人教版九年级数学下册第二十七章《相似》 单元同步检测试题（含答案）

人教版九年级数学下册第二十七章《相似》 单元同步检测试题（含答案）

第二十七章《相似》单元检测题 题号 一 二 三 总分 21 22 23 24 25 26 27 28 分数 一．选择题（共 10 小题） 1．已知 ，则 的值是（ ） A． B． C． D． 2．比例尺为 1：800 的学校地图上，某条路的长度约为 5cm，它的实际长度约为（ ） A．400 cm B．40m C．200 cm D．20 m 3．下列说法正确的是（ ） A．每条线段有且仅有一个黄金分割点 B．黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的 0.618 倍 C．若点 C 把线段 AB 黄金分割，则 AC2＝AB•BC D．以上说法都不对 4．如图，DE∥FG∥BC，若 DB＝4FB，则 EG 与 GC 的关系是（ ） A．EG＝4GC B．EG＝3GC C．EG＝ GC D．EG＝2GC 5．下列图形中，形状一定相同的两个图形是（ ） A．两个直角三角形 B．两个正三角形 C．两个矩形 D．两个梯形 6．制作一块 3m×2m 长方形广告牌的成本是 120 元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广 告牌的四边都扩大为原来的 3 倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（ ） A．360 元 B．720 元 C．1080 元 D．2160 元 7．已知△ABC∽△A'B'C'，如果它们的相似比为 2：3，那么它们的面积比是（ ） A．3：2 B．2：3 C．4：9 D．9：4 8．如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ABC∽△ADE 的是（ ） A．∠B＝∠D B．∠C＝∠AED C． ＝ D． ＝ 9．如图，在▱ ABCD 中，E 是 AB 的中点，EC 交 BD 于点 F，那么 EF 与 CF 的比是（ ） A．1：2 B．1：3 C．2：1 D．3：1 10．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板 DEF 测量树的高度 AB，他调整自己的位置，设法使 斜边 DF 保持水平，并且边 DE 与点 B 在同一直线上．已知纸板的两条边 DF＝50cm，EF＝30cm， 测得边 DF 离地面的高度 AC＝1.5m，CD＝20m，则树高 AB 为（ ） A．12 m B．13.5 m C．15 m D．16.5 m 二．填空题（共 8 小题） 11．已知 ＝ ，则 的值为 ． 12．如图，直线 l1、l2、…、l6 是一组等距离的平行线，过直线 l1 上的点 A 作两条射线 m、n，射线 m 与直线 l3、l6 分别相交于 B、C，射线 n 与直线 l3、l6 分别相交于点 D、E．若 BD＝1，则 CE 的长为 ． 13．已知 5a＝2b，则 a：b＝ ． 14．如图，线段 AE、BD 交于点 C，如果 AC＝9，CE＝4，BC＝CD＝6，DE＝3，那么 AB＝ ． 15．如图，△ABC 中，EF∥BC，S△AEF：S 四边形 BEFC＝1：2，则 EF：BC＝ ． 16．如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝7，AD＝2，BC＝3，在边 AB 上取点 P，使得△PAD 与△PBC 相 似，则满足条件的 AP 长 ． 17．如图，在平面直角坐标系中，已知 A（1.5，0），D（4.5，0），△ABC 与△DEF 位似，原点 O 是位似中心．若 DE＝7.5，则 AB＝ ． 18．为测量学校旗杆的高度，小明的测量方法如下：如图，将直角三角形硬纸板 DEF 的斜边 DF 与 地面保持平行，并使边 DE 与旗杆顶点 A 在同一直线上．测得 DE＝0.5 米，EF＝0.25 米，目测点 D 到地面的距离 DG＝1.5 米，到旗杆的水平距离 DC＝20 米．按此方法，请计算旗杆的高度为 米． 三．解答题（共 8 小题） 19．已知 ，且 2x+3y﹣z＝18，求 4x+y﹣3z 的值． 20．如图所示，在线段 AB 上有 C、D 两点，已知 AB＝7，AC＝1，且线段 CD 是线段 AC 和 BD 的 比例中项，求线段 CD 的长． 21．如图，在△ABC 中，D 为 AC 边上一点，∠DBC＝∠A． （1）求证：△BDC∽△ABC； （2）若 BC＝4，AC＝8，求 CD 的长． 22．已知：如图，在△ABC 中，AB＝AC，点 E、F 在边 BC 上，∠EAF＝∠B．求证：BF•CE＝AB2． 23．如图，在△ABC 中，BC＝3，D 为 AC 延长线上一点，AC＝3CD，过点 D 作 DH∥AB，交 BC 的延长线于点 H，求 CH 的长． 24．