中考数学三轮真题集训冲刺知识点16反比例函数图像性质及其应用pdf含解析

中考数学三轮真题集训冲刺知识点16反比例函数图像性质及其应用pdf含解析

1 / 32 一、选择题 1．（2019·温州）验光师测得一组关于近视眼镜的度数 y（度）与镜片焦距 x（米）的对应数据如下表．根 据表中数据，可得 y 关于 x 的函数表达式为 （ ） 近视眼镜的度数 y（度） 200 250 400 500 1000 镜片焦距 x（米） 0.50 0.40 0.25 0.20 0.10 A． y 100 x = B． 100 xy = C． 400y x = D． 400 xy = 【答案】A 【解析】从表格中的近视眼镜的度数 y（度）与镜片焦距 x（米）的对应数据可以知道，它们满足 xy=100， 因此，y 关于 x 的函数表达式为 100y = x ．故选 A. 2．（2019·株洲）如图所示，在直角坐标系 xOy 中，点 A、B、C 为反比例函数 y k (k 0)x = > 上不同的 三点，连接 OA、OB、OC，过点 A 作 AD⊥y 轴于点 D，过点 B、C 分别作 BE，CF⊥x 轴于点 E、 F，OC 与 BE 相交于点 M，记△AOD、△BOM、四边形 CMEF 的面积分别为 S1、S2、S3，则（ ） A．S1＝S2＋S3 B．S2＝S3 C．S3＞S2＞S1 D．S1S2＜S32 第 9 题 【答案】B 【解析】由题意知 S1= 2 k ，S△BOE=S△COF= 2 k ,因为 S2=S△BOE-S△OME,S3=S△COF-S△OME，所以 S2＝S3 ，所以选 B。 3（2019·娄底）将 1y x = 的图象向右平移 1 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度所得图象如图（3）．则 所得图象的解析式为（ ） 知识点 16——反比例函数图像、性质及其应用 2 / 32 A. 1 11y x = ++ B． 1 11y x = −+ C． 1 11y x = +− D． 1 11y x = −− 【答案】C． 【解析】二次函数平移的规律“左加右减，上加下减”对所有函数的图象平移均适合． ∵将 1y x = 的图象向右平移 1 个单位长度后所得函数关系式为 1 1y x = − ， ∴将 1y x = 的图象向右平移 1 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度所得图象的解析式为 1 11y x = +− ． 故选 C． 4．（2019·娄底）如图（1），⊙O 的半径为 2，双曲线的解析式分别为 1y x = 和 1y x = − ，则阴影部分 的面积为( ) A． 4π B． 3π C． 2π D． π 3 / 32 【答案】C 【解析】根据反比例函数 1y x = ， 1y x = − 及圆的中心对称性和轴对称性知，将二、四象限的阴影部分 旋转到一、三象限对应部分，显然所有阴影部分的面积之和等于一、三象限内两个扇形的面积之和，也 就相当于一个半径为 2 的半圆的面积． ∴ 21 22S阴影 = 2 π × = π ． 故选 C． 5．（2019·衡阳）如图，一次函数 y1＝kx＋b（k≠0）的图象与反比例函数 y2＝ m x （m 为常数且 m≠0） 的图象，都经过 A（－1，2），B（2，－1），结合图象，则不等式 kx＋b＞ m x 的解集是（ ）． A. x＜－1 B. －1＜x＜0 C. x＜－1 或 0＜x＜2 D.－1＜x＜0 或 x＞2 【答案】C． 【解析】由图象得，不等式 kx＋b＞ m x 的解集是 x＜－1 或 0＜x＜2，故选 C． 6. （2019·滨州）如图，在平面直角坐标系中，菱形 OABC 的边 OA 在 x 轴的正半轴上，反比例函数 y ＝ k x （x＞0）的图象经过对角线 OB 的中点 D 和顶点 C．若菱形 OABC 的面积为 12，则 k 的值为 （ ） A．6 B．5 C．4 D．3 x y -1 2 2 -1 B A O 4 / 32 【答案】C 【解析】如图，连接 AC，∵四边形 OABC 是菱形，∴AC 经过点 D，且 D 是 AC 的中点．