【数学】2019届一轮复习人教A版复数的概念及其运算学案

【数学】2019届一轮复习人教A版复数的概念及其运算学案

第 90 题 复数的概念及其运算 I．题源探究·黄金母题 【例 1】使复数为实数的充分而不必要条件是 （ ） A． B． C． 为实数 D． 为实数 【答案】B 【解析】即要找出由选项能推出“复数 为实数”，但“复数 为实数” 不能推出选项成立，故选 B． 【例 2】若复数 是纯虚数，则 = ． 【答案】 【 解 析 】 依 题 意 得 ， 即 ． 【例 3】如果 ，复数 在复平 面上的对应点 在 象限． 【答案】三 【例 4】设 满足条件 的复数 所对应的点 的集合表示什么图形? 【答案】表示以 为圆心以 8 为半径的圆的外部． 【 解 析 】 由 ， 得 ， 化 简 得 ， 复数 所对应的点 的集合表示以 为圆心以 8 为半 精彩解读 【试题 】例 1、例 2：人教 A 版选修 1-2P51 例 1 改编；例 3： 人 教 A 版 选 修 1-2 习 题 3．1P55A 组 T5 改编；例 4： 人教 A 版选修 1-2P55 习题 3．1B 组 T2 改编；例 5：人 教 A 版选修 1-2P65 复习参考 题 B 组 T2 改编． 【母题评析】考查复数的基 本概念、复数代数形式的四 则运算、复数加减法的几何 意义等，突出考查基本运算 能力与数形结合思想． 【思路方法】 复数的分类及对应点的位置 问题都可以转化为复数的实 部与虚部应该满足的条件问 题，只需把复数化为代数形 式，列出实部和虚部满足的 方程（不等式）组即可．复 数 ，当 时， 为虚数，当 时， 为实数，当 时， 为纯虚 数．复数的几何意义：复数 ＝ a＋bi 复平面内的点 (a，b)(a，b∈R)．复数 ＝a＋ z z − = z z= 2z z z − + z z sin 2 (1 cos2 )z a i a= − − a 1 ,2k kα = π + π ∈Z sin 2 0 1 cos2 0 α α =  − ≠ 2 1, ,2 2 2 k k kk α αα = π ∴ = π + π ∈ ≠ π Z 3 5a< < ( ) ( )2 28 15 5 14 iz a a a a= − + + − − Z ,Cz ∈ .121 41log 2 1 −>−− +− z z z Z ( )1 0, 1 2 1 4log 11 2 z z − + > −− − 1 40 21 2 Z Z − +< <− − 1 8Z − > ∴ z Z ( )1 0, ( , )z a bi a b= + ∈R 0b ≠ z 0b = z 0, 0a b= ≠ z 径的圆的外部． 【例 5】 的共轭复数为 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ， ， 的共轭复数为 ，故选 B． bi(a，b∈R) 平面向量 ． II．考场精彩·真题回放 【例 1】【2017 高考新课标 1 文 3】下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ） A．i(1+i)2 B．i2(1-i) C．(1+i)2 D．i(1+i) 【答案】C 【解析】由 为纯虚数知选 C． 【例 2】【2017 高考新课标 2 文 2】 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意 ，故选 B． 【例 3】【2017 高考新课标 3 文 2】复平面内表示复数 的点 位于 （ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】由题意： ，在第三象限．所以选 C． 【例 4】【2017 高考北京文 2】若复数 在复平面内对应的点在 【命题意图】这类题主要考 查复数的基本概念、复数代 数形式的四则运算、复数加 减法的几何意义等． 【考试方向】这类试题在考 查题型上，通常以选择题或 填空题的形式出现，难度中 等偏易． 【难点中心】 1．要熟悉复数相关基本概念、 复 数 的 分 类 等 ， 如 复 数 的实部为 、 虚部为 、模为 、 对 应 点 为 、 共 轭 为 2．复数 的共 2018 1 3 i2 2  +    1 3 i2 2 − + 1 3 i2 2 − − 1 3 i2 2 + 1 3 i2 2 − 3 2 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3i i i i i 12 2 2 2 2 2 2 2 2 2         + = + + = − + + = −                         6722018 3 2 1 3 1 3 1 3 1 3i i i i2 2 2 2 2 2 2 2        ∴ + = + + = − +                  2018 1 3 i2 2  ∴ +    1 3 i2 2 − − OZ 2(1 ) 2i i+ = (1 i)(2 i)+ + = 1 i− 1 3i+ 3 i+ 3 3i+ 2(1 )(2 ) 2 3 1 3i i i i i+ + = + + = + i( 2 i)z = − + 1 2z i= − − (1 i)( i)a− + ( , )+ ∈a bi a b R a b 2 2+a b ( , )a b .