【数学】2018届一轮复习人教A版4-7正弦定理和余弦定理学案

【数学】2018届一轮复习人教A版4-7正弦定理和余弦定理学案

‎§4.7　正弦定理和余弦定理 考纲展示►　1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．‎ ‎2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题．‎ 考点1　利用正、余弦定理解三角形 ‎ 　　　　　　 　　　　　 　　　　　‎ 正、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 ＝________＝‎ ‎________＝2R a2＝____________；‎ b2＝____________；‎ c2＝____________‎ 续表 定理 正弦定理 余弦定理 常见 变形 ‎(1)a＝2Rsin A，‎ b＝____________，‎ c＝____________；‎ ‎(2)sin A＝，sin B＝________，sin C＝；‎ ‎(3)a∶b∶c＝________；‎ ‎(4)asin B＝bsin A①，‎ bsin C＝csin B，‎ asin C＝csin A cos A＝__________；‎ cos B＝__________；‎ cos C＝__________‎ 答案：　　b2＋c2－2bccos A　c2＋a2－2cacos B　a2＋b2－2abcos C　2Rsin B　2Rsin C　　‎ sin A∶sin B∶sin C　　 ‎(1)[教材习题改编]在△ABC中，已知a＝5，b＝7，c＝8，则∠A＋∠C＝(　　)‎ A．90° B．120° ‎ C．135° D．150°‎ 答案：B ‎(2)[教材习题改编]在△ABC中，已知∠A＝60°，∠B＝75°，c＝20，则a＝________.‎ 答案：10 解三角形的一般类型：已知两边及一角；已知两角及一边；已知三边．‎ ‎(1)在△ABC中，已知a＝5，b＝2，C＝30°，则c＝________.‎ 答案： 解析：由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝52＋(2)2－2×5×2cos 30°＝7，所以c＝.‎ ‎(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝，sin A＝，b＝，则a＝________.‎ 答案： 解析：由正弦定理＝，得a＝＝.‎ ‎(3)在△ABC中，已知a∶b∶c＝2∶4∶3，则cos C＝________.‎ 答案： 解析：设a＝2k，b＝4k，c＝3k(k>0)，‎ 则cos C＝＝.‎ ‎[典题1]　[2017·山师大附中一模]设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝acos B.‎ ‎(1)求角B的大小；‎ ‎(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．‎ ‎[解]　(1)∵bsin A＝acos B，‎ 由正弦定理得sin Bsin A＝sin Acos B.‎ 在△ABC中，sin A≠0，‎ 即得tan B＝，∴B＝.‎ ‎(2)∵sin C＝2sin A，由正弦定理得c＝‎2a，‎ 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，‎ 即9＝a2＋‎4a2－‎2a·2acos ，‎ 解得a＝，∴c＝‎2a＝2.‎ ‎[点石成金]　1.解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．‎ ‎2．三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.‎ 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cos B＝.‎ ‎(1)求a，c的值；‎ ‎(2)求sin(A－B)的值．‎ 解：(1)由余弦定理，得 cos B＝＝＝，‎ 即a2＋c2－4＝ac.‎ ‎∴(a＋c)2－‎2ac－4＝ac，∴ac＝9.‎ 由得a＝c＝3.‎ ‎(2)在△ABC中，cos B＝，‎ ‎∴sin B＝＝＝.‎ 由正弦定理，得＝，‎ ‎∴sin A＝＝＝.‎ 又A＝C，∴0＜A＜，‎ ‎∴cos A＝＝，‎ ‎∴sin(A－B)＝sin Acos B－cos Asin B ‎＝×－×＝.‎ ‎ 考点2　利用正弦、余弦定理判定三角形的形状 ‎ 　　　　　　 　　　　　 　　　　　‎ 三角形中的角的关系判断误区：角的大小比较的误区；角的个数的误区．‎ ‎(1)在△ABC中，若sin A>sin B，则A与B的大小关系是________．‎ 答案：A>B 解析：由正弦定理，得sin A＝，sin B＝.‎ 若sin A>sin B，则>，即a>b，故A>B.‎ ‎(2)在△ABC中，若A＝60°，a＝4，b＝4，则B等于________．‎ 答案：45°‎ 解析：由正弦定理，有＝，则sin B＝＝＝.又a>b，所以A>B，故B＝45°.‎ 注意挖掘题中隐含条件，以便确定满足条件的角的情况．‎ 判断三角形的形状．‎ 利用正、余弦定理判断三角形的形状，一般都可以通过两种途径实现：(1)把角的条件转化为边，通过边的关系判断；(2)把边的条件转化为角，通过计算角的大小进行判断．‎ ‎[典题2]　(1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且‎2c2＝‎2a2＋2b2＋ab，则△ABC是(　　)‎ A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 ‎[答案]　A ‎[解析]由‎2c2＝‎2a2＋2b2＋ab，得 a2＋b2－c2＝－ab，‎ 所以cos C＝＝＝－＜0，‎ 所以90°＜C＜180°，即△ABC为钝角三角形．