设点 A 的坐 标为（a，0）， 点 C 坐标为（b，c）， 则 点 D 坐标为（ 2 ab+ ， 2 c ）． ∵ 点 C 和点 D 都在反比例函数 y= k x 的图象上，∴bc= 2 ab+ × 2 c ，∴a=3b；∵菱形的面积为 12，∴ac=12，∴3bc=12，bc=4，即 k=4．故选 C． 法 2：设点 A 的坐标为（a，0）， 点 C 的坐标为（c， ）， 则 ，点 D 的坐标为（ ）， ∴ ，解得，k＝4，故选 C． 7. （2019·无锡）如图，已知 A 为反比例函数 y k x= （ x <0）的图像上一点，过点 A 作 AB⊥ y 轴，垂 足为 B.若△OAB 的面积为 2，则 k 的值为（ ） A.2 B. -2 C. 4 D.-4 5 / 32 【答案】D 【解析】如图，∵AB⊥y 轴， S△OAB＝2，而 S△OAB 1 2 = |k|，∴ 1 2 |k|＝2，∵k＜0，∴k＝﹣4．故选 D． 8. （2019·济宁）如图，点 A 的坐标是(－2，0)，点 B 的坐标是(0，6)，C 为 OB 的中点，将 △ ABC 绕点 B 逆时针旋转 90°后得到 △ A'BC'．若反比例函数 y＝ k x 的图象恰好经过 A'B 的中点 D，则 k 的值是 （ ） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】C 【解析】取 AB 的中点（－1，3），旋转后 D（3，5）∴k＝3×5＝15，故选 C. 9. (2019·枣庄)如图,在平面直角坐标系中等腰直角三角形 ABC 的顶点 A,B 分别在 x 轴,y 轴的正半轴 上,∠ABC＝90°,CA⊥x 轴,点 C 在函数 y = k x (x>0)的图象上,若 AB＝1,则 k 的值为（ ） A.1 B. 2 2 C. 2 D.2 x y O A B x y D A' C' C B A O 6 / 32 【答案】A 【解析】在等腰直角三角形 ABC 中,AB＝1,∴AC＝ 2 ,∵CA⊥x 轴,∴yC＝ 2 ,Rt△ABC 中,∠BAC＝ 45°,CA⊥x轴,∴∠BAO＝45°,∴∠ABO＝45°,∴△ABO是等腰直角三角形,∴OA＝ 2 2 ,∴xC＝ 2 2 ,k ＝xC`yC＝1,故选 A 10. （2019·淄博）如图，∆OA1B1, ∆A1 A2 B2 , ∆A2 A3B3 ,…是分别以 A1, A2 , A3 , …为直角顶点，一条直角 边 在 x 轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C1(x1, y1),C2 (x2 , y2 ),C3 (x3 , y3 ), …均在反 比例 函数 y 4 x = （x＞0）的图象上，则 1 2 100yy y+++ 的值为（ ） A. 2 10 B.6 C. 42 D. 27 【答案】20 【解析】如图，过点 C1 作 C1M⊥x 轴， ∵△OC1A1 是等腰直角三角形，∴C1M＝OM＝MA1， 设 C1 的坐标是（a，a）（ a＞0），， 把 （ a，a）代入解析式 4y x = （a＞0）中，得 a＝2， ∴y1＝2, 7 / 32 ∴A1 的坐标是（4，0）， 又∵△C2A1A2 是等腰直角三角形， ∴设 C2 的纵坐标是 b（b＞0）， 则 C2 的横坐标是 4＋b， 把（4＋b，b）代入函数解析式得 b＝ 4 4 b+ ，解得 b＝2 2 ﹣2， ∴y2＝2 2 ﹣2， ∴A2 的坐标是（4 2 ，0）， 设 C3 的纵坐标是 c（c＞0），则 C3 横坐标为 4 2 ＋c，把（ 4 2 ＋c，c）代入函数解析式得 c＝ 4 42 c+ ， 解得 c＝2 3 ﹣2 2 ， ∴y3＝2 3 ﹣2 2 . ∵y1＝2 1 ﹣2 0 ，y2＝2 2 ﹣2 1 ，y3＝2 3 ﹣2 2 ，… ∴y100＝2 100 ﹣2 99 ， ∴y1＋y2＋y3＋…＋y100＝2＋2 2 ﹣2＋2 ﹣2 2 ＋…＋2 100 ﹣2 99 ＝2 100 ＝20. x 4 的图象相交于 A、C 两点，过点 A 作 x 轴的11.