【数学】2018届一轮复习人教A版三角函数的图象和性质学案
专题18三角函数的图象和性质
1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性；
2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性．
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)．
(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增
区间
[2kπ－π，2kπ]
递减
[2kπ，2kπ＋π]
无
区间
对称
中心
(kπ，0)
对称轴
方程
x＝kπ＋
x＝kπ
无
高频考点一三角函数的定义域及简单的三角不等式
【例1】 (1)函数f(x)＝－2tan的定义域是( )
A. B.
C. D.
(2)不等式＋2cos x≥0的解集是________.
(3)函数f(x)＝＋log2(2sin x－1)的定义域是________.
(3)由题意，得
由①得－8≤x≤8，由②得sin x>，由正弦曲线得＋2kπ
0)在区间上是增函数，则ω的取值范围是________.
解析 (1)由已知可得函数为y＝－sin，欲求函数的单调减区间，只需求y＝sin
eq blc(rc)(avs4alco1(2x－f(π,3)))的单调增区间.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
故所求函数的单调递减区间为(k∈Z).
(2)法一 由2kπ－≤ωx≤2kπ＋，k∈Z，
得f(x)的增区间是(k∈Z).
因为f(x)在上是增函数，
所以⊆.
所以－≥－且≤，所以ω∈.
法三 因为f(x)在区间上是增函数，故原点到－，的距离不超过，即得T≥，即≥，又ω>0，得0<ω≤.
答案 (1)(k∈Z) (2)
【方法规律】(1)求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sin x的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.(2)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω
的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.
【举一反三】(1)若函数f(x)＝2sin(4x＋φ)(φ<0)的图象关于直线x＝对称，则φ的最大值为( )
A.－ B.－ C.－ D.－
(2)(2016·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为( )
A.11 B.9 C.7 D.5
解析 (1)由题可得，4×＋φ＝＋kπ，k∈Z，∴φ＝＋kπ，k∈Z，∵φ<0，∴φmax＝－.
(2)因为x＝－为f(x)的零点，x＝为f(x)的图象的对称轴，所以－＝＋kT，即＝T＝·，所以ω＝4k＋1(k∈N＋)，又因为f(x)在上单调，所以－＝≤＝，即ω≤12，由此得ω的最大值为9，故选B.
答案 (1)B (2)B
【方法规律】(1)对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可.
(2)对于可化为f(x)＝Acos(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可.
高频考点四、由对称性求参数
例4、若函数y＝cos(ω∈N*)图象的一个对称中心是，则ω的最小值为( )
A．1 B．2
C．4 D．8
答案 B
解析 由题意知＋＝kπ＋(k∈Z)⇒ω＝6k＋2(k∈Z)，又ω∈N*，∴ωmin＝2，故选B.
【感悟提升】(1)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断．
(2)求三角函数周期的方法：
①利用周期函数的定义．
②利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.
【变式探究】(1)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，对于任意x都有f＝f，则f的值为________．
(2)已知函数f(x)＝sinx＋acosx的图象关于直线x＝对称，则实数a的值为( )
A．－ B．－
C. D.
答案 (1)2或－2 (2)B
解析 (1)∵f＝f，
∴x＝是函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的一条对称轴．
∴f＝±2.
(2)由x＝是f(x)图象的对称轴，
可得f(0)＝f，
解得a＝－.
1.【2016年高考四川理数】为了得到函数的图象，只需把函数
的图象上所有的点( )
（A）向左平行移动个单位长度 （B）向右平行移动个单位长度
（C）向左平行移动个单位长度 （D）向右平行移动个单位长度
【答案】D
【解析】由题意，为了得到函数，只需把函数的图像上所有点向右移个单位，故选D.
2.【2016高考新课标2理数】若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【答案】B
【解析】由题意，将函数的图像向左平移个单位得，则平移后函数的对称轴为，即，故选B.
3.【2016年高考北京理数】将函数图象上的点向左平移（） 个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则（ ）
A.，的最小值为B. ，的最小值为
C.，的最小值为D.，的最小值为
【答案】A
【解析】由题意得，，当s最小时，所对应的点为，此时，故选A.
4.【2016高考新课标3理数】函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．
【答案】
5.【2016高考浙江理数】设函数，则的最小正周期（ ）
A．与b有关，且与c有关 B．与b有关，但与c无关
C．与b无关，且与c无关 D．与b无关，但与c有关
【答案】B
【解析】，其中当时，，此时周期是；当时，周期为，而不影响周期．故选B．
6.【2016高考山东理数】函数f（x）=（sin x+cos x）（cos x –sin x）的最小正周期是（ ）
（A） （B）π （C） （D）2π
【答案】B
【解析】,故最小正周期,故选B.
【2015高考山东，理3】要得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ）
（A）向左平移个单位 （B）向右平移个单位
（C）向左平移个单位 （D）向右平移个单位
【答案】B
【解析】因为 ，所以要得到函数 的图象，只需将函数 的图象向右平移 个单位.故选B.
【2015高考新课标1，理8】函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为( )
(A) (B)
(C) (D)
【答案】D
【解析】由五点作图知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故单调减区间为（，），，故选D.