‎ ‎(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　)‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 ‎[答案]　B ‎[解析]　依据题设条件的特点，由正弦定理，‎ 得sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin‎2A，‎ 有sin(B＋C)＝sin‎2A，‎ ‎∵A∈(0，π)，∴sin A≠0.‎ 从而sin(B＋C)＝sin A＝sin‎2A，解得sin A＝1，‎ ‎∴A＝，故选B.‎ ‎[题点发散1]　若将本例条件改为“若2sin Acos B＝sin C”，那么△ABC一定是(　　)‎ A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 答案：B 解析：解法一：由已知得2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，即sin(A－B)＝0，因为－π0)，‎ 由余弦定理可得 cos C＝＝＝－<0，‎ 又∵C∈(0，π)，∴C∈，‎ ‎∴△ABC为钝角三角形．‎ ‎[题点发散4]　若将本例条件改为“(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)”，试判断三角形的形状．‎ 解：∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，‎ ‎∴b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]＝a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]，‎ ‎∴2sin Acos B·b2＝2cos Asin B·a2，‎ 即a2cos Asin B＝b2sin Acos B.‎ 解法一：由正弦定理知a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，‎ ‎∴sin2Acos Asin B＝sin2Bsin Acos B，‎ 又sin A·sin B≠0，‎ ‎∴sin Acos A＝sin Bcos B，‎ ‎∴sin ‎2A＝sin 2B.‎ 在△ABC中，0＜‎2A＜2π，0＜2B＜2π，‎ ‎∴‎2A＝2B或‎2A＝π－2B，‎ ‎∴A＝B或A＋B＝.‎ ‎∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．‎ 解法二：由正弦定理、余弦定理，得 a2b＝b‎2a，‎ ‎∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，‎ ‎∴(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，‎ ‎∴a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0.‎ 即a＝b或a2＋b2＝c2.‎ ‎∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．‎ ‎[题点发散5]　若将本例条件改为：“2asin A＝(2b＋c)·sin B＋(‎2c＋b)sin C，且sin B＋sin C＝‎1”‎，试判断△ABC的形状．‎ 解：由已知，根据正弦定理，得 ‎2a‎2＝(2b＋c)b＋(‎2c＋b)c，‎ 即a2＝b2＋c2＋bc，cos A＝－，sin A＝，‎ 则sin‎2A＝sin2B＋sin‎2C＋sin Bsin C.‎ 解得sin B＝sin C＝.‎ 故B＝C＝，‎ 所以△ABC是等腰钝角三角形．‎ ‎[点石成金]　1.判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是不是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．‎ ‎2．判断三角形形状主要有以下两种途径：‎ ‎(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；‎ ‎(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断.‎ 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若0，于是有cos B<0，B为钝角，△ABC是钝角三角形．‎ 考点3　与三角形面积有关的问题 ‎ 　　　　　　 　　　　　 　　　　　‎ 三角形中常用的面积公式 ‎(1)S＝ah(h表示边a上的高)；‎ ‎(2)S＝bcsin A＝acsin B＝absin C；‎ ‎(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．‎ ‎[教材习题改编]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，b＝3，S△ABC＝，则角C的值为________．‎ 答案：60°或120°‎ 解析：由S△ABC＝absin C＝×2×3sin C＝，得sin C＝，因为C为三角形ABC的内角，所以C＝60°或C＝120°.‎ 三角形面积公式．‎ 利用正余弦定理三角形的面积还可以写成：‎ S＝2R2sin Asin Bsin C，‎ S＝.‎ ‎ [典题3]　[2017·河北衡水模拟]如图，在△ABC中，sin ∠ABC＝，AB＝2，点D在线段AC上，且AD＝2DC，BD＝.‎ ‎(1)求BC的长；‎ ‎(2)求△DBC的面积．‎ ‎[解]　(1)因为sin ∠ABC＝，‎ 所以cos∠ABC＝1－2×＝.‎ 在△ABC中，设BC＝a，AC＝3b，‎ 则由余弦定理可得，9b2＝a2＋4－a，①‎ 在△ABD和△DBC中，由余弦定理可得，‎ cos∠ADB＝，cos∠BDC ‎＝.‎ 因为cos∠ADB＝－cos∠BDC，‎ 所以有＝－，‎ 所以3b2－a2＝－6.②‎ 由①②可得，a＝3，b＝1，即BC＝3.‎ ‎(2)由(1)得△ABC的面积为 S＝×2×3×＝2，所以△DBC的面积为.