（2019·凉山）如图，正比例函数 y=kx 与反比例函数 y= 垂线交 x 轴于点 B，连接 BC，则△ABC 的面积等于（ ） A.8 B.6 C.4 D.2 8 / 32 【答案】C 【解析】设 A 点的坐标为（m ， 4 m ）， 则 C 点的坐标为（-m ， - 4 m ）， ∴ 1 41 4 422ABC OBC OABSSS m mmm∆∆∆= + = × + − ×− = ，故选 C. 12. （2019·天津） 若点 A(-3，y1),B(-2,y2),C(1,y3)都在反比例函数 y x 12−= 的图像上，则 y1，y2，y3 的大小关系是（ ） A. y2x2,则 y1>y2.其中真命题是( ) A.①② B.①③④ C.②③④ D.①②③④ 【答案】A 9 / 32 【解析】令 y＝2,得 x＝ 3 2 ,这个点在直线 y＝2 上,∴也在图象 C 上,故①正确;令 x＝ 1 2 ,得 y＝6,点( 1 2 ,6)关 于直线 y＝2 的对称点为( 1 2 ,－2),∴点( 1 2 ,－2)在图象 C 上,②正确;经过对称变换,图象 C 也是类似双曲线 的形状,没有最大值和最小值,故③错误;在同一支上,满足 x1>x2,则 y1>y2,但是没有限制时,不能保证上述结 论正确,故④错误.综上所述,选 A. 【知识点】反比例函数图象的性质,对称变换,交点坐标,增减性 14.（2019·重庆 B 卷）如图，在平面直角坐标系中，菱形 OABC 的边 OA 在 x 轴上，点 A（10,0），sin∠ COA= 4 5 .若反比例函数 y= k x (k﹥0,x﹥0)经过点 C，则 k 的值等于（ ） 【答案】C 【解析】过 C 作 CD⊥OA 交 x 轴于 D ∵OABC 为菱形，A（10,0）∴OC=OA=10. ∵sin∠COA= 4 5 ∴ CD OC = 4 5 即 10 CD = 4 5 ∴CD=8, ∴OC=6, ∴C（6,8） ∵反比例函数 y= k x (k﹥0,x﹥0)经过点 C, k=6×8=48. 故选Ｃ． 二、填空题 1．（2019·威海） 如图，在平面直角坐标系中，点 A，B 在反比例函数 y k (k 0)x = ≠ 的图像上运动，且始终保持线段 42AB = 的长度不变，M 为线段 AB 的中点，连接 OM.则线段 OM 的长度的最小值是 （用 含 k 的代数式表示）. 9题图 x y C O A B 10 / 32 【答案】 28k + 【解析】过点 A 作 x 轴⊥AC，过点 B 作 y 轴⊥BD，垂足为 C,D，AC 与 BD 相交于点 F，连接 OF.当点 O、F、M 在同一直线上时 OM 最短.即 OM 垂直平分 AB.设点 A 坐标为（a，a ＋4）， 则 点 B 坐标为 （a ＋4，a）， 点 F 坐标为（a，a）. 由题意可知△AFB 为等腰直角三角形， ∵AB＝ 42 ∴AF＝BF＝4， ∵点 A 在反比例函数 y＝ 的图像上， ∴a (a ＋4)＝k， 解得 a ＝ 42k +−， 在 RT△OCF 中，OF＝ 22CF OC+ ＝ 2 a ＝ 2( 4 2)k +− ＝ 2228k +− ， ∴OM＝OF＋FM＝ 22 2228k ++− ＝ 28k + . 2．（2019·山西）如图,在平面直角坐标系中,点 O 为坐标原点,菱形 ABCD 的顶点 B 在 x 轴的正半轴 上,点 A 的坐标为(－4,0),点 D 的坐标为(－1,4),反比例函数 y＝ k x (x>0)的图象恰好经过点 C,则 k 的 值为________. x y M O A B x y C D M O A B 11 / 32 第 2 题图 【答案】16 【解析】分别过点 D,C 作 x 轴的垂线,垂足为 E,F,则 AD＝5,∴AB＝CB＝5,∴B(1,0),由△DAE≌△CBF,可 得 BF＝AE＝3,CF＝DE＝4,∴C(4,4),∴k＝xy＝16. 第 2 题答图 3．（2019·黄冈）如图，一直线经过原点0，且与反比例函数y＝ k x (k＞0)相交于点A，点B，过点A作 AC⊥y轴，垂足为C.连接BC.若△ABC的面积为8，则k＝ . 