广东高考数学文科试题及详解

广东高考数学文科试题及详解

‎2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）‎ 数学（文科B卷）‎ 本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设为虚数单位，则复数 A． B． C． D．‎ ‎【解析与点评】，选D.分母实数化，地球人都懂做.‎ ‎2．设集合,，则 A． B． C． D．‎ ‎【解析与点评】A．.补集的概念，太阳系人都懂做.‎ ‎3．若向量，则 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎【解析与点评】A..向量加法，银河系人都会做.第八次月考考过.‎ ‎4．下列函数为偶函数的是 A． B． C． D．‎ ‎【解析与点评】D．.函数的奇偶性.太阳系的人都会做.‎ ‎5．已知变量满足约束条件则的最小值为 A． B． C． D ‎【解析与点评】C．.线性规划，练过太多了.数形结合 ‎6．在中，若，，，则 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎【解析与点评】B． .解三角形，考前刚讲过这个题，感动啊！不过太简单，数形结合 ‎7．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎【解析与点评】C． .三视图，简单几何体的组合体的体积.记得刚做过的12年深圳2模第9题么？太简单，直接代公式 ‎8．在平面直角坐标系中，直线与圆相交于、两点，则弦的长等于 ‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎【解析与点评】B..直线与圆的位置关系、弦长.我命的第八次月考的时候刚好考过.太简单，数形结合的思想.‎ ‎9．执行如图2所示的程序框图，若输入的值为6，则输出的值为 ‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎【解析与点评】C．.算法与程序框图，只需带入运行一遍程序即可，小心就能做对.‎ ‎10．对任意两个非零的平面向量，定义．若两个非零的平面向量满足与的夹角，且和都在集合中，则 A． B． C． D． ‎ ‎【解析与点评】D..向量的数量积与夹角、新定义、特殊值法.选择题中的压轴题 ‎，，令，则，即，，要使和都在集合中，只需，故选D.‎ 令解：，，两式相乘，得，，，即，由于，故，即， ‎ ‎【解析与点评】选择题有两个题目跟向量有关，跟我在第八次月考的时候预测的一样，考了多次.本题特殊值的解法也是很重要的.‎ 二、填空题：本大题共5小题．考生作答4小题．每小题5分，满分20分． ‎ ‎（一）必做题（11～13题）‎ ‎11．函数的定义域为________________________．‎ ‎【解析与点评】，函数的定义域，平时多次考查到，主要怕没有写成区间或集合.‎ ‎12．若等比数列满足，则_______________．‎ ‎【解析与点评】，基本元的思想，整体代换.跟我第八次月考时候预测的一样，填空题有一个数列题，用的是基本元的思想，在刚做的2012深圳2模试题12题也刚好考查到，很多同学都问过我这个题，嘿嘿.‎ ‎13．由整数组成的一组数据其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为_______________________．(从小到大排列)‎ ‎【解析与点评】，平均数①；中位数，不妨设为，则②；标准差，即③，由于为整数，所以只能为0、1、、4，只能取0、1、2、3、4；由①、②得④⑤，两两可能的组合为.列举如下：共六中可能，其中满足③的只有，本题列举法跟广东高考09年文科10非常相似，这是我们最后做的一套高考题，有印象么？‎ ‎【解析与点评】10、13两个题是小题中的压轴题，选择小题小做的方法是最佳的选择，特殊值、列举法都是历年解历年高考小题的重要方法，同学们，你选对特殊值了么？当然，要做到特殊值这一步还需要有化归与转化的思想，像第10题的向量的数量积运算、第13题的均值、中位数和标准差，都需要用数学的基础知识进行转化.