−a bi i( , )a b a b+ ∈R 第二象限，则实数 的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【例 5】【2017 高考山东文 2】已知 i 是虚数单位，若复数 满足 ，则 = （ ） A．-2i B．2i C．-2 D．2 【答案】A 【解析】由 得 ，即 ，所以 ，故 选 A． 【例 6】【2017 高考天津文 9】已知 ，i 为虚数单位，若 为实数， 则 a 的值为 ． 【答案】 【解析】 为 实数，则 ． 【例 7】【2017 高考浙江 12】已知 a，b∈R， （i 是虚 数单位）则 ，ab= ． 【答案】5，2 【 解 析 】 由 题 意 可 得 ， 则 ， 解 得 ，则 ． 【例 8】【2017 高考江苏 2】 已知复数 其中 i 是虚数单位， 轭复数是 ， 据此结合已知条件，求得 的 方程即可．共轭与模是复数 的重要性质，注意运算性质 有： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ． 3．对于复数的四则运算，要 切实掌握其运算技巧和常规 思路．复数代数形式的加减 乘除运算的法则是进行复数 运算的理论依据，加减运算 类似于多项式的合并同类项， 乘法法则类似于多项式乘法 法则，除法运算则先将除式 写成分式的形式，再将分母 实数化．注意下面结论的灵 活运用：（1） ； （2） ． a ( ,1)−∞ ( , 1)−∞ − (1, )+∞ ( 1, )− +∞ i 1 iz = + 2z i 1 iz = + 2 2( i) (1 i)z = + 2 2iz− = 2 2iz = − a∈R i 2 i a − + 2− ( )(2 ) (2 1) ( 2) 2 1 2 2 (2 )(2 ) 5 5 5 a i a i i a a i a a ii i i − − − − − + − += = = −+ + − 2 0, 25 a a + = = − 2i 3 4ia b+ = +（ ） 2 2a b+ = 2 2 2 3 4a b abi i− + = + 2 2 3 2 a b ab  − =  = 2 2 4 1 a b  =  = 2 2 5, 2a b ab+ = = (1 i)(1 2i),z = + + i( , )a b a b− ∈R a 1 2 1 2z z z z± = ± 1 2 1 2z z z z× = × 2 2z z z z⋅ = = 1 2 1 2 1 2z z z z z z− ≤ ± ≤ + 1 2 1 2z z z z= × 11 2 1 zz z z = ( )21 i 2i± = ± 1 i 1 ii i1 i 1 i + −= = −− +， 则 的模是 ． 【答案】 【解析】 ，故答案为 ． III．理论基础·解题原理 1．复数的概念 （1）虚数单位 ；（2）复数的代数形式 ；（3）复数的实部、虚部，虚数与纯虚 数． 2．复数的分类：复数 3．相关公式： （1） ；（2） ；（3） ； （4） ． 指两复数实部相同，虚部互为相反数（互为共轭复数）． 4．复数运算 （1）复数加减法： ； （2）复数的乘法： ； （3）复数的除法： （类似于无理数除法的分母有理化 虚数除法的分母实数化） （4）复数加法、乘法的运算定律：复数的加法满足交换律和结合律，即对任意复数 ，有 ；复数的乘法满足交换律、结合律和乘法对加法的分配律， 即对任意复数 ，有 ． 5．常见的运算规律 ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ； z 10 (1 )(1 2 ) 1 1 2 2 5 10z i i i i= + + = + + = × = 10 i ( )i ,z a b a b= + ∈R ( )i ,z a b a b= + ∈R ( 0) ( 0, 0)( 0) ( 0, 0) b a bb a b =  = ≠ ≠  ≠ ≠ 实数 纯虚数 虚数 非纯虚数 i i ,a b c d a b c d+ = + ⇔ = = i 0 0a b a b+ = ⇔ = = 2 2iz a b a b= + = + z a bi= − zz， ( ) ( ) ( ) ( )i i ia b c d a c b d+ ± + = ± + ± ( )( ) ( ) ( )i i ia b c d ac bd bc ad+ + = − + + ( )( ) ( )( ) i ii i i i a b c da b c d c d c d + −+ =+ + − ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 i iac bd bc ad ac bd bc ad c d c d c d + + − + −= = ++ + + → 1 2 3, ,z z z ( ) ( )1 2 2 1 1 2 3 1 2 3,z z z z z z z z z z+ = + + + = + + 1 2 3, ,z z z ( ) ( ) ( )1 2 2 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3, ,z z z z z z z z z z z z z z z z z⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + = ⋅ + ⋅ z z= 2 , 2z z a z z bi+ = − = 2 2 2 2z z z z a b⋅ = = = + z z= z z z= ⇔ ∈R ⑥ ；⑦ ；⑧ ； ⑨设 是 1 的立方虚根，则 ． 