【答案】8 【解析】因为反比例函数与正比例函数的图象相交于 A、B 两点， �A、B 两点关于原点对称，�OA＝OB，��BOC 的面积=�AOC 的面积=8÷2=4， 又�A 是反比例函数 y＝ k x 图象上的点，且 AC�y 轴于点 C， ��AOC 的面积＝ 1 2 |k|，� 1 2 |k|＝2，�k＞0，�k＝8． 4．（2019·益阳）反比例函数 x ky = 的图象上有一点 P(2，n)，将点 P 向右平移 1 个单位，再向下平 移 1 个单位得到点 Q.若点 Q 也在该函数的图象上，则 k＝ . 【答案】6 【解析】∵P(2，n)向右平移 1 个单位，再向下平移 1 个单位得到点 Q（3，n-1）， 且 点 P、Q 均在反比例 12 / 32 函数 x ky = 的图象上，∴      =− = 31 2 kn kn ，∴ 312 kk =− ，解得 k=6. 5. （2019·潍坊）如图，Rt△AOB 中，∠AOB=90°，顶点 A，B 分别在反比例函数 y 1 (x 0)x = > 与 5 ( 0)yxx −= < 的图象上．则 tan∠BAO 的值为 ． 【答案】 5 【解析】分别过点 A、B 作 x 轴的垂线 AC 和 BD，垂足为 C、D. 则△BDO∽△OCA， ∴ 2S =( )S BDO OCA BD OA   ∵S△BDO= 5 2 ，S△ACO= 1 2 ， 13 / 32 ∴ 2( ) =5BD OA ， ∴tan∠BAO= 5BD OA = ． 6. (2019·巴中)如图,反比例函数 (x>0)经过 A,B 两点,过点 A 作 AC⊥y 轴于点 C,过点 B 作BD⊥y轴 于点 D,过点 B 作 BE⊥x 轴于点 E,连接 AD,已知 AC＝1,BE＝1,S 矩形 BDOE＝4,则 S△ACD＝________. 【答案】 3 2 【解析】连接 AO,由反比例函数 k 的几何意义可知,S△AOC＝ 1 2 S 矩形 BDOE＝2,因为 AC＝1,所以 CO＝4,因为 DO＝BE＝1,所以 CD＝3,所以 S△ACD＝ 3 2 . 7. （2019·达州）如图，A、B 两点在反比例函数 x ky 1= 的图像上，C、D 两点在反比例函数 x ky 2= 的图像上，AC⊥x 轴于点 E，BD⊥x 轴于点 F，AC=2，BD=4，EF=3，则 12 kk − =___________. 14 / 32 . 〈 【答案】4 【解析】设 A（m， m k1 ） B（m， m k2 ） C（n， n k1 ） D（n， n k2 ） 由题意得：m-n=3 , 212 =− m kk , 421 =− n kk , 联立三个式子，解得： k2 − k1 = 4 . 8．（2019·长沙）如图，函数 y k x = (k 为常数，k＞0)的图象与过原点的 O 的直线相交于 A，B 两点， 点 M 是第一象限内双曲线上的动点（点 M 在点 A 的左侧），直线 AM 分别交 x 轴，y 轴于 C，D 两点， 连接 BM 分别交 x 轴，y 轴于点 E，F．现有以下四个结论：①△ODM 与△OCA 的面积相等；②若 BM⊥ AM 于点 M，则∠MBA=30°；③若 M 点的横坐标为 1，△OAM 为等边三角形，则 k= 23+ ；④若 MF= 2 5 MB，则 MD=2MA．其中正确的结论的序号是 ． 【答案】①③④ 9. （2019·眉山）如图，反比例函数 y k (x 0)x = > 的图像经过矩形 OABC 对角线的交点 M，分 别交 AB、BC 于点 D、E，若四边形 ODBE 的面积为 12，则 k 的值为 ． 15 / 32 【答案】4 【解析】由题意得：E、M、D 位于反比例函数图象上，则 S△OCE= 1 2 |k|，S△OAD= 1 2 |k|， 过点 M 作 MG⊥y 轴于点 G，作 MN⊥x 轴于点 N，则 S 矩形 ONMG=|k|，又∵M 为矩形 ABCO 对角线的 交点，则 S 矩形 ABCO=4S 矩形 ONMG=4|k|，由于函数图象在第一象限，∴k＞0，则 12 422 kk k++ = ，∴k=4．