高考数学真题专题归纳专题08数列含解析理

高考数学真题专题归纳专题08数列含解析理

专题08 数列 ‎【2020年】‎ ‎1.（2020·新课标Ⅱ）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）‎ A. 3699块 B. 3474块 C. 3402块 D. 3339块 ‎【答案】C ‎【解析】设第n环天石心块数为，第一层共有n环，‎ 则是以9为首项，9为公差的等差数列，，‎ 设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分 别为，因为下层比中层多729块，‎ 所以，‎ 即 即，解得，‎ 所以.‎ ‎2.（2020·新课标Ⅱ）数列中，，，若，则（ ）‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ 15‎ ‎【答案】C ‎【解析】在等式中，令，可得，，‎ 所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，‎ ‎，‎ ‎，则，解得.‎ ‎3.（2020·新课标Ⅱ）0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为0-1周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期.对于周期为的0-1序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足的序列是（ ）‎ A. 11010…… B. 11011…… C. 10001…… D. 11001……‎ ‎【答案】C ‎【解析】由知，序列的周期为m，由已知，，‎ 对于选项A，‎ ‎，不满足；‎ 对于选项B，‎ ‎，不满足；‎ 对于选项D，‎ 15‎ ‎，不满足；‎ ‎4.（2020·北京卷）在等差数列中，，．记，则数列（ ）．‎ A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项 C. 无最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项 ‎【答案】B ‎【解析】由题意可知，等差数列的公差，‎ 则其通项公式为：，‎ 注意到，‎ 且由可知，‎ 由可知数列不存在最小项，‎ 由于，‎ 故数列中的正项只有有限项：，.‎ 故数列中存在最大项，且最大项为.‎ ‎5.（2020·浙江卷）已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0，．记b1=S2，bn+1=Sn+2–S2n，，下列等式不可能成立的是（ ）‎ A. 2a4=a2+a6 B. 2b4=b2+b6 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】对于A，因为数列为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由可得，，A正确；‎ 对于B，由题意可知，，，‎ 15‎ ‎∴，，，．‎ ‎∴，．‎ 根据等差数列的下标和性质，由可得，B正确；‎ 对于C，，‎ 当时，，C正确；‎ 对于D，，，‎ ‎．‎ 当时，，∴即；‎ 当时，，∴即，所以，D不正确．‎ ‎6.（2020·山东卷）将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，‎ 数列是以1首项，以3为公差的等差数列，‎ 所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，‎ 所以的前项和为，‎ ‎7.（2020·浙江卷）已知数列{an}满足，则S3=________．‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】因为，所以．‎ 即．‎ 15‎ ‎8.（2020·浙江卷）设，则a5=________；a1+a2 + a3=________．‎ ‎【答案】 (1). 80 (2). 122‎ ‎【解析】的通项为，令，则，故；.‎ ‎9.（2020·江苏卷）设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n项和，则d+q的值是_______．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意.‎ 等差数列的前项和公式为，‎ 等比数列的前项和公式为，‎ 依题意，即，‎ 通过对比系数可知，故.‎ ‎【2019年】‎ ‎1．【2019年高考全国I卷理数】记为等差数列的前n项和．已知，则 A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】A 15‎ ‎【解析】由题知，，解得，∴，,故选A．‎ ‎2．【2019年高考全国III卷理数】已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则 A．16 B．8 ‎ C．4 D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】设正数的等比数列{an}的公比为，则，‎ 解得，，故选C．‎ ‎3．【2019年高考全国I卷理数】记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5=____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设等比数列的公比为，由已知，所以又，‎ 所以所以．‎ ‎4．【2019年高考全国III卷理数】记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则___________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】设等差数列{an}的公差为d,‎ 因，所以，即，‎ 15‎ 所以．‎ ‎5．【2019年高考北京卷理数】设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=−3，S5=−10，则a5=__________，Sn的最小值为__________．‎ ‎【答案】 0，.‎ ‎【解析】等差数列中,,得又,所以公差,,由等差数列的性质得时,,时,大于0,所以的最小值为或,即为-10.‎ ‎6．【2019年高考江苏卷】已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的值是_____.‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】由题意可得：，‎ 解得：，则.‎ ‎【2018年】‎ ‎1．【2018·全国I卷 】设为等差数列的前项和，若，，则 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设等差数列的公差为，根据题中的条件可得，‎ 整理解得，所以，故选B．‎ 15‎ ‎2．【2018·浙江卷】已知成等比数列，且．若，则 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】令则，令得，所以当时，，当时，，因此. ‎ 若公比，则，不合题意；‎ 若公比，则但，即，不合题意；‎ 因此，，故选B.‎ ‎3．