【物理】2019届一轮复习全国版功和功率学案
[高考导航]
考点内容
要求
高考(全国卷)三年命题情况对照分析
2015
2016
2017
功和功率
Ⅱ
Ⅰ卷·T17：功能关系
Ⅱ卷·T17：功、功率
T21：机械能守恒定律
T24：动能定理在电场中的应用
Ⅰ卷·T25：动能定理、机械能守恒定律
Ⅱ卷·T16：机械能守恒定律
T21：功、功率
T25：弹性势能、机械能守恒定律
Ⅲ卷·T20：动能定理
T24：机械能守恒定律
Ⅰ卷·T24：机械能、功能关系
Ⅱ卷·T14：弹力和功
T17：机械能守恒定律
T24：动能定理
Ⅲ卷·T16：重力势能、重力做功
动能和动能定理
Ⅱ
重力做功与重力势能
Ⅱ
功能关系、机械能守恒定律及其应用
Ⅱ
实验五：探究动能定理
实验六：验证机械能守恒定律
基础课1 功和功率
知识排查
功
1.定义：一个物体受到力的作用，如果在力的方向上发生了一段位移，就说这个力对物体做了功。
2.做功的两个要素
(1)作用在物体上的力；
(2)物体在力的方向上发生的位移。
3.公式：W＝Flcos__α。如图1所示。
图1
(1)α是力与位移方向之间的夹角，l为力的作用点的位移。
(2)该公式只适用于恒力做功。
4.功的正负
(1)当0°≤α＜90°时，W＞0，力对物体做正功。
(2)当90°＜α≤180°时，W＜0，力对物体做负功，或者说物体克服这个力做了功。
(3)当α＝90°时，W＝0，力对物体不做功。
功率
1.定义：功与完成这些功所用时间的比值。
2.物理意义：描述力对物体做功的快慢。
3.公式
(1)P＝，P为时间t内的平均功率。
(2)P＝Fvcos__α(α为F与v的夹角)
①v为平均速度，则P为平均功率。
②v为瞬时速度，则P为瞬时功率。
小题速练
1.(2018·广西南宁模拟)关于功的概念，下列说法正确的是( )
A.物体受力越大，位移越大，力对物体做功越多
B.合力的功等于各分力功的矢量和
C.摩擦力可以对物体做正功
D.功有正、负，但正、负不表示方向，而表示大小
解析 因功的决定因素为力、位移及二者的夹角，若力大、位移大，但两者夹角为90°时，则做功为0，故选项A错误；合力的功等于各分力功的代数和，选项B错误；摩擦力可以做正功，也可以做负功，这要看摩擦力与位移的方向关系，故选项C正确；功是标量，有正、负之分，但功的正、负不是表示方向，而是表示力对物体做功的效果，所以选项D错误。
答案 C
2.[人教版必修2·P59·T1改编]如图2所示，质量分别为m1和m2的两个物体，m1
W2 B.W190°
D.这个力与物体运动方向的夹角α<90°
解析 由功的表达式W＝Flcos α知，只有当α>90°时，cos α<0，力对物体做负功，此力阻碍物体的运动，故选项A、C正确。
答案 AC
2.(多选)小狗拉着雪橇在水平冰面上沿着圆弧形的道路匀速行驶，如图3所示为雪橇受到的牵引力F及摩擦力Ff的示意图(O为圆心)，关于各力做功情况，下列说法正确的是( )
图3
A.牵引力F做正功
B.摩擦力Ff做负功
C.F与Ff的合力做正功
D.F与Ff的合力不做功
解析 牵引力做正功，选项A正确；由于雪橇在冰面上滑动，其滑动摩擦力方向必与运动方向相反，摩擦力做负功，所以选项B正确；雪橇做匀速圆周运动，牵引力F及摩擦力Ff的合力提供向心力，指向圆心，所以不做功，选项C错误，D正确。
答案 ABD
3.(2017·全国卷Ⅱ，14)如图4所示，一光滑大圆环固定在桌面上，环面位于竖直平面内，在大圆环上套着一个小环。小环由大圆环的最高点从静止开始下滑，在小环下滑的过程中，大圆环对它的作用力( )
图4
A.一直不做功 B.一直做正功
C.始终指向大圆环圆心 D.始终背离大圆环圆心
