2019届二轮复习 不等式选讲 作业

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2019届二轮复习 不等式选讲 作业

不等式选讲 ‎1.已知函数f(x)=|x+2|-2|x-1|.‎ ‎(1)解不等式f(x)≥-2.‎ ‎(2)对任意x∈[a,+∞),都有f(x)≤x-a成立,求实数a的取值范围.‎ 解 (1)f(x)=f(x)≥-2,‎ 当x≤-2时,x-4≥-2,即x≥2,所以x∈∅;‎ 当-2<x<1时,3x≥-2,即x≥-,‎ 所以-≤x<1,‎ 当x≥1时,-x+4≥-2,即x≤6,所以1≤x≤6,‎ 综上,不等式f(x)≥-2的解集为.‎ ‎(2)f(x)= 函数f(x)的图象如图所示:‎ 令y=x-a,-a表示直线的纵截距,当直线过(1,3)点时,-a=2;‎ 所以当-a≥2,即a≤-2时成立;‎ 当-a<2,即a>-2时,‎ 令-x+4=x-a,得x=2+,‎ 所以a≥2+,即a≥4时成立,‎ 综上可知a的取值范围为(-∞,-2]∪[4,+∞).‎ ‎2.已知函数f(x)=m-|x-2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集为[-1,1].‎ ‎(1)求m的值;‎ ‎(2)若a,b,c大于0,且++=m,求证:a+2b+3c≥9.‎ ‎(1)解 ∵f(x+2)=m-|x|,‎ ‎∴f(x+2)≥0等价于|x|≤m.‎ 由|x|≤m有解,得m≥0且其解集为{x|-m≤x≤m}.‎ 又f(x+2)≥0的解集为[-1,1],故m=1.‎ ‎(2)证明 由(1)知++=1,且a,b,c大于0,‎ a+2b+3c=(a+2b+3c) ‎=3+++ ‎≥3+2+2+2=9.‎ 当且仅当a=2b=3c=3时,等号成立.‎ 因此a+2b+3c≥9.‎ ‎3.已知函数f(x)=|2x-a|+|2x+3|,g(x)=|x-1|+2.‎ ‎(1)解不等式:|g(x)|<5.‎ ‎(2)若对任意的x1∈R,都有x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,求实数a的取值范围.‎ 解 (1)由||x-1|+2|<5得-5<|x-1|+2<5,‎ 所以-7<|x-1|<3,可得不等式的解集为(-2,4).‎ ‎(2)因为任意x1∈R,都有x2∈R,‎ 使得f(x1)=g(x2)成立,‎ 所以{y|y=f(x)}⊆{y|y=g(x)},‎ 又f(x)=|2x-a|+|2x+3|≥|(2x-a)-(2x+3)|=|a+3|,g(x)=|x-1|+2≥2,‎ 所以|a+3|≥2,解得a≥-1或a≤-5,‎ 所以实数a的取值范围为(-∞,-5]∪[-1,+∞).‎ ‎4.设a,b,c>0,且ab+bc+ca=1.‎ 求证:(1)a+b+c≥;‎ ‎(2) + + ≥(++).‎ 证明 (1)要证a+b+c≥,‎ 由于a,b,c>0,因此只需证明(a+b+c)2≥3.‎ 即证:a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3,‎ 而ab+bc+ca=1,‎ 故需证明:a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3(ab+bc+ca).‎ 即证:a2+b2+c2≥ab+bc+ca.‎ 而这可以由ab+bc+ca≤++=a2+b2+c2 (当且仅当a=b=c时等号成立)证得.∴原不等式成立.‎ ‎(2) + + =.‎ 由于(1)中已证a+b+c≥.‎ 因此要证原不等式成立,‎ 只需证明≥++.‎ 即证a+b+c≤1,‎ 即证a+b+c≤ab+bc+ca.‎ 而a=≤,‎ b≤,c≤.‎ ‎∴a+b+c≤ab+bc+ca (a=b=c=时等号成立).∴原不等式成立.‎ ‎5. (1)解不等式:|2x-1|-|x|<1;‎ ‎(2)设f(x)=x2-x+1,实数a满足|x-a|<1,求证:|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).‎ ‎(1)解 当x<0时,原不等式可化为-2x+x<0,‎ 解得x>0,又∵x<0,∴x不存在;‎ 当0≤x<时,原不等式可化为-2x-x<0,‎ 解得x>0,又∵0≤x<,∴0<x<;‎ 当x≥时,原不等式可化为2x-1-x<1.‎ 解得x<2,又∵x≥,∴≤x<2,‎ 综上,原不等式的解集为{x|0<x<2}.‎ ‎(2)证明 |f(x)-f(a)|=|x2-x-a2+a|‎ ‎=|x-a|·|x+a-1|<|x+a-1|‎ ‎=|x-a+2a-1|≤|x-a|+|2a-1|‎ ‎<1+|2a|+1=2(|a|+1),‎ ‎∴|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).‎ ‎6.已知函数f(x)=+,‎ M为不等式f(x)<2的解集.‎ ‎(1)求M;‎ ‎(2)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.‎ ‎(1)解 f(x)= 当x≤-时,由f(x)<2得-2x<2,‎ 解得x>-1,所以-1
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