【2018·全国I卷 】记为数列的前项和，若，则___________．‎ ‎【答案】-63‎ ‎【解析】根据，可得，两式相减得，即，当时，，解得，所以数列是以−1为首项，以2为公比的等比数列，所以。‎ ‎4．【2018·北京卷 】设是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则的通项公式为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设等差数列的公差为，‎ 15‎ ‎5．【2018·江苏卷】已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为___________．‎ ‎【答案】27‎ ‎【解析】所有的正奇数和按照从小到大的顺序排列构成，在数列|中，25前面有16个正奇数，即.当n=1时，，不符合题意；当n=2时，，不符合题意；当n=3时，，不符合题意；当n=4时，，不符合题意；……；当n=26时，，不符合题意；当n=27时，,符合题意.故使得成立的n的最小值为27.‎ ‎【2017年】‎ ‎1．【2017·全国I卷 】记为等差数列的前项和．若，，则的公差为 A．1 B．2‎ C．4 D．8‎ ‎【答案】C ‎【解析】设公差为，，‎ ‎，联立解得，故选C．‎ ‎2．【2017·全国I卷 】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…‎ 15‎ ‎，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A．440 B．330 ‎ C．220 D．110‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得，数列如下：‎ 则该数列的前项和为 ‎，‎ 要使，有，此时，所以是第组等比数列的部分和，设，‎ 所以，则，此时，‎ 所以对应满足条件的最小整数，故选A.‎ ‎3．【2017·全国II卷 】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 ‎【答案】B ‎【解析】设塔的顶层共有灯盏，则各层的灯数构成一个首项为，公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式有，解得，即塔的顶层共有灯3盏，故选B．‎ 15‎ ‎4．【2017·全国III卷 】等差数列的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则前6项的和为 A． B． ‎ C．3 D．8‎ ‎【答案】A ‎【解析】设等差数列的公差为，由a2，a3，a6成等比数列可得，即，整理可得，又公差不为，则，故前6项的和为.故选A．‎ ‎5．【2017·浙江卷】已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d>0”是“S4 + S6>2S5”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】由，可知当时，有，即，反之，若，则，所以“d>0”是“S4 + S6>2S5”的充要条件，选C．‎ ‎6．【2017·全国II卷 】等差数列的前项和为，，，则___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设等差数列的首项为，公差为，由题意有 ，解得 ，‎ 数列的前n项和，‎ 15‎ 裂项可得，‎ 所以．‎ ‎7．【2017·全国III卷 】设等比数列满足a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，则a4 =___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设等比数列的公比为，很明显，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：‎ ‎，由可得：，代入①可得，由等比数列的通项公式可得．‎ ‎8．【2017·江苏卷】等比数列的各项均为实数，其前项和为，已知，则___________．‎ ‎【答案】32‎ ‎【解析】当时，显然不符合题意；‎ 当时，，解得，则．‎ ‎9．【2017·北京卷 】若等差数列和等比数列满足，，则=___________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】设等差数列的公差和等比数列的公比分别为和，则，求得，那么．‎ ‎【2016年】‎ 15‎ ‎1. 【2016高考新课标1卷】已知等差数列前9项的和为27,,则 （ ）‎ ‎（A）100 （B）99 （C）98 （D）97‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知,所以故选C.‎ ‎2【2016高考浙江理数】如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且，，‎ ‎（）.若（ ）‎ A．是等差数列 B．是等差数列 C．是等差数列 D．是等差数列 ‎【答案】A ‎【解析】表示点到对面直线的距离（设为）乘以长度一半，即，由题目中条件可知的长度为定值，那么我们需要知道的关系式，过作垂直得到初始距离，那么和两个垂足构成了等腰梯形，那么，其中为两条线的夹角，即为定值，那么，，作差后：，都为定值，所以为定值．故选A．‎ ‎3.【2016年高考四川理数】某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )‎ 15‎ ‎（参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30）‎ ‎（ A）2018年 （B）2019年 （C）2020年 （D）2021年 ‎【答案】B ‎【解析】设从2015年开始第年的研发投资资金为，则 ，，由题意，需 ‎，，两边取常用对数得 ‎，故从2019年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，选B.‎ ‎4.【2016高考浙江理数】设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*，则a1= ，S5= .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】，‎ 再由，又，‎ 所以 ‎5.【2016年高考北京理数】已知为等差数列，为其前项和，若，，则_______..‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】∵是等差数列，∴，，，，‎ ‎∴，故填：6．‎ ‎6.【2016高考新课标1卷】设等比数列满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2 …an的最大值为 ．‎ ‎【答案】64‎ ‎【解析】设等比数列的公比为，由得，解得 15‎ ‎.所以，于是当或时，取得最大值.‎ ‎7.【2016高考江苏卷】已知是等差数列，是其前项和.若，则的值是 ▲ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由得，因此 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 15‎