6．复数的几何意义 （1）复平面：用来表示复数的直角坐标系，其中 轴叫做复平面的实轴， 轴叫做复平面的虚轴．复 数的模： ． （2）复数加法、减法的几何意义：若复数 对应的向量 不共线，则复数 是以 为邻边的平行四边形对角线 所对应的复数；复数 是连接向量 终点，并指向 被减数向量 ，即向量 所对应的复数． IV．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】 这类试题主要考查复数的基本概念、复数代数形式的四则运算、复数加减法的几何意义等，突出考查 基本运算能力与数形结合思想．在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，为容易题． 【技能方法】 1．处理有关复数概念的问题，首先要找准复数的实部与虚部（若复数为非标准的代数形式，则应通过 代数运算化为代数形式），然后根据定义解题． 2．在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减) 计算即可． 3．在进行复数的乘法运算时： （1）复数的乘法类似于两个多项式相乘，即把虚数单位 作字母，然后按多项式的乘法法则进行运算， 最后只要在所得的结果中把 换成 ，并且把实部和虚部分别结合即可，但要注意把 的幂写成简单的形 式； （2）实数范围内的运算法则在复数范围内仍然适用，如交换律、结合律以及乘法对加法的分配律、正 整数指数幂的运算律，这些对复数仍然成立． 4．在进行复数的除法运算时，关键是分母“实数化”，其一般步骤如下： （1）分子、分母同时乘分母的共轭复数；（2）对分子、分母分别进行乘法运算；（3）整理、化简成 实部、虚部分开的标准形式． 4 1 4 2 4 3 4 4i i , i 1, i i , i 1n n n n+ + + += = − = − = ( )21 i i± = ± 21 i 1 i 1 ii , i , i1 i 1 i 2 + − ± = = − = ± − +   1 3i 2 ω − += 2 3 1 3 2 3 31 0 , , , 1n n nω ω ω ω ω ω ω+ + ++ + = = = = x y 2 2iz OZ a b a b= = + = + ( )i ,z a b Z a b OZ = + ←→    一一对应复数 复平面内的点 平面向量 1 2,z z 1 2,OZ OZ  1 2z z+ 1 2,OZ OZ  OZ 1 2z z− 1 2,OZ OZ  1OZ 2 1Z Z i 2i 1− i 【易错指导】 在进行复数的运算时，不能把实数集的某些法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论，当 时 不一定成立：（1） （ 为分数时不成立）；（2） （ 时等式不成 立）； （3） （ 时不成立）． V．举一反三·触类旁通 考向 1 复数的有关概念 对于复数 ， 取不同值其类别也不一样： ① 且 ，则 为虚数；② 且 ，则 为纯虚数；③ ，则 为实数． 【例 1】【2018 衡水金卷信息卷（五）】已知 为虚数单位，复数 的虚部为 ，则实数 A． B． C． D． （ ） 【答案】C 【解析】 ， ，则 ， 故选 ．学 5 【例 2】【2018 天津高三 9 校联考】若复数 满足 ，则其共轭复数 在复平面内对应的点 位于 （ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【例 3】已知 ， 为虚数单位，若 为实数，则 的值为 ． 【答案】 【解析】 为实数，则 ． 【名师点睛】 1．复数 的实部为 、虚部为 、模为 、对应点为 、共轭复数为 z ∈C ( )nm mnz z= ,m n m nz z m n= ⇒ = iz = 2 2 1 2 1 20 0z z z z+ = ⇔ = = 1 21 i , 1 iz z= + = − ( )i ,z a b a b= + ∈R ,a b 0a ≠ 0b ≠ z 0a = 0b ≠ z 0b = z z 1 2 1i iz − = − z a∈R i i 2 i a − + a 2− ( )(2 ) (2 1) ( 2) 2 1 2 2 (2 )(2 ) 5 5 5 a i a i i a a i a a ii i i − − − − − + − += = = −+ + − 2 0, 25 a a + = = − ( )i ,a b a b+ ∈R a b 2 2a b+ ( ),a b i ( )1 1 i aiz i += + 2 a = 1 2 3 4 ( )( ) ( )( )1 1 1 1 1 2 2 2 2 i ai i a i i a az i + − − + − − + += = = + 1 22 a+∴ = 3a = C ． 