【数学】2021届一轮复习人教A版解三角形学案
2021届一轮复习人教A版 解三角形 学案
1．正弦定理
＝＝＝2R
其中2R为△ABC外接圆直径。
变式：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC。
a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC。
2．余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝a2＋c2－2accosB；
c2＝a2＋b2－2abcosC。
变式：cosA＝；cosB＝；
cosC＝。
sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA。
3．解三角形
(1)已知三边a，b，c。
运用余弦定理可求三角A，B，C。
(2)已知两边a，b及夹角C。
运用余弦定理可求第三边c。
(3)已知两边a，b及一边对角A。
先用正弦定理，求sinB，sinB＝。
①A为锐角时，若a
b，一解。
(4)已知一边a及两角A，B(或B，C)用正弦定理，先求出一边，后求另一边。
4．三角形常用面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示a边上的高)。
(2)S＝absinC＝acsinB＝bcsinA＝。
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)。
在△ABC中，常有以下结论：
1．∠A＋∠B＋∠C＝π。
2．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
3．sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sin＝cos；cos
＝sin。
4．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB。
一、走进教材
1．(必修5P10A组T4改编)在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝( )
A． B．
C． D．
解析 因为在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，所以由余弦定理得cos∠BAC＝＝＝－，因为∠BAC为△ABC的内角，所以∠BAC＝。故选C。
答案 C
2．(必修5P24A组T6改编)如图，设点A，B在河的两岸，一测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C，测出A，C两点间的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点间的距离为( )
A． m B．25 m
C．50 m D．50 m
解析 在△ABC中，∠ABC＝30°，由正弦定理得＝，即＝，所以AB＝50(m)，故选C。
答案 C
二、走近高考
3．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝( )
A．4 B．
C． D．2
解析 因为cosC＝2cos2－1＝2×2－1＝－，所以c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋25－2×1×5×＝32，所以c＝4。故选A。
答案 A
4．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c。已知sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，a＝2，c＝，则C＝( )
A． B．
C． D．
解析 因为sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，所以sin(A＋C)＋sinAsinC－sinAcosC＝0，所以sinAcosC＋cosAsinC＋sinAsinC－sinAcosC＝0，整理得sinC(sinA＋cosA)＝0，因为sinC≠0，所以sinA＋cosA＝0，所以tanA＝－1，因为A∈(0，π)，所以A＝，由正弦定理得sinC＝＝＝，因为0b，则A>B，所以B为锐角，故B＝45°。
答案 45°
6．在△ABC中，a＝2，b＝3，C＝60°，则c＝________，△ABC的面积等于________。
解析 易知c＝＝，△ABC的面积等于×2×3×＝。
答案
7．在△ABC中，角A，B，C满足sinAcosC－sinBcosC＝0，则三角形的形状为________。
解析 由已知有cosC(sinA－sinB)＝0，所以有cosC＝0或sinA＝sinB，解得C＝90°，或A＝B。
答案 直角三角形或等腰三角形
第1课时 正弦定理和余弦定理
考点一利用正、余弦定理解三角形
【例1】 (2018·天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c。已知bsinA＝acos。
(1)求角B的大小；
(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值。
解 (1)在△ABC中，由正弦定理＝，
可得bsinA＝asinB，
又由bsinA＝acos，
得asinB＝acos，
即sinB＝cos，
可得tanB＝。
又因为B∈(0，π)，可得B＝。
(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，
有b2＝a2＋c2－2accosB＝7，故b＝。
由bsinA＝acos，可得sinA＝。
因为ab，则B＝( )
A． B．C． D．
(2)(2019·河南郑州质量预测)在△ABC中，∠ABC＝90°，延长AC到D，使得CD＝AB＝1，若∠CBD＝30°，则AC＝_____。
