【数学】2019届一轮复习人教A版 概率、随机变量及其分布列 学案
概率、随机变量及其分布列
[师说考点]
1．古典概型的概率公式
P(A)＝＝.
[说明] 求事件包含的基本事件数，常用计数原理与排列、组合的相关知识．
2．几何概型的概率公式
P(A)＝.
[典例] (1)(2016·合肥质检)某企业的4名职工参加职业技能考核，每名职工均可从4个备选考核项目中任意抽取一个参加考核，则恰有一个项目未被抽中的概率为( )
A. B. C. D.
[解析] 选A 由题意得，所有的基本事件总数为44＝256，若恰有一个项目未被抽中，则说明4名职工总共抽取了3个项目，符合题意的基本事件数为C·C·C·A＝144，故所求概率P＝＝，故选A.
(2)(2016·山西质检)某同学用计算器产生两个[0，1]之间的均匀随机数，分别记作x，y.当y
的概率是( )
A. B. C. D.
[解析] 选D 记“y”为事件B，所有(x，y)构成的区域如图所示，
∴S1＝x2dx＝x3|0＝，S2＝x2dx－S1＝x3|－＝，则所求概率为＝＝＝，
故选D.
1．利用古典概型求概率的关键及注意点
(1)正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件总数，这常常用到排列、组合的有关知识．
(2)对于较复杂的题目计数时要正确分类，分类时应不重不漏．
2．几何概型的适用条件及应用关键
(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．
(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．
[演练冲关]
1．(2016·全国甲卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )
A. B. C. D.
解析：选B 如图，若该行人在时间段AB的某一时刻来到该路口，则该行人至少等待15秒才出现绿灯．AB长度为40－15＝25，由几何概型的概率公式知，至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为＝，故选B.
2．在三棱锥SABC内任取一点P，使得三棱锥PABC的体积满足VPABC10.828，可以在犯错误概率不超过0.1 的前提下，认为商品好评与服务好评有关．
(2)①每次购物时，对商品和服务都好评的概率为，且X的取值可以是0，1，2，3，4，5.
其中P(X＝0)＝；P (X＝1)＝C；P (X＝2)＝C；
P (X＝3)＝C·；P (X＝4)＝C；P (X＝5)＝.
所以X的分布列为：
②由于X～B，则E(X)＝5×＝2；D(X)＝5××＝.
随机变量的均值与其他知识的交汇
随机变量及其分布是高考的一个必考点，多为解答题，重点考查离散型随机变量的分布列与均值知识．近几年，高考试题通过对常见模型进行改编，成为立意高、情境新、设问巧、贴近生活的问题．
[典例] 某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A，B两种奶制品．生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1 000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1 200元．要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产A，B两种产品时间之和不超过12小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量W(单位：吨)是一个随机变量，其分布列为
W
12
15
18
P
0.3
0.5
0.2
该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利 (单位：元)是一个随机变量．
(1)求 的分布列和均值；
(2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10 000元的概率．
[解] (1)设每天A，B两种产品的生产数量分别为x，y，相应的获利为 ，
则有(*)
目标函数为 ＝1 000x＋1 200y.
将 ＝1 000x＋1 200y变形为l：y＝－x＋，
设l0：y＝－x.
当W＝12时，(*)表示的平面区域如图①阴影部分所示，三个顶点分别为A(0，0)，B(2.4，4.8)，C(6，0)．
平移直线l0知当直线l过点B，
即当x＝2.4，y＝4.8时， 取最大值，
故最大获利 ＝ max＝2.4×1 000＋4.8×1 200＝8 160(元)．
当W＝15时，(*)表示的平面区域如图②阴影部分所示，三个顶点分别为A(0，0)，B(3，6)，C(7.5，0)．
平移直线l0知当直线l过点B，
即当x＝3，y＝6时， 取得最大值．
故最大获利 ＝ max＝3×1 000＋6×1 200＝10 200(元)．
当W＝18时，(*)表示的平面区域如图③阴影部分所示，四个顶点分别为A(0，0)，B(3，6)，C(6，4)，D(9，0)．
平移直线l0知当直线l过点C，
即当x＝6，y＝4时， 取得最大值，
故最大获利 ＝ max＝6×1 000＋4×1 200＝10 800(元)．
故最大获利 的分布列为
8 160
10 200
10 800
P
0.3
0.5
0.2
因此，E( )＝8 160×0.3＋10 200×0.5＋10 800×0.2＝9 708.