故 选：B. 10. （2019·湖州）如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y＝ 1 2 x－1 分别交 x 轴、y 轴于点 A 和 点 B，分别交反比例函数 y1＝ k x （k＞0，x＞0）， y2＝ 2k x （x＜0）的图像于点 C 和点 D，过点 C 作 CE⊥x 轴于点 E，连结 OC，OD．若△COE 的面积与△DOB 的面积相等，则 k 的值是 ． 【答案】2． 【解析】如答图，过点 D 作 DF⊥y 轴于点 F，则由 CE⊥x 轴于点 E 可知：S△OCE＝k，S△ODF＝2k．∵△ COE 的面积与△DOB 的面积相等，∴S△OBD＝S△FBD．易知 A(2，0)，B(0，－1)，从而 OB＝BF＝1，OF ＝2．令 D(m，－2)，则由 D 点在直线 y＝ 1 2 x－1 上，得－2＝ 1 2 m－1，解得 m＝－2，故 D(－2，－2)， 从而 2k＝(－2)×(－2)，解得 k＝2． 16 / 32 11.(2019·宁波) 如图,过原点的直线与反比例函数 y = k x (k>0)的图象交于 A,B 两点,点 A 在第一象限,点 C 在 x 轴正半轴上,连接 AC 交反比例函数图象于点 D.AE 为∠BAC 的平分线,过点 B 作 AE 的垂线, 垂足为 E,连接 DE,若 AC＝3DC,△ADE 的面积为 8,则 k 的值为________. 【答案】6 【解析】连接 OE,在 Rt△ABE 中,点 O 是 AB 的中点,∴OE＝ 1 2 AB ＝OA,∴∠OAE＝∠OEA,∵AE 为∠ BAC 的平分线,∴∠OAE＝∠DAE,∴∠OEA＝∠DAE,∴AD∥OE,∴S△ADE＝S△ADO,过点 A 作 AM⊥ x 轴于点 M,过点 D 作 DN⊥x 轴于点 N,易得 S 梯 AMND＝S△ADO,∵△CAM∽△CDN,CD:CA＝1:3,∴S△ CAM＝9,延长 CA 交 y 轴于点 P,易得△CAM∽△CPO,可知 DC＝AP,∴CM:MO＝CA:AP＝3:1,∴S△ CAM:S△AMO＝3:1,∴S△AMO＝3,∵反比例函数图象在一,三象限,∴k＝6. 12. （2019·衢州）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，口 ABCD 的边 AB 在 x 轴上，顶点 D 在 y 轴的正半轴上，点 C 在第一象限，将△AOD 沿 y 轴翻折，使点 A 落在 x 轴上的点 E 处，点 B 恰 好为 OE 的中点，DE 与 BC 交于点 F.若 y= k x （k≠0）图象经过点 C.且 S△BEF=1，则 k 的值为 . 17 / 32 【答案】24 【解析】连接 OC，作 FM⊥AB 于 M，延长 MF 交 CD 于 N，设 BE= a，FM=b，由题意知 OB=BE=a， OA=2a，DC=3a,因为四这形 ABCD 为平行四边形，所以 DC∥AB,所以△BEF∽△CDF,所以 BE： CD=EF:DF=1:3，所以 NF=3b，OD=FM+FN=4b，因为 S△BEF=1，即 1 2 ab=1，S△CDO= 1 2 CD·OD= 1 2 3a ×4b=6ab=12，所以 k=xy=2S△CDO=24. 三、解答题 1．（2019·嘉兴）如图，在直角坐标系中，已知点 B（4，0），等边三角形 OAB 的顶点 A 在反比例函数 y＝ 的图象上． （1）求反比例函数的表达式． （2）把△OAB 向右平移 a 个单位长度，对应得到△O'A'B'当这个函数图象经过△O'A'B'一边的中点 时，求 a 的值． 【解题过程】（1）如 图 1，过 点 A 作 AC⊥OB 于点 C，∵ △ OAB 是等边三角形，∴∠AOB=60°，OC= 1 2 OB，∵B（4,0）， ∴ OB=OA=4∴OC=2，AC= 23.把点（2， 23）的坐标代入 ky x = ，得 43k = ， ∴ 43y x = . （2）（ I）如 图 2，点 D 是 AB 的中点，过点 D 作 DE⊥ x 轴于点 E，由题意得 ''AB=4， '''ABC∠ =60°， F N M F 18 / 32 在 Rt△ 'DEB 中， 'BD=2，DE= 3 ， 'BE=1，∴ 'OE=3． 