解析 (1)由正弦定理得，sinAsinBcosC＋sinCsinBcosA＝sinB，因为sinB≠0，所以sinAcosC＋sinCcosA＝，即sin(A＋C)＝，所以sinB＝。已知a>b，所以B不是最大角，所以B＝。
(2)设AC＝x(x>0)，在△BCD中，由正弦定理得＝，所以BD＝2sin∠BCD，又sin∠BCD＝sin∠ACB＝，所以BD＝。在△ABD中，(x＋1)2＝1＋2－2··cos(90°＋30°)，化简得x2＋2x＝，即x3＝2，故x＝，故AC＝。
答案 (1)A (2)
考点二判断三角形形状
【例2】 (1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．等腰非等边三角形
C．等边三角形 D．钝角三角形
(2)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若＋＝2c，则△ABC的形状是( )
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
解析 (1)因为＝，所以＝。所以b＝c。又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝＝＝。因为A∈(0，π)，所以A＝。所以△ABC是等边三角形。
(2)因为＋＝2c，所以由正弦定理可得＋＝2sinC，而＋≥2＝2，当且仅当sinA＝sinB时取等号。所以2sinC≥2，即sinC≥1。又sinC≤1，故可得sinC＝1，所以C＝90°。又因为sinA＝sinB，所以A＝B。故三角形为等腰直角三角形。故选C。
答案 (1)C (2)C
判断三角形形状的两种思路
1．化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状。
2．化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状。此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论。
【变式训练】 (2019·山西太原五中模拟)在△ABC中，＝sin2(a、b、c分别为角A、B、C的对边)，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
解析 由cosB＝1－2sin2得sin2＝，所以＝，即cosB＝。由余弦定理得＝，即a2＋c2－b2＝2a2，所以a2＋b2＝c2。所以△ABC为直角三角形，又无法判断两直角边是否相等。故选A。
解析：由正弦定理得cosB＝，又sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，所以cosBsinC＝sinBcosC＋cosBsinC，即sinBcosC＝0，又sinB≠0，所以cosC＝0，又角C为三角形的内角，所以C＝，所以△ABC为直角三角形，又无法判断两直角边是否相等。故选A。
答案 A
考点三三角形的面积问题
【例3】 (2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c。已知sinA＋cosA＝0，a＝2，b＝2。
(1)求c；
(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积。
解 (1)由已知条件可得tan A＝－，A∈(0，π)，所以A＝，在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4ccos，即c2＋2c－24＝0，
解得c＝－6(舍去)，或c＝4。
(2)如图，由题设可得∠CAD＝，
所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝，
故△ABD面积与△ACD面积的比值为
＝1，
又△ABC的面积为×4×2sin∠BAC＝2，
所以△ABD的面积为。
解法一：由余弦定理得cosC＝，
在Rt△ACD中，cosC＝，
所以CD＝，所以AD＝，DB＝CD＝，
所以S△ABD＝S△ACD＝×2××sinC＝×＝。
解法二：∠BAD＝，由余弦定理得cosC＝，
所以CD＝，所以AD＝，
所以S△ABD＝×4××sin∠DAB＝。
解法三：过B作BE垂直AD，交AD的延长线于E，在△ABE中，∠EAB＝－＝，AB＝4，所以BE＝2，所以BE＝CA，从而可得△ADC≌△EDB，所以BD＝DC，即D为BC中点，所以S△ABD＝S△ABC＝××2×4×sin∠CAB＝。
三角形面积公式的应用原则
1．对于面积公式S＝absinC＝acsinB＝bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式。
2．与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化。
【变式训练】 (1)(2018·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c。已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________。
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，btanB＋btanA＝2ctanB，且a＝5，△ABC的面积为2，则b＋c的值为________。
解析 (1)因为bsinC＋csinB＝4asinBsinC，由正弦定理得＝＝＝2R，可得sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC，因为B，C∈(0，π)，所以sinBsinC≠0，即4sinA＝2，sinA＝，又b2＋c2－a2＝8＝2bccosA>0，所以A＝且bc＝，则S△ABC＝bcsinA＝××＝。