(2)由(1)知，一天最大获利超过10 000元的概率p1＝P( >10 000)＝0.5＋0.2＝0.7，
由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10 000元的概率为P＝1－(1－p1)3＝1－0.33＝0.973.
(1)本题是随机变量的均值与线性规划知识的交汇，主要考查离散型随机变量的分布列、均值与线性规划等相关知识．
(2)求解本题的关键：
①利用条件列出不等关系，即约束条件；
②求出目标函数所对应的最值；
③结合概率知识求解即可解决．
[演练冲关]
甲、乙两支球队进行总决赛，比赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛就此结束．因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为.据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入40万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元．
(1)求总决赛中获得门票总收入恰好为300万元的概率；
(2)设总决赛中获得门票总收入为X，求X的均值E(X)．
解：(1)依题意，每场比赛获得的门票收入组成首项为40，公差为10的等差数列．
设此数列为{an}，则易知a1＝40，an＝10n＋30，
所以Sn＝＝300.
解得n＝5或n＝－12(舍去)，所以总决赛共比赛了5场．
则前4场比赛的比分必为1∶3，且第5场比赛为领先的球队获胜，其概率为C＝.
所以总决赛中获得门票总收入恰好为300万元的概率为.
(2)随机变量X可取的值为S4，S5，S6，S7，即220，300，390，490.
P(X＝220)＝2×＝，
P (X＝300)＝C＝，
P (X＝390)＝C＝，
P (X＝490)＝C＝，
所以X的分布列为
X
220
300
390
490
P
所以X的均值为E(X)＝220×＋300×＋390×＋490×＝377.5(万元)
一、选择题
1．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )
A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312
解析：选A 3次投篮投中2次的概率为P( ＝2)＝C×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P( ＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P( ＝2)＋P( ＝3)＝C×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.
2．(2016·张掖模拟)某盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为( )
A. B. C. D.
解析：选B 第一次摸出新球记为事件A，则P(A)＝，第二次取到新球记为事件B，则P(AB)＝＝，∴P(B|A)＝＝＝，故选B.
3．(2016·广州模拟)在平面区域{(x，y)|0≤x≤1，1≤y≤2}内随机投入一点P，则点P的坐标(x，y)满足y≤2x的概率为( )
A. B. C. D.
解析：选A 依题意作出图象如图，则P(y≤2x)＝＝＝.
4．(2016·江西两市联考)已知集合M=｛1,2,3｝，N=｛1,2，3,4｝.定义映射f:M→N，则从中任取一个映射满足由点A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))构成△ABC且AB＝BC
的概率为( )
A. B. C. D.
解析：选C ∵集合M＝{1，2，3}，N＝{1，2，3，4}，N有43＝64种，∴映射f:M→N有43＝64种，∵由点A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))构成△ABC且AB＝BC，∴f(1)＝f(3)≠f(2)，∵f(1)＝f(3)有4种选择，f(2)有3种选择，∴从中任取一个映射满足由点A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))构成△ABC且AB＝BC的事件有4×3＝12种，∴所求概率为＝.
5．不等式组表示的点集记为A，不等式组表示的点集记为B，在A中任取一点P，则P∈B的概率为( )
A. B. C. D.
解析：选A 联立解得x＝－1或x＝2.由几何概型知识可知所求概率P＝＝＝.
6．先后掷两次骰子(骰子的六个面上分别有1，2，3，4，5，6个点)，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y，记事件A为“x＋y为偶数”，事件B为“x，y中有偶数且x≠y”，则概率P(B|A)＝( )
A. B. C. D.
解析：选B 正面朝上的点数(x，y)的不同结果共有C·C＝36(种)．事件A：“x＋y为偶数”包含事件A1：“x，y都为偶数”与事件A2：“x，y都为奇数”两个互斥事件，其中P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，所以P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝.事件B为“x，y中有偶数且x≠y”，所以事件AB为“x，y都为偶数且x≠y”，所以P(AB)＝＝.由条件概率的计算公式，得P(B|A)＝＝.
二、填空题
7．(2016·山东高考)在[－1，1]上随机地取一个数 ，则事件“直线y＝ x与圆(x－5)2＋y2＝9相交”发生的概率为________．
解析：由直线y＝ x与圆(x－5)2＋y2＝9相交，得＜3，即16 2＜9，解得－＜ ＜.
由几何概型的概率计算公式可知P＝＝.