把 3y = 代入 43y x = ，得 4x = ．∴OE=4，∴ 'a OO= =1． （II）如图 3，点 F 是 ''AO的中点，过点 F 作 FH⊥ x 轴于点 H．由题意得 ''AO=4，∠ '''AOB =60°，在 RT△ 'FO H 中，FH= 3 ， 'OH=1．把 y= 3 代入 43y x = ，得 x =4，∴OH=4，∴ 'a OO= =3. 综上所述，得 a 的值为 1 或 3. 2．（2019 浙江省杭州市，20，10 分）(本题满分 10 分) 方方驾驶小汽车匀速地从 A 地行驶到 B 地，行驶里程为 480 千米，设小汽车的行驶时间为 t(单位:小 时)，行驶速股为 v(单位:千米/小时)，且全程速度限定为不超过 120 千米/小时. (1) 求 v 关于 t 的函数表达式. (2)方方上午 8 点驾驶小汽车从 A 地出发. ①方方需在当天 12 点 48 分至 14 点(含 12 点 48 分和 14 点)间到达 B 地.求小汽车行驶速度 v 的范围. ②方方能否在当天 11 点 30 分前到达 B 地?说明理由. 【解题过程】（1）∵ vt=480，且全程速度限定为不超过 120 千米/小时， ∴ v 关于 t 的函数表达式为：v= 480 t （0≤t≤4）； （2）① 8 点至 12 点 48 分时间长为 24 5 小时，8 点至 14 点时间长为 6 小时， 将 t=6 代入 v= 480 t 得 v=80；将 t= 24 5 代入 v= 480 t 得 v=100． ∴ 小汽车行驶速度 v 的范围为：80≤v≤100． ② 方方不能在当天 11 点 30 分前到达 B 地．理由如下： 8 点至 11 点 30 分时间长为 7 2 小时，将 t= 7 2 代入 v= 480 t 得 v= 960 7 ＞120 千米/小时，超速了． 故方方不能在当天 11 点 30 分前到达 B 地． 19 / 32 3．（2019·苏州，25，8）如图，A 为反比例函数 y= k x (其中 k>0)图像上的一点，在上轴正半轴上 有一点 B，OB=4 连接 OA，AB．且 OA =AB=2 10 ． （1）求 K 的值； （2）过点 B 作 BC⊥ OB，交反比例函数 y= k x (其中 k>0)的图像于点 C，连接 OC 交 AB 于点 D， 求 AD DB 的值． 第 25 题图 【解题过程】 解 ：（ 1）过点 A 作 AE⊥OB 于 E．∵ OA=AB= 2 10 ，OB=4，∴ OE=BE= 1 2 OB=2， 在 Rt△OAE 中，AE= ( )222 22 10 2 6OA OE− = −=，∴点 A 坐标为(2，6)， ∵点 A 是反比倒函数 ky x = 图像上的 点，∴ 6= 2 k ，解得 k=12． 第 25 题答图 (2)记 AE 与 OC 的交点为 F．∵OB=4 且 BC⊥OB，点 C 的横坐标为 4，又∵点 C 为反比例函数 y=12 x 图像上的点，∴点 C 的坐标为(4，3)，∴BC=3. 设直线 OC 的表达式 y=mx，将 C(4，3)代入可得 20 / 32 m= 3 4 ，∴直线 OC 的表达式 y= 3 4 x，∵AE⊥OB，OE=2，∴点 F 的横坐标为 2．将 x=2 代入 y= 3 4 x 可得 y= 3 2 ，即 EF= 3 2 ；∴AF=A E-EF=6 - 3 2 = 9 2 .∵AE，BC 都与 x 轴垂直，∴AE∥BC，∴△ADF∽△BDC．∴ 3 2 AD AF EB = BC = ． 4．（2019 山东威海，21，8 分） （1）阅读理解 如图，点 A，B 在反比例函数 的图象上，连接 AB，取线段 AB 的中点 C，分别过点 A，C，B 作 x 轴的垂线，垂足为 E，F，G，CF 交反比例函数 的图象于点 D，点 E，F，G 的横坐标分别为 n-1， n，n＋1（n＞1）. 小红通过观察反比例 的图象，并运用几何知识得到结论： AE＋BG＝2CF，CF＞DF. 由此得出一个关于 之间数量关系的命题： 若 n＞1，则 （2）证明命题 小东认为：可以通过“若 ≥0，则 ≥ ”的思路证明上述命题. 