(2)由正弦定理及btanB＋btanA＝2ctanB，得sinB·＋sinB·＝2sinC·，因为B∈(0，π)，所以sinB≠0，即cosAsinB＋sinAcosB＝2sinCcosA，亦即sin(A＋B)＝2sinCcosA，故sinC＝2sinCcosA。因为sinC≠0，所以cosA＝，A∈(0，π)，所以A＝。由面积公式，知S△ABC＝bcsinA＝2，所以bc＝8。由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－3bc，代入可得b＋c＝7。
答案 (1) (2)7
1．(配合例1使用)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin－cos＝。
(1)求cosB的值；
(2)若b2－a2＝ac，求的值。
解 将sin－cos＝两边同时平方得，
1－sinB＝，得sinB＝，故cosB＝±，
又sin－cos＝>0，所以sin>cos，
所以∈，所以B∈，
故cosB＝－。
(2)由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋ac，
所以a＝c－2acosB＝c＋a，
所以c＝a，故＝。
2．(配合例1使用)如图所示，在△ABC中，B＝，D为边BC上的点，E为AD上的点，且AE＝8，AC＝4，∠CED＝。
(1)求CE的长；
(2)若CD＝5，求cos∠DAB的值。
解 (1)因为∠AEC＝π－＝，
所以在△AEC中，由余弦定理得AC2＝AE2＋CE2－2AE·CEcos∠AEC，
所以160＝64＋CE2＋8CE，
所以CE2＋8CE－96＝0，
所以CE＝4(负值舍去)。
(2)在△CDE中，由正弦定理得＝，
所以5sin∠CDE＝4×，所以sin∠CDE＝，
因为点D在边BC上，所以∠CDE>B＝，而<，
所以∠CDE只能为钝角，所以cos∠CDE＝－，
所以cos∠DAB＝cos＝cos∠CDEcos＋sin∠CDEsin＝－×＋×＝。
3．(配合例3使用)已知△ABC的面积为3，AC＝2，BC＝6，延长BC至D，使∠ADC＝45°。
(1)求AB的长；
(2)求△ACD的面积。
解 (1)因为S△ABC＝×6×2×sin∠ACB＝3，所以sin∠ACB＝，∠ACB＝30°或150°，
又∠ACB>∠ADC，且∠ADC＝45°，所以∠ACB＝150°，
在△ABC中，由余弦定理得AB2＝12＋36－2×2×6cos150°＝84，所以AB＝＝2。
(2)在△ACD中，因为∠ACB＝150°，∠ADC＝45°，
所以∠CAD＝105°，
由正弦定理得＝，
所以CD＝3＋，
又∠ACD＝180°－150°＝30°，
所以S△ACD＝AC·CD·sin∠ACD＝×2×(3＋)×＝。
第2课时 解三角形的综合应用
考点一三角形的实际应用
【例1】如图，为了测量河对岸A，B两点之间的距离，观察者找到一个点C，从C点可以观察到点A，B；找到一个点D，从D点可以观察到点A，C；找到一个点E，从E点可以观察到点B，C；并测量得到：CD＝2，CE＝2，∠D＝45°，∠ACD＝105°，∠ACB＝48.19°，∠BCE＝75°，∠E＝60°，则A，B两点之间的距离为________。
解析 依题意知，在△ACD中，∠CAD＝30°，由正弦定理得AC＝＝2，在△BCE中，∠CBE＝45°，由正弦定理得BC＝＝3。因为在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB＝10，所以AB＝。
答案
利用正、余弦定理解决实际问题的一般步骤
1．分析——理解题意，分清已知与未知，画出示意图。
2．建模——根据已知条件与求解目标，把已知量与
求解量尽量集中在相关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型。
3．求解——利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解。
4．检验——检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。
【变式训练】 如图，高山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚B处看索道AC，发现张角∠ABC＝120°；从B处攀登400米到达D处，回头看索道AC，发现张角∠ADC＝150°；从D处再攀登800米可到达C处，则索道AC的长为________米。
解析 在△ABD中，BD＝400米，∠ABD＝120°。因为∠ADC＝150°，所以∠ADB＝30°。所以∠DAB＝180°－120°－30°＝30°。由正弦定理，可得＝，所以＝，得AD＝400(米)。在△ADC中，DC＝800米，∠ADC＝150°，由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2·AD·CD·cos∠ADC＝(400)2＋8002－2×400×800×cos150°＝4002×13，解得AC＝400(米)。故索道AC的长为400米。
答案 400
考点二解三角形与三角函数的综合应用
【例2】 (2019·辽宁五校联考)已知函数f(x)＝cos2x＋
sin(π－x)cos(π＋x)－。
(1)求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间；
(2)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f(A)＝－1，a＝2，bsinC＝asinA，求△ABC的面积。
解 (1)f(x)＝cos2x－sinxcosx－
＝－sin2x－
＝－sin，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，又x∈[0，π]，
所以函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间为和。
(2)由(1)知f(x)＝－sin，
所以f(A)＝－sin＝－1，
因为△ABC为锐角三角形，所以00，所以A∈。
于是sinA＋sinC＝sinA＋sin
＝sinA＋cos2A＝－2sin2A＋sinA＋1
＝－22＋。