解析 因为大圆环光滑，所以大圆环对小环的作用力只有弹力，且弹力的方向总是沿半径方向，与速度方向垂直，故大圆环对小环的作用力一直不做功，选项A正确，B错误；开始时大圆环对小环的作用力背离圆心，到达圆心等高点及下方，大圆环对小环的作用力指向圆心，故选项C、D错误。
答案 A
4.如图5所示，质量为m的物体在恒力F的作用下从底端沿斜面向上一直匀速运动到顶端，斜面高h，倾斜角为θ，现把物体放在顶端，发现物体在轻微扰动后可匀速下滑，重力加速度大小为g。则在上升过程中恒力F做的功为( )
图5
A.Fh B.mgh C.2mgh D.无法确定
解析 把物体放在顶端，发现物体在轻微扰动后可匀速下滑，则物体受力平衡，则有Ff＝mgsin θ。上滑过程中，物体也做匀速直线运动，受力平衡，则有F＝mgsin θ＋Ff＝2mgsin θ，则在上升过程中恒力F做的功W＝F·＝2mgsin θ·＝2mgh，故选项C正确。
答案 C
功率的理解与计算
1.平均功率的计算方法
(1)利用＝。
(2)利用＝Fcos α，其中为物体运动的平均速度。
2.瞬时功率的计算方法
(1)利用公式P＝Fvcos α，其中v为t时刻的瞬时速度。
(2)利用公式P＝FvF，其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度。
(3)利用公式P＝Fvv，其中Fv为物体受到的外力F在速度v方向上的分力。
1.(2017·佛山模拟)质量为2 kg的小铁球从某一高度由静止释放，经3 s到达地面，不计空气阻力，g取10 m/s2。则( )
A.2 s末重力的瞬时功率为200 W
B.2 s末重力的瞬时功率为400 W
C.2 s内重力的平均功率为100 W
D.2 s内重力的平均功率为400 W
解析 物体只受重力，做自由落体运动，2 s末速度为v1＝gt1＝20 m/s，下落2 s末重力做功的瞬时功率P＝mgv1＝2×10×20 W＝400 W，故选项A错误，B正确；2 s内的位移为h2＝gt＝20 m，所以前2 s内重力的平均功率为2＝＝ W＝200 W，故选项C、D错误。
答案 B
2.(2017·天津南开区模拟)一个高中生骑电动车以20 km/h的速度匀速行驶，电动车所受的阻力是人和车总重力的。已知人和车的总质量约为80 kg，重力加速度大小g取10 m/s2，则此时电动车电机的输出功率约为( )
A.50 W B.100 W C.450 W D.800 W
解析 车在匀速行驶时，人和车受力平衡，人和车受到的阻力大小为Ff＝mg＝×800 N＝80 N，此时的功率P＝Fv＝Ffv＝80× W＝444 W，所以选项C正确。
答案 C
3.如图6所示是具有登高平台的消防车，具有一定质量的伸缩臂能够在5 min内使承载4人的登高平台(人连同平台的总质量为400 kg)上升60 m到达灭火位置。此后，在登高平台上的消防员用水炮灭火，已知水炮的出水量为3 m3/min，水离开炮口时的速率为20 m/s，取g＝10 m/s2，则用于( )
图6
A.水炮工作的发动机输出功率约为1×104 W
B.水炮工作的发动机输出功率约为4×104 W
C.水炮工作的发动机输出功率约为2.4×106 W
D.伸缩臂抬升登高平台的发动机输出功率约为800 W
解析 水炮的发动机作用是把水从地面运到水炮处，再由水炮发射出去，因此发动机做的功转化为水发射时的动能和重力势能，所以输出功率P＝＝，每秒射出水的质量m＝1 000× kg＝50 kg，代入得P＝4×104 W，选项B正确，A、C错误；伸缩臂的发动机做功把人和伸缩臂本身抬高了60 m，伸缩臂本身有一定的质量，伸缩臂自身的重力势能也增加，所以伸缩臂发动机的功率大于P1＝＝ W＝800 W，选项D错误。
答案 B
求解功率时应注意的三个问题
(1)首先要明确所求功率是平均功率还是瞬时功率。