如图，△OAB 的顶点坐标分别为 O（0，0）、A（3，2）、B（2，0），将这三个顶点的坐标同 时扩大到原来的 2 倍，得到对应点 D、E、F． （1）在图中画出△DEF； （2）点 E 是否在直线 OA 上？为什么？ （3）△OAB 与△DEF 位似图形（填“是”或“不是”） 25．如图，在△ABC 中，D，E 分别是边 AB，AC 上的点，连接 DE，且∠ADE＝∠ACB． （1）求证：△ADE∽△ACB； （2）如果 E 是 AC 的中点，AD＝8，AB＝10，求 AE 的长． 26．如图，在正方形 ABCD 中，AB＝4，P 是 BC 边上一动点（不与 B，C 重合），DE⊥AP 于 E． （1）试说明△ADE∽△PAB； （2）若 PA＝x，DE＝y，请写出 y 与 x 之间的函数关系式． 2019 年春人教版九年级下册数学《第 27 章 相似》单元测试 题 参考答案与试题解析 一．选择题（共 10 小题） 1．已知 ，则 的值是（ ） A． B． C． D． 【分析】依据 ，可设 a＝13k，b＝5k，代入分式计算化简即可． 【解答】解：∵ ， ∴可设 a＝13k，b＝5k， ∴ ＝ ＝ ＝ ， 故选：D． 【点评】本题主要考查了比例的性质，解题时注意：内项之积等于外项之积，解决问题的关键是利 用设 k 法． 2．比例尺为 1：800 的学校地图上，某条路的长度约为 5cm，它的实际长度约为（ ） A．400 cm B．40m C．200 cm D．20 m 【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离，依题意列比例式直接求解即可． 【解答】解：设实际长度为 xcm，则： ＝ ， 解得：x＝4000cm＝40m． 则它的实际长度为 40m． 故选：B． 【点评】本题考查比例线段问题，解题的关键是能够根据比例尺的定义构建方程，注意单位的转换． 3．下列说法正确的是（ ） A．每条线段有且仅有一个黄金分割点 B．黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的 0.618 倍 C．若点 C 把线段 AB 黄金分割，则 AC2＝AB•BC D．以上说法都不对 【分析】根据黄金分割的定义分别进行解答即可． 【解答】解：A、每条线段有两个黄金分割点，故本选项错误； B、黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的 0.618 倍，正确； C、若点 C 把线段 AB 黄金分割，则 AC2＝AB•BC，不正确，有可能 BC2＝AB•AC； 故选：B． 【点评】此题考查黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 4．如图，DE∥FG∥BC，若 DB＝4FB，则 EG 与 GC 的关系是（ ） A．EG＝4GC B．EG＝3GC C．EG＝ GC D．EG＝2GC 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到答案． 【解答】解：∵DE∥FG∥BC，DB＝4FB， ∴ ． 故选：B． 【点评】此题主要考查平行线分线段成比例定理的理解及运用．根据平行线分线段成比例定理解答 是解题的关键． 5．下列图形中，形状一定相同的两个图形是（ ） A．两个直角三角形 B．两个正三角形 C．两个矩形 D．两个梯形 【分析】根据相似图形的定义，对应边成比例，对应角相等，然后对各选项分析判断后利用排除法 求解． 【解答】解：A、两个直角三角形，对应角不一定相等，对应边不一定成比例，所以不一定相似，故 本选项错误； B、两个正三角形，对应角都是 60°，相等，对应边一定成比例，所以一定相似，故本选项正确； C、两个矩形，对应角对应相等，对应边不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误； D、两个梯形，对应角不一定对应相等，对应边也不一定成比例，所以不一定相似，故本选项错误． 故选：B． 【点评】本题考查了相似图形的定义，注意从对应角与对应边两方面考虑． 6．制作一块 3m×2m 长方形广告牌的成本是 120 元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广 告牌的四边都扩大为原来的 3 倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（ ） A．360 元 B．720 元 C．1080 元 D．2160 元 【分析】根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本，根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广 告牌的面积，计算即可． 【解答】解：3m×2m＝6m2， ∴长方形广告牌的成本是 120÷6＝20 元/m2， 将此广告牌的四边都扩大为原来的 3 倍， 则面积扩大为原来的 9 倍， ∴扩大后长方形广告牌的面积＝9×6＝54m2， ∴扩大后长方形广告牌的成本是 54×20＝1080m2， 故选：C． 