因为00，c>0，所以＋＝1，则4a＋c＝(4a＋c)·＝5＋＋≥5＋2 ＝9，当且仅当c＝2a时取等号，故4a＋c的最小值为9。
(2)因为＝，所以＝(2c－b)，由正弦定理得sinBsinAcosB＝(2sinC－sinB)sinBcosA，又sinB≠0，所以sinAcosB＝(2sinC－sinB)cosA，所以sinAcosB＋sinBcosA＝2sinCcosA，sin(A＋B)＝2sinCcosA，即sinC＝2sinCcosA，又sinC≠0，所以cosA＝，sinA＝。设外接圆的半径为r，则r＝1，由余弦定理得bc＝＝b2＋c2－a2＝b2＋c2－(2rsinA)2＝b2＋c2－3≥2bc－3(当且仅当b＝c时，等号成立)，所以bc≤3，所以S△ABC＝bcsinA＝bc≤。
答案 (1)9 (2)
1.(配合例3使用)如图，在△ABC中，∠B＝，AB＝8，点D在边BC上，且CD＝2，cos∠ADC＝。
(1)求sin∠BAD；
(2)求BD，AC的长。
解 (1)在△ADC中，因为cos∠ADC＝，所以sin∠ADC＝＝＝＝，则sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)＝sin∠ADC·cos∠B－cos∠ADC·sin∠B＝×－×＝。
(2)在△ABD中，由正弦定理得BD＝＝＝3。
在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋CB2－2AB·BCcosB＝82＋52－2×8×5×＝49，即AC＝7。
2．(配合例4使用)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC＋ccosA＝bsinB，A＝，如图，若点D是△ABC外一点，DC＝2，DA＝3，则当四边形ABCD面积最大时，sinD＝________。
解析 由acosC＋ccosA＝bsinB及余弦定理得a×＋c×＝bsinB，即b＝bsinB⇒sinB＝1⇒B＝，又∠CAB＝，所以∠ACB＝。BC＝a，则AB＝a，AC＝2a，则S△
ABC＝×a×a＝a2。在△ACD中，cosD＝＝，所以a2＝。又S△ACD＝AD·CDsinD＝3sinD，所以S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝a2＋3sinD＝×＋3sinD＝3sinD－cosD＋＝＋＝sin(D－θ)＋，所以当D－θ＝，即D＝＋θ时，S四边形ABCD最大，此时sinD＝sin＝cosθ＝＝。
答案
纵观近几年的高考试题和高考模拟试题，不难发现在三角函数和三角形中求最值问题成为其中一个亮点，本文从求三角函数的最值、三角形中的最值两个方面举例说明，希望对高考备考有所帮助。
类型一三角函数的最值
1.可化为“y＝Asin(ωx＋φ)＋B”型的最值问题
【例1】 (2018·北京高考)已知函数f(x)＝sin2x＋
sinxcosx。
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值。
解 (1)f(x)＝－cos2x＋sin2x
＝sin＋。
所以f(x)的最小正周期为T＝＝π。
(2)由(1)知f(x)＝sin＋。
由题意知－≤x≤m。
所以－≤2x－≤2m－。
要使得f(x)在上的最大值为，
即sin在上的最大值为1。
所以2m－≥，即m≥。
所以m的最小值为。
化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式求最值时，特别注意自变量的取值范围对最大值、最小值的影响，可通过比较闭区间端点的取值与最高点、最低点的取值来确定函数的最值。
【变式训练】 函数f(x)＝3sinx＋4cosx，x∈[0，π]的值域为________。
解析 f(x)＝3sinx＋4cosx＝5＝5sin(x＋φ)，其中cosφ＝，sinφ＝，0<φ<。因为0≤x≤π，所以φ≤x＋φ≤π＋φ。所以当x＋φ＝时，f(x)max＝5；当x＋φ＝π＋φ时，f(x)min＝5sin(π＋φ)＝－5sinφ＝－4。所以f(x)的值域为[－4,5]。
答案 [－4,5]
2．可化为y＝f(sinx)(或y＝f(cosx))型的最值问题
【例2】 (1)(2019·广东惠州模拟)函数y＝cos2x＋2sinx的最大值为________。
(2)求f(x)＝cos2x＋asinx＋的最小值。
(1)解析 y＝cos2x＋2sinx＝－2sin2x＋2sinx＋1。设t＝sinx，则－1≤t≤1，所以原函数可以化为y＝－2t2＋2t＋1＝－22＋，所以当t＝时，函数y取得最大值为。
答案
(2)解 f(x)＝(1－2sin2x)＋asinx＋
＝－sin2x＋asinx＋1，
令t＝sinx，t∈[－1,1]，
所以y＝－t2＋at＋1＝－2＋1＋。
当a>0时，t＝－1时，y取最小值，ymin＝－a；
当a≤0时，t＝1时，y取最小值，ymin＝a。
可化为y＝f(sinx)(或y＝f(cosx))型三角函数的最值或值域可通过换元法转为其他函数的最值或值域。
【变式训练】 (1)若函数f(x)＝cos2x＋asinx在区间上的最小值大于零，则a的取值范围是________。
(2)求函数y＝的值域。
(1)解析 因为f(x)＝1－2sin2x＋asinx，令sinx＝t，因为x∈，故t∈，则函数f(t)＝－2t2＋at＋1是开口向下，对称轴为t＝的抛物线，由于f(1)＝a－1，f＝(a＋1)，结合图象可知，⇒a>1。
答案 (1，＋∞)
(2)解 因为y＝＝
＝2cos2x＋2cosx＝22－，
于是当且仅当cosx＝1时，ymax＝4。
但cosx≠1，所以y<4。
且ymin＝－，当且仅当cosx＝－时取得。
故函数值域为。
类型二三角形中的最值
1.求角的三角函数值的最值
【例3】 在△ABC中，a2＋c2＝b2＋ac。
(1)求B的大小；
(2)求cosA＋cosC的最大值。
解 (1)由余弦定理和已知条件可得
cosB＝＝＝，
又因为0
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