答案：
8．(2016·四川高考)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是__________．
解析：法一：由题意可知每次试验不成功的概率为，成功的概率为，在2次试验中成功次数X的可能取值为0，1，2，则P(X＝0)＝，P(X＝1)＝C××＝，P(X＝2)＝＝.
所以在2次试验中成功次数X的分布列为
X
0
1
2
P
则在2次试验中成功次数X的均值为E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
法二：此试验满足二项分布，其中p＝，所以在2次试验中成功次数X的均值为E(X)＝np＝2×＝.
答案：
9．某商场在儿童节举行回馈顾客活动，凡在商场消费满100元者即可参加射击赢玩具活动，具体规则如下：每人最多可射击3次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一直射满3次为止．设甲每次击中的概率为p(p≠0)，射击次数为η，若η的均值E(η)>，则p的取值范围是________．
解析：由已知得P(η＝1)＝p，P(η＝2)＝(1－p)p，P(η＝3)＝(1－p)2，则E(η)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3>，解得p>或p<，又p∈(0，1)，所以p∈.
答案：
三、解答题
10．(2016·全国甲卷)某险种的基本保费为a (单元：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出
险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出
险次数
0
1
2
3
4
≥5
概率
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05
(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60 的概率；
(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
解：(1)设A表示事件“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P(A)＝1－(0.30＋0.15)＝0.55.
(2)设B表示事件“一续保人本年度的保费比基本保费高出60 ”，则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P(B)＝0.1＋0.05＝0.15.
又P(AB)＝P(B)，
故P(B|A)＝＝＝＝.
因此所求概率为.
(3)记续保人本年度的保费为X，则X的分布列为
X
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
P
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05
E(X)＝0.85a×0.30＋a×0.15＋1.25a×0.20＋1.5a×0.20＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.23a.
因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.
11．(2016·石家庄一模)某篮球队对篮球运动员的篮球技能进行统计研究，针对篮球运动员在投篮命中时，运动员到篮筐中心的水平距离这项指标，对某运动员进行了若干场次的统计，依据统计结果绘制如下频率分布直方图：
(1)依据频率分布直方图估算该运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离的中位数；
(2)在某场比赛中，考察他前4次投篮命中时到篮筐中心的水平距离的情况，并且规定：运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离不少于4米的记1分，否则扣掉1分．用随机变量X表示第4次投篮后的总分，将频率视为概率，求X的分布列和均值．
解：(1)设该运动员到篮筐中心的水平距离的中位数为x，
∵0.20×1＝0.20<0.5，且(0.40＋0.20)×1＝0.6>0.5；
∴x∈[4，5]．
由0.40×(5－x)＋0.20×1＝0.5，解得x＝4.25，
∴该运动员到篮筐中心的水平距离的中位数是4.25米．
(2)由频率分布直方图可知投篮命中时到篮筐中心距离超过4米的概率为p＝，
随机变量X的所有可能取值为－4，－2，0，2，4.
P(X＝－4)＝＝，
P (X＝－2)＝C＝，
P (X＝0)＝C＝，
P (X＝2)＝C＝，
P (X＝4)＝＝，
X的分布列为：
X
－4
－2
0
2
4
P
E(X)＝(－4)×＋(－2)×＋0×＋2×＋4×＝.
12．(2016·贵阳模拟)在某校 普知识竞赛前的模拟测试中，得到甲、乙两名学生的6次模拟测试成绩(百分制)的茎叶图．
(1)若从甲、乙两名学生中选择一人参加该知识竞赛，你会选哪位？请运用统计学的知识说明理由；
(2)若从甲的6次模拟测试成绩中随机选择2个，记选出的成绩中超过
87分的个数为随机变量ξ，求ξ的分布列和均值．
解：(1)学生甲的平均成绩x甲＝＝82，
学生乙的平均成绩x乙＝＝82，
又s＝×[(68－82)2＋(76－82)2＋(79－82)2＋(86－82)2＋(88－82)2＋(95－82)2]＝77，
s＝×[(71－82)2＋(75－82)2＋(82－82)2＋(84－82)2＋(86－82)2＋(94－82)2]＝，
则x甲＝x乙，s>s，说明甲、乙的平均水平一样，但乙的方差小，即乙发挥更稳定，故可选择学生乙参加知识竞赛．
(2)随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，且
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P (ξ＝2)＝＝，
则ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
所以均值E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