2．复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数 化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）组即可． 【跟踪练习】 1．【2018 山西联考】 是虚数单位，若 ，则 的值是(　　) A． B． C．0 D． 【答案】C 【解析】 ，故选 C． 2．【2018 河南六市联考】已知 为虚数单位， ，若 为纯虚数，则复数 的模等 于 (　　) A． B． C． D． 【答案】C 3．【2018 重庆高三二模】已知 是虚数单位，则复数 的虚部是 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题得 = 所以 的虚部 是-1．故选 A． 4．【2018 上海浦东新区高三一模】已知 是虚数单位，复数 满足 ，则 ________ 【答案】 【解析】∵ ，∴ ， ia b− i ( )2 i i ,1 i a b a b + = + ∈+ R ( )lg a b+ 2− 1− 1 2 ( )( ) ( )( ) ( )2 i 1 i 3 i 3 1 3 1i i , , , lg 01 i 1 i 2 2 2 2 2a b a b a b + − −+ = = = − ∴ = = − ∴ + =+ − i a∈R 2 i i − +a 2 2iz a= + 2 11 3 6 i ( )21 1 iz i −= + 1− 1 i− i ( )21 1 iz i −= + ( ) ( )( ) 2 2 11+ 2 2 2 2 1 .1 1 1 1 2 i ii i i i ii i i i − −− − −= = = = −+ + + − ( )21 1 iz i −= + i z ( )1 3 1z i⋅ + = z = 1 2 ( )1 3 1z i⋅ + = ( )( )1 1 3 1 3 1 3 1 3 4 41 3 1 3 1 3 i iz i i i i − −= = = = −++ + − ∴ ，故答案为 ． 【名师点睛】复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位 的看作一类同类 项，不含 的看作另一类同类项，分别合并即可．复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复 数，解题中要注意把 的幂写成最简形式． 考向 2 复数的运算 复数的加、减、乘运算可以类比多项式的运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意把 i 的幂写成最简形式．记住几个常用结论，在解题时很有用： （1） ； ； ． （2） ． 【例 4】 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由复数除法的运算法则有： ，故选 D． 【例 5】已知复数 ，则函数 图象的一个对 称中心是 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ． ， 令 ． 令 ， 得 ， 图象的一个对称中心是 ，故选 D．学 3 【例 6】（2018 陕西联考改编）如图，在复平面内，复数 对应的向量分别是 ，则复数 对应点的坐标分别为 ． ( )21 i 2i± = ± 1 i i1 i + =− 1 i i1 i − = −+ 4 4 1 4 2 4 3 4 4 1 4 2 4 3i 1, i i , i 1, i i , i i i i 0 ,n n n n n n n n n+ + + + + + ∗= = = − = − + + + = ∈N 3 1 i i + =+ 1 2i+ 1 2i− 2 i+ 2 i− ( )( )3+ 13 21 2 i ii ii −+ = = −+ ( )( ) ( )1 i i 2 4i ,a b a b+ + = + ∈R ( ) 2sin 6f x ax b π = + +   ,16 π −   , 018 π −   , 36 π −   ,118 5π     ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 4i 1 i2 4i1 i i 2 4i , i 3 i , 3 11 i 1 i 1 ia b a b a b + −++ + = + ∴ + = = = + ∴ = =+ + − ， ( ) 2sin 3 16f x x π ∴ = + +   3 6 18 3 kx k x k π π π+ = π ,∴ = − + , ∈Z 1k = 18x 5π= ( ) 2sin 3 16f x x π ∴ = + +   ,118 5π     1 2,z z ,OA OB  1 2 1 2,z z z z+ − 221 3 1 4 4 2z   = + =        1 2 i i i 【答案】 【解析】由已知 ， 对应点的坐标分别为 ． 