )
A．可估算月球的质量
B．可估算月球表面附近的重力加速度
C．可知卫星沿轨道Ⅰ经过P点的速度小于沿轨道Ⅲ经过P点的速度
D．可知卫星沿轨道Ⅰ经过P点的加速度大于沿轨道Ⅱ经过P点的加速度
【解析】由G＝m(R月＋h)可得：
月球的质量M＝，选项A正确．
月球表面附近的重力加速度为：
g月＝G＝，选项B正确．
卫星沿轨道Ⅰ经过P点时有：
m>G
沿轨道Ⅲ经过P点时：m＝G
可见vPⅢv1；又由向心力与万有引力的关系知v2>v3．故v1R真．
图7－5
(2)当Rx远小于RV或临界阻值>Rx时，采用电流表外接(如图7－6所示)．采用电流表外接时，系统误差使得电阻的测量值小于真实值，即R测
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