【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关 键． 7．已知△ABC∽△A'B'C'，如果它们的相似比为 2：3，那么它们的面积比是（ ） A．3：2 B．2：3 C．4：9 D．9：4 【分析】直接利用相似三角形的性质求解． 【解答】解：∵△ABC∽△A'B'C'， ∴S△ABC：S△A'B'C'＝22：32＝4：9． 故选：C． 【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 8．如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ABC∽△ADE 的是（ ） A．∠B＝∠D B．∠C＝∠AED C． ＝ D． ＝ 【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【解答】解：∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠DAE＝∠BAC， ∴A，B，D 都可判定△ABC∽△ADE 选项 C 中不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 【点评】此题考查了相似三角形的判定： ① 如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似； ② 如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似； ③ 如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 9．如图，在▱ ABCD 中，E 是 AB 的中点，EC 交 BD 于点 F，那么 EF 与 CF 的比是（ ） A．1：2 B．1：3 C．2：1 D．3：1 【分析】根据平行四边形的性质可以证明△BEF∽△DCF，然后利用相似三角形的性质即可求出答 案． 【解答】解：由平行四边形的性质可知：AB∥CD， ∴△BEF∽△DCF， ∵点 E 是 AB 的中点， ∴ ∴ ＝ ， 故选：A． 【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题 型． 10．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板 DEF 测量树的高度 AB，他调整自己的位置，设法使 斜边 DF 保持水平，并且边 DE 与点 B 在同一直线上．已知纸板的两条边 DF＝50cm，EF＝30cm， 测得边 DF 离地面的高度 AC＝1.5m，CD＝20m，则树高 AB 为（ ） A．12 m B．13.5 m C．15 m D．16.5 m 【分析】利用直角三角形 DEF 和直角三角形 BCD 相似求得 BC 的长后加上小明同学的身高即可求 得树高 AB． 【解答】解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°∠D＝∠D ∴△DEF∽△DCB ∴ ＝ ∵DF＝50cm＝0.5m，EF＝30cm＝0.3m，AC＝1.5m，CD＝20m， ∴由勾股定理求得 DE＝40cm， ∴ ＝ ∴BC＝15 米， ∴AB＝AC+BC＝1.5+15＝16.5 米， 故选：D． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型． 二．填空题（共 8 小题） 11．已知 ＝ ，则 的值为 ． 【分析】依据 ＝ ，即可得到 ﹣1＝ ，进而得出 的值． 【解答】解：∵ ＝ ， ∴ ﹣1＝ ， ∴ ＝ ， 故答案为： ． 【点评】本题主要考查了比例的性质，解题时注意：内项之积等于外项之积． 12．如图，直线 l1、l2、…、l6 是一组等距离的平行线，过直线 l1 上的点 A 作两条射线 m、n，射线 m 与直线 l3、l6 分别相交于 B、C，射线 n 与直线 l3、l6 分别相交于点 D、E．若 BD＝1，则 CE 的长为 ． 【分析】由直线 l1、l2、…l6 是一组等距的平行线，得到△ABD∽△ACE，推出比例式求得结果． 【解答】解：∵l3∥l6， ∴BD∥CE， ∴△ABD∽△ACE， ∴ ＝ ＝ ， ∵BD＝1， ∴CE＝ ． 故答案为： ． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线等分线段定理，熟记定理是解题的关键． 13．已知 5a＝2b，则 a：b＝ 2：5 ． 【分析】依据比例的性质进行变形即可． 【解答】解：∵5a＝2b， ∴a：b＝2：5． 故答案为：2：5． 【点评】本题主要考查的是比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 14．