‎ ‎（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）‎ ‎14．（坐标系与参数方程选做题）‎ 在平面直角坐标系中中，曲线和曲线的 参数方程分别为（为参数，）和（为参数），则曲线和曲线的交点坐标为 ．‎ 图3‎ O A B C P D ‎·‎ ‎【解析与点评】.联立方程组解得负根舍去.直线和圆的位置关系，我最最强调的.小心，你没掉到陷阱吧？本题陷阱前几年高考已经出现过.‎ ‎15．（几何证明选讲选做题）‎ 如图3，直线PB与圆相切与点B，D是弦AC上的点，，若，则AB= ．‎ ‎【解析与点评】.考查了弦切角、相似三角形、相似比.,.这个题考查知识点考前我多次强调过，特别是证明切割线定理及其推论的时候，反复强调，同学们，你们拿下了么？‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎【经验】1、回归基础，对常考6大项内容反复巩固；‎ ‎2、考前应该再多次回顾大题解题的常用思想方法；‎ ‎16．（本小题满分12分）‎ 已知函数,且．‎ （1） 求的值；‎ （2） 设，，求的值．‎ ‎【解析与点评】解：（1），‎ ‎（2）由（1）得故，‎ ‎，‎ ‎，，，‎ ‎.‎ 本题考查方式跟近几年广东高考方式一样，缺乏创新点，在最后一个月复习的时候我们也重新做过这几年的高考试题，大家对这个题目应该不会陌生.主要的易错点在特殊角的三角函数值、正负号的运算、是否乘了和展开之后是减号.信心点算，这个题目容易拿下.广东卷首发于数学驿站：www．maths168．com）‎ ‎17．（本小题满分13分）‎ 某学校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：‎ ‎，，，，．‎ (1) 求图中的值 (2) 根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；‎ (3) 若这100名学生语文成绩某些分数段的人数与数学成绩相应分数段的人数 之比如下表所示，求数学成绩在之外的人数．‎ 分数段 x：y ‎1：1‎ ‎2：1‎ ‎3：4‎ ‎4：5‎ ‎【解析与点评】解：（1）由 解得；‎ ‎（2）设这100名学生语文成绩的平均分为，则 ‎（3）对的值列表如下（列表主要为了方便叙述，不列也可以）‎ 分数段 ‎5‎ ‎40‎ ‎30‎ ‎20‎ ‎5‎ ‎20‎ ‎40‎ ‎25‎ 由上表可知数学成绩在之外的人数为人 ‎ 本题主要考查了频率分布直方图 ‎、用频率分布直方图估计总体的平均数，第三问考了一个简单的应用问题.今年高考没有考查概率.这种题型我们练得比较多，而且第三问考查简单的阅读理解能力，这在第八次月考的时候已经考查到.本题比较基础，只要细心点易拿满分.‎ ‎18．（本小题满分13分）‎ G 如图5所示，在四棱锥P-ABCD中,AB平面PAD,ABCD,PD=AD,E是PB的中点，F是DC上的点，且DF=AB,PH为PAD中AD边上的高．‎ （1） 证明：PH平面ABCD；‎ （2） 若PH=1，AD=,FC=1，求三棱锥E-BCF的体积；‎ （3） 证明：EF平面PAB． ‎ ‎【解析与点评】证明：‎ ‎（1）平面，平面①‎ 为中AD边上的高,②‎ 由及①②得.‎ ‎（2）平面，平面 到平面的距离等于 ‎(3)取的中点，连接、为中点，在中，,四边形为平行四边形 在中，③，平面，平面④‎ 由及③④得 ‎ 本题第一问证明线面垂直，练得非常多了，注意格式完整即可；第二问这种中点高的问题、同底等高的三角形面积的求法在一、二轮复习的时候讲过，推临班重点讲过.可惜的是最后三轮复习的时候没有在全班上再重复一次，打了一些折扣；第三问跟第一问同是证明线面垂直，不过需要根据条件先用线面线线平行进行转换，考查到了我们平时备考时不注意的地方，属于点穴的题目，估计点倒不少同学，如果用平时教的分析法来分析，没有注意到PD=AD这个重要条件的提示来分析的话，就难以做出这一小问.在立体几何备考过程中，3轮次的复习，每轮次都必须将所有的知识和技能复习到，否则到了高考，复习效果就会大大折扣了.