(2)平均功率与一段时间(或过程)相对应，计算时应明确是哪个力在哪段时间(或过程)内做功的平均功率。
(3)瞬时功率计算时应明确是哪个力在哪个时刻(或状态)的功率。
机车启动问题
1.模型一 以恒定功率启动
(1)此过程中，机车的速度v、牵引力F和机车的加速度a的变化情况如下。
(2)机车的速度v随时间t变化的关系如图7所示。
图7
2.模型二 以恒定加速度启动
(1)动态变化过程如下：
(2)机车的速度v随时间t变化的关系如图8所示。
图8
3.四个常用规律
(1)P＝Fv。
(2)F－Ff＝ma。
(3)v＝at(a恒定)。
(4)Pt－Ffx＝ΔEk(P恒定)。
【典例】 汽车发动机的额定功率为60 kW，汽车的质量为5×103 kg，汽车在水平路面上行驶时，阻力是车重力的0.1倍(g取 10 m/s2)，试求：
(1)若汽车保持额定功率不变从静止启动，汽车所能达到的最大速度是多大？当汽车的加速度为2 m/s2时速度是多大？
(2)若汽车从静止开始，保持以0.5 m/s2的加速度做匀加速直线运动，这一过程能维持多长时间？
解析 汽车运动中所受阻力大小为Ff＝0.1mg①
(1)当a＝0时速度最大，牵引力等于Ff的大小，
则最大速度vmax＝②
联立①②解得vmax＝12 m/s。
设汽车加速度为2 m/s2时牵引力为F1
由牛顿第二定律得F1－Ff＝ma③
此时汽车速度v1＝④
联立③④并代入数据得v1＝4 m/s。
(2)当汽车以加速度a′＝0.5 m/s2匀加速运动时，设牵引力为F2
由牛顿第二定律得F2－Ff＝ma′⑤
汽车匀加速过程所能达到的最大速度vt＝⑥
联立①⑤⑥并代入数据解得t＝＝16 s。
答案 (1)12 m/s 4 m/s (2)16 s
机车启动问题的求解方法
(1)机车的最大速度vmax的求法
机车以额定功率做匀速运动时速度最大，此时牵引力F等于阻力Ff，故vmax＝＝。
(2)匀加速启动时，做匀加速运动的时间t的求法
牵引力F＝ma＋Ff，匀加速运动的最大速度vmax′＝，时间t＝。
(3)瞬时加速度a的求法
根据F＝求出牵引力，则加速度a＝。
1.质量为m的汽车，启动后沿平直路面行驶，如果发动机的功率恒为P，且行驶过程中受到摩擦阻力大小一定，汽车速度能够达到的最大值为v，那么当汽车的车速为时，汽车的瞬时加速度的大小为( )
A. B. C. D.
解析 当汽车匀速行驶时，有Ff＝F＝，根据P＝F′，得F′＝，由牛顿第二定律得a＝＝＝，故选项B正确，A、C、D错误。
答案 B
2.(多选)汽车在平直的公路上以恒定的功率启动，设阻力恒定，则图9中关于汽车运动过程中加速度、速度随时间变化的关系，以下判断正确的是( )
图9
A.汽车的加速度—时间图象可用图乙描述
B.汽车的速度—时间图象可用图甲描述
C.汽车的加速度—时间图象可用图丁描述
D.汽车的速度—时间图象可用图丙描述
解析 由牛顿第二定律得F－Ff＝ma，F＝，即－Ff＝ma，随着v的增大，物体做加速度减小的加速运动，在v－t图象上斜率应越来越小，故图甲为汽车的速度—时间图象，选项B正确，D错误；由a＝－知，因速度增加得越来越慢，加速度减小得越来越慢，最后趋于零，故图乙为汽车加速度—时间图象，选项A正确，C错误。
答案 AB
变力做功的计算方法——科学思维能力的培养
【例】 (2015·海南单科)如图10所示，一半径为R的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高，质量为m的质点自轨道端点P由静止开始滑下，滑到最低点Q时，对轨道的正压力为2mg，重力加速度大小为g。质点自P滑到Q的过程中，克服摩擦力所做的功为( )
图10
A.mgR B.mgR
C.mgR D.mgR