小晴认为：可以通过“若 ＞0， ＞0，且 ≥1，则 ≥ ”的思路证明上述命题. 请你选择一种方法证明（1）中的命题. 【解题过程】（1）∵A，D，B 都在反比例 的图象上，且点 E，F，G 的横坐标分别为 n-1，n，n＋ 1（n＞1）， 1y x = 1y x = 1y x = 1 12,,11nnn−+ x y D C B A GFEO ab− a b a b ab÷ a b 1y x = 21 / 32 ∴AE＝ BG＝ DF＝ . 又∵AE＋BG＝2CF， ∴CF＝ 又∵CF＞DF，n＞1， ∴ ＞ ，即 ＞ . 故答案为 ＞ . （2）选择选择小东的思路证明结论 ＞ ， ∵n＞1， ∴ ＞0， ∴ ＞ . 5．（2019 江苏盐城卷，19，8） 如图，一次函数 y=x+1 的图像交 y 轴于点 A，与反比例函数 x ky = （x>0）图像交于点 B（m，2）. （1）求反比例函数的表达式. （2）求△AOB 的面积. 【思路分析】（1）根据已知条件，可以求出点 A 的坐标，在根据一次函数与反比例函数交于点 B，就可 以求出点 B 点的横坐标 m，则点 B 的坐标就有了，所以就可以求出反比例函数的表达式。 （2）根据第一问求出的点 B 的坐标，过点 B 作 BC⊥y 轴，则 BC 就是△AOB 的高，OA 的长度就是点 1 ,1n − 1 ,1n + 1 n 11 1( ),21 1nn +−+ 11 1()21 1nn +−+ 1 n 11 11nn +−+ 2 n 11 11nn +−+ 2 n 11 11nn +−+ 2 n 22 21 1 2 2( 1) 2()1 1 ( 1)( 1) ( 1)( 1) n nn n n n n n nn n nn n ++ −− −+ −= =− + −+ −+ 11 11nn +−+ 2 n 22 / 32 A 的纵坐标，则△AOB 的高和底都有了，就可以求出△AOB 的面积. 【解题过程】 解 ：（ 1）∵一次函数经过点 B, ∴2=m+1 解得 m=1，则点 B 的坐标为（1,2） 又∵点 B 过 y= x k . 解得 k=2， 即反比例函数为 y= x 2 . （2）∵点 A（0,1）∴OA=1, 过点 B 作 BC⊥y 轴，垂足为点 C , 则 BC 就是△AOB 的高，BC=1， ∴S△AOB = 2 1 OA×BC= 2 1 ×1×1= 2 1 . 6．（2019·常德）如图 4，一次函数 y=－x+3 的图像与反比例函数 y= k x （k≠0）在第一象限的图像交 于 A（1，a）和 B 两点，与 x 轴交于点 C． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点 P 在 x 轴上，且△APC 的面积为 5，求点 P 的坐标． 【解题过程】（1）∵A（1，a）在 y=－x+3 上，∴a=－1+3=2，把 A（1，2）代入到 y= k x 中，得 k=2， ∴反比例 x y 图4 O C B A 23 / 32 函数解析式为 y= 2 x ；（2）∵P 在 x 轴上，∴设 P（m，0），∵ S APC ＝ 1 2 PC·a，∴5＝ 1 2 · PC·2，∴ PC＝5，∵y=－x+3 中当 y=0 时 x=3，∴C（3，0），∴m－3＝5 或 3－m＝5，即 m＝8 或－2，∴点 P 的坐标为（8，0）或（－2，0） 7（．2019·株洲）如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，等腰△OAB 的边 OB 与反比例函数 y m (m 0)x = > 的图像相交于点 C，其中 OB＝AB，点 A 在 x 轴的正半轴上，点 B 的坐标为(2，4)，过点 C 作 CH ⊥x 轴于点 H． （1）己知一次函数的图像过点 O，B，求该一次函数的表达式； （2）若点 P 是线段 AB 上的一点，满足 OC＝ 3 AP，过点 P 作 PQ⊥x 轴于点 Q，连结 OP，记△ OPQ 的面积为 S△OPQ，设 AQ＝t，T＝OH2﹣S△OPQ．