【跟踪练习】 1．已知 是虚数单位，若 ，则 （ ） A．1 或 B． 或 C． D． 【答案】A 【解析】由 得 ，所以 ，故选 A． 2．【2018 四川资阳高三 4 月模拟考试（三诊）】复数 满足 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 3．【2018 湖南永州高三下三模】已知 为虚数单位，复数 满足 ，则 的虚部为（ ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解析】 ，所以虚部为 1，故选 C． 4．【2018 衡水金卷调研五】已知复数 ， （ ， 为虚数单位），若 ， 则 的值为 ( )2 , 0− ( )2 , 2− − ( ) ( ) ( ) ( ) 1 22 , 1 , 0 ,1 , 2 , 0 , 2 , 2 ,OA OB OA OB OA OB z z= − − = ∴ + = − ∴ − = − − ∴ +      1 2z z− ( ) ( )2 , 0 , 2 , 2− − − , ia∈R 3i , 4z a z z= + ⋅ = a = 1− 7 7− 3− 3 3i , 4z a z z= + ⋅ = 2 3 4a + = 1a = ± ( ) 11 i 1 iz − = + z = 2 2 i2 2 − 2 2 i2 2 + 1 i− 1 i+ i z ( )2 5i z− = z 1− ( ) ( )( ) 5 25 22 2 2 iz ii i i += = = +− − + 1 2 3z i= + 2z a i= + a R∈ i 1 2 1 8z z i= + a A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ，由已知有 ，所以 ，解出 ，选 C． 5．已知 ， （ 是虚数单位）则 ， ． 【答案】5，2 【解析】由题意可得 ，则 ，解得 ， ． 6． 是方程 的一个根，且 ，则 ________． 【答案】 考向 3 复数的几何意义 复数的加法、减法的几何意义在解决点的坐标、轨迹，及一些简单几何问题的证明中要注意使用，并 且要有意识地与向量知识联系，体现数形结合的思想． 共 轭 与 模 是 复 数 的 重 要 性 质 ， 主 要 有 ： （ 1 ） ； （ 2 ） ； （ 3 ） ； （4） ；（5） ；（6） ． 【例 7】【2018 贵州省高三适应性考试】在复平面内，复数 对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】 ，∴ 在复平面内对应的点为 ，在第一象限，故选 A． 【例 8】（1）设复数 满足 ，则 （ ） ,a b∈R 2i 3 4ia b+ = +（ ） i 2 2a b+ = ab = 2 2 2 i 3 4ia b ab− + = + 2 2 3 2 a b ab  − =  = 2 2 4 1 a b  =  = 2 2 5a b∴ + = 3 2i− + 22 0x px q+ + = ,p q∈R p q+ = 38 1 2 1 2z z z z± = ± 1 2 1 2z z z z× = × 2 2z z z z⋅ = = 1 2 1 2 1 2z z z z z z− ≤ ± ≤ + 1 2 1 2z z z z= × 11 2 1 zz z z = z ( )1 i 2iz+ = z = 1 2 1 2 4 ( )( ) ( )1 2 2 3 2 3 2 3z z i a i a a i= + + = − + + 1 2 1 8z z i= + 2 3 1{ 2 3 8 a a − = + = 2a = 1 iz i = + ( ) ( )( ) 1 1 1 1 1 2 i ii iz i i i − += = =+ + − 1 1 2 2     ， A． B． C． D．2 （2）若复数 在复平面内对应的点在第二象限，则实数 的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 【答案】（1）C；（2）B． 【解析】（1）由题意可得： ，由复数模的性质 可得 ，故选 C． （2） ，因为对应的点在第二象限，所以 ，解得： ，故选 B． 【名师点睛】复数的几何意义及应用 （1）复数 、复平面上的点 及向量 相互联系，即 ． （2）由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起， 解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．学 1 【例 9】【2018 河北衡水金卷调研五】设 为虚数单位，现有下列四个命题： ：若复数 满足 ，则 ； ：复数 的共轭复数为 ：已知复数 ，设 ，那么 ； ：若 表示复数 的共轭复数， 表示复数 的模，则 ． 