解析 在Q
点质点受到竖直向下的重力和竖直向上的支持力，两力的合力充当向心力，所以有FN－mg＝m，FN＝2mg，联立解得v＝，下滑过程中，根据动能定理可得mgR－Wf＝mv2，解得Wf＝mgR，所以克服摩擦力做功mgR，选项C正确。
答案 C
【针对训练】 轻质弹簧右端固定在墙上，左端与一质量m＝0.5 kg的物块相连，如图11甲所示，弹簧处于原长状态，物块静止，物块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2。以物块所在处为原点，水平向右为正方向建立x轴，现对物块施加水平向右的外力F，F随x轴坐标变化的情况如图乙所示，物块运动至x＝0.4 m处时速度为零，则此时弹簧的弹性势能为(g＝10 m/s2)( )
图11
A.3.1 J B.3.5 J C.1.8 J D.2.0 J
解析 物块与水平面间的摩擦力为Ff＝μmg＝1 N。现对物块施加水平向右的外力F，由F－x图象面积表示功可知，物块运动至x＝0.4 m处时F做功W＝3.5 J，克服摩擦力做功Wf＝Ffx＝0.4 J。由功能关系可知W－Wf＝Ep，此时弹簧的弹性势能为Ep＝3.1 J，选项A正确。
答案 A
活页作业
(时间：40分钟)
A级：保分练
1.如图1所示，一小孩和一大人都以水平方向的力匀速推动相同的木箱在相同的路面走同样的位移(推箱的速度大小如图中所示)，比较此过程中两人分别对木箱做的功，下列说法正确的是( )
图1
A.大人做的功多
B.小孩做的功多
C.大人和小孩做的功一样多
D.条件不足，无法判断
解析 因为木箱匀速运动，小孩和大人所用的推力相等，又因为所走的位移相同，所以做功一样多，选项C正确。
答案 C
2.关于摩擦力和功，下列说法正确的是( )
A.静摩擦力总是做正功，滑动摩擦力总是做负功
B.静摩擦力对物体不一定做功，滑动摩擦力对物体一定做功
C.静摩擦力对物体一定做功，滑动摩擦力对物体可能不做功
D.静摩擦力和滑动摩擦力都可能对物体不做功
解析 力对物体做功，必须具备两个条件：力和在力的方向上有位移。判断摩擦力是否做功及做多少功，要具体分析受力物体在摩擦力方向上是否有位移及位移的方向与摩擦力的方向间的夹角。静摩擦力和滑动摩擦力都可以是动力，都可以对物体做正功，也可对物体都不做功。选项D正确。
答案 D
3.起重机以1 m/s2的加速度将质量为1 000 kg的货物由静止开始匀加速向上提升，g取10 m/s2，则在1 s内起重机对货物做的功是( )
A.500 J B.4 500 J C.5 000 J D.5 500 J
解析 货物的加速度向上，由牛顿第二定律可得F－mg＝ma，
起重机的拉力F＝mg＋ma＝11 000 N。
货物的位移是l＝at2＝0.5 m，
起重机对货物做功为W＝Fl＝5 500 J，故选项D正确。
答案 D
4.(2017·山西四校联考)(多选)如图2所示，摆球质量为m，悬绳长为L，把悬线拉到水平位置后放手。设在摆球从A点运动到B点的过程中空气阻力F阻的大小不变，重力加速度大小为g。则下列说法正确的是( )
图2
A.重力做功为mgL
B.绳的拉力做功为mgL
C.空气阻力F阻做功为－mgL
D.空气阻力F阻做功为－F阻·πL
解析 小球下落L的过程中，重力做功为mgL，选项A正确；绳的拉力始终与速度方向垂直，拉力做功为0，选项B错误；空气阻力F阻大小不变，方向始终与速度方向相反，故空气阻力F阻做功为W＝－F阻·πL，选项C错误，D正确。
答案 AD
5.(多选)如图3甲所示，用起重机将地面上静止的货物竖直向上吊起，货物由地面运动至最高点的过程中，其v－t图象如图3乙所示。下列说法正确的是( )
甲 乙
图3
A.在0～t1时间内，货物处于超重状态
B.在t1～t2时间内，起重机拉力对货物不做功