①用 t 表示 T（不需要写出 t 的取值范 围 ）； ②当 T 取最小值时，求 m 的值． 、 【解题过程】解：（1）设直线 OB 解析式为：y=kx+b,将 O(0，0)B（4,2）代入得， ∴yOB=2x （2）①如图，作 BM⊥x 轴于 M， ∵BO=AB, ∴OM=MQ=2，A(4，0） ∵CH∥BM∥PQ， ∴△OCH∽△APQ∽OBM ∴ 2PQ CH BM AQ OH OM = = = , 3OH CH OC AQ PQ AP = = = ， 24 / 32 所以 PQ=2AQ=2t,AP= 225PQ AQ t+=, ∴T＝OH2﹣S△OPQ= 2 1( 3 ) (4 ) 22t tt+− =4t2-4t ②∵T=4t2-4t,∴t=0.5 时，T 最小=-1，此时 OH= 3 t= 3 2 ,CH=2OH= 3 , ∴m=OH CH = 3 2 8．（2019·陇南）如图，已知反比例函数 y＝ （k≠0）的图象与一次函数 y＝﹣x+b 的图象在第一象 限交于 A（1，3），B（3，1）两点 （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）已知点 P（a，0）（a＞0），过点 P 作平行于 y 轴的直线，在第一象限内交一次函数 y＝﹣x+b 的 图象于点 M，交反比例函数 y＝ 上的图象于点 N．若 PM＞PN，结合函数图象直接写出 a 的取值范 围． 解 ：（ 1）∵反比例函数 y＝ （k≠0）的图象与一次函数 y＝﹣x+b 的图象在第一象限交于点 A（1，3）， ∴3＝ ，3＝﹣1+b， ∴k＝3，b＝4， ∴反比例函数和一次函数的表达式分别为 y＝ ，y＝﹣x+4； （2）由图象可得：当 1＜a＜3 时，PM＞PN． 25 / 32 9. （2019·金华）如图，在平面直角坐标系中，正六边形 ABCDEF 的对称中心 P 在反比例函数 y＝ k x （k＞0，x＞0）的图像上，边 CD 在 x 轴上，点 B 在 y 轴上，已知 CD＝2． （1）点 A 是否在该反比例函数的图像上？请说明理由． （2）若该反比例函数图像与 DE 交于点 Q，求点 Q 的横坐标． （3）平移正六边形 ABCDEF，使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图像上，试描述平移过 程． 解 ：（ 1）连结 PC，过点 P 作 PH⊥x 轴于点 H， ∵在正六边形 ABCDEF 中，点 B 在 y 轴上， ∴△OBD 和△PCH 都含有 30°角的直角三角形，BC＝PC＝CD＝2． ∴OC＝CH＝1，PH＝ 3 ． ∴点 P 的坐标为（2， 3 ） ∴k＝2 3 ． ∴反比例函数的表达式为 y＝ 23 x （x＞0）． 连结 AC，过点 B 作 BG⊥AC 于点 G， ∵∠ABC＝120°，AB＝BC＝2， ∴BG＝1，AG＝CG＝ 3 ． ∴点 A 的坐标为（1，2 3 ）． x y QP E FA B DCO 26 / 32 当 x＝1 时，y＝2 3 ， 所以点 A 该反比例函数的图像上． （2）过点 Q 作 QM⊥x 轴于点 M， ∵六边形 ABCDEF 是正六边形，∴∠EDM＝60°． 设 DM＝b，则 QM＝ 3 b． ∴点 Q 的坐标为（b＋3， 3 b）． ∴ 3 b（b＋3）＝2 3 ． 解得 b1＝ 3 17 2 −+ ，b2＝ 3 17 2 −− （舍去） ∴b＋3＝ 3 17 2 + ． ∴点 Q 的横坐标为 3 17 2 + ． （3）连结 AP． ∵AP＝BC＝EF，AP∥BC∥EF， ∴平移过程：将正六边形 ABCDEF 先向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位，或将正六边形 ABCDEF 向左平移 2 个单位． 【知识点】反比例函数的表达式；正六边形的性质；图形的平移；含有 30°角的直角三角形性质 10.（2019 四川省自贡市，23，10 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y1=kx+b(k≠0)的图象与 反比例函数 y2=