‎ ‎[点石成金]　三角形面积公式的应用原则 ‎(1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．‎ ‎(2)与面积有关的问题，一般要用正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.‎ ‎ [2017·湖北武汉质量预测]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a2－b2－c2＋bc＝0,2bsin A＝a，BC边上中线AM的长为.‎ ‎(1)求角A和角B的大小；‎ ‎(2)求△ABC的面积．‎ 解：(1)由a2－b2－c2＋bc＝0，得 b2＋c2－a2＝bc，‎ ‎∴cos A＝＝，∴A＝，‎ 由2bsin A＝a，得b＝a，∴B＝A＝.‎ ‎(2)设AC＝BC＝x，由余弦定理，‎ 得AM2＝x2＋－2x·· ‎＝()2，‎ 解得x＝2，故S△ABC＝×2×2×＝2.‎ ‎ 真题演练集训 ‎ ‎1．[2014·新课标全国卷Ⅱ]钝角三角形ABC的面积是，AB＝1 ，BC＝，则AC＝(　　)‎ A．5 B. ‎ C．2 D．1‎ 答案：B 解析：由题意可得AB·BC·sin B＝，‎ 又AB＝1 ，BC＝，所以sin B＝，‎ 所以B＝45°或B＝135°.‎ 当B＝45°时，由余弦定理可得 AC＝＝1，‎ 此时AC＝AB＝1，BC＝，易得A＝90°，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去．所以B＝135°.‎ 由余弦定理可得 AC＝＝.‎ ‎2．[2014·新课标全国卷Ⅰ]已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a ‎＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则△ABC面积的最大值为________．‎ 答案： 解析：∵＝＝＝2R，a＝2，又(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C可化为(a＋b)(a－b)＝(c－b)c，∴a2－b2＝c2－bc，∴b2＋c2－a2＝bc.‎ ‎∴＝＝＝cos A，∴A＝60°.‎ ‎∵△ABC中，4＝a2＝b2＋c2－2bc·cos 60°＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc(当且仅当b＝c时等号成立)，‎ ‎∴S△ABC＝·bc·sin A≤×4×＝.‎ ‎3．[2016·新课标全国卷Ⅱ]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝________.‎ 答案： 解析：解法一：因为cos A＝，cos C＝，‎ 所以sin A＝，sin C＝，‎ 从而sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C ‎＝×＋×＝.‎ 由正弦定理＝，得b＝＝.‎ 解法二：因为cos A＝，cos C＝，‎ 所以sin A＝，sin C＝，‎ 从而cos B＝－cos(A＋C)＝－cos Acos C＋sin Asin C＝－×＋×＝.‎ 由正弦定理＝，得c＝＝.‎ 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得b＝.‎ 解法三：因为cos A＝，cos C＝，所以sin A＝，sin C＝，‎ 由正弦定理＝，得c＝＝.‎ 从而b＝acos C＋ccos A＝.‎ 解法四：如图，作BD⊥AC于点D，‎ 由cos C＝，a＝BC＝1，知CD＝，BD＝.‎ 又cos A＝，所以tan A＝，从而AD＝.‎ 故b＝AD＋DC＝.‎ ‎4．[2016·新课标全国卷Ⅰ]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c.‎ ‎(1)求C；‎ ‎(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．‎ 解：(1)由已知及正弦定理，得 ‎2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C，‎ ‎2cos Csin(A＋B)＝sin C，‎ 故2sin Ccos C＝sin C，C∈(0，π)．‎ 可得cos C＝，所以C＝.‎ ‎(2)由已知，absin C＝.‎ 又C＝，所以ab＝6.‎ 由已知及余弦定理，得a2＋b2－2abcos C ＝7，‎ 故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.‎ 所以△ABC的周长为5＋.‎ ‎ 课外拓展阅读 ‎ 转化与化归思想在解三角形中的应用 ‎[典例]　[2016·新课标全国卷Ⅰ]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos ‎ C(acos B＋bcos A)＝c.‎ ‎(1)求C；‎ ‎(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．‎ ‎[审题视角]　(1)利用正弦定理进行边角互化求解；(2)利用三角形的面积公式得出ab，再结合余弦定理联立方程求出a＋b，进而求得△ABC的面积．‎ ‎[解]　(1)由已知及正弦定理得，‎ ①‎ ‎2cos Csin(A＋B)＝sin C．故2sin Ccos C＝sin C.‎ 可得cos C＝，所以C＝.‎ ‎(2)由已知，得absin C＝.‎ 又C＝，所以ab＝6.‎ 由已知及余弦定理得，a2＋b2－2abcos C＝7.‎ 故②‎ 所以△ABC的周长为5＋.‎ 满分心得 ‎1．(1)题中①处不能利用正弦定理将边化为角，使已知条件中的式子转化为同类．‎ ‎(2)题中②处不能结合余弦定理将(a＋b)视为整体进行求解而走入误区．‎ ‎2．转化与化归思想在解三角形中的应用主要体现在边角之间利用正、余弦定理统一的转化化简上，使关系式中的量达到统一性．‎