如图，线段 AE、BD 交于点 C，如果 AC＝9，CE＝4，BC＝CD＝6，DE＝3，那么 AB＝ ． 【分析】根据相似三角形的性质与判定即可求出答案． 【解答】解：∵AC＝9，CE＝4，BC＝CD＝6， ∴ ， ∵∠ACB＝∠DCE， ∴△ACB∽△DCE， ∴ ， ∴DE＝ ， 故答案为： 【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题 型． 15．如图，△ABC 中，EF∥BC，S△AEF：S 四边形 BEFC＝1：2，则 EF：BC＝ ． 【分析】由题意可得 S△AEF：S△ABC＝1：3，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可求 EF： BC 的比值． 【解答】解：∵S△AEF：S 四边形 BEFC＝1：2， ∴S△AEF：S△ABC＝1：3， ∵EF∥CB ∴△AEF∽△ABC ∴ ＝ ∴ 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定以及三角形的面积与边长之间的关系，能够掌握并求解 一些简单的计算问题． 16．如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝7，AD＝2，BC＝3，在边 AB 上取点 P，使得△PAD 与△PBC 相 似，则满足条件的 AP 长 2.8 或 1 或 6 ． 【分析】根据相似三角形的性质分情况讨论得出 AP 的长． 【解答】解：分两种情况： ① 如果△PAD∽△PBC， 则 PA：PB＝AD：BC＝2：3， 又 PA+PB＝AB＝7， ∴AP＝7×2÷5＝2.8； ② 如果△PAD∽△CBP， 则 PA：BC＝AD：BP， 即 PA•PB＝2×3＝6， 又∵PA+PB＝AB＝7， ∴PA、PB 是一元二次方程 x2﹣7x+6＝0 的两根， 解得 x1＝1，x2＝6， ∴AP＝1 或 6． 综上，可知 AP＝2.8 或 1 或 6． 故答案为 2.8 或 1 或 6． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于 中考常考题型． 17．如图，在平面直角坐标系中，已知 A（1.5，0），D（4.5，0），△ABC 与△DEF 位似，原点 O 是位似中心．若 DE＝7.5，则 AB＝ 2.5 ． 【分析】利用以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k 或﹣k 得到位 似比为 ，然后根据相似的性质计算 AB 的长． 【解答】解：∵A（1.5，0），D（4.5，0）， ∴ ＝ ＝ ， ∵△ABC 与△DEF 位似，原点 O 是位似中心， ∴ ＝ ＝ ∴AB＝ DE＝ ×7.5＝2.5． 故答案为 2.5． 【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比 为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k 或﹣k． 18．为测量学校旗杆的高度，小明的测量方法如下：如图，将直角三角形硬纸板 DEF 的斜边 DF 与 地面保持平行，并使边 DE 与旗杆顶点 A 在同一直线上．测得 DE＝0.5 米，EF＝0.25 米，目测点 D 到地面的距离 DG＝1.5 米，到旗杆的水平距离 DC＝20 米．按此方法，请计算旗杆的高度为 11.5 米． 【分析】根据题意证出△DEF∽△DCA，进而利用相似三角形的性质得出 AC 的长，即可得出答案． 【解答】解：由题意得：∠DEF＝∠DCA＝90°，∠EDF＝∠CDA， ∴△DEF∽△DCA， 则 ＝ ，即 ＝ ， 解得：AC＝10， 故 AB＝AC+BC＝10+1.5＝11.5（米）， 即旗杆的高度为 11.5 米； 故答案为：11.5． 【点评】此题主要考查了相似三角形的应用；由三角形相似得出对应边成比例是解题关键． 三．解答题（共 8 小题） 19．已知 ，且 2x+3y﹣z＝18，求 4x+y﹣3z 的值． 【分析】设 ＝k，进而解答即可． 【解答】解：设 ＝k， 可得：x＝2k，y＝3k，z＝4k， 把 x＝2k，y＝3k，z＝4k 代入 2x+3y﹣z＝18 中， 可得：4k+9k﹣4k＝18， 解得：k＝2， 所以 x＝4，y＝6，z＝8， 把 x＝4，y＝6，z＝8 代入 4x+y﹣3z＝16+6﹣24＝﹣2． 【点评】此题考查比例的性质，关键是设 ＝k 得出 k 的值． 20．如图所示，在线段 AB 上有 C、D 两点，已知 AB＝7，AC＝1，且线段 CD 是线段 AC 和 BD 的 比例中项，求线段 CD 的长． 【分析】根据题意列方程即可得到结论． 【解答】解：∵AB＝7，AC＝1， ∴BD＝AB﹣AC﹣CD＝6﹣CD， ∵线段 CD 是线段 AC 和 BD 的比例中项， ∴CD2＝AC•BD， 即 CD2＝1×（6﹣CD）， 解得：CD＝2． 