另一方面，本题也考察了我们分析问题的能力，打破惯性思维，要根据题意选择恰当方法来做题.对文科考生，本题有很强的指导意义.‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ 设数列的前项和，数列的前项和为，满足．‎ （1） 求的值；‎ （2） 求数列的通项公式．‎ ‎【解析与点评】解：（1）当时，，‎ ‎（2）当时，，‎ 当时，上式也满足，所以 当时， ‎ 化简得，，，‎ 即是以为首项，公比的等比数列，所以 所以，当时，上式也满足，故数列的通项公式 ‎ 本题考查了数列中两个常规的问题（1）已知求，本题的亮点就在于用了两次这个方法；（2）类型的递推数列求通项公式，这两个方法都是课本里面较为强调的方法，今年高考考查非常到位，应该表扬出题老师.这个题已知求的方法我在周二刚特别强调过，哎唷，不懂当时领会的有几人；类型的递推数列求通项公式我在最后一个月讲评11年高考题的时候重点突出过，也举了课本上相应的典型例子，不懂今年班上有几位同学能做到这里呢？‎ ‎20． （本小题满分14分）‎ 在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，且点在上．‎ （1） 求椭圆的方程；‎ （2） 设直线与椭圆和抛物线相切，求直线的方程．‎ ‎【解析与点评】解：（1）由椭圆左焦点为，得，即 由点在上，得即，所以，所以椭圆的方程为 ‎（2）做草图如右图所示，因为直线与椭圆和抛物线相切，由图像可知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为（）‎ 由直线与椭圆相切，，消去化简得，‎ 即①‎ 由直线与抛物线相切，，消去化简得，，即②‎ 由②可得，带入①化简得，，，，所以，所以直线的方程为或.‎ 我真是爱死这个题了！还记得我们刚刚讨论过第一问的作法么？到底是用方程的思想还是用定义法求，同学们，你看到我们师生合作的超级效果了没？哇！本题第二问正是用了我月考出的圆锥曲线那一题的判别式的方法，你惊呆了没有！老师帅么？想必班上不少同学都能拿下这一题，只需要一定的运算能力.‎ 第一问是非常常规的求椭圆方程的题目，亮点就在我们刚刚讲过，第二问考查了化归与转化的思想、方程的思想：划归与转化就是将相切的问题转化为两个方程只有一组解，判别式等于0；方程的思想即直线方程两个参数，用两个方程（等式）解方程组就可以求出来啦，老师经常强调的方法，考试的时候你想我了吗？‎ ‎21． （本小题满分14分）‎ 设，集合，，．‎ (1) 求集合（用区间表示）；‎ (2) 求函数在内的极值点．‎ ‎【解析与点评】分析：（1）对于集合，由，令，这是一个二次函数，开口向上，对称轴，图像与轴交点纵坐标 .结合图像可知的图像有如下可能：‎ ‎，‎ i)当，即时，的解集为，故 ii)当,即时，对称轴，的解集为，故 iii)当,即时，的解集为，故 综上所述，（偷懒一下啦，略）‎ ‎(2) ,‎ 令，解得，导函数的图像如右图所示，由（1）可得 i)当时，,极值点为 ii)当时，,极值点为 iii)当时, ,注意到 ‎，所以；，所以,‎ 所以此时极值点为.‎ 综上所述，（偷懒一下啦，略）‎ 这个题目我是又爱又恨啊，爱的是第一问我考前重点复习过，大家还记得我同时讲评11年高考文科19题和11年广州调研21题时候的情景么？当时我说了：我尽了我的最大的努力，让基础不好和基础好的同学都有收获.那是下午第三节课.我有点伤悲，不管是当时还是现在，我们班整体的基础还是比较差，能够跟着老师来到最后一题的人毕竟是少数了，虽然有那么优秀的老师来教大家，但是我估计，能完成这个第一问的，可能只有何木妹跟陈荣光吧，王景秀和凌秀琴那天似乎没有认真听，接下来秀琴还搞逃课事件，唉~~（仅为猜测，猜错了勿要鄙视我，不懂大家发挥如何啊.）‎ 第二问做到求导、令导数等于0求出可以有1、2分吧，呵呵，拿到的同学可以偷笑了.第二问需要结合第一问的的图像来做，特别是第三种情况.数形结合的思想在这个题目中发挥得淋漓尽致，需要一点点的灵感才能完成。‎ 整个题目拿到满分虽然难，但是拿到10分是很容易的事情，同学们，你做到哪一步了？‎