其中的真命题为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ：若复数 满足 ， ，故 正确； ： 1 2 2 2 2 ( )( )1 i a i− + a ( ),1−∞ ( ), 1−∞ − ( )1, + ∞ ( )1,− + ∞ 2i 1 iz = + 11 2 1 zz z z = 2i 2 21 i 2 z = = =+ ( )( ) ( ) ( )1 i i 1 1 iz a a a= − + = + + − 1 0 1 0 a a + <  − > 1a < − z Z OZ ( ) ( )i , ,z a b a b Z a b OZ= + ∈ ⇔ ⇔R  i 1p z ( )( ) 5z i i− − = 6z i= 2p 2 2z i = − + 1+i 3p 1z i= + ( )1 ,ia bi a b Rz −+ = ∈ 2a b+ = − 4p z z z z 2zz z= 1 3,p p 1 4,p p 2 3,p p 2 4,p p 1p z ( )( ) 5z i i− − = 5 6z i ii ∴ = + =− 1p 2p 2 2z i = − + 所以 正确，故选 B． 【跟踪练习】 1．【2018 贵州凯里一中高三下学期黄金卷（三）】已知复数 ，其中 是虚数单位，则在复 平面内， 的共轭复数 对应的点所在象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】 ， ，所以 所对应的点在第四象限，故选 D． 2．【2018 衡水金卷调研（三）】复数 （其中 为虚数单位， ）满足 是纯虚 数，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意可设 ，∴ ， ∴ ，解得： ，∴ ，∴ ，故选 D． 3．【2018 齐鲁名校教 研协作体山东、湖北部分重点中学高考冲刺模拟】已知复数 在复平面内 对应的点关于实轴对称，若 （其中 是虚数单位），则复数 的虚部等于 A． B． C． D． 【答案】A 4p ( )1z i i= − i z z ( ) 21 1z i i i i i= − = − = + 1z i= − z ( )2 iz x x= + + i Rx∈ 2 i z + z = 5 2 5 5 3 2 5 3 ( )2 i 0bi b R bz + = ∈ ≠且 ( ) ( )2 i 2 i 2x x bi b x xbi + = + + × = − + +  ( )2 2{ 1 b x xb = − + = 2x 3 = − 2 4 3 3z i= − + 2 5 3z = 1 2z z、 ( ) 2 3 2018 12 i z i i i i− ⋅ = + + + + i 2z 1 5 − 1 5 3 5 − 1 5 i− 4．已知复数 其中 是虚数单位，则 的模是 ． 【答案】 【解析】 ，故答案为 ． 5．【2018 上海杨浦区高三下学期质量调研（二模）】若复数 满足 ，则 的最大值是________ 【答案】2 【解析】设 ． ， ， ，当 时， ． 6．【2018 上海长宁、嘉定区高三第一次质量调研（一模）】已知复数 满足 ， 的虚部为 2． （1）求复数 ； （2）设 在复平面上的对应点分别为 ， ， ，求△ 的面积． 【答案】（1） 或 （2） ．　　　　 【解析】试题分析：（1）设 ，根据条件列出方程即可求解；（2）根据复数对应点的含义， 求出三角形顶点坐标，即可求出三角形面积． （2）由（1）知， 时， ， ，所以， ， ， ，　 ．当 时， ， ，所以 ， ， ， ． ( )( )1 i 1 2i ,z = + + i z 10 ( )( )1 i 1 2i 1 i 1 2i 2 5 10z = + + = + + = × = 10 ( )i ,z a b a b= + ∈R ( )22 2 2i 1 1 2 1 2 2z a b b b b b− = + − = − + + + = − i 2maxz − = z 1z = z i− 1z = 2 2 1a b∴ + = 1b = z 2z = 2z z 2 2, ,z z z z− A B C ABC 1 iz = + 1 iz = − − 1ABCS∆ = iz x y= + 1 iz = + 2 2iz = 2 1 iz z− = − ( )1,1A ( )0,2B ( )1, 1C − 1ABCS∆ = 1 iz = − − 2 2iz = 2 1 3iz z− = − − ( )1, 1A − − ( )0,2B ( )1, 3C − − 1ABCS∆ = 【名师点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的 理解，掌握纯虚数，共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化，转化为复 数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分．