【点评】本题考查了比例线段，一元二次方程的解法，正确的理解题意是解题的关键． 21．如图，在△ABC 中，D 为 AC 边上一点，∠DBC＝∠A． （1）求证：△BDC∽△ABC； （2）若 BC＝4，AC＝8，求 CD 的长． 【分析】（1）根据相似三角形的判定即可求出答案． （2）根据相似三角形的性质即可求出 CD 的长度． 【解答】解：（1）∵∠DBC＝∠A，∠BCD＝∠ACB， ∴△BDC∽△ABC； （2）∵△BDC∽△ABC， ∴ ， ∵BC＝4，AC＝8， ∴CD＝2． 【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题 型． 22．已知：如图，在△ABC 中，AB＝AC，点 E、F 在边 BC 上，∠EAF＝∠B．求证：BF•CE＝AB2． 【分析】利用两角对应成比例可得△ABF∽△ECA，对应边成比例可得相应的比例式，整理可得所 求的乘积式． 【解答】证明：∵∠AEC＝∠B+∠BAE＝∠EAF+∠BAE＝∠BAF， 又∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∴△ABF∽△ECA， ∴AB：CE＝BF：AC， ∴BF•EC＝AB•AC＝AB2． 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．注意证得△ABF∽△ECA 是解此题的关键． 23．如图，在△ABC 中，BC＝3，D 为 AC 延长线上一点，AC＝3CD，过点 D 作 DH∥AB，交 BC 的延长线于点 H，求 CH 的长． 【分析】根据相似三角形的判定得出两三角形相似，得出比例式，代入求出即可； 【解答】解：∵DH∥AB， ∴△ABC∽△DHC， ∴ ＝ ， ∵BC＝3，AC＝3CD， ∴CH＝1． 【点评】本题考查了平行线的性质，相似三角形的性质和判定，解直角三角形的应用，能求出△ABC ∽△DHC 是解此题的关键． 24．如图，△OAB 的顶点坐标分别为 O（0，0）、A（3，2）、B（2，0），将这三个顶点的坐标同 时扩大到原来的 2 倍，得到对应点 D、E、F． （1）在图中画出△DEF； （2）点 E 是否在直线 OA 上？为什么？ （3）△OAB 与△DEF 是 位似图形（填“是”或“不是”） 【分析】（1）根据题意将各点坐标扩大 2 倍得出答案； （2）求出直线 OA 的解析式，进而判断 E 点是否在直线上； （3）利用位似图形的定义得出△OAB 与△DEF 的关系． 【解答】解：（1）如图所示：△DEF，即为所求； （2）点 E 在直线 OA 上， 理由：设直线 OA 的解析式为：y＝kx， 将 A（3，2）代入得：2＝3k， 解得：k＝ ，故直线 OA 的解析式为：y＝ x， 当 x＝6 时，y＝ ×6＝4， 故点 E 在直线 OA 上； （3））△OAB 与△DEF 是位似图形． 故答案为：是． 【点评】此题主要考查了位似变换以及待定系数法求正比例函数解析式，正确把握位似图形的定义 是解题关键． 25．如图，在△ABC 中，D，E 分别是边 AB，AC 上的点，连接 DE，且∠ADE＝∠ACB． （1）求证：△ADE∽△ACB； （2）如果 E 是 AC 的中点，AD＝8，AB＝10，求 AE 的长． 【分析】（1）根据相似三角形的判定即可求出证． （2）由于点 E 是 AC 的中点，设 AE＝x，根据相似三角形的性质可知 ＝ ，从而列出方程解出 x 的值． 【解答】解：（1）∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ACB； （2）由（1）可知：：△ADE∽△ACB， ∴ ＝ ， ∵点 E 是 AC 的中点，设 AE＝x， ∴AC＝2AE＝2x， ∵AD＝8，AB＝10， ∴ ＝ ， 解得：x＝2 ， ∴AE＝2 ． 【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题 型． 26．如图，在正方形 ABCD 中，AB＝4，P 是 BC 边上一动点（不与 B，C 重合），DE⊥AP 于 E． （1）试说明△ADE∽△PAB； （2）若 PA＝x，DE＝y，请写出 y 与 x 之间的函数关系式． 【分析】（1）根据正方形的性质以及 DE⊥AP 即可判定△ADE∽△PAB． （2）根据相似三角形的性质即可列出 y 与 x 之间的关系式，需要注意的是 x 的范围． 【解答】解：（1）∵四边形 ABCD 为正方形， ∴∠BAD＝∠ABC＝90°， ∴∠EAD+∠BAP＝90°， ∠BAP+∠APB＝90°， ∴∠EAD＝∠APB， 又∵DE⊥AP，∠AED＝∠B＝90°， ∴△ADE∽△PAB． （2）由（1）知△PAB∽△ADE， ∴ ， ∴ ∴y＝ （4＜x＜4 ）． 【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定与性质，本题属于中等题 型．