C.在t2～t3时间内，起重机拉力对货物做负功
D.匀速阶段拉力的功率可能比加速阶段某一时刻拉力的瞬时功率小
解析 由v－t图象可知在0～t1时间内，货物具有向上的加速度，故处于超重状态，选项A正确；在t1～t3时间内，起重机的拉力始终竖直向上，一直做正功，选项B、C错误；匀速阶段拉力小于加速阶段的拉力，而匀速阶段的速度大于加速阶段的速度，由P＝Fv可知匀速阶段拉力的功率可能比加速阶段某一时刻拉力的瞬时功率小，选项D正确。
答案 AD
6.在光滑的水平面上，用一水平拉力F使物体从静止开始移动x，平均功率为P，如果将水平拉力增加为4F，使同一物体从静止开始移动x，平均功率为( )
A.2P B.4P C.6P D.8P
解析 设第一次运动时间为t，则其平均功率表达式为P＝；第二次加速度为第一次的4倍，由x＝at2可知时间为，其平均功率为P′＝＝＝8P，选项D正确。
答案 D
7.一物体所受的力F随位移x变化的图象如图4所示，求在这一过程中，力F对物体做的功为( )
图4
A.3 J B.6 J C.7 J D.8 J
解析 力F对物体做的功等于图线与横轴x所包围面积的代数和，即
W1＝×(3＋4)×2 J＝7 J
W2＝－×(5－4)×2 J＝－1 J
所以力F对物体做的功为W＝7 J－1 J＝6 J。
故选项B正确。
答案 B
8.(2017·郑州高三检测)(多选)如图5所示，斜面顶端A与另一点B在同一水平线上，甲、乙两小球质量相等。小球甲沿光滑斜面以初速度v0从顶端A滑到底端，小球乙以同样的初速度从B点抛出，不计空气阻力，则( )
图5
A.两小球落地时速率相同
B.两小球落地时，重力的瞬时功率相同
C.从开始运动至落地过程中，重力对它们做功相同
D.从开始运动至落地过程中，重力的平均功率相同
解析 由于斜面光滑，且不计空气阻力，故两小球运动过程中只有重力做功，由机械能守恒定律可知两小球落地时速率相同，故选项A正确；由于A小球沿斜面做匀加速运动，B小球做斜抛运动，它们落地时的速度方向不同，故两小球落地时，重力的瞬时功率不相同，选项B错误；由于重力做功与路径无关，只与始末位置的高度差有关，故从开始运动至落地过程中，重力对它们做功相同，选项C正确；由于两小球的运动规律不同，所以从开始运动至落地过程中所用时间不同，由P＝可知重力的平均功率不同，选项D错误。
答案 AC
B级：拔高练
9.如图6所示，质量为m＝2 kg的木块在倾角θ＝37°的斜面上由静止开始下滑，木块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取
10 m/s2，则前2 s内重力的平均功率和2 s末的瞬时功率分别为( )
图6
A.48 W 24 W B.24 W 48 W
C.24 W 12 W D.12 W 24 W
解析 木块所受的合外力F合＝mgsin θ－μmgcos θ
＝mg(sin θ－μcos θ)＝2×10×(0.6－0.5×0.8) N＝4 N
木块的加速度a＝＝ m/s2＝2 m/s2
前2 s内木块的位移x＝at2＝×2×22 m＝4 m
所以，重力在前2 s内做的功为
W＝mgxsin θ＝2×10×4×0.6 J＝48 J
重力在前2 s内的平均功率为＝＝ W＝24 W。
木块在2 s末的速度v＝at＝2×2 m/s＝4 m/s
2 s末重力的瞬时功率
P＝mgsin θ·v＝2×10×0.6×4 W＝48 W。
故选项B正确。
答案 B
10.(2017·襄阳模拟)武广高铁已通车运行，速度最高可达390 km/h，转弯时的半径达到了8 km。若机车在运行过程中所受的阻力大小始终不变，在某一段直线轨道上匀加速运动的过程中，下列说法正确的是( )
A.机车输出功率不变
B.机车输出功率逐渐增大
C.机车一直匀加速运动，直到最大速度
D.在任意两相等的时间内，机车动能变化相同
解析 匀加速运动合外力F为定值，又因为阻力不变，故牵引力不变，由P＝Fv，v逐渐增大，所以P增大，故选项A错误，B正确；当功率达到额定功率后，机车的功率就不能增大，要增大速度，则要减小牵引力，当牵引力等于阻力时，机车速度达到最大值，所以机车匀加速运动过程达不到最大速度，故选项C错误；ΔEk＝W合＝(F－Ff)s，在任意相等时间内，F、Ff、a都是定值，因为物体做匀加速运动，故在任意相等时间内，s不同，ΔEk不同，故选项D错误。
答案 B
11.如图7所示，质量为60 kg的某运动员在做俯卧撑运动，运动过程中可将她的身体视为一根直棒。已知重心在c点，其垂线与脚、两手连线中点间的距离oa、ob分别为0.9 m和0.6 m。若她在1 min内做了30个俯卧撑，每次肩部上升的距离均为0.4 m，则克服重力做的功和相应的功率约为(取g＝10 m/s2)( )
图7
A.430 J，7 W B.4 300 J，70 W
C.720 J，12 W D.7 200 J，120 W
解析 设重心上升的高度为h，根据相似三角形可知，每次俯卧撑中，有＝，即h＝0.24 m。一次俯卧撑中，克服重力做功W＝mgh＝60×10×0.24 J＝144 J，所以一分钟内克服重力做的总功为W总＝NW＝4 320 J，功率P＝＝72 W，故选项B正确。
答案 B
12.(2017·广东七校联考)如图8所示，水平传送带长为L，始终以速度v保持匀速运动，把质量为m的货物无初速度地放到A点，当货物运动到AC的中点B时速度恰为v，而后被传送到C点。货物与传送带间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g。则货物从A点到C点的过程中( )
图8
A.摩擦力对货物做的功为μmgL
B.摩擦力对货物做功的平均功率为μmgv
C.传送带克服摩擦力做功为μmgL
D.传送带克服摩擦力做功的平均功率为μmgv
解析 由于货物在运动过程中，当速度达到v时，不再受摩擦力，故摩擦力所做的功Wf＝μmg·，故选项A错误；在货物加速过程中，摩擦力做功Wf＝μmg·，由运动学公式有＝t1＝t1，设货物从A点到C点所用时间为t，则摩擦力对货物做功的平均功率＝＝＝μmgv，故选项B错误；货物在加速过程中平均速度为，而传送带的速度为v，货物加速运动的位移为，则传送带前进的位移一定为L，故传送带克服摩擦力所做的功为Wf′＝μmgL，故选项C正确；货物从B点到C点所用时间t
2＝，所以，从A点到C点用时t＝，故传送带克服摩擦力做功的平均功率应为＝＝μmgv，故选项D错误。
答案 C
13.下表是一辆电动车的部分技术指标，其中的额定车速是指电动车满载的情况下，在平直道路上以额定功率匀速行驶时的速度。
额定车速
18 km/h
电源输出电压
≥36 V
整车质量
40 kg
充电时间
6～8 h
载重
80 kg
电动机的额定输出功率
180 W
电源
36 V/12 Ah
电动机的额定工作电压/电流
36 V/6 A
请根据表中的数据，完成下列问题(g取10 m/s2)。
(1)在行驶的过程中，电动车受到的阻力是车重(包括载重)的k倍，假定k是定值，试推算k的大小；
(2)若电动车以额定功率行驶，求速度为3 m/s时的加速度是多少？
解析 (1)由表可得到P出＝180 W，车速v＝18 km/h＝5 m/s，由P出＝Fv，匀速直线运动时有F＝f，其中
f＝k(M＋m)g，解得k＝0.03。
(2)当车速v′＝3 m/s时，牵引力F′＝，由牛顿第二定律知F′－k(M＋m)g＝(m＋M)a，解得a＝0.2 m/s2。
答案 (1)0.03 (2)0.2 m/s2