（2014·辽宁卷）将函数y＝3sin的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数( )
A．在区间上单调递减
B．在区间上单调递增
C．在区间上单调递减
D．在区间上单调递增
【答案】B
【解析】由题可知，将函数y＝3sin的图像向右平移个单位长度得到函数y＝3sin的图像，令－＋2kπ≤2x－π≤＋2kπ，k∈Z，即＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z时，函数单调递增，即函数y＝3sin的单调递增区间为，k∈Z，可知当k＝0时，函数在区间上单调递增．
（2014·全国卷）设a＝sin 33°，b＝cos 55°，c＝tan 35°，则( )
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>b>a D．c>a>b
【答案】C 【解析】因为b＝cos 55°＝sin 35°>sin 33°，所以b＞a.因为cos 35°<1，所以>1，所以>sin 35°.又c＝tan 35°＝>sin 35°，所以c>b，所以c>b>a.
（2014·新课标全国卷Ⅰ] 如图11，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]上的图像大致为( )
图11
A B
C D
【答案】C
（2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)的最大值为________．
【答案】1
【解析】函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sin φcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)cos φ－cos(x＋φ)sin φ＝sin x，故其最大值为1.
（2014·重庆卷）已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图像关于直线x＝对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值；
(2)若f＝，求cos的值．
【解析】(1)因为f(x)的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以ƒ(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.
又因为f(x)的图像关于直线x＝对称，
所以2×＋φ＝kπ＋，k＝0，±1，±2，….
因为－≤φ＜，
所以φ＝－.
(2)由(1)得ƒ＝sin(2×－)＝，
所以sin＝.
由＜α＜得0＜α－＜，
所以cos＝＝＝.
因此cos
＝sin α
＝sin
＝sincos＋cossin
＝×＋×
＝.
（2013·北京卷）“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】∵曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点，
∴sin φ＝0，∴φ＝kπ，k∈Z，故选A.
（2013·江苏卷）函数y＝3sin的最小正周期为________．
【答案】π 【解析】周期为T＝＝π.
（2013·山东卷）函数y＝xcos x＋sin x的图像大致为( )
图1－2
【答案】D 【解析】∵f(－x)＝－xcos(－x)＋sin(－x)＝－(xcos x＋sin x)＝－f(x)，∴y＝xcos x＋sin x为奇函数，图像关于原点对称，排除选项B.当x＝时，y＝1>0，排除选项C；x＝π，y＝－π<0，排除选项A；故选D.
1.在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为( )
A.①②③ B.①③④
C.②④ D.①③
解析 ①y＝cos|2x|＝cos 2x，最小正周期为π；
②由图象知y＝|cos x|的最小正周期为π；
③y＝cos的最小正周期T＝＝π；
④y＝tan的最小正周期T＝，因此选A.
答案 A
2.函数f(x)＝tan的单调递增区间是( )
A.(k∈Z) B.(k∈Z)
C.(k∈Z) D.(k∈Z)
解析 由kπ－＜2x－＜kπ＋(k∈Z)，解得－＜x＜＋(k∈Z)，所以函数y＝tan的单调递增区间是(k∈Z)，故选B.
答案 B
3.函数y＝cos2x－2sin x的最大值与最小值分别为( )
A.3，－1 B.3，－2 C.2，－1 D.2，－2
解析 y＝cos2x－2sin x＝1－sin2x－2sin x
＝－sin2x－2sin x＋1，
令t＝sin x，则t∈[－1，1]，y＝－t2－2t＋1＝－(t＋1)2＋2，
所以ymax＝2，ymin＝－2.
答案 D
4.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，且∀x∈R，有f(x)≤f成立，则f(x)图象的一个对称中心坐标是( )
A. B. C. D.
解析 由f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝.因为f(x)≤f恒成立，所以f(x)max＝f，即×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，
由|φ|<，得φ＝，故f(x)＝sin.
令x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝2kπ－(k∈Z)，
故f(x)图象的对称中心为(k∈Z)，
当k＝0时，f(x)图象的对称中心为.
答案 A
5.已知函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在区间上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )
A. B. C.2 D.3
解析 ∵ω>0，－≤x≤，∴－≤ωx≤.
由已知条件知－≤－，∴ω≥.
答案 B
6.若函数f(x)＝4sin 5ax－4cos 5ax的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则实数a的值为________.
解析 因为f(x)＝8sin，依题意有，＝，所以T＝.又因为T＝，所以＝，解得a＝±.
答案 ±
7.若函数f(x)＝cos(0<φ<π)是奇函数，则φ＝________.
解析 因为f(x)为奇函数，
所以φ－＝＋kπ，φ＝＋kπ，k∈Z.又因为0<φ<π，故φ＝.
答案
8.函数y＝sin x＋cos x的单调递增区间是________.
9.若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________.
解析 法一 由于函数f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知，为函数f(x)的周期，故＝，解得ω＝.
法二 由题意，得f(x)max＝f＝sinω＝1.
由已知并结合正弦函数图象可知，ω＝，解得ω＝.
答案
10.已知函数f(x)＝a＋b.
(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调增区间；
(2)若x∈[0，π]时，函数f(x)的值域是[5，8]，求a，b的值.
解 f(x)＝a(1＋cos x＋sin x)＋b＝asin＋a＋b.
(1)当a＝－1时，f(x)＝－sin＋b－1，
由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
∴f(x)的单调增区间为(k∈Z).
(2)∵0≤x≤π，∴≤x＋≤，
∴－≤sin≤1，依题意知a≠0.
(ⅰ)当a>0时，∴a＝3－3，b＝5.
(ⅱ)当a<0时，∴a＝3－3，b＝8.
综上所述，a＝3